MÄNGDLÄRA En mängd (:-) termer och symboler som uppträder litet överallt inom matematiken: mängd, element klammernotationen Ex. Mängden av fyrfaldiga OS-vinnare i en och samma friidrottsgren ={Al Oerter, Carl Lewis} Mängder har ingen struktur Skilj mellan mängden {1, 2} och det ordnade paret (1, 2) : {1, 2} = {2, 1}, men (1, 2) 6= (2, 1) (Ordnade par är t.ex. koordinaterna för punkter i planet relativt ett givet koordinatsystem.) : ; är tre alternativa förkortningar för sådana att : Q = {p/q : p, q Z,q 6= 0} x M betyder objektet x tillhör mängden M A B = mängden A är en delmängd av mängden B (inklusion), d.v.s. varje element i A tillhör även B potensmängden P (A) till en mängd A är mängden av alla delmängder till A. Om A har n st. element, så har dess potensmängd 2 n element. den tomma mängden N, Z, Q, R, C standardbeteckningar för de talmängder vi i första hand skiljer mellan inom matematiken (Se högerspalten varför decimaltal förbigås här!) (N antas innehålla 0 oftast, men inte alltid!) A, #A är två alternativa beteckningar för antalet element i en mängd A intervallbeteckningar, öppna/slutna intervall intervallangivelse med absolutbelopp union av mängder, A B snitt av mängder, A B mängddifferens, AÂB Mängden av de objekt som tillhör A, men inte B. symmetrisk mängddifferens A4B Mängden av de objekt, som tillhör A eller B, men inte båda. komplement, {A, { U A, A c, Ā, A 0 distributiva lagarna de Morgans lagar Venndiagram (Cartesisk) produktmängd 1. Från första sidan i Diskret matematik för gymnasiet av Wallin m.fl.: En mängd definieras som en samling element. Någon anmärkning? 2. Teckna mängden {1, 4, 9, 16, 25,..., 10000} m.h.a. "sådana att"-tecknet och en definierande utsaga, alltså i stil med Q = {p/q : p, q Z,q 6= 0} 3. Beskriv med ord A B, om (a) A = {alla rektanglar},b = {alla romber} (b) A = {alla heltal som är delbara med 2}, B = {alla heltal som är delbara med 3} 4. Låt A och B vara två mängder. Vad säger nedanstående utsaga? Hitta enkel formulering med ord! x :(x A = x B) 5. Alla barn i en skola spelar fotboll och/eller handboll. Var sjunde fotbollsspelare spelar också handboll; var nionde handbollsspelare spelar också fotboll. Vilka är flest: handbolls- eller fotbollsspelarna? Benämningen decimaltal är missvisande : det är inte fråga om en typ av tal, utan om hur talen är skrivna. Ett och samma tal kan skrivas på olika sätt, precis som en och samma tanke uttrycks olika på olika språk. T.ex. 1 3, 2 6, 3 9, 0.333...(treor upprepas i all oändlighet) ärfyra olika beteckningar för ett och samma tal I de tre första fallen har vi skrivit talet på bråkform, i det fjärde på decimalform. Så hellre decimalform (alt. decimalutveckling av ett tal) än decimaltal Inte bara bråkformen tillåter att ett och samma tal skrivs på olika sätt även decimalformen : 1 och 0, 999...(nior upprepas i all oändlighet) är olika beteckningar på samma tal Inte heller indelningen i tal med ändlig resp. oändlig decimalutveckling är väsentlig, eftersom för rationella tal beror detta på basen man använder: (0.333...) 10 =(0.1) 3 1
Avgör om resp. påstående är sant för godtyckliga mängder A,B,C,... (Som alltid: motivera ditt svar!) 6. A (A B)? = A 7. (A B) ÂC? =(AÂC) (BÂC) 8. AÂ (B C)? =(AÂB) ÂC 9. AÂ (B C)? =(AÂB) (AÂC) 10. AÂ (B C)? =(AÂB) (AÂC) 11. (A B) (B C)? = B 12. (AÂB) (BÂA)? = A B 13. (A B) ÂC? A 14. (A B) ÂC? =(AÂC) (BÂC) 15. A C = B C =? A = B 16. A C = B C =? A = B 17. ½ A C = B C A C = B C 18. a) b) Ã! [? A i = \ A i i I i I Ã! \? A i = [ A i i I i I? = A = B (Här är {A i : i I} en godtycklig familj av mängder. Kunde lika gärna sagt en mängd av mängder, men för mängder vars element själva betraktas som mängder, brukar man ofta använda någon synonym som familj, klass,... Mängden I kallas indexmängd. Bokstaven I kan stå för {1, 2, 3, 4, 5} då har vi en familj av 5 mängder. Vi kan ha I = N eller rentav I = R en mängd för varje reellt tal.) 21. För vilka mängder A och B gäller AÂB = BÂA? 22. Ett av flera alternativa beteckningssätt för komplementet till en mängd A är A. Förenkla (A B) C B Tips: De Morgans lagar. 23. Antag att F är en familj av mängder, för vilken det gäller Visa att i) F ii) A 1,A 2,A 3,... F = i=1 A i F iii) A F = A F A B F A, B F = AÂB F A4B F 24. Vad skall man skriva på frågetecknets plats, för att följande skall gälla allmänt? (a) (b) B {A A B =? {B A A B =? 25. Förenkla A (A B) A (A B) (Resultatet kallas absorptionslagarna.) 26. Kan du sätta =,, eller på frågetecknets plats, så att påståednet är sant allmänt? (A B) ÂC? (AÂC) B (A B) ÂC? (AÂC) B 19. P (A B) =? P (A) P (B) (P (A) ärmängden av alla delmängder till A, den s.k. potensmängden till A.) 20. (A B) (B C) (C A)? =(A B) (B C) (C A) 2
27. Symmetriska differensen definieras A4B =(AÂB) (BÂA) Undersök om följande gäller allmänt (a) A4B =(A B) Â (A B)? (b) (För tal har vi a + b = b + a ) A4B = B4A (c) (För tal har vi (a + b)+c = a +(b + c) ) (A4B) 4C = A4 (B4C) (d) När det gäller tal, har vi ett speciellt tal 0 med egenskapen a +0=a för alla a. Finns det ett N sådant att A4N = A för alla A? Är N entydigt bestämt? Vad är N i så fall? (e) till varje A finns en entydigt bestämd mängd A 0 (vilken i så fall?) sådan att A4A 0 = N (f) till varje A och B, finns en entydigt bestämd mängd X (vilken, i så fall?) sådan att (g) A4X = B A4B = C4D A4C = B4D 29. Låt U beteckna grundmängden (universum) som våra mängder är delmängder utav. Varje mängd A svarar då mot en funktion χ A på U, kallad A:s karaktäristiska funktion: ½ 1, χ A (x) = om x A 0, annars Om man nu känner de karaktäristiska funktionerna χ A och χ B, förtvåmängder,hurfårmanurdem fram den karaktäristiska funktionen för (a) {A? (b) A B? (c) A B? 30. Många läroböcker tar upp logik och mängdlära i samma (eller intilliggande) kapitel. Ser du några samband/analogier mellan dessa? 31. Åskådliggör med hjälp av mängder distinktionen mellan a) Jag menar vad jag säger. b) Jag säger vad jag menar. 32. Låt A och B vara två mängder. Uttryck mängden (AÂB) (BÂA) i A B och A B. 33. Visa att för alla mängder A, B, C gäller ½ A C = B C A = B A C = B C (Tips: En ekvivalens är inte mer än två implikationer behandlademseparat.) 28. Kan man sätta, eller = på frågetecknets plats? (a) (A B) C? (A C) (B C) (b) (A B) C? (A C) (B C) (c) (A B) C? (A C) (B C) (d) (A B) (C D)? (A C) (B D) (e) (A B) (C D)? (A C) (B D) 3
Ett klassiskt matematiskt skämt lyder: Varför skriva så obegripliga ekvationer som 1+1 = 2, när man i stället kan skriva µ µ det ln lim A det A T!+ 1 n +cos 2 θ+sin 2 θ = n n Då man under 1900-talet skulle bygga upp all matematik på mängdlära, laborerade man med följande identifiering av tal och mängder: 0 = 1 = {0} = { } 2 = {0, 1} = {, { }} 3 = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}}... En alt. beteckning på den tomma mängden är {}. Så när följande fråga dök upp i ett diskussionsforum på www I m looking for an impressive way to obtain the number 5 using only one line ( 80 characters) and advanced mathematics. I know this is weird, but can anyone help me out with something really elegant? lätintesvaretväntapåsig: X cosh x k=0 p 1 tanh 2 x 2 k? {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}}} (79 characters!) 4
Russells paradox (katalogparadoxen) Matematikens mängder måste vara väldefinierade man måste alltid kunna avgöra om ett givet objekt tillhör en given mängd eller inte. De intressanta mängderna är ofta alltför stora, rentav oändliga, så de låter sig inte definieras genom uppräkning. I stället anger vi vilka egenskaper ett objekt skall ha för att räknas in i mängden. Men till synes invändningsfria språkliga beskrivningar visar sig leda till motsägelser. Russells paradox har genom åren formulerats i olika varianter. Den kanske mest kända är följande: Männen i en viss by delas naturligt i två mängder: de som rakar sig själva och de som inte gör det. Byn har endast en barberare och ingen i byn vill gå med skägg, så barberaren har till uppgift att raka alla som inte rakar sig själva. Enkelt, eller hur? Nu inställer sig emellertid frågan: vilken mängd tillhör den manlige barberaren själv, d.v.s. ska han raka sig själv eller inte? Räknas han till dem som inte rakar sig själva, är han, enligt föreskriften, tvungen att raka sig själv. Räknas han bland dem som rakar sig själva, så innebär det att han rakar sig själv mot föreskriften. Motsägelse, hur han än gör?! En ännu enklare illustration av problematiken utgör påståendet Jag ljuger. Hur skall man tolka det? I originalversionen betraktar Russell mängden av alla mängder som inte är element i sig själva. Nu tycker du kanske att detta faller på att ingen mängd skulle kunna vara element i sig själv, men det är faktiskt inte så absurt som det låter : Man kan ha ett dataregister över dataregister. Så ett register kan innehålla sig själv som post! Låt nu A = mängden av alla register som inte innehåller sig själva som post och säg att vi upprättar ett register r över alla register i mängden A. Skalldå r själv finnas med som post i r eller inte? Om r tas med, så tillhör inte r mängden A längre och r skulle ju förteckna registren i A enbart, så det stämmer inte. Om r inte tas med, så blir r ettelementia och r skulle innehålla alla element i A, så det stämmer inte heller?! En databas över alla databaser som inte refererar till sig själva, är en annan variant. Mängden av alla abstrakta begrepp är själv ett abstrakt begrepp. Mängdbegreppet är alltså inte så enkelt som man tror. Mananvänderiblanduttrycken naiv mängdlära när man, som i alla läroböcker där mängder inte är ett huvudmpment, nöjer sig med att säga något i stil med att "En mängd är en samling av objekt." och låtsas att vilka som helst objekt kan sammanföras kan sammanföras till en mängd axiomatisk mängdlära när man är noga med att formulera axiom, som inskränker möjligheterna att definiera mängder, tillräckligt mycket för att motsägelser ska undvikas Bertrand Russell (1872-1970) drog fram år 1902 denna paradox för Gottlob Frege (1848-1925) den tidens kanske främste logiker (införde kvantorerna) och ivrigaste förespråkare för logicismen uppfattningenattmatematikärengrenavlogiken just när denne lämnat till tryckpressarna ett försök att härleda matematikens grunder ur logiken, som han filat på i 10 år. Mycket i det arbetet framstod plötsligt som meningslöst i ljuset av Russells paradox. Det blev dödsstöten för Freges produktiva verksamhet han återhämtade sig aldrig, försvann från den vetenskapliga scenen och dog förbittrad. Russell hade gjort påpekandet i all välmening han var en av Freges närmaste meningsfränder. Det fanns framstående matematiker som inte alls höll med om att matematik skulle kunna reduceras till logik och som nog upplevde ren skadeglädje, när Russells paradox blev känd. Russell däremot gjorde själv under de följande 10 åren ett ännu mera storslaget försök att placeraallmatematikpålogiskagrundvalar verket Principia Mathematica, skrivet tillsammans med A.N.Whitehead och däribland angav också möjliga utvägar när det gäller sin paradox. Men inte heller det arbetet lyckades riktigt och logicismen fick sig nog en definitiv knäck där. Russell blev sedermera känd också för mycket annat än matematisk logik: Avskedades från Cambridgeuniversitetet 1916 och satt ett halvår i fängelse för pacifistiska aktiviteter. Drev en experimentalskola på 1920- och 1930-talen. (Var av adlig börd och självförsörjande.) Förespråkade, redan på 1930-talet, äktenskap på försök och liberalare syn på sexualiteten. Hade själv fyra fruar och ett antal kärleksaffärer under årens lopp. En college i USA, som erbjudit honom anställning 1940, fick strax därefter böja sig för moralväktarnas påtryckningar och förklara honom oönskad. Fick Nobelpriset i litteratur 1950 för en historiebok över västerlandets filosofi. Dömdes till fängelse för antikärnvapenprotester 1961. 5
Cantor och mängdläran OÄNDLIGA mängder Finns dem? Kan de jämföras? Redan Galilei lade märke till följande paradox : Vilken mängd är störst: {1, 2, 3, 4,...} eller {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...}? Den första? Rimligt kvadrattalen är ju endast en liten delmängd av alla positiva heltal. Men stopp! Här har vi ett specialfall den ena mängden är en delmängd av den andra något vi inte kan räkna med normalt. Hur gör vi annars, med två helt olika mängder? Georg Cantor (1845-1918) De flesta läroböcker skriver att mängdläran utvecklats av tysken Georg Cantor (1845-1918) åren 1870-1900 och att den vållat uppståndelse / varit kontroversiell. Det kan vara svårt att förstå, när man läser vidare: union och snitt av mängder, de Morgans lagar inte kan väl något så primitivt ha varit kontroversiellt så sent som 200 år efter differential-/integralkalkylens uppfinning? Sanningen är att många läroböcker egentligen inte går in på vad Cantor gjorde (mer än att antyda i fotnoter och faktarutor). Även den som inte kan räkna (!) kan avgöra vilken av två mängder som är störst genom att försöka para ihop elementen i ena med var sitt element i den andra : Är sittplatserna i bussen fler eller färre än de som vill stiga på? Släpp in de väntande och titta efter: Tommaplatserkvar?Dåärsittplatsernafler. Stående utan sittplats? Då är resenärerna fler. Varken platser eller resenärer "över"? Då är de lika många! Så kan vi jämföra även oändliga mängder! (Någon bättre generell jämförelsemetod har man inte kommit på.) Men gör vi så med kvadrattalen, upptäcker vi att det går alldeles utmärkt att para ihop dem med hela N, så att inga element blir över: 1 2 3 4 5 6 7 8 9... 1 4 9 16 25 36 49 64 81... och vi skulle tvingas dra slutsatsen att de positiva heltalen inte är fler än sin lilla delmängd?! Galilei betraktade detta som absurt och tolkade det som en intäkt att man inte skulle befatta sig med oändliga mängder överhuvdtaget! Biografiskt om matematiker : The MacTutor History of Mathematics Archive http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ 6
Oändligheten har vållat tänkare bekymmer alltsedan antiken: Det berättas att några judiska rabbiner i Spanien på 1200-talet fann en meditationsmetod som skulle låta dem se Gud i all hans oändlighet. Tyvärr gick det inte så bra när de prövade. En blev avfälling, en dog på fläcken och en förlorade förståndet. Fast egentligen startade nog alltsammans med den grekiske filosofen Zenon från Eleia och hans berömda paradoxer. I en av dem visade Zenon att det logiskt sett är omöjligt att gå ut ur ett rum. För först måste man gå halva sträckan till dörren, därefter hälften av den sträcka som återstår, sedan hälften av denna och så vidare i oändlighet. Det blir alltid en liten sträcka kvar. Grekiska lärde tänkte så det knakade, men fickaldrigriktigtbuktmeddethela. 1 Inte bara teologer, även C.F.Gauss (1777-1855) sin tids odiskutabelt största matematiker opponerade sig bestämt mot användning av s.k. aktuell (faktisk) oändlighet. Det som accepterades var potentiell oändlighet oändliga processer, t.ex. gränsvärden: Man kunde tänka sig approximationer av π med allt fler decimaler i all oändlighet, men man fick aldrig anta att man samtidigt kände alla decimalerna i π. (Man kan argumentera för att vi människor inte kan uppfatta någon aktuell oändlighet överhuvudtaget. Med "oändlig rymd" t.ex. menar vi egentligen att vi kan tänka oss förflyttningar längre och längre bort alltså är det frågan om en oändlig process, d.v.s. endast en potentiell oändlighet.) Cantor kan sägas bröt mot den här dogmen och förde in den aktuella oändligheten i matematiken. Olika grader av oändlighet! En annan "chock": Cantor visade att oändligheter i viss väldefinierad mening kunde vara olika stora. I stället för storlek använder man för oändliga mängder termerna mäktighet alt. kardinalitet. Mängderna A och B säges ha samma mäktighet / kardinalitet (är numeriskt ekvivalenta), A = B om vi kan para ihop deras element två och två, så att inga element blir över, d.v.s. om det finns en bijektiv funktion f : A B Om vi kan para ihop elementen i A med var sitt element från B, men ev. några element från B blir "över", d.v.s. om det finns en injektiv, men inte nödvändigtvis surjektiv 2 funktion f : A B, är A.s mäktighet mindre än eller lika med B:s, A B Obs. bara och inte <, eftersom en bijektiv f kan finnas ändå. T.ex. med A = 1 2, 2 2, 3 2,... ª,B= {1, 2, 3,...} f : A B men g : A B f (x) =x g(x) = x injektiv, är bijektiv ej surjektiv så A = B så A B Om det finns injektiva funktioner från A till B, men ingen avdemärsurjektiv,sägerviatt A har strängt mindre mäktighet än B (och B har strängt större mäktighet än A) : A < B 1 Kaianders Sempler, http://www.nyteknik.se/art/26484, 2003-02-19 2 En funktion f : A B kallas surjektiv omm dess värdemängd V f = hela B 7
Uppräkneliga (numrerbara) mängder De naturliga talen är förvisso oändligt många, men känns ändå relativt enkelt "överblickbara", då de bildar en lista 1, 2, 3,... Vilket naturligt tal som helst kan man komma till i ändligt många steg, om man startar i 1:an och "går" i steg från ett tal till nästa. uppräknelig (numrerbar) kallas en mängd, vars element kan ordnas i en ändlig eller oändlig lista. (Man kan räkna upp / numrera elementen.) En uppräknelig oändlig mängd M (de ändliga är inte så intressanta nu) är alltså en, vars element kan paras ihop med de naturliga talen, d.v.s. en för vilken det finns en bijektion f : M N. Överraskande resultat av Cantor: Flera, skenbart mycket större mängder än N, visar sig i själva verket vara uppräkneliga, alltså ha samma mäktighet som N. T.ex. (se här intill) Q är uppräknelig ( Q = N ) De rationella talen är uppräkneliga Figuren nedan visar en metod att ordna alla positiva rationella tal i en lista. Skriv alla bråk p/q, där p och och q positiva heltal, i en oändlig tabell, där radnummer = täljaren och kolonnummer = nämnaren. Starta i 1/1, följ pilarna och anteckna bråken du träffar på vägen i en lista. Hoppa över de bråk, som svarar mot tal som förekommit tidigare på en enklare form. Om nu a 1,a 2,a 3,... är en uppräkning av de positiva rationella talen, så är, så är a 1, a 2, a 3,... en uppräkning av de negativa rationella talen och 0,a 1, a 1,a 2, a 2,a 3, a 3,... är en uppräkning av alla rationella tal. Alternativt kan vi identifiera alla bråk p/q, p och q heltal, med punkterna med heltalskoordinater i ett koord.system och "gå runt" så här: Däremot är R så stor att den inte är uppräknelig R är till mäktigheten strängt större än N R är inte uppräknelig ( R > N ) Inte nog med det: Icke-uppräkneliga mängder kan ha olika mäktighet och det finns oändligt många oändliga mäktigheter! 8
De reella talen är inte uppräkneliga Bevisidén kallas Cantors diagonalförfarande Till varje lista av reella tal, säg r 1 = 13.874329... r 2 = 0.111111... r 3 = 54.712121... r 4 = 0.987654...... kan vi hitta ett reellt tal a, som skiljer sig från r 1 i första decimalen tag t.ex. a =0.6... (6 6= 8) från r 2 i andra decimalen, säg a =0.63... (3 6= 1) från r 3 i tredje decimalen, säg a =0.634... (4 6= 2) från r 4 i fjärde decimalen, säg a =0.6344... (4 6= 6) o.s.v. Genom att välja decimalerna i a så att de skiljer sig med minst 2 från resp. decimal i r 1,r 2,r 3,... kan vi säkerställa att vi inte får lika tal trots olika decimaler som i exemplet med 1.000... och 0.999... Vi har fått ett reellt tal som inte är med på listan. Ingen lista kan innehålla alla reella tal (ingen funktion f : N R kan vara surjektiv). (Läses efter högerspalten) Fråga: Finns det någon mängd X med N < X < R? Kontinuumhypotesen: Nej. Cantor brottades med frågan utan framgång. Gödel visade 1938 att kontinuumhypotesen är oberoende av övriga axiom i mängdläran och kan läggas till dem som ett axiom, utan att riskera motsägelser. Paul Cohen visade 1963 att detsamma gäller kontinuumhypotesens negation. Så kontinuumhypotesens ställning i mängdläran liknar parallellaxiomets i geometrin. En oändlig växande följd av oändligheter Potensmängden P (A) av alla delmängder till en mängd A har strängt större mäktighet än A själv A < P (A) Att para ihop elementen i A med element i P (A) : är enkelt: Varje element a i A tillordnas den delmängd av A som består av a ensam, {a}. Men oavsett hur vi tillordnar varje a A en delmängd M a till A, så går det att hitta en delmängd M till A som inte är lika med M a för något a, d.v.s. element från P (A) måste bli "över". Definiera M så här: För varje element a A, låt a tillhöra M om och endast om a inte tillhör M a Denna M är olik alla M a. Illustration av föreskriften i fallet A = {1, 2, 3, 4}. Antag att elementen i A tillordnas delmängder till A enligt följande 1 {2, 3} = M 1 2 {1, 2, 3, 4} = M 2 3 {3} = M 3 Föreskriften ovan ger oss 4 {1, 2, 3} = M 4 M = {1, 4} och detta är en delmängd som inte finns bland M 1,M 2,M 3,M 4. Alltså finns ingen största mäktighet: Till varje mängd A finns en mängd med ännu större mäktighet. Vi får en oändlig följd av allt mäktigare mängder: N < P (N) < P (P (N)) < P (P (P (N))) <... Man kan visa att P (N) = R 9
Man kan visa: För varje par av mängder A och B gäller åtminstone ett av A B eller B A (Så två mängder är alltid jämförbara till storleken.) (Schroeder-Bernsteins sats) För varje par av mängder A och B ¾ A B = A = B B A D.v.s. om det finns såväl en injektiv funktion f : A B som en injektiv funktion g : B A, så finns även bijektiv funktion h : A B. (Obs. att denna sats inte alls är så självklar som man kan tro, om man bara tittar på -beteckningarna!) Så Cantors mäktigheter uppför sig som vanliga tal. Cantor kallade de oändliga mängdernas mäktigheter för (transfinita) kardinaltal, och betecknade dem med ℵ, alef, den första bokstaven i det hebreiska alfabetet. ℵ 0 = N ℵ 1 = P (N) = R ℵ 2 = P (P (N))... Det gick att räkna med kardinaltalen (med lämpliga definitioner, det vill säga) Räknereglerna kunde vara något enahanda ℵ 0 +1 = ℵ 0 Visa att 34. Unionen av två uppräkneliga mängder också är uppräknelig. 35. Unionen av uppräkneligt många uppräkneliga mängder också är uppräknelig. 36. Produktmängden A B av två uppräkneliga mängder A och B är också uppräknelig. 37. Produktmängden A 1 A 2... A n (d.v.s. mängden av alla n-tiplar (a 1,a 2,..., a n ) där a i A i för i =1, 2,..., n) av n st. uppräkneliga mängder är också uppräknelig. 38. Mängden av alla ändliga delmängder till N är också uppräknelig. 39. Algebraiska tal kallas de komplexa tal som är nollställen till polynom med heltalskoefficienter. (Enekvationavtypp(x) =0, där p är ett polynom med heltalskoefficienter kallas för algebraisk ekvation.) Varje rationellt tal p/q är algebraiskt, då det löser den algebraiska ekv. qx p =0. Standardexemplet på irrationellt tal 2 är också algebraiskt, eftersom det löser den algebraiska ekv. x 2 2=0. Detsamma gäller många andra irrationella rötter och rotuttryck: 3, 2+ 3, 3 2, så mängden av algebraiska tal innehåller många irrationella tal utöver alla rationella. Ändå är den uppräknelig visa detta! 40. Transcendenta tal är de komplexa tal som inte är algebraiska. (Talen e och π kan visas vara transcendenta.) Är mängden av transcendenta tal uppräknelig? 41. Visa att en diskret mängd av reella tal, alltså en M R med egenskapen att varje a M har en omgivning {x : x a <εför något ε>0}, som inte innehåller ytterligare punkter från M, måste vara uppräknelig. ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 men vid exponentiering hände det något: ℵ ℵ 0 0 = ℵ 1 Mer generellt visade det sig att 2 ℵn = ℵ n+1 10
Det interstellära hotellet (Hilberts hotell) Det något överraskande förhållandet att en oändlig mängd i viss mening är lika stor som en delmängd av sig själv spelar en avgörande roll i en novell av den polske science-fiction författaren Stanislaw Lem 3 : De interstellära flyktingarna tröttnade på att behöva flytta mellan olika galaxer och byggde upp ett stort hotell. (Byggmaterialet fick de genom att plocka ner ett par obebodda galaxer.) Hotellet hade många finesser: varmt och kallt plasma i badrummen, man kunde bli sönderdelad i atomer under natten portvakten satte ihop en igen på morgonen, men det viktigaste av allt: hotellet hade oändligt många rum! Så en flykting skulle aldrig behöva bli avvisad igen! Ändå: En dag var zoologer från alla galaxer samlade till en kongress. De var oändligt många och alla rummen 1,2,3,... var redan upptagna, när en ny gäst anlände. Var placera honom? (Det är inte alltid så lätt att dela rum tänk att behöva göra det med någon som kräver en rumsstemperatur på 860!) Lösning: Rum 1:s gäst flyttade till rum 2, rum 2:s gäst till rum 3, etc. Då var det fritt fram för den nye gästen att installera sig i rum 1! Nästa dag kom det inte bara en, utan hela 999 999 nya gäster - vad göra med dem? Inga problem! (Du kan lista ut själv hur man gjorde.) Den tredje dagen anlände deltagarna till Universums tuggummimässa. De var inte bara många de var oändligt många! Hur få plats med dem? Gammal gäst från rum k flyttade till rum 2k. Så kunde de nya gästerna besätta rum 1, 3, 5, 7,... Den fjärde dagen avslutades zoologkongressen och alla zoologer åkte hem. Hotelldirektören började oroa sig: Hälften av rummen stod tomma. Hur skulle detta sluta? Hur skulle man undvika konkurs? Det fanns en enkel lösning även på det problemet, som du själv inser. Det verkligt stora bekymret kom något senare: Flyktingarna hade inte nöjt sig med ett oändligt hotell de hade byggt oändligt många sådana! Till ändamålet hade de demonterat så många galaxer att jämvikten i Universum hotade att rubbas, så de blev tillsagda att stänga alla hotell utom ett och lägga byggmaterialet tillbaka på sin gamla plats. Så nu skulle vår hotelldirektör hitta plats för oändligt många gäster från vart och ett av oändligt många hotell, samtidigt som hans eget hotell redan var fyllt! Alla anställda på hotellet slutade jobba för att fundera hur man skulle bära sig åt. Förslag 1: Låt rum 1:s gäst ligga kvar, flytta nr 2 till 1001, nr 3 till 2001, etc. Inkvartera gästerna från hotell 2 i rum 2, 1002, 2002,..., från hotell 3 i 3, 1003, 2003,... Går inte! Förslag 2: Första hotellets gäster i rum 2, 4, 8, 16,... Andra hotellets gäster i 3, 9, 27, 81,... Men det tredje hotellets gäster rum 4 är redan upptaget?! Använd primtal: tredje hotellets gäster till 5, 25, 125,... ; fjärde - till 7, 49, 343,...; etc. En lösning visserligen, men alltför många rum förblir tomma! Förslag 3: Placera gäst m från hotell n irum2 m 3 n. Fortfarande många outnyttjade rum! Har du ett mera ekonomiskt förslag? Idén att exemplifiera denna "oändlighetens paradox" m.h.a. hotell med oändligt många rum påstås härstamma från en av sin tids främsta matematiker : 3 (Återberättat av Naum Vilenkin i Stories about Sets, Academic Press, 1968) Lems novell lär heta The Extraordinary Hotel, or the Thousand and First Journey of Ion the Quiet och finnas bl.a. i In Imaginary Numbers: An Anthology of Marvelous Mathematical Stories, Diversions, Poems, and Musings. David Hilbert (1862-1943) 11
12
Mängder: lösningar 1. Anm.1. Finns element utan mängder? Är det inte så att termen element får innebörd först i samband med mängder? Anm.2. Definiera är knappast ett bra ordval i samband med mängder. En definition är en formell beskrivning som återför begreppet på enklare och redan kända begrepp. Skulle samling vara ett enklare begrepp än mängd? Kan den, som inte redan har någon uppfattning om begreppet mängd, egentligen lära sig något? Snarare är det här ett tillfälle att skriva något om axiom och s.k. grundbegrepp som inte definieras annat än indirekt via axiomen. Liksom i geometrin, när man ska förklara grundbegrepp som punkt, linje, plan, får man nöja sig med att informella beskrivningar (och inte låtsas att Vi använder ordet mängd (som en neutral beteckning) för alla slags samlingar av tal eller objekt överhuvudtaget. En skolklass utgör en mängd av människor, ett fotbollslag, publiken på en konsert, lärarkåren på en skola likaså. Vi säger en mängd av sedlar i stället för en sedelbunt, en mängd av får i stället för en fårflock, en mängd av fiskar i stället för ett fiskstim, etc. 2. n 2 : n N, 1 n 100 ª Läroböckerna har sällan exempel, där det framför sådana att -tecknet står inte bara en variabel utan ett helt uttryck, men det är fullt acceptabelt. 3. a) {alla kvadrater} b) {alla heltal som är delbara med 6} 4. A är en delmängd av B 5. Med F = {fotbollsspelare}, H = {handbollsspelare} har vi F = 7 F H H = 9 F H så handbollsspelarna är fler. 6. Ja. Följer av att A B A 7. Ja. Inses med Venndiagram. 18. a) ja, b) ja tillhör ej unionen av ett antal mängder tillhör ej någon av mängderna tillhör komplementet till var och en av mängderna tillhör komplementens snitt 19. Se till att inte missuppfatta begreppet potensmängd! Exempel: A = {a, b, c} P (A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} B = {b, c, d} P (B) = {, {b}, {c}, {d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}} A B = {b, c} P (A B) = {, {b}, {c}, {b, c}} Ett sätt att visa att två mängder, M och N, är lika är att separat visa två inklusioner: 1) Varje element i M är också element i N, d.v.s. M N 2) Varje element i N är också element i M, d.v.s. N M Låt oss se hur långt vi kommer den vägen: 1) Är P (A B) P (A) P (B)? Låt X vara ett element i P (A B). Vad är X för typ av objekt? DetärendelmängdavA B, d.v.s. det är en mängd av objekt som finns i såväl A som B. Om nu alla element i X är element i A, så kan X betraktas som en delmängd av A, d.v.s. X P (A). På samma sätt, att alla element i X är med i B betyder att X P (B). Men att X är element i såväl P (A) som P (B) innebär att X P (A) P (B). Därmed är det klart att P (A B) P (A) P (B). 2) Är P (A) P (B) P (A B)? Låt X vara ett element i P (A) P (B). Vad är X för typ av objekt? Definitionen av snitt ger att X P (A) och X P (B), d.v.s. att X är en delmängd av A såväl som en delmängd av B. Men detta betyder att X är en mängd där alla elementen är med i såväl A som B. Alltså kan X betraktas som en delmängd av A B, d.v.s. X P (A B). Därmed är det klart att P (A) P (B) P (A B). Både 1) och 2) gäller, alltså är likheten sann. 1
20. Ja, inses med Venndiagram alt. med de distributiva lagarna: (A B) (B C) = (A B) (A C) (B B) (B C) = = (A B) (A C) B (B C) = = (A B) (A C) B = = (A C) (A B) B = = (A C) B Hela vänsterledet är alltså och här är medan = ((A C) B) (C A) = [(A C) (C A)] [B (C A)] så det hela blir (C A) (A C) så (A C) (C A) = (A C) B (C A) =(B C) (B A) =(A C) (B C) (B A) vilket är identiskt med högerledet. 21. Gäller endast ifall A = B. 22. För det första är det onödigt med parenteser kring A B : (A B) C = A (B C) så det kan inte uppstå något missförstånd, om vi utelämnar parenteserna. Den ena av de Morgans lagar säger M N = M N Tillämpar vi detta på M = A B C och N = B, får vi det hela till A B C B Men komplementtagning två gånger efter varandra ger tillbaka den ursprungliga mängden, M = M, så vi får (A B C) B Alla element i A B C tillhör B, så den sista snitttagningen med B ger inget nytt. Svar: A B C 23. Obs. att ii) omfattar A 1,A 2 F = A 1 A 2 F som ett specialfall: Låt A 3 = A 4 =... =. A B = A B AÂB = A B A4B =(AÂB) (BÂA) 24. a) b) Hela grundmängden U. 25. A på båda. 26. resp. 27. a) b) c) d) e) f) g) Enl. föregående: 28. a) nej b) = c) = d) = e) X =(BÂA) (AÂB) =A4B A4B = C4D m B = A4 (C4D) = = (A4C) 4D m (A4C) = B4D 29. a) 1 χ A b) χ A χ B =min(χ A,χ B ) c) max (χ A,χ B )=χ A + χ B χ A χ B 30. Logik och mängdlära, analogitabell : Mängdalgebra Propositionsalgebra C, komplementärmängd negation union disjunktion snitt konjunktion delmängd implikation universalmängd sann den tomma mängden falsk 2
31. Med S = {mina uttalade åsikter} M = {mina genomtänkta åsikter } a) S M, b) M S 32. Mängden består av de element som är med i antingen A, meninteib, samt de som är med i B, men inte i A. (AÂB) (BÂA) = (A B) Â (A B) alt. (AÂB) (BÂA) = (A B) c (A B) där c:et står för komplement. 33. Att ½ A C = B C A = B = A C = B C syns direkt: när A = B, så står det samma sak i båda leden i de två likheterna till höger. Återstår att visa att ½ A C = B C A C = B C = A = B Likheten A C = B C säger oss att för objekt som inte tillhör C gäller att de antingen är med i både A och B, eller inte i någon av dessa. Likheten A C = B C säger att för objekt som tillhör C gäller att de antingen är med i både A och B, eller inte i någon av dessa. Men för varje objekt gäller att det antingen finns i C eller utanför C, så för alla objekt gäller: antingen är de med i både A och B, eller inte i någon av dessa, med andra ord: A = B. Alternativ: Sätt upp en mängdtillhörighetstabell (egentligen skall kolumnrubrikerna vara x A, x B, etc.): A B C A C B C A C B C 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 0 3 1 0 1 1 1 1 0 4 1 0 0 1 0 0 0 5 0 1 1 1 1 0 1 6 0 1 0 0 1 0 0 7 0 0 1 1 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 Att A C = B C betyder att det inte finns några objekt för vilka det är rad 4 eller rad 6 som gäller (de rader där A C 6= B C). På samma sätt: att A C = B C innebär att det inte finns några objekt för vilka rader 3 eller 5 gäller. Alltså: vi har endast objekt av den typ som rader 1,2,7 och 8 representerar. Men alla de representerar objekt som antingen finns i såväl A som B eller inte i någon av dessa. Därför är A = B. Obs. Det inte räcker med att en av likheterna är sann: För t.ex. A = {1},B = {1, 2},C = {1, 2, 3} gällera C = B C, men A 6= B. 3
34. Om a 1,a 2,a 3,... är en uppräkning av elementen i A, och b 1,b 2,b 3,... är en uppräkning av elementen i B, så ger a 1,b 1,a 2,b 2,a 3,b 3,... efter strykning av ev. gemensamma element en uppräkning av A B. 35. Ställ upp alla element i en oändlig tabell: på rad 1 elementen från mängd A 1, på rad 2 elementen från mängd 2, etc., så har vi samma situation som i beviset för att Q är uppräknelig. 41. För n =1, 2, 3,... låt M n = a M : a <noch ε a > nª 1, där ε a är det ε som vi kan tillordna a. Obs. att alla M n måste vara ändliga: Dela in intervallet n x n i n 2 st. 1/n-långa delintervall inget av dessa kan innehålla mer än ett a M. Gör nu en lista med först alla punkter i M 1, sedan alla punkter i M 2, o.s.v. 36. Låt a 1,a 2,... och b 1,b 2,.. vara uppräkningar av A resp. B A B är mängden av alla par (a j,b k ),j,k=1, 2, 3,... Kan placeras i en oändlig tabell som i beviset för att Q är uppräknelig... 37. Låt a 1,a 2,a 3,... b 1,b 2,..,... z 1,z 2,... vara uppräkningar av A 1,A 2,... A n resp. Successivt räkna upp alla (a k1,b k2,...,z kn ) för vilka k 1 + k 2 +... + k n = n k 1 + k 2 +... + k n = n +1 k 1 + k 2 +... + k n = n +2... Det är inget problem, eftersom för varje N är antalet n-tiplar med k 1 + k 2 +... + k n = N ändligt. Sätt alla dessa ändliga listor ihop till en enda lista, så kommer alla n-tiplar med. 38. Lista successivt alla delmängder där 1 är största element alla delmängder där 2 är största element alla delmängder där 3 är största element... 39. För n =1, 2, 3,... lista successivt nollställen till polynom av grad n och med koefficienter med absolutbelopp n. För varje fixt n är antalet polynom som uppfyller inskränkningarna ändligt och varje polynom har ändligt många nollställen, så vi får ändliga listor. Dessa sätter vi sedan ihop. 40. Nej, för annars skulle C = {algebraiska tal} {transcendenta tal} vara uppräknelig enligt övn.34 ovan, men C R > N 4