Relativitet Mätning av ljushastighen: Galileo, Römer, Bradley, Focault och Fizeau, Michelson Morley Einsteins postulat och tidsdilatationen 1
Man har alltid varit nyfiken på hur snabbt ljuset rör sig. Inte minst Galileo gav sig på denna fråga. Text 2
Till slut lyckas Ole Römer 1675 mäta ljusets ändliga hastighet via ett snillrikt resonemang 3
Han observerade med god precision Jupiter och dess månar 4
Ole Römer mätte perioden av Io runt Jupiter. Ios kretsande runt Jupiter fungerar alltså som en klocka. Efter att ha observerat denna under en lång tid, visade han 1676 att klockan drog sig eller gick för fort med totalt 4 minuter beroende på om Jupiter rörde sig närmare eller längre från oss under en period. ±4 min Io Io jorden solen jorden Jupiter Han drog den korrekta slutsatsen att ljushastighetn var ändlig. 5
Nu uppstår ett problem med Ole Römers mätningar som visade på en ändlig ljushastighet (utfördes 1676). Hur kan hastigheten vara ändlig och fortfarande bevara Galileiprincipen. * *(En väg ur är sk. emitter-teori, där ljus består av partiklar som rör sig med stor hastighet... själv tror jag att det var därför Newton trodde på ljus som partiklar trots att han hade bevis för att ljuset var vågor). 6
Med ändlig ljushastighet blir det förmodligen ett absolut rum, där ljuset rör sig i etern. Man måste då kunna se hur man rör sig i etern genom att observera ljusvågorna i denna eter. 7
Man märker av om källan eller observatören rör sig i förhållande till ljuset i etern. Precis som i en båt. Så det blev aktuellt att precisera ljusets hastiget. 8
Nästa mätning av ljusets hastighet gjorde James Bradley 1729 som resonerade enligt följande diagram Sett från land Sett från båten r! v Båten rör sig framåt Regnet faller rakt ner Ankan är stilla v Båten rör sig inte Regnet faller med en vinkel Ankan rör sig bakåt Om det regnar faller regnet rakt ner, men om man rör sig ser det ut som om det faller i en vinkel. Genom vinkeln och den egna hastigheten får man regnets hastighet 9
Genom att mäta förändringar mellan årstiderna i vinkeln hos en bestämd stjärna, mätte James Bradley ljusets hastighet (1729) med en noggrannhet av 1%! Det dröjde mer än 100 år innan denna mätning överträffades.. 10
v = jordens hastighet runt solen c θ θ =2v/c ±v 11
Foucault och Fizeau mätte till slut (1850) ljushastigheten till en noggrannhet av 0.1 % dvs 50 km/s. Spegel! Ljuskälla Roterande spegel Detta var jämförbart med jordens hastighet runt solen, som är c:a 30 km/s 12
De fann ingen årsvariation av ljushastigheten! Detta var en stor gåta... om ljuset rör sig med ändlig hastighet genom en eter måste det ju bli en skillnad beroende på hur fort man rör sig i förhållande till etern... Varför är detta så viktigt? Det ligger till grund för hela tänkandet om tid och rum. Vi repeterar lite mer i detalj Newtons postulat 13
Newton funderade grundligt på begreppet tid och rum. Newtons tankeexperiment: Klättra in i en jättestor hink, stäng locket och snurra den. Man märker säkerligen att den snurrar, därför finns det ett absolut rum: det kan inte vara himlen som snurrar. Då skulle inte vattnet hopa sig mot väggen. Icke-rörelse är i förhållande till den samlade massan i universum. Dock inser han att Galileo-transformation lämnar rörelselagarna oförändrade. 14
Wherefore if the earth is really at rest, the body, which relatively rests in the ship, will... move with the same velocity which the ship has on the earth. But if the earth also moves, the... motion of the body will arise, partly from the true motion of the earth, in immovable space; partly from the relative motion of the ship on the earth; and if the body moves also relatively in the ship; its true motion will arise, partly from the true motion of the earth, in immovable space, and partly from the relative motions as well of the ship on the earth, as of the body in the ship; and from these relative motions will arise the relative motion of the body on the earth.... 15
Absolute time, in astronomy, is distinguished from relative, by the equation or correlation of the vulgar time. For the natural days are truly unequal, though they are commonly considered as equal and used for a measure of time; astronomers correct this inequality for their more accurate deducing of the celestial motions. All motions may be accelerated and retarded, but the true, or equable, progress of absolute time is liable to no change. perseverance of the existence of things remains the same, whether the motions are swift or slow, or none at all.... 16
Just därför mättes ljusets hastighet med mer och mer precision. Michelson och Morley gör 1887 den definitiva mätningen 17
Nu tog Michelson och Morley itu med att mäta ljusets hastighet i olika riktningar... Ingen som helst skillnad! (till 2 km/s) 1887 (se webbsida) 18
Michelson-Morley experiment analogi. Två personer som simmar mellan en plattform och en boj har ett jämnt lopp om plattformen är stilla. Om man drar plattformen i en riktning visar det sig att (2) kommer före. 19
20
21
22
23
Olika knep tillgreps för att slingra sig ur.. etern kunde släpas med av jorden. Men då skulle man se förändringar av stjärnornas lägen vartefter jorden roterade och detta såg man inte. En förklaring gavs av Lorentz, att avståndet krympte i hastighetens riktning (simmaren som borde förlora skulle ha kortare att simma och därför alltid komma ut jämnt). Detta var nära sanningen, men idéerna höll inte ihop förrän Einstein kom med sin snilleblixt. 24
Vi tar nu upp den sista och egentligen kanske den mest glasklara teoretiska invändningen mot Newtons lagar. Maxwell-ekvationen och Lorentz-kraften visar egentligen redan att Newtons absoluta tid och rum inte kan vara korrekt. Vi repeterar Lorentz-kraften: 25
och den närmare laddning är nedan F F B B rakt ner v v Lorentz-kraften F=qvB är ju beroende på hastigheten... om vi förflyttar oss med samma hastighet v försvinner Lorentz-kraften medan kraften mot den andra ledaren kvarstår.. 26
Men ekvationerna var ju komplicerade, och man tyckte nog snarare att de skulle fixas eller att man skulle komma på något sätt att bortförklara dessa problem. 27
Från Newtons Principia: IV. Absolute motion is the translation of a body from one absolute place into another; and relative motion, the translation from one relative place into another. Thus in a ship under sail, the relative place of a body is that part of the ship which the body possesses; or that part of its cavity which the body fills, and which therefore moves together with the ship: and relative rest is the continuance of the body in the same part of the ship, or of its cavity. But real, absolute rest, is the continuance of the body in the same part of that immovable space, in which the ship itself, its cavity, and all that it contains, is moved. 28
Wherefore if the earth is really at rest, the body, which relatively rests in the ship, will... move with the same velocity which the ship has on the earth. But if the earth also moves, the... motion of the body will arise, partly from the true motion of the earth, in immovable space; partly from the relative motion of the ship on the earth; and if the body moves also relatively in the ship; its true motion will arise, partly from the true motion of the earth, in immovable space, and partly from the relative motions as well of the ship on the earth, as of the body in the ship; and from these relative motions will arise the relative motion of the body on the earth.... 29
Absolute time, in astronomy, is distinguished from relative, by the equation or correlation of the vulgar time. For the natural days are truly unequal, though they are commonly considered as equal and used for a measure of time; astronomers correct this inequality for their more accurate deducing of the celestial motions. All motions may be accelerated and retarded, but the true, or equable, progress of absolute time is liable to no change. perseverance of the existence of things remains the same, whether the motions are swift or slow, or none at all.... *Jamför med parallellpostulat i Euklid! 30
Nu kommer vi till Einsteins tankeexperiment som revolutionerade Galileos och Newtons världsbild och satte Michelson i skamvrån för sitt uttalande Istället för att hitta komplicerade förklaringar till varför mätningarna var fel, resonerade han tvärtemot: mätningarna är korrekta men våra förutfattade antaganden om tid och rum är fel. Särskilt tiden. It finally occurred to me that time itself was suspect. Paradoxalt nog tillämpar han Newtons princip för att gå vidare: 31
Låt oss tillämpa Newtons princip ännu striktare än vad man hade tänkt sig tidigare och inte ens tillåta ljuset att göra undantag till Galileos princip: Einsteins postulat (1905): INGET experiment i ett slutet rum kan avgöra om rummet rör sig med konstant hastighet Inget experiment betyder alltså inte ens ett experiment med ljus. (Det var ju vad Michelson/Morley såg men som man försökte bortförklara.) 32
Einsteins postulat är alltså inget annat än Newtons postulat, vilket tolkas restriktivt och helt enkelt kan sammanfattas: Inget experiment kan upptäcka absolut konstant rörelse. Detta är alltså Einsteins enda postulat, som brukar kallas relativitetsprincipen. 33
Detta till synes ofarliga antagande omkullkastar resten av Newtons vidare postulat om en absolut tid, som då visar sig vara inkonsekvent. Såsom Newton tidigare gjorde med ett enkelt tankeexperiment, går Einstein nu vidare och utforskar logiskt och noggrant konsekvenserna av detta antagande: 34
Vi låtsas att kapten Kirk (rymdresenär) i ett rymdskepp gör ett enkelt experiment. Han riktar en ljusstråle mot en spegel vinkelrätt mot rymdskeppets färdriktning 35
τ τ B cτ A Kirk avger en ljusstråle vid A, som reflekteras vid B och återvänder till A. Vi betecknar ljushastigheten med c. Tiden till motsatt vägg betecknar vi τ. Tiden tur o retur blir 2 τ och avståndet tillväggen blir alltså cτ. 36
Låt oss nu jämföra vad kapten Kirk mäter på rymdskeppet och vad jag mäter i tid för samma händelse när jag ser honom rusa förbi. 37
B A Ljuset tänds just när han rusar förbi 38
Jag ser ljuset reflekteras från väggen som nu flyttat sig åt höger. Kirk ser samma som han alltid gjort, eftersom han ju reser med skeppet 39
Jag ser ljuset reflekteras från väggen som nu flyttat sig åt höger. Kirk ser samma som han alltid gjort, eftersom han ju reser med skeppet 40
Detta har den märkliga konsekvensen om man nu lägger till Einsteins postulat, att ljusstrålen rör sig med hastighet c i båda fallen. Vi utreder detta med hjälp av Pythagoras 41
vt cτ ct cτ vt ct Geometrin av händelserna jag observerar cτ Geometrin av händelserna Kirk observerar i sitt rymdskepp 42
cτ vt ct Einsteins enkla ide + Pythagoras sats: c 2 t 2 = c 2 τ 2 + v 2 t 2 τ = t 1 v 2 /c 2 43
τ = t 1 v 2 /c 2 t = tiden mellan händelserna utanför skeppet τ = tiden mellan händelserna inuti skeppet Detta är Einsteins tidsdilatation-formel. Klockorna går olika fort p.g.a. olika observatörers hastighet. 44
Einstein: Sunt förnuft är den samling fördomar man har skaffat sig före 18 års ålder. Man ska förenkla saker så mycket det går, men inte mera. 45
Galileo och Newton: Fysiklagarna är identiska i ett rum som står stilla och ett som rör sig med konstant hastighet ( inertial system ) (?) Alla naturlagar är identiska i två inertialsystem och det finns ett absolut tid och rum. Einstein: (!) Alla naturlagar, inklusive elektromagnetismen är identiska i två inertialsystem och därför finns inget absolut tid och rum. 46
Tvilling paradoxen: fakta Låt os anta att vi reser till en stjärna 4 ljusår bort med en hastighet av 0.8c. Resan tar 10 år tur/retur sett från jorden. För rymdresenären tar den 10 1 (0.8) 2 = 10 0.36 = 6 ȧr Den sk tvillingparadoxen bygger på följande argumentation: Jag stannar hemma och min tvilling reser bort 4 ljusår, vänder och kommer tillbaka. Jag har åldrats 10 år, min tvilling 6. Hittills är allt korrekt 47
"Paradoxen" Paradoxen bygger på ett följande felaktiga resonemang. Einstein säger att all rörelse är relativ; min tvilling ser mig "resa" bort fyra ljusår för att sedan återförenas med mig. Varför är detta inte en motsägelse? Svar: den resande tvillingen befinner sig inte i ett inertialsystem. Han accelererar, bromsar, accelerar igen, bromsar. Acceleration är inte relativ; det råder inget tvivel om vem resenären är och vem som stannar hemma. Det finns ingen paradox i det faktum att resenären kommer tillbaka relativt ung jämfört med mig. 48
Längdkontraktion Det återstår nu ett logiskt problem: Resenärtvillingen ser sig själv resa mot stärnan med en hastiget av 0.8c. Men resan dit tar ju bara 3 år, inte de fyra åren man skulle förvänta sig. Hur kan detta vara? Svar: Det är korrekt att resenären ser nu stjärnan närma sig med en hastighet av 0.8c. Men det tar bara tre år att komma dit. Alltså har avståndet blivit kortare till stjärnan, som nu är 3 r 0.8c = 2.4 ljusår bort! Avståndet till sjtärnan har alltså krympt: L = L o 1 v2 /c 2 = 4 1 (0.8) 2 = 2.4 ljusar Tidsdilationen ländkontraktion.. p.3/3 49
1929 teckning från New Yorker Rubriken löd: Einsteins relativitetsprincip har nu börjat penetrera allmänhetens tänkande. 50
Att kommunicera snabbare än ljuset Ljustratten och Minkowski-rummet Att kommunicera snabbare än ljuset leder till tidsresor bakåt i tiden, vilket, även om det leder till spännande historier, inte leder till acceptabla teorier. 51
Tid, rum och ljustratten. Man brukar diskutera tid och rum genom att rita ett diagram som gör klart vad vi kan ha kännedom om och kan påverka. tidlikt t x=ct framtid rumslikt x dåtid 52
Man utnyttjar ofta följande diagram istället Det område vi kan ha kännedom om eller få kännedom om har egenskapen x 2 + y 2 (ct) 2 53
Varför är det omöjligt att få kännedom om området utanför ljustratten? Det kan argumenteras på olika sätt. Det skulle ta oändligt mycket energi att passera ljusbarriären. E = M 1 v2 /c 2 Fysiker accepterar konstiga teorier, men inte motsägelsefulla, d.v.s. paradoxala. Vi ska nu visa att om man ens kunde överföra information snabbare än med ljusets hastighet skulle det medföra en paradox enligt följande argument. 54
Vi jämför nu mitt en resande observatör tid-och rum -diagram och såsom Newton skulle rita det. x = vt 55
Vi diskuterar nu två händelser A och B som inträffar samtidigt i mitt koordinatsystem. x = vt A B ENLIGT NEWTON I båda våra koordinatsystem är händelserna samtidiga och inträffar på samma avstånd från varandra. 56
Vi jämför nu mitt en resande observatör skulle rita det. tid-och rum-diagram och såsom Einstein x = vt 57
Vi diskuterar nu två händelser A och B som inträffar samtidigt i mitt koordinatsystem. Enligt relativitetsteorin. A t B x ENLIGT EINSTEIN inträffar nu B först och A sedan i det röda koordinatsystemet 58
Detta har som konsekvens att om vi antar att vi kan kommunicera snabbare än ljuset, måste vi i så fall behöva överge kausalitet, en princip som säger att vi inte kan påverka händelser bakåt i tiden. Vi ska nu gå igenom varför. 59
Nu diskuterar vi tre händelser. A x = vt A. Palme mördas. A-B. Information om dådet kommer fram omedelbart till Alfa Centauri B. Informationen ges till Kapten Kirk som råkar fara förbi Alfa Centauri B -C Kapten Kirk skickar ett meddelande tillbaka till Stockholmsområdet som omedelbart kommer fram till hans kollega som far förbi Stocholm. C. Kollegan informerar polisstationen på Östermalm. Eftersom detta är innan dådet inträffar avstyr man händelsen. x B B C Detta är omöjligt. Antingen inträffar en händelse eller inte, alltså kan man inte kommunicera omedelbart. 60
Genom att putsa på figurerna räcker det med att man kan kommunicera utanför ljustratten för att samma paradox kan inträffa. Därför vägrar vi acceptera att information kan överföras snabbare än med ljusets hastighet. Olika sätt har diskuterats hur man kan slingra sig ur, men det har inte accepterats. Tachyoner som aldrig kan sakta ner eller användas för att kommunicera. Maskhål i rymden som vi kommer prata om sedan. Fysiker accepterar inte teorier som ens ger tankeexperiment som är motsägelsefulla. 61
Einsteins postulat räddade inte bara paradoxen med ljushastigheten. Den räddade faktiskt också elektromagnetismen. Vi undersöker hur. Jag börjar med att återge Lorentz-kraften 62
63