DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA

Transkript

1 DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA Grubblande över evigheten leder lätt till mental ohälsa! Det får man lära sig i en ovanligt läsvärd bok om de matematiska oändligheterna Det berättas att några judiska rabbiner i Spanien på 1200-talet fann en meditationsme tod som skulle låta dem se Gud i all hans oändlighet. Tyvärr gick det inte så bra när de prövade. En blev avfälling, en dog på fläcken och en förlorade förståndet. Fast egentligen startade nog alltsammans med den grekiske filosofen Zenon från Eleia och hans berömda paradoxer. I en av dem visade Zenon att det logiskt sett är omöjligt att gå ut ur ett rum. För först måste man gå halva sträckan till dörren, därefter hälften av den sträcka som återstår, sedan hälften av denna och så vidare i oändlighet. Det blir alltid en liten sträcka kvar. Grekiska lärde tänkte så det knakade, men kunde aldrig riktigt få bukt med det hela. Georg Cantor ( ) utvecklade mängdläran och var den förste att visa att det fanns oändligt många typer av oändliga mängder. Den dansk-tysk-ryske matematikern Georg Cantor utvecklade i slutet av 1800-talet matematikens logiska grund, mängdläran. När han funderade över oändliga mängder fann han snart en rad nya paradoxer. Man kan ju tycka att det borde finnas dubbelt så många heltal som det finns exempelvis

2 udda tal, för så är det ju inom ett givet intervall. Men inte när det gäller oändliga mängder. Cantor fann att mängden av alla heltal är precis lika stor som mängden av alla udda eller jämna tal. Dessutom finns lika många bråk som det finns heltal. Bråk är också en uppräkningsbar oändlig mängd. Men hur är det med punkterna på en kontinuerlig linje? De visar sig märkligt nog vara oändligt många fler. På linjen finns, förutom rationella och aritmetiska tal, också så kallade transcendenta irrationella tal, sådana som p och e. Cantor visade att mängden reella tal inte är uppräkningsbar. (Cantors bevis finns på längst ner på sidan) Cantors sätt att visa att den oändliga m'ngden av bråk är uppräkningsbar.

3 Cantor kallade sina oändliga mängder transfinita kardinaltal, och betecknade dem med, Alef, den första bokstaven i det hebreiska alfabetet. Den enklaste, om man så vill "minsta", oändligheten kallade han Alef noll. Det är den uppräkningsbara oändliga mängden, exempelvis alla heltal. Mängden punkter på en linje, och märkligt nog även punkterna på ett plan och i en kropp, kallade han Alef 1. Fanns det större oändligheter? Den hebreiska bokstaven Alef. Jodå. Cantor kunde visa att antalet funktioner på en linje var ännu oändligare än punkterna på linjen, och han kallade den mängden Alef 2. Cantor fann att det gick att räkna med kardinaltalen precis som med vanliga tal, men räknereglerna blev något enahanda: Alef 0+1=Alef 0. Alef 0+Alef 0=alef 0. Alef 0 Alef 0=Alef 0. Men vid exponering hände det något: Alef 0 upphöjt till Alef 0 =Alef 1. Mer generellt visade det sig att 2 upphöjt till Alef n=alef (n+1). Det innebar att det fanns oändligt många oändligheter, den ena mäktigare än den andra. Men var det verkligen säkert att det inte fanns någon oändlighet mellan den uppräkningsbara och punkterna på linjen? Cantor försökte bevisa den så kallade kontinuumhypotesen. Och det var nu han gick in i väggen. Cantor hade angripits hårt av en matematik er vid namn Kronecker. "Gud skapade heltalen. Allt annat är människans verk", sa Kronecker, och menade att Cantors idéer var rena tramset. Ju mer Cantor grubblade över kontinuiteten desto mer paranoid och förvirrad blev han. Han togs med allt tätare mellanrum in på en nervklinik i sin hemstad Halle, där han under sina sjukdomsperioder ägnade sig åt att försöka bevisa att det i själva verket var Francis Bacon som hade skrivit Shakespeares dramer.

4 1918 avled Cantor på kliniken utan att ha fått bukt med oändlighetsproblemen. Hans fallna mantel togs upp av en rad andra framstående matematiker. Först av Ernst Zermelo, en man som just formulerat ett grundläggande axiomsystem inom matematiken. Han blev galen. Sedan kom österrikaren Kurt Gödel. Gödel lyckades visserligen lösa kontinuumhypotesen, men blev fullständigt från vettet på kuppen. Så kan det gå. Om detta och mycket annat kan man läsa i den lysande boken "The mystery of the Aleph"av den Kurt Gödel, Blev också tokig. amerikanske matematikern och författaren Amir Aczel (Washington Square Press, 250 sidor, pris 18 euro.) Text: Kaianders Sempler Beviset för att den oändliga mängden av rella tal inte är uppräknelig: Låt oss tänka oss att vi skriver ner alla reella tal mellan 0 och 1. Det kan vi göra om vi skriver dem i decimal form med oändligt många decimaler. Då får vi en lista som ser ut ungefär som nedan (även om talen här inte står i någon speciell ordning): 0, , , , ,

5 Låt oss ur denna oändligt långa lista av tal skapa ett nytt tal av diagonalen av siffrorna, den första decimalen ur det första talet i listan, den andra decimalen ur det andra talet, den tredje ur det tredje och så vidare. Vi får då ett talet 0, Cantor ändrade sedan detta tal på följande fiffiga sätt: han lade till 1 till varje decimal, och fick nu talet 0, Varför nu detta? Jo, för därigenom fick han fram ett nytt unikt tal som inte tidigare funnits med i den oändligt långa listan. Åtminstone en decimal måste nämligen vara annorlunda än i den ursprungliga listan, eftersom ett var lagt till just den decimalen. Eftersom det nya talet skiljer sig från alla tal i listan är det omöjligt att lista alla tal mellan 0 och 1. Det innebär att den oändliga mängden av alla rella tal inte är uppräkningsbar, och att mängden reella tal är större (mäktigare) än mängden rationella tal. Plastsedlar räcker längre [030328, 16:30] Nummerupplysningen om Seti@home [030326, 00:00] För hundra år sedan [030326, 00:00] Kemisten som hatade krig [030326, 00:00] Nummerupplysningen - finstrukturkonstanten [030319, 00:00] Patent [030319, 00:00] Elak kurfurste topprider trafikanter [030319, 00:00] Astronaut med båda fötterna på jorden [030319, 00:00] Al Jazeera - arabvärldens CNN [030312, 00:00] Nummerupplysningen - prisvärt från årets bokrea [030312, 00:00] För flera tusen år sedan: [030312, 00:00] Konsten att kommunicera med utomjordingar [030305, 00:00] Nummerupplysningen: Skapelsen och ragnarök daterade [030305, 00:00] Patent: Den ultimata sparken [030305, 00:00] Nummerupplysningen [030226, 00:00] Inget för gatan än [030226, 00:00] Seglade kineserna runt jorden redan år 1421? [030226, 00:00] För hundra år sedan: Reklam i elefantväg [030226, 00:00] De farliga oändligheterna [030219, 00:00] Sugrör med stril [030219, 00:00]