Mängdteori och aritmetik för MM4000. Torbjörn Tambour 17 mars 2015

Mängdteori och aritmetik för MM4000 Torbjörn Tambour 17 mars 2015 1

Innehåll 1 Mängdteori 3 1.1 Grundbegrepp............................ 4 1.2 Operationer på mängder....................... 5 1.3 Russells paradox........................... 7 1.4 Relationer och funktioner...................... 7 2 Om räknelagarna 9 3 Rationella tal 13 3.1 Varför räknar man med bråk som man gör?............ 13 3.2 Vad är ett rationellt tal?....................... 17 4 De negativa heltalen 20 5 De reella talen 21 6 De komplexa talen 25 6.1 Konstruktion av de komplexa talen................. 25 6.2 Polär form............................... 27 6.3 Den komplexa exponentialfunktionen................ 30 6.4 Blandade övningar.......................... 30 7 Vad är ett tal? 31 7.1 De naturliga talen.......................... 32 8 Talteori 33 8.1 Delbarhet och divisionsalgoritmen................. 33 8.2 Största gemensam delare....................... 33 8.3 Minsta gemensam multipel..................... 35 8.4 Aritmetikens fundamentalsats.................... 35 8.5 Modulär aritmetik.......................... 37 8.6 Fermats lilla sats........................... 40 9 Decimalutveckling 41 9.1 Positionssystemet........................... 42 9.2 Utveckling av rationella tal..................... 44 9.3 Decimalutveckling av reella tal................... 48 10 Uppräknelighet 49 2

Det här kompendiet är en inledning till mängdteori och aritmetik för kursen MM4000. Mängdteorin är huvudsakligen till för att ge en begreppsapparat, men på slutet ingår ett litet avsnitt om uppräkneligthet. Aritmetiken spänner från en diskussion om räknelagarna via ett avsnitt om vad olika typer av tal egentligen är, till en ganska grundlig genomgång av decimalutvecklingar av reella tal. I texten finns det här och var övningar insprängda. Det är viktigt att läsaren gör dem eftersom resultaten ibland används senare. Texten är inte korrekturläst, utan det kommer jag att göra under kursens gång. Kommentarer emottas gärna! 1 Mängdteori Teorin för mängder hör till matematikens grundvalar och är fundamental för all modern matematik. Det skulle knappast ens en gång vara möjligt att formulera matematiken utan mängdbegreppet. Mängdteorin grundades av den tyske matematikern Georg Cantor (1845-1918) i en serie tidskriftsartiklar med början 1874. Vissa matematiker var mycket kritiska till mängdteorin, vilket Cantor tog mycket illa vid sig av, men en annan tysk matematiker, David Hilbert 1 (1862-1943), ansåg att Cantor med mängdteorin hade skapat ett paradis för matematikerna ur vilket de aldrig skulle bli utkörda. Så småningom upptäcktes märkliga paradoxer i mängdteorin, men de ledde inte till att den övergavs (eller att matematikerna tvangs att lämna paradiset), utan snarare till att forskningen om matematikens grundvalar blev intensivare. Genom insatser av bland andra Ernst Zermelo (1871-1953) och Abraham Fraenkel (1891-1965) fick mängdteorin en fastare grund och Zermelo-Fraenkels axiom (ofta kallade rätt och slätt ZF) anses av många kunna utgöra en grund för hela matematiken. Under 1960-talet gjordes ett försök i flera länder att använda mängder i den grundläggande matematikundervisningen i skolan, vilket gick under namnet mängdlära. Försöket föll inte särskilt väl ut, men som ofta kastades därefter tyvärr barnet ut med badvattnet. Mängdläran och dess begrepp har definitivt en plats i skolmatematiken, men det är säkert ingen bra idé att grunda undervisningen på den. 2 En av Cantors viktigaste insatser inom mängdteorin var hans forskning om storleken av oändliga mängder. Här borde man sätta citationstecken kring ordet storlek, för det är förstås inte alls klart vad som ska menas med en oändlig mängds storlek. Cantor upptäckte att det i en viss mening finns olika stora oändligheter, men för att förstå vad detta betyder måste vi ha lite bakgrund. I det här avsnittet ska vi ge en kortfattad inledning till mängdteorin och dess grundläggande begrepp och sist i kompendiet ska vi nosa lite på Cantors teori för oändliga mängder.. 1 Hilbert är en av alla tiders absolut främsta matematiker. 2 De sista raderna i det här stycket är mina egna åsikter. 3

1.1 Grundbegrepp Med mängd menar vi helt enkelt en samling objekt. 3 Objekten säges vara element i mängden. Att x är ett element i mängden M skrivs och x M x / M betyder förstås att x inte är ett element i M. Två mängder M och N är lika om och endast om de har samma element. Att N är en delmängd av M betyder att varje element i N är ett element i M och detta skrivs N M. Lägg märke till att N kan vara lika med M. För att markera att N är en delmängd av M, men inte lika med hela M, så skriver vi N M. Den tomma mängden är mängden som inte har några element. Det kan verka lite märkligt att betrakta något som inte har några element som en mängd, eftersom en mängd är en samling element, men det är mycket bekvämt att göra det. Den tomma mängden betecknas och är en delmängd av alla mängder. Om man har beteckningar eller namn på elementen i en mängd M, så kan man skriva M med hjälp av mängdklamrar {}. Mängden av talen 1, 2 och 3 skrivs således M = {1, 2, 3}. Vi har exempelvis men 2 {1, 2, 3}, {1} {1, 2, 3} och {1, 3} {1, 2, 3}, {1, 3} / {1, 2, 3}. Elementen i en mängd kan själva vara mängder, till exempel {a, {b, c}}. Lägg märke till att b / {a, {b, c}} men att {b, c} {a, {b, c}}. Även om man inte kan räkna upp elementen i en mängd, så kan det hända att man kan beskriva dem på något sätt. Då kan man skriva mängden med hjälp av klamrar och de så kallade mängdbyggaren. Mängden av alla jämna naturliga tal kan skrivas {x x är ett jämnt naturligt tal} 3 Mängd heter på engelska set, på franska ensemble och på tyska Menge. 4

eller {x N x är jämnt} eftersom N är en vanlig beteckning för mängden av naturliga tal, det vill säga N = {0, 1, 2, 3,...} Istället för det lodräta strecket används ibland ett semikolon. Andra vanliga mängder i matematiken är mängden av heltal Z, mängden av rationella tal Q, mängden av reella tal R samt mängden av komplexa tal C. Övning: Skriv mängden av alla rationella tal mellan 1000 och 1000 med hjälp av klamrar och mängdbyggaren. Övning: Beskriv mängden {x R x3 N } i ord. När M och N är två mängder, så M N mängden av alla par (x, y) där x M och y N. Med andra ord har vi M N = {(x, y) x M, y N}. Mängden M N kallas den cartesiska produkten av M och N. Övning: Vad är R R och R R R? Övning: En vanlig beteckning för mängden av reella tal x sådana att a x b är [a, b]. Rita en figur som illustrerar mängden [a, b] [c, d] och beskriv den i ord. Övning: Skriv ner alla delmängder till {a, b, c}. Hur många delmängder finns det? Hur många delmängder har en mängd med n element? 1.2 Operationer på mängder Unionen av två mängder är och snittet eller skärningen är M N = {x x M eller x N} M N = {x x M och x N}. Snittet är alltså en delmängd av nåde M och N, vilka i sin tur är delmängder av unionen. Om M N =, så säger man att M och N är disjunkta. Mängden M \ N = {x x M, x / N} kallas mängdskillnaden mellan M och N. 5

Övning: Är någon av likheterna A (B C) = (A B) (A C) och sann? Övning: Visa att A (B C) = (A B) (A C) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) och att mängderna till höger är disjunkta. Det händer ganska ofta att de mängder man arbetar med i någon teori eller något problem är delmängder till någon större mängd, en grundmängd G. Komplementet M c till M G definieras som Övning: Bevisa de Morgans 4 lagar M c = {x G x / M}. (M N) c = M c N c, (M N) c = M c N c. Övning: En ändlig mängd är förstås en mängd med ändligt många element. Antalet element i en ändlig mängd M betecknar vi med M. Antag att M och N är ändliga. Bevisa att Om även P är ändlig, så visa att M N = M + N M N. (1) M N P = M + N + P M N M P N P + M N P. (2) Kan du generalisera till fler än tre mängder? (En annan vanlig beteckning för antalet element i M är #M.) Övning: Använd övningen ovan för att beräkna antalet heltal x sådana att 1 x 100 och som inte är delbara med vare sig 2 eller 5. Beräkna också antalet heltal x sådana att 1 x 1001 och som inte är delbara med vare sig 7, 11 eller 13. 4 Augustus de Morgan, 1806-1871, engelsk logiker och matematiker. 6

1.3 Russells paradox Den kritik som mängdteorin utsattes för i början av sin existens berodde på att logiker och matematiker upptäckte ett antal märkliga paradoxer 5 som teorin gav upphov till. En av de mest kända paradoxerna upptäcktes av de engelske filosofen, logikern, matematikern, samhälls- och religionskritikern med mera Bertrand Russell (1872-1970, Nobelpristagare i litteratur 1950). I naiv mängdteori, som vi har ägnat oss åt ovan, verkar bgreppet mängd vara oproblematiskt och det finns inga uppenbara skäl till att man inte kan bilda mängder hur som helst. Russell visade att intuitionen här går vilse. Det är inget som hindrar att elementen i en mängd själva är mängder. Vi såg ovan exemplet M = {a, {b, c}} och ett annat exempel är mängden av alla linjer i planet en linje är ju en mängd av punkter. Det borde därför inte vara något problem att bilda mängden av alla mängder. Visserligen är den monstruöst stor, men intuitivt kan vi förstå vad den är. Om vi betecknar den med Ω (den grekiska bokstaven stort omega), så har den dock den märkliga egenskapen att vara ett element i sig själv, Ω Ω. Ty Ω består ju av alla mängder och är själv en mängd! Kanske känns det här lite egendomligt, men visst(?) kan vi acceptera det. Tack och lov är de flesta mängder vi arbetar med inte element i sig själva. Exempelvis är M några rader ovan inte ett element i sig själv och mängden av heltal Z är inte ett heltal och således inte ett element i sig själv. Låt oss nu bilda mängden av alla mängder som inte är element i sig själva och beteckna den med Ω 0. Då har vi till exempel M Ω 0 och Z Ω 0, men Ω / Ω 0. Nu kommer den obehagliga frågan: Är Ω 0 ett element i sig själv, alltså Ω 0 Ω 0? Nej, det kan den förstås inte vara eftersom Ω 0 består av alla mängder som inte är element i sig själva. Tydligen gäller Ω 0 / Ω 0, vilket visar att den har den egenskap som karaktäriserar elementen i Ω 0, nämligen att vara element i sig själva! Alltså är Ω 0 Ω 0 vi har visat att Ω 0 både är och är inte ett element i sig själv paradoxen är ett faktum. När Russell upptäckte paradoxen 1901 var mängdteorin så pass etablerad att matematikerna och logikerna inte ville överge den (de ville med andra ord inte bli utkörda ur Cantors paradis), utan istället inleddes ett arbete med att formulera mängdteorin på ett sådant sätt att Russells och andra paradoxer inte skulle uppstå. Zermelo-Fraenkels axiomsystem är ett av resultaten av det här arbetet och så vitt man vet ger det inte upphov till några nya paradoxer. Bertrand Russell gav en något mer lättillgänglig version av sin paradox, den så kallade barberarparadoxen: I en stad finns det en enda barberare. Han rakar alla som inte rakar sig själva. Rakar han sig själv eller inte? 5 En paradox är ett påstående som har härletts ur påståenden som verkar riktiga och rimliga, men som självt tycks innebära en motsägelse eller i alla fall går emot intuitionen. I filosofin och matematiken har paradoxer ofta visat på svagheter i definitioner och resonemang. 7

1.4 Relationer och funktioner Med hjälp av mängdbegreppet kan man ge en strikt definition av funktionsbegreppet. Låt M och N vara två mängder. En vanligt naiv definition av vad som menas med en funktion från M till N är att det är en regel som till varje element i M ordnar exakt ett element i N. Detta räcker som definition i många fall, men ska man vara petig, så är regel och ordnar inte matematiska begrepp som är definierade tidigare. Med en relation från M till N menar vi en delmängd av M N. Låt som exempel M = N vara de positiva heltalen. En relation från M till N är då och en annan är {(a, b) M M a delar b} {(a, b) M M a b}. Om M och N är mängden av alla människor, så är en relation från M till M. Övning: Hitta på fler relationer själv. {(a, b) M M a är syskon till b} Låt R vara en relation från M till N, det vill säga R M N. Om (x, y 1 ), (x, y 2 ) R y 1 = y 2 så säger man att R är en funktion från M till N. Stanna upp här och fundera igenom vad detta betyder och jämför med din intuitiva bild av vad en funktion är. Om relationen R är en funktion, så är alltså y i (x, y) R entydigt bestämt av x. Till varje x M finns högst ett y N sådant att (x, y) R. Övning: Är någon av relationerna ovan en funktion? Varför eller varför inte? Det är inget som hindrar att man använder bokstaven R för funktioner, men ofta skriver man f istället. Att f är en funktion från M till N skrivs f : M N men kom ihåg att detta betyder att f är en delmängd av M N med en viss egenskap. Den delmängd av M som består av de x för vilka det finns något y N sådant att (x, y) f kallas definitionsmängden till f. Den delmängd av N som består av de y för vilka (x, y) f för något x M kallas värdemängden till f. Kom ihåg att för x M finns det högst ett y N sådant att (x, y) f. Vi ska använda beteckningarna D f och V f för definitions- respektive värdemängden till f. Om (x, y) f, så skriver man oftast y = f(x). Som ett enkelt exempel låter vi M och N vara de reella talen R och sätter f = { (x, x 2 ) } R R. 8

Annorlunda uttryckt är f(x) = x 2. Definitionsmängden är hela R, medan värdemängden består av de reella tal som är 0. Låt å andra sidan g = { (x, x) } R R, alltså g(x) = x. Då är både definitions- och värdemängden de icke-negativa reella talen. När man i praktiken (i matematiken) arbetar med funktioner, så underförstår man ofta med skrivsättet f : M N att f är definierad på hela M, men det är bäst att kontrollera detta varje gång som man börjar läsa en ny matematikbok. Övning: Bestäm definitions- och värdemängd till f(x) = 1 x + 1, f(x) = sin x, f(x) = tan x och f(x) = 2x x2. Om f : M N och V f = N, så säger man att f är surjektiv. Det innebär att det för varje y N finns minst ett x M sådant att f(x) = y. Om det gäller att f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 så säger man att f är injektiv. Ett annat sätt att uttrycka det är att f avbildar olika element på olika element, det vill säga x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Om f är både injektiv och surjektiv, så säger man att f är bijektiv. 2 Om räknelagarna Med räknelagar menar vi vanligen de kommutativa, associativa och distributiva lagarna, det vill säga de samband som addition och multiplikation uppfyller. Man kan ha många synpunkter på att de ofta kallas lagar, men det ska vi inte fördjupa oss i här. Istället ska vi visa att en del viktiga egenskaper som kan vara svåra att förklara hos de aritmetiska operationerna följer ganska enkelt ur de grundläggande sambanden. Ett exempel är regeln minus gånger minus ger plus. För att vi inte ska frestas att dra oberättigade och förhastade slutsatser, så ska vi arbeta i en abstrakt situation och tänker oss därför att vi har en mängd M på vilken det finns två operationer kallade addition och multiplikation och som betecknas a + b respektive a b. Observera att M inte behöver bestå av tal och att operationerna inte behöver ha något alls att göra med de vanliga aritmetiska operationerna på talen. Vi antar att operationerna uppfyller följande samband: 9

För alla element a, b och c i M gäller (a + b) + c = a + (b + c) (3) a + b = b + a (4) (a b) c = a (b c) (5) a (b + c) = a b + a c (6) (b + c) a = b a + c a (7) Lägg märke till att vi inte antar att multiplikation är kommutativ och att vi därför behöver två distributiva lagar. 6 Vi antar vidare att det finns element 0 och 1 i M sådana att och 0 + a = a för alla a M (8) 1 a = a 1 = a för alla a M (9) Till sist behöver vi motsatta element : Till varje element a i M finns ett element a M sådant att a + a = 0. (10) Ett sammanhang i vilket de här sambanden är uppfyllda är när M består av alla kvadratiska matriser av någon viss storlek. Nolla är nollmatrisen och etta enhetsmatrisen. Multiplikation av matriser är inte kommutativ (om storleken är större än 1 1). När man i matematiken säger att det finns ett element sådant att så menar man minst ett element. Definitionerna ovan utesluter således inte att det finns flera nollor och ettor i M eller att något eller några element har flera olika motsatta element. Vi ska börja med att visa att det faktiskt inte kan vara så. Antag att 0 1 och 0 2 båda uppfyller (6), alltså att 0 1 + a = a, 0 2 + a = a för alla a M. Om vi tar a = 0 2 i den första likheten och a = 0 1 i den andra, så får vi 0 1 + 0 2 = 0 2 respektive 0 2 + 0 1 = 0 1. Men 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1, så vi får 0 1 = 0 2. Övning: Visa på samma sätt att ettan i M är entydigt bestämd, det vill säga att det bara finns ett element 1 som uppfyller (7). Antag nu att a 1 och a 2 båda är motsatta element till a, det vill säga att a + a 1 = a + a 2 = 0. 6 Vi skulle mycket väl kunna nöja oss med bara en distributiv lag och undersöka vilka slutsatser vi skulle kunna dra då, men det skulle föra alltför långt. 10

Då får vi a 1 = a 1 + 0 = a 1 + (a + a 2) = (a 1 + a) + a 2 = 0 + a 2 = a 2. Varje a M har alltså ett entydigt bestämt motsatt element. Övning: En multiplikativ invers till ett element a M är ett element a 1 M sådant att a a 1 = a 1 a = 1 (observera att det inte är säkert att alla element har multiplikativa inverser). Bevisa att ett element i M kan ha högst en multiplikativ invers. Att a är det motsatta elementet till a betyder ju att a + a = 0. Men detta betyder också att a är det motsatta elementet till a, det vill säga att (a ) = a. Låt a och b vara två element i M. Om vi adderar a+a = 0 och b+b = 0 så får vi (med användande av kommutativa och associativa lagen) (a + b) + (a + b ) = 0. Men detta betyder att a + b är det motsatta elementet till a + b, det vill säga att (a + b) = a + b. Övning: Antag att både a och b har multiplikativa inverser. Visa att då har även a b en multiplikativ invers och (a b) 1 = b 1 a 1. När M är mängden av heltal, så är det inte svårt att motivera varför exempelvis 0 5 = 0. För om vi uppfattar multiplikation som upprepad addition, så har vi 4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 3 5 = 5 + 5 + 5 2 5 = 5 + 5 1 5 = 5 och det är uppenbarligen rimligt att sätta 0 5 = 0. Om elementen i M inte är tal, så är det inte säkert att det går att motivera att a 0 = 0 a = 0 på det här sättet, men det är likafullt sant. Ty enligt räknereglerna har vi a = a 1 = a (1 + 0) = a 1 + a 0 = a + a 0 och om vi adderar a till ytterleden så får vi 0 = a + a = a + (a + a 0) = (a + a) + a 0 = 0 + a 0 = a 0. Övning: Visa att 0 a = 0. Låt oss multiplicera b + b = 0 med a från vänster: a b + a b = a (b + b ) = a 0 = 0. 11

Detta betyder att a b är det motsatta elementet till a b, det vill säga att (a b) = a b. (11) Om vi å andra sidan multiplicerar a + a = 0 med b från höger så får vi på samma sätt a b + a b = 0, alltså Byter vi b mot b i (10), så får vi (a b) = a b. (12) (a b ) = a b. Byter vi b mot b i (9) så får vi å andra sidan (a b ) = a (b ). Men som vi såg tidigare, så är (b ) = b, varför till slut a b = a b. (13) För det mesta använder vi inte beteckningen a för det motsatta elementet till a, utan a. I så fall betyder (9), (10) och (11) att respektive ( a) b = a ( b) = (a b) ( a) ( b) = a b. Vi har hittills inte sagt något om subtraktion eller division och anledningen är att de egentligen inte behövs i den abstrakta framställningen ovan. Subtraktion kan definieras med hjälp av det motsatta elementet: a b = a + b. Det motsatta elementet till ett element a betecknas för det allra mesta a, precis som när man har med vanliga tal att göra. Det finns alltså åtminstone två lite olika användningar av minustecknet; dels kan det beteckna subtraktion och dels det motsatta talet. Dessa hänger ju samman genom a b = a + ( b), men vissa matematikdidaktiker menar att man för att undvika missförstånd borde använda ett annat sätt att skriva motsatt tal, exempelvis 3 och utläsa detta negativ tre istället för minus tre. På engelska säger man ofta just negative three. Fundera gärna själva på detta. Övning: Definiera a 2 = a a, a 3 = a a a och så vidare. Bevisa att a m a n = a m+n då m och n är positiva heltal. Övning: Antag att det för elementet a i M gäller att a 2 = 0. Bevisa att (1 a) 1 = 1 + a. Alltså har 1 a en multiplikativ invers. Bevisa att om a 3 = 0, 12

så är (1 a) 1 = 1 + a + a 2. Vad gäller om istället a 4 = 0? Om a n = 0 för något heltal n 2? Den här situationen förekommer i samband med matriser. Om exempelvis ( ) 0 1 A = 0 0 så är A 2 = 0 och om A = 0 1 1 0 0 1 0 0 0 så är A 3 = 0. Kan du hitta en matris A 0 sådan att A 4 = 0? 3 Rationella tal De rationella talen eller bråken och deras aritmetik hör till de allra svåraste momenten i skolmatematiken. Orsakerna tycks bland annat vara de här: Bråken har många ansikten ; de kan uppfattas på många olika sätt. Ett bråk kan bland annat uttrycka ett förhållande, en del av en helhet och en del av ett antal, men det kan också vara ett tal. Steget från att uppfatta ett bråk som en del av något till att uppfatta det som ett tal i sig är svårt. Man kan kalla detta för att gå från det konkreta till det abstrakta. För didaktiska synpunkter på bråkaritmetik rekommenderar jag följande texter: Kilborn, W. Om tal i bråk- och decimalform en röd tråd. Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM), Göteborgs universitet 2014 Eriksson, H. Rationella tal som tal. Algebraiska symboler och generella modeller som mediterande redskap. Licentiatuppsats i matematikämnets didaktik nr 1, 2015, Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik, Stockholms universitet Här ska vi börja med att studera de rationella talens aritmetik utgående från att vi vet vad ett rationellt tal är och sedan ska vi övergå till att fråga oss vad ett rationellt tal egentligen är. 3.1 Varför räknar man med bråk som man gör? Ett skäl till att det är bra att ha de rationella talen är att vi då kan lösa alla ekvationer av formen bx = a, i alla fall för b 0. Om vi bara har tillgång till heltalen så kan vi lösa exempelvis 3x = 15, men inte 15x = 3, vilket kan anses vara en oskön asymmetri. Nu kan man förstås säga att ekvationen 15x = 3 är ointressant eftersom den inte har några (heltals)lösningar, men låt oss tänka oss att vi insisterar på att alla ekvationer bx = a ska vara lösbara. 13

Vi föreställer oss alltså att vi har tillgång till de hela talen och vill undersöka om det går att utvidga talområdet så att så många ekvationer av formen bx = a som möjligt blir lösbara. För att göra det inför vi ett nytt slags tal, de rationella talen, som lösningar till dem. Lösningen till bx = a betecknar vi a b, så att b a b = a. Vi vill förstås också kunna räkna med de nya talen och så långt det är möjligt enligt samma regler/lagar som för heltalen. När vi ska definiera de aritmetiska operationerna på rationella tal, så kräver vi därför att addition och multiplikation ska vara kommutativa och associativa samt att multiplikation ska vara distributiv över addition. Är det här en bra definition eller ger den upphov till några svårigheter? En första tänkbar svårighet är att vi verkar ha infört division med 0 eftersom vi inte har uteslutit att b = 0. Men om a 0 för något a 0 vore ett rationellt tal, så skulle vi omedelbart få problem eftersom a = 0 a a ( = (0 0) 0 0 = 0 0 a ) = 0 a = 0 0 (tänk igenom den här beräkningen och vilka regler vi har använt). Vi ser att vi inte kan tillåta a 0 i ekvationen 0x = a. Vi ska återkomma till 0x = 0 om ett litet ögonblick. Hur är det med ekvationer av typen bx = 0? Den enda heltalslösningen till bx = 0 är ju x = 0, men kan det tillkomma nya lösningar när vi inför de rationella talen? Kan med andra ord 0 b vara 0? I så fall skulle vi ha den ovana situationen att produkten av två tal b och 0 b är 0 utan att någon av faktorerna är det. Det vill vi inte, och då måste vi definiera 0 b = 0 för alla b 0. Avslutningsvis avstår vi från att definiera 0 0 eftersom ekvationen 0x = 0 redan har alla heltal som lösningar. Vi sade ovan att vi inte vill att produkten av två (rationella) tal ska vara 0 med mindre än att minst en av faktorerna är det. Är det så nu eller har vi förbisett något? Antag att a b c d = 0. Vi vill ju att de associativa och kommutativa lagarna ska gälla och om vi multiplicerar med b d så får vi i vänsterledet (b d) ( a b c ) d ( = b a b ) ( d c d ) = a c. I högerledet får vi b d 0 = 0, vilket sammanfattningsvis ger a c = 0. Men då a och c är heltal, så kan vi dra slutsatsen att minst ett av dem, säg c, är 0. Alltså är c d = 0 d = 0 enligt definitionen av 0 d ovan. En konsekvens av det här är följande: Antag att x, y och z är rationella tal, där x 0, samt att xy = xz. Då får vi x(y z) = 0 och eftersom x 0, så måste y z = 0, det vill säga y = z. Det här kallas ibland för kancelleringslagen. 14

Vi har fortfarande ingen garanti för att vårt införande av de rationella talen inte ger upphov till några motsägelser; den frågan ska vi återkomma till i nästa avsnitt. Nu ska vi se att räknelagarna är omedelbara konsekvenser av definitionerna. Antag att b 0 delar a och att a b = c. Då har ekvationen bx = a både c och a b som rötter, det vill säga b c = a = b a b. Enligt kancelleringslagen är a b = c. Vissa av våra nya tal är således inte nya, utan finns redan bland heltalen. Talet a b a definieras av b b = a. Multiplicera båda leden med heltalet c 0: Enligt definitionen av ca cb har vi varför kancelleringslagen igen ger cb a b = ca. cb ca cb = ca ca cb = a b. Att man kan förlänga och förkorta bråk är tydligen en omedelbar konsekvens av definitionen. Nu ska vi se på reglerna för addition och multiplikation av bråk. Sätt x = a b och y = c b, så att bx = a och by = c. Ledvis addition ger Men bx + by = b(x + y) = a + c. b a + c b = a + c enligt definitionen av a+c b, så a b + c b = x + y = a + c. b För att addera bråk med olika nämnare så använder vi detta i kombination med förlängning: a b + c d = ad bd + bc ad + bc =. bd bd Det är naturligtvis lätt att visa detta direkt också: ( a bd b d) + c = d b a b + b d c d = d a + b c = ad + bc. 15

Vad gäller multiplikation har vi å ena sidan ( a b d b c ) ( = b a ) ( d c ) d b d medan vi å den andra har Vi drar slutsatsen att bd ac bd = ac. a b c d = ac bd. = a c Division är intressant. Kan vi dividera rationella tal? Skälet till att vi införde dem var att vi vill att det alltid ska vara möjligt att dividera heltal och nu är frågan om vi måste utvidga talområdet ytterligare för att kunna dividera rationella tal. Frågan är alltså om det finns något rationellt tal x sådant att a b x = c d. Svaret är att visst finns det ett sådant tal x, nämligen x = b a c d = bc ad ; kontrollera själv att det uppfyller ekvationen. Vi behöver inte utvidga ytterligare för att kunna dividera. Räknereglerna för bråk är alltså direkta konsekvenser av definitionen och av att vi vill att de vanliga lagarna (associativa, kommutativa och distributiva lagarna) ska gälla. Som vi har sett finns det i så fall bara ett enda sätt att utvidga de aritmetiska operationerna från de hela till de rationella talen. Didaktiskt är det viktigt att elever förstår att räknereglerna är logiska konsekvenser av vad vi vill att bråken ska uppfylla och inte något som någon person, myndighet eller annan instans har beslutat om. Matematiken får med andra ord inte framstå som en samling regler utan sammanhang och samband med varandra. Det är likaså viktigt att eleverna förstår att exempelvis 3 2 3 = 2 är fullständigt självklart det är själva innebörden av 2 3. Många gånger när jag har gett studenter i uppgift att beräkna 3 2 3 har jag sett uträkningar i stil med 3 2 3 = 3 1 2 3 = 3 2 1 3 = 6 3 = 6/3 3/3 = 2 1 = 2 vilka naturligtvis inte är fel, men som visar att man inte har förstått alls vad ett bråk är. Självklart är det mycket lätt hänt att man räknar fel om man har lärt sig matematik som en samling regler utan samband. Följande uträkning, som jag också har sett, visar detta: 3 2 3 = 3 2 3 3 = 6 9 = 2 3. 16

Anmärkning: Vi sade i början att ett skäl till att vi vill införa de rationella talen är att vi vill kunna lösa alla ekvationer av formen ax = b. Vi sade å andra sidan också att vi skulle kunna betrakta ekvationer utan heltalslösningar, till exempel 2x = 3, som ointressanta. Det finns emellertid (minst) ett skäl till att införa de rationella talen, nämligen lösningen av vissa andragradsekvationer. Betrakta ekvationen x 2 + x 2 = 0. Prövning ger att rötterna är x 1 = 1 och x 2 = 2. Om vi kvadratkompletterar så får vi ( x + 1 ) 2 9 2 4 = 0. Om vi inte hade haft tillgång till de rationella talen, så skulle vi inte ha kunnat skriva ner den kvadratkompletterade formen av ekvationen. Ett sätt att komma runt det är att multiplicera ekvationen med 4; då får vi 4x 2 + 4x 8 = 0, som ger (2x + 1) 2 9 = 0. Nu kan vi fortsätta utan att använda rationella tal, men håll med om att det här blir onödigt omständligt. Ibland löser man som synes heltalsekvationer enklast genom att gå via de rationella talen. 3.2 Vad är ett rationellt tal? Frågan i rubriken verkar kanske både märklig och provocerande. Skulle vi inte veta vad ett rationellt tal är? Vi sade i förra avsnittet att 2 3 är eller snarare definieras som ett tal sådant att 3 2 3 = 2, men hur vet vi att ett sådant tal finns? Var finns det? Hur får vi kunskap om det? Och vad är för övrigt ett tal? Det här är svåra och djupa frågor i vilka vi inte ska fördjupa oss så mycket, men det är värt att fundera över dem någon gång. Samma frågor kan förstås ställas om andra tal, till exempel 2. Vad är 2? I undervisningssammanhang dyker de här och liknande frågor ofta upp i samband med komplexa tal. Det är inte helt ovanligt att elever och studenter frågar vad den imaginära enheten i egentligen är. Vad svarar du när du får den frågan? I det här avsnittet ska vi undersöka hur man utgående från heltalen kan konstruera de rationella talen. En första preliminär idé är att betrakta det rationella talet a b som ett par (a, b) av heltal. Problemet med den idén är dock att talen a och b inte är entydigt bestämda av bråket a b eftersom a b = ca cb för alla c 0. Varje bråk motsvarar med andra ord oändligt många par. Men låt oss då prova att betrakta bråket a b som mängden av alla par (c, d) sådana att c d = a b. Nu är det här förstås ingen bra definition eftersom vi använder det vi vill definiera (nämligen rationella tal) i själva definitionen (vi har åstadkommit en så kallad cirkeldefinition), så vi är inte klara än. Det återstår dock inte så mycket. Vi vill alltså säga att det rationella talet a b är mängden av alla par (c, d) sådana att c d = a b, (14) 17

men vi kan inte använda villkoret (14) i definitionen. Detta är emellertid lätt att undvika: vi skriver det helt enkelt som ad = bc. Definition: När a och b är hela tal och b 0, så sätter vi R(a, b) = {(c, d); d 0 och ad = bc}. Lägg märke till att R(a, b) är en delmängd av Z (Z\{0}). En delmängd R(a, b) kallas ett rationellt tal. Mängden av rationella tal betecknas Q. Övning: a) Visa att (a, b) R(a, b). b) Visa att om (c, d) R(a, b), så gäller R(c, d) = R(a, b). c) Visa att om R(a, b) R(c, d), så gäller R(a, b) = R(c, d) d) Visa att varje par (c, d) Z (Z \ {0}) tillhör exakt en delmängd R(a, b). Man säger att Z (Z \ {0}) är den disjunkta unionen av alla R(a, b). e) Antag att (c, d) R(a, b). Visa att (kc, kd) R(a, b) för alla k Z \ {0}. Alltså gäller R(ka, kb) = R(a, b) för alla k 0. f) Låt R(a, b) vara ett rationellt tal. Visa att det finns ett par (a 0, b 0 ) R(a, b) sådant att R(a, b) = {(ka 0, kb 0 ); k Z \ {0}}. Definition: Om R(a, b) är ett rationellt tal och (c, d) R(a, b), så säger vi att (c, d) är en representant för talet R(a, b). Speciellt är paret (a, b) en representant för talet R(a, b). Det känns förmodligen ovant att betrakta ett rationellt tal som en mängd, men egentligen är det ju precis det vi alltid har gjort, åtminstone sedan vi lärde oss förlängning. Notera att vi inte har gjort någon cirkeldefinition: vi använder oss inte av rationella tal i definitionen, utan har bara låtit oss inspireras av vad vi vill att de nya talen ska ha för egenskaper. Nu är vi redo att definiera de aritmetiska operationerna på Q. Låt R(a, b) och R(c, d) vara två rationella tal, det vill säga delmängder som ovan av Z (Z \ {0}). Vi definierar addition genom och multiplikation genom R(a, b) R(c, d) = R(ad + bc, bd) (15) R(a, b) R(c, d) = R(ac, bd). (16) Observera att vi här har definierat addition och multiplikation av vissa mängder, så det är inte lämpligt att använda de vanliga beteckningarna för operationerna. Om inte annat kan vi förhoppningsvis undvika att dra förhastade slutsatser genom den här lilla säkerhetsåtgärden. Definitionerna (15) och (16) är inte fullt så oskyldiga som de ser ut. I vänsterleden har vi rationella tal, det vill säga en viss sorts mängder, och för att definiera 18

högerleden använder vi representanter för dem. Hur vet vi att resultaten (summan och produkten) inte beror på vilka representanter vi väljer? Jag förtydligar: Låt (a, b ) respektive (c, d ) vara andra representanter, så att R(a, b) = R(a, b ) och R(c, d) = R(c, d ). För att (15) och (16) ska vara bra definitioner, så måste högerleden, alltså summan och produkten, bara bero på de rationella talen själva, alltså på mängderna, och inte på vilka representanter för dem som vi väljer. Vi måste därför verifiera att R(ad + bc, bd) = R(a d + b c, b d ) och R(ac, bd) = R(a c, b d ). (17) Den vänstra likheten är ekvivalent med (ad + bc)b d = (a d + b c )bd det vill säga vilket vi skriver som ab dd + cd bb = a bdd + c dbb (ab a b)dd = (c d cd )bb. (18) Eftersom R(a, b) = R(a, b ) och R(c, d) = R(c, d ), så gäller ab = a b och cd = c d. Detta visar (18). Om vi multiplicerar likheterna ab = a b och cd = c d så får vi ab cd = a bc d eller acb d = a c bd, vilket betyder att R(ac, bd) = R(a c, b d ). Beviset för (17) är klart. Övning: Bevisa att och är kommutativa och associativa operationer samt att är distributiv över. Bevisa att R(0, 1) fungerar som nolla och R(1, 1) som etta. Bevisa att R(a, b) R( a, b) = R(0, 1) samt att om både a och b är 0, så gäller R(a, b) R(b, a) = R(1, 1). Med vår definition av de rationella talen som vissa mängder av par av heltal kan vi inte direkt och på något enkelt sätt identifiera Z med någon delmängd av Q, vilket vi ju är vana att göra (heltalet a identifieras med bråket a 1 ). Men Q innehåller en kopia av Z, nämligen mängden Z av alla rationella tal av formen R(a, 1) för a Z. Det är nämligen för det första lätt att kontrollera att R(a, 1) R(b, 1) = R(a + b, 1), R(a, 1) R(b, 1) = R(ab, 1). Vi borde alltså kunna identifiera Z med Z genom att identifiera heltalet a med det rationella talet R(a, 1). Det är klart att alla tal i Z kommer med på det sättet, men vi måste för det andra kontrollera att olika heltal identifieras med olika rationella tal i Z. Men vad betyder det att R(a, 1) = R(b, 1)? Jo, att a 1 = 1 b, det vill säga att a = b. Identifikationen av Z med Z är därmed klar. Från och med nu kommer vi att använda de vanliga symbolerna + och för addition och multiplikation av rationella tal. Anmärkning: Ovan ansträngde vi oss en del för att visa att (15) och (16) är bra definitioner i den meningen att resultaten i högerleden inte beror på vilka 19

representanter för de rationella talen vi väljer. Det här känns kanske konstigt första gången man ser det, men faktum är att vi egentligen borde göra samma kontroll när vi i skolan definierar addition och multiplikation genom a b + c ad + bc a = respektive d bd b c d = ac bd. Talen a och b respektive c och d är ju nämligen inte entydigt bestämda av talen x = a b respektive y = c d. Hur kan vi vara säkra på att vi får samma resultat om vi väljer andra tal? Antingen måste vi göra samma kontroll som vi gjorde ovan eller så får vi hänvisa till någon geometrisk tolkning av operationerna. Jag hävdar absolut inte att det här är något man ska göra i skolan, men det skadar inte att ha det i bakhuvudet. 4 De negativa heltalen Ovan såg vi hur man utgående från de hela talen kan konstruera de rationella talen. Vi ska nu helt kort visa hur de negativa heltalen kan konstrueras från de naturliga talen. Som i förra avsnittet kan man förstås fråga sig vad det ska vara bra för att konstruera de negativa talen. De finns väl och är färdiga att använda? Ur matematisk synpunkt är det inte riktigt så enkelt. Säg att vi har de naturliga talen och inför nya tal, som 3 med egenskapen 3 + ( 3) = 0. Vad menas med att införa nya tal? Varifrån kom de? Hur vet vi att de nya talen inte leder till motsägelser? I skolarbetet behöver man förmodligen inte bekymra sig om de här frågorna, men i matematiken är de viktiga. På mängden av naturliga tal N = {0, 1, 2, 3,...} finns en operation addition a + b som är kommutativ och associativ och sådan att 0 + a = a för alla a. Ekvationen x + a = b har en lösning om b a, som betecknas x = b a. Om b < a har ekvationen ingen lösning. Här har vi infört en ny operation, nämligen subtraktion, som betecknas b a. Syftet med att införa negativa tal är att vi vill kunna lösa alla sådana ekvationer, med andra ord att vi vill att subtraktion alltid ska vara definierad. Idén i konstruktionen är snarlik den vi använde för de rationella talen. Lösningen till ekvationen x + a = b kan vi låta representeras av paret (a, b), men vi måste tänka på att samma x är lösning till oändligt många ekvationer av samma typ. När a och b är två naturliga tal, så låter vi H(a, b) vara mängden av alla par av naturliga tal (c, d) sådana att a + d = b + c. Informellt betyder detta att b a = d c och alltså att ekvationerna x + a = b och x + c = d har samma lösning. Lägg alltså märke till att H(a, b) är en delmängd av N N. Ett element i H(a, b) kallar vi en representant för H(a, b). Vi betecknar mängden av alla H(a, b) med Z och definierar en operation på Z genom H(a, b) H(c, d) = H(a + c, b + d). Övning: a) I definitionen av använder vi representanter (a, b) och (c, d) för H(a, b) respektive H(c, d). Kontrollera att definitionen inte beror på vilka representanter vi väljer. 20

b) Visa att operationen är kommutativ och associativ samt att H(0, 0) fungerar som nolla. Visa vidare att H(a, b) H(b, a) = H(0, 0), så att H(b, a) är det motsatta elementet till H(a, b). c) Vi identifierar det naturliga talet a med H(a, 0) i Z. Visa att a + b då identifieras med H(a + b, 0). Visa att om a b, så är H(a, 0) H(b, 0). Alltså kan vi identifiera N med mängden av alla H(a, 0). d) Nu övergår vi till de vanliga beteckningarna och sätter a = H(a, 0) när a är ett naturligt tal. Eftersom H(a, 0) H(0, a) = H(0, 0), så är H(0, a) det motsatta talet till a, det vill säga H(0, a) = a. Vi skriver också + istället för. Visa att nu är alla ekvationer x + a = b lösbara. e) Hur ska vi definiera subtraktion på Z? Övning: Den här övningen handlar om ordningsrelationen på de naturliga och hela talen; närmare bestämt om ett sätt att utvidga den från de naturliga till de hela talen. Vi definierar en relation på mängden av alla H(a, b) (där a och b som ovan är naturliga tal) genom H(a, b) H(c, d) a + d < b + c. Notera att vi i definitionen bara har använt ordningsrelationen på N inget av talen är ju negativt. a) Visa att b) Visa att H(a, b) H(c, d) H(d, c) H(b, a). H(a, b) H(c, d), H(c, d) H(e, f) H(a, b) H(e, f). c) Visa att av utsagorna H(a, b) H(c, d), H(a, b) = H(c, d), H(c, d) H(a, b) är exakt en sann. d) Visa att H(a, 0) H(c, 0) a < c. e) Övertyga dig själv (eller ännu hellre först dig själv och sedan någon annan) om att utvidgar ordningsrelationen < på N till den vanliga ordningsrelation på Z. 5 De reella talen Ett vanligt sätt att illustrera talen är som punkter på en linje, alltså tallinjen. Man ska ha i bakhuvudet att punkterna på tallinjen inte är tal, utan att de i en 21

viss mening motsvarar tal. De rationella talen ligger mycket tätt på tallinjen på varje del av den, oavsett hur kort delen är, finns det oändligt många rationella tal. Att det är på det sättet kan man förstå till exempel genom att fundera över talen 1 n, 2 n, 3 n,..., n 1 n, mellan 0 och 1. En fråga man (eventuellt) ställer sig är om de täcker hela tallinjen eller om det finns luckor. Frågan är alltså om varje punkt på tallinjen motsvarar ett rationellt tal. Svaret på frågan är nej: det finns punkter som inte motsvarar några rationella tal. Detta insåg matematikerna redan under antiken. Tänk dig en kvadrat med sidan 1 längdenhet och beteckna längden av diagonalen med x längdenheter. Enligt Pythagoras sats gäller x 2 = 1 2 + 1 2 = 2, alltså x = 2. Vi ska bevisa att 2, som vi naturligtvis gärna vill betrakta som ett tal, inte är rationellt. Beviset är ett exempel på ett så kallat motsägelsebevis, vilket innebär att vi antar att motsatsen till det vi vill bevisa är sann och av detta härleder en motsägelse. Vi ska således anta ett ögonblick att 2 är rationellt. I så fall kan vi skriva 2 = a b, där både a och b är heltal. Vi ser till att bråket a b är förkortat så långt som möjligt. Vi har alltså a2 = 2b 2. Tydligen är a 2 jämnt, det vill säga delbart med 2. Talet a är antingen jämnt eller udda. Vore det udda, säg a = 2k + 1, så skulle vi ha a 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1, vilket är ett udda tal. Alltså är a jämnt, säg a = 2c. Om vi sätter in detta i a 2 = 2b 2, så får vi (2c) 2 = 2b 2, vilket ger 2c 2 = b 2. Men nu ser vi att även b 2 och således även b är jämnt. Vi har sammanfattningsvis visat att både a och b är jämna, alltså delbara med 2. Detta motsäger att a b var förkortat så långt som möjligt. Därför kan vårt antagande att 2 är ett rationellt tal inte stämma, så talet är irrationellt. 7 Övning: Visa att om a 2 är delbart med 3, så är även a delbart med 3. Visa sedan att 3 är irrationellt. Om du känner till aritmetikens fundamentalsats, så kan du visa att alla tal av formen n a är irrationella, där a är ett heltal som inte är en n:te potens av ett heltal. Det finns alltså objekt, som 2 och 3, som vi gärna vill betrakta som tal, men som inte är rationella. De motsvarar vissa punkter på tallinjen: För att hitta den punkt som motsvarar 2 kan man rita en kvadrat med en sida på intervaller mellan 0 och 1 och sedan med passaren avsätta diagonalen på tallinjen. Tydligen finns det punkter på tallinjen som inte motsvarar några rationella tal och åtminstone en del av dessa punkter motsvarar något som vi skulle vilja kalla tal, till exempel 2 och 3. Ytterligare ett objekt som vi vill betrakta som ett tal är π, alltså förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter. Den punkt på tallinjen som motsvaras av π kan vi hitta så här: Lägg en cirkel med 7 Den engelske matematikern G.F. Hardy ansåg att beviset för att 2 är irrationellt och Euklides bevis för att det finns oändligt många primtal är särskilt vackra exempel på motsägelsebevis. Se hans läsvärda lilla bok A mathematician s apology. 22

diametern 1 så att den tangerar tallinjen i origo, alltså i punkten 0. Rulla den ett varv åt höger. Den nya tangeringspunkten motsvarar π. År 1761 visade J.H. Lambert, en tysk matematiker, att π inte är ett rationellt tal, så vi har ännu ett exempel på en punkt på tallinjen som inte motsvarar något rationellt tal. I själva verket skulle vi vilja hitta någon ny sorts tal som gör att alla punkter på tallinjen motsvaras av tal. De tal vi vill hitta är de reella talen. Notera att de reella talen definitionsmässigt omfattar dels de rationella talen och dels de irrationella talen. Ovan har jag skrivit att i vill hitta en ny sorts tal, men egentligen handlar det om att vi måste konstruera dem. För var skulle vi leta för att hitta dem? Det är möjligen frestande att säga att talen, både de nya irrationella och våra gamla rationella, helt enkelt är punkterna på tallinjen, men det är inte tillfredsställande. Talen är faktiskt inte punkter på en linje, utan något annat. Däremot kan vi använda tallinjen för att illustrera talen. Konstruktionen av de reella talen är betydligt svårare än konstruktionen av de rationella talen, och det finns ingen anledning för oss att gå igenom den i detalj. Vi nöjer oss med en informell beskrivning. Låt oss definiera en följd a 1, a 2, a 3,... av rationella tal genom a 1 = 1, a n+1 = a n + 2 a n + 1 Övning: Varför är talen a n rationella? De första talen i följden är för n 1. (19) a 1 = 1, a 2 = 3 2 = 1.5, a 3 = 7 5 = 1.4, a 4 = 17 12 1.416667, a 5 = 41 29 1.413793, a 6 = 99 70 1.414286, a 7 = 239 169 1.414201 Räkna ut några fler a n själv! Känner du igen talet 1.4142? Det är början av decimalutvecklingen av 2: 2 = 1.414213.... Som du förmodligen gissar, så närmar sig talen a n talet 2 då n växer. Man kan bevisa att det är så, men det är inte det viktiga här. Det viktiga är istället att vi har hittat en följd av rationella tal som närmar sig det irrationella talet 2. Egentligen är detta inte så förvånande, eftersom de rationella talen ligger tätt på tallinjen. Om P är en punkt på tallinjen som inte motsvarar något rationellt tal, så finns det rationella tal som motsvarar punkter som ligger hur nära P som helst. Och även i det fall då P motsvarar ett rationellt tal, så finns det punkter hur nära P som helst som motsvarar rationella tal. Låt P vara en punkt på tallinjen och a 1, a 2, a 3,... en följd av rationella tal som motsvarar punkter som närmar sig P då n växer. Idén i konstruktionen av de reella talen är att låta det reella tal som motsvarar P vara själva följden 23

a 1, a 2, a 3,.... Vi måste då till att börja med vänja oss vid att ett reellt tal egentligen är en följd av rationella tal, men det är som sagt bara en vanesak. Det finns ett antal svårigheter med den här definitionen. Låt oss säga att följden a 1, a 2, a 3,... motsvarar punkten P på tallinjen. Den första är att det finns i själva verket oändligt många följder av rationella tal som motsvarar P. En annan följd som närmar sig 2 är exempelvis 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,... (20) Vilken av alla dessa oändligt många följder ska vi välja? Ingen kan anses vara bättre eller enklare än någon annan, så vi modifierar definitionen och säger att det reella tal som motsvarar P är mängden av alla följder av rationella tal som motsvarar P. Ett reellt tal är således inte bara en följd av rationella tal, utan en mängd av sådana följder. Om det här känns konstigt, så minns att vi även definierade ett rationellt tal som en oändlig mängd, fast av talpar. Det andra problemet är att vi har utgått från tallinjen i definitionen: Vi har velat att varje punkt på tallinjen ska motsvara ett reellt tal. Men tallinjen kan man inte utgå från i en strikt matematisk definition, den är en illustration, ett didaktiskt hjälpmedel (och ett synnerligen användbart sådant). För att göra definitionen strikt, så måste vi släppa kopplingen till tallinjen och bara använda följder av rationella tal. Problemet som uppstår då är att vi inte kan tillåta vilka följder som helst. Följden 1, 0, 1, 0, 1, 0 och så vidare kan inte motsvara någon punkt på tallinjen. Vi måste ha ett villkor på följderna som garanterar att elementen i dem så småningom ligger nära varandra. Villkoret kan formuleras så, att om följden är a 1, a 2, a 3,..., så ska alla differenser a n a m vara hur små som helst, bara vi tar m och n tillräckligt stora. Det här villkoret är inte helt enkelt att ta till sig och vi ska inte fördjupa oss mer i vad det betyder och vad det har för konsekvenser. De tillåtna följderna brukar kallas Cauchy-följder eller fundamentalföljder. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) var en framstående fransk matematiker som bland annat sysslade med att lägga en fast grund till den del av matematiken som kallas matematisk analys. Det som återstår är att definiera de aritmetiska operationerna och verifiera räknelagarna. Summan och produkten av två följder ges av (a 1, a 2, a 3,...) + (b 1, b 2, b 3,...) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3,...) (a 1, a 2, a 3,...) (b 1, b 2, b 3,...) = (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3,...) och summan och produkten av två reella tal definierar vi genom att ta representanter för dem. Självklart måste vi verifiera att definitionen av addition och multiplikation är oberoende av vilka representanter för de reella talen som vi väljer. Som representant för det rationella talet q kan vi välja följden q, q, q,.... Definitionen av ett reellt tal är utan tvekan komplicerad. Den amerikanske matematikern och filosofen Morris Kline (1908-1992) skriver i sin bok Mathematical thought from ancient to modern times (Oxford University Press, 1972) att the irrational number, logically defined, is an intellectual monster. Det finns 24

åtminstone ytterligare ett sätt att definiera de reella talen, nämligen genom så kallade Dedekind-snitt efter Richard Dedekind (tysk matematiker, 1831-1916). Idén är här att identifiera de reella talen med vissa delmängder av de rationella, men vi ska inte fördjupa oss i det här. Istället ska vi avsluta med att fråga oss vad i hela världen man ska med de reella talen till. Ett partiellt svar gav vi ovan, när vi såg att vissa naturliga objekt, som 2 och π, förtjänar att bli betraktade som tal, trots att de inte är rationella. Vi önskade vidare i förlängningen av detta att varje punkt på tallinjen ska motsvara ett tal. Den egenskap som framför allt skiljer de reella från de rationella talen och som gör dem viktiga och oundgängliga i matematiken kan formuleras på flera olika sätt. Här är ett två: Låt M vara en delmängd av de reella talen sådan att det finns ett tal L med egenskapen att x L för alla x M. Då finns ett minsta tal A sådant att x A för alla x M. Låt a 1, a 2, a 3,... vara en växande följd av reella tal. Då finns ett reellt tal A sådant att talen a 1, a 2, a 3,... obegränsat närmar sig A då n växer. Detta gäller inte för de rationella talen. Följden (20) ovan består exempelvis av rationella tal, men talen närmar sig 2, vilket inte är rationellt. De två egenskaperna ovan (som egentligen är två sätt att uttrycka samma sak) är grunden för den del av matematiken som kallas analys och som handlar om derivator, integraler, differentialekvationer och så vidare. Den matematiska analysen är det förmodligen viktigaste matematiska redskapet i fysik, kemi och andra vetenskaper. 6 De komplexa talen Nästa del av kursen handlar om tredjegradsekvationen och som en förberedelse ska vi diskutera de komplexa talen. Historiskt var det i samband med lösningen av tredjegradsekvationen i början av 1500-talet som matematikerna började använda komplexa tal. I läroböckerna brukar de introduceras i samband med andragradsekvationer, men historiskt var det alltså inte så. Andragradsekvationer utan reella rötter betraktades helt enkelt som ointressanta. När man löser tredjegradsekvationen visar det sig dock att just i det fall då ekvationen har tre reella rötter, så måste lösningsformeln innehålla komplexa tal. Vi ska se mer på det här till synes paradoxala fenomenet senare i kursen. Här ska vi visa ett sätt att konstruera de komplexa talen, utan att på något magiskt sätt ta i ur luften. Konstruktionen är betydligt enklare än de vi har sett tidigare. 6.1 Konstruktion av de komplexa talen Låt C vara mängden av alla par (a, b) av reella tal och definiera addition och multiplikation genom (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). 25