y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för vare sig linjens lutning eller var den skär y-axeln. Dessutom finns enpunktformen: y y 1 = k(x x 1 ) där (x 1, y 1 ) är en känd punkt på linjen. Till sist har vi denna där a och b är konstanter vars betydelse vi återkommer till: y a + x b = 1 Alla dessa sätt att teckna en linjär funktion är förstås ekvivalenta. Ett bra tips är att föra över en given linjär funktion till den form som man är mest van vid. Under Lösta uppgifter tar vi upp några exempel. Derivatan av exponentialfunktionen. Vi minns att f(x) = 3 x är ett exempel på en exponentialfunktion. Kännetecknet är att x förekommer som exponent. Det är fritt fram för vilken positiv bas som helst. I exemplet har vi använt basen 3. Så här ser grafen ut: 25 20 15 10 5-2 -1 1 2 3 Figur 1: Gemensamt för alla exponentialfunktioner är att de växer snabbt då basen är > 1. Man talar om exponentiell tillväxt och menar då något som ökar snabbt. (Även Håkan Strömberg 1 KTH Syd

om detta inte alltid är helt korrekt. Jag menar att med basen 1.01, (1%), är ju tillväxten inte särskilt snabb). Vi förstår att denna funktion liksom andra vi studerat hittills har en tangent i varje punkt på kurvan. Med andra ord det borde finnas en derivata till f(x) = 3 x. Använder vi derivatans definition för att ta reda på den får vi f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 3 x+h 3 x h Vidare 3 x 3 h 3 x 3 x (3 h 1) lim = lim h 0 h h 0 h Eftersom 3 x inte är direkt inblandad när h 0, så kan vi skriva (om inte helt självklart) 3 x (3 h 1) lim h 0 h Sedan är det stopp! Det vi lärt oss om gränsvärden räcker inte för att knäcka detta. Vi ser att, när h = 0 får vi 0. Vi går till en bok för högre studier i matematik och 0 hittar (a h 1) lim h 0 h Använder vi detta resultat får vi = lna 3 x (3 h 1) lim = ln3 3 x h 0 h Det återstår nu endast ett problem. Vad står ln för? Vi kommer ihåg att lösningen till ekvationen 10 x = 23 skrivs x = lg23. Detta är en logaritmekvation där vi använder basen 10. Basen 10 är (åtminstone i Sverige) knuten till symbolen lg och det finns en knapp på dosan märkt log som motsvarar lg. Vilken bas man använder när man räknar med logaritmer är egentligen valfritt! Det känns naturligt att använda basen 10 eftersom vi använder oss av basen 10 när vi skriver våra tal. En annan bas är e. Talet e är en konstant precis som π och dessutom lika viktig i matematiken. Jag ska nu försöka förklara varifrån talet e kommer. Betrakta uttrycket ( lim 1 + 1 ) x x x Det handlar alltså om ett gränsvärde där x Plottar vi funktionen ( f(x) = 1 + 1 ) x x får vi följande graf, se 2. Vi kan gissa eller tro att kurvan närmar sig en gräns när x. Jag påstår att denna gräns är just talet e. Här har du talet e med de 200 första decimalerna: Håkan Strömberg 2 KTH Syd

2.6 2.4 2.2 10 20 30 40 50 1.8 Figur 2: 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 669676277240766303535475945713821785251664274274663919320 030599218174135966290435729003342952605956307381323286279 4349076323382988075319525101901 Normalt brukar man komma ihåg att e 2.72. På dosan finns en knapp märkt e x. Slår vi e 1 får man fram talet e med några av de decimaler som ges ovan. Vi tänker nu använda e som bas när vi räknar med logaritmer och konstaterar att: lg är för 10, vad ln är för e. Sök upp knappen ln på din räknare. Det finns ju oändligt många tal, varför har man fastnat för talet e? Vi återkommer till det. Först ska vi lösa några enkla ekvationer. Förhoppningsvis kommer du ihåg hur man löser till exempel denna ekvation: lgx = 2 10 lg x = 10 2 x = 100 Om den ekvationen är OK för dig är inte denna svårare: lnx = 2 e ln x = e 2 x = e 2 x 7.38906 Vi konstaterar at vår kattregel gäller även här (liksom för alla baser). så även för de andra logaritmlagarna. e ln = Detta är viktigt. Man kan nu skriva om vilket uttryck som helst a b till ett med basen e. Jag påstår att a b = e bln a För att förklara detta använder vi bara två logartimlagar: lna b = b lna Håkan Strömberg 3 KTH Syd

och så kattregeln. Alltså Så om vi har en funktion så kan vi skriva den som e bln a = e ln ab = a b f(x) = 3 x f(x) = e xln 3 eller hur? Bestämmer vi oss för att alltid skriva om en exponentialfunktion oavsett bas till en bas med e (vilket verkar enkelt) så får vi en fastare grund att stå på. Minns ni att vi för en halv timma sedan började med att försöka finna derivatan till f(x) = 3 x Vi kom fram till, genom derivatans definition och genom att låna ett gränsvärde från den högre matematiken, att f (x) = ln 3 3 x Man verkar inte kunna presentera derivatan till denna funktion utan att blanda in ln. Fakta: har derivatan f(x) = e x f (x) = e x Lätt att komma ihåg eller hur? Det är detta faktum som gör e så märkvärdigt. Att derivatans värde är lika med funktionens. där k är en konstant har derivatan f(x) = e kx f (x) = k e kx Lite svårare men fortfarande möjligt att memorera. Vad betyder detta? Ja att: f(x) = 3 x = e ln 3x = e xln 3 Vi deriverar sedan med hjälp av regeln ovan och får Detta uttryck kan ju skrivas om till f (x) = ln 3 e xln 3 f (x) = ln3 e xln 3 = ln 3 e ln 3x = ln 3 3 x Det var ju där vi började! Återstår att vänja sig vid att använda e och ln. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

1 Översätt den linjära funktionen given på allmän form till k-form, där a och b är obestämda konstanter. Vi utgår alltså från ax + by + c = 0 och vill komma fram till y = k x + m. Det betyder att vi kommer att få k och m uttryckta i a och b. Vi ska alltså lösa ut y ur formeln ax + by + c = 0 by = ax c y = ax c b y = a b x + c b Detta betyder att k = a b och m = c b. Normalt lär man sig inte detta utantill, utan är beredd att räkna fram det varje gång det behövs. 2 Vi har den linjära funktionen y 5 + x 3 = 1 I vilka punkter skär denna linje koordinataxlarna? När funktionen skär x-axeln är y = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen 0 5 + x 3 = 1 som har lösningen x = 3. Linjen skär alltså x-axeln i (3, 0) När funktionen skär y-axeln är x = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen y 5 + 0 3 = 1 som har lösningen y = 5. Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0, 5). Det finns tydligen ett klart samband mellan de två nämnarna i funktionen och de punkter i vilka linjen skär axlarna. 3 Vilket resultat, ungefär, bör man få då man beräknar detta uttryck med dosans hjälp: ( 1 + 1 ) 1000 1000 Ungefär 2.71692, ett tal ganska nära e, eller hur! Håkan Strömberg 5 KTH Syd

4 Lös ekvationen lnx + ln2 = ln10 lnx + ln2 = ln 10 ln x = ln 10 ln2 ln x = ln 10 2 ln x = ln 5 e ln x = e ln 5 x = 5 Förutom e ln = har vi använt ln ln = ln. Vi konstaterar att tekniken att lösa en ekvation med ln inte skiljer sig speciellt från det med lg. 5 Förenkla så långt möjligt 2 3 lnea lne 2 3 lnea lne a 2a a 3 = ln e 3 3 lne = 2a 3 a 3 = 2a 3 + a 3 = a Om lg10 = 1 så måste ju lne = 1. 6 Bestäm derivaten till f(x) = 10e x a 3 7 Bestäm derivatan till 8 Vilken funktion f (x) = 10e x f(x) = e 10x f (x) = 10e 10x a) f(x) = e 1 x b) f(x) = e 0 x c) f(x) = e 1 x hör ihop med vilken graf i figur 3 a) f(x) = e x b) f(x) = e x c) f(x) = e 0 När koefficienten är 0 är förstås funktionen konstant = 1. 9 Derivera funktionen f(x) = 4 x + 3 x Håkan Strömberg 6 KTH Syd

Figur 3: Vi skriver om funktionen enligt receptet ovan (även om man är ovan): Nu är det enkelt att derivera f(x) = e xln 4 + e xln 3 f (x) = ln4 e xln 4 + ln3 e xln 3 om man så vill kan man återställa baserna och få f (x) = ln 4 4 x + ln3 3 x Visserligen försvinner e, som vi är ovana vid just nu, men ln består. 10 Kurvan y = C e kx går genom punkten (0, 10). Lutningen i den punkten är 5. Bestäm talen C och k. Först och främst förstår vi att 10 = C e k 0 Vi har helt enkelt satt in x och y efter punkten (0, 10). Detta ger 10 = C e 0 eller C = 10. När vi har C = 10 kan vi skriva funktionen f(x) = 10 e kx Nu tar vi hand om den givna lutningen. För detta måste vi derivera funktionen ovan f (x) = k 10e kx Man har fått veta att f (0) = 3, eller hur (tänk efter). Detta ger f (0) = k 10e k 0 Eftersom f (0) = 5 får vi k 10e k 0 = 5 k 10e 0 = 5 k 10 = 5 k = 1 2 Till slut har vi kommit fram till funktionen: f(x) = 10e x 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

1 Omforma den linjära funktionen till k-form. 3x + y 2 3 = 0 2 En linje skär koordinataxlarna i punkterna (0, 2) och (3, 0). Bestäm linjens ekvation (den linjära funktionen). 3 Lös ekvationen ln x 2 + lnx = 3 4 Man får reda på att f(2) = 3 e 2 och att f(3) = 3 e 3. Bestäm f(x). 5 Skriv om funktionen f(x) = 1000 1.04 x till funktionen g(x) med basen e och bestäm både f(10) och g(10) 6 Derivera funktionen 7 Bestäm f (2) då 8 Derivera f(x) = 3e 2x f(x) = 2e 3x + e x f(x) = (e x e x ) (e x + e x ) 1 Det är bara att räkna på, det vill säga att lösa ut y ur formeln 3x + y 2 3 = 0 y 2 = 3x + 3 y = 6x + 6 Lätt som en plätt, eller hur! Svar: y = 6x + 6 2 Utnyttjar vi kunskapen från Lösta problem nummer 2 får vi direkt y 2 + x 3 = 1 som kan hyfsas till y = 2 3 x 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

3 Svar: x = e 4 Funktionen ln x 2 + lnx = 3 2 lnx + lnx = 3 3 lnx = 3 lnx = 1 e ln x = e 1 x = e f(x) = 3e x är förstås närliggande, men det finns faktiskt oändligt många funktioner som går genom dessa två punkter. Tänk efter. 5 Vi kan tyda denna funktion som en där man startar med 1000 kr och erhåller 4% ränta varje år. f(x) talar om hur mycket man har efter x år. 6 Omskriven till basen e får vi Vi får nu Omskrivningen verkar korrekt. 7 Först deriverar vi Vi kan nu bestämma f(10) = 1000 1.04 10 1480 xln 1.04 g(x) = 1000 e g(10) 1480 f (x) = 3 2e 2x f (x) = 6e 3x + e x f (2) = 6e 6 + e 2 Matematiken stannar normalt här. Handlar det om fysik eller andra tillämpningar av matematiken kanske man svarar f (x) 2428 8 Vi måste börja med att utveckla parenteserna (tänk på konjugatregeln): (e x e x ) (e x + e x ) = e 2x e 2x Vi får då funktionen vars derivata är f(x) = e 2x e 2x f (x) = 2e 2x ( 2)e 2x = 2(e 2x + e 2x ) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

Räkna bokens uppgifter: 2327, 2330, 2335, 2338, 2341, 2342, 2343, 2348, 2353, 2356. 2327 b) TB: f(x) = 3 e 4x ska deriveras. f (x) = 12 e 4x. Enkelt. 2330 d) TB: Nu har vi funktionen f(x) = 6 e x/2. dess derivata är f (x) = 3 e x/2 och f (1/3) = 3 e 1/6 3.54 2335 TB: Tråkiga uppgifter hela vägen. Vad har du tänkt på när du plockat ut dem? Vi har f(x) = 10 e 7x som har derivatan f (x) = 70 e 7x. Vi ska nu visa att KTH: Javisst 2338 f (x) + 7f(x) = 0 70 e 7x + 7 10 e 7x = 0 det ser man ju på en gång. Har jag visat vad jag skulle och på rätt sätt TB: Nu ska jag derivera f(x) = (e x + e x ) 2. Jag vet inte riktigt. Ska man utveckla parenteserna, eller finns det något annat sätt? KTH: I och för sig finns det ett annat sätt, men det har du inte lärt dig ännu, så du får nog utveckla parenteserna TB: 2341 f(x) = (e x + e x ) 2 f(x) = (e x ) 2 + (e x ) 2 + 2e x e x f(x) = e 2x + e 2x + 2 f (x) = 2e 2x 2e 2x TB: C och k i f(x) = C e kx ska bestämmas. Till detta har vi två villkor f(0) = 2 och f (0) = 3. f(0) = C e k0 ger direkt C = 2. Om vi deriverar får vi f (x) = 2k e kx. Eftersom f (0) = 2k kan vi skriva 2k = 3 ger k = 3/2 och hela funktionen f(x) = 3 e 3x/2 2342 TB: Nu är jag helt borta igen. Vad ska jag göra? Jag inser att jag har funktionen f(x) = 4 x och att jag kan derivera den på något sätt. f(x) = e xln 4, så kan också man skriva funktionen. För mig blir det då enklare att finna f (x) = ln 4 e xln 4. Nu har jag både funktionen och derivatan Håkan Strömberg 10 KTH Syd

f (x) = k f(x) ln4 e xln 4 = k e xln 4 k = ln4 1.39 Är det klart? I så fall, vad har jag löst och varför? KTH: Kanske vill man påvisa att f(x)/f (x) är konstant. 2343 TB: Det här med gränsvärden har jag inte fått riktigt grepp på. Hur skulle man skriva nu igen a h 1 lim = 1 h 0 h 2 När h 0 går både täljare och nämnare mot 0 och det är omöjligt att säga vad som händer. Jag har för mig att jag har hört att 0, kan vara precis vad 0 som helst. Här blir det tydligen 1/2 om man väljer a på ett bra sätt. KTH: Den är inte så lätt den här uppgiften. Vi vet att a h 1 h om vi har korrekt värde på a och små värden på h. Om vi fortsätter att förenkla uttrycket får vi 1 2 2348 e) a h h 2 + 1 a ( h 2 + 1 Om vi nu beräknar a med några små värden på h, till exempel h = 0.01 och h = 0.0001 så får vi a = 1.64667 respektive a = 1.6487, så vi kan vara ganska säkra på att de tre första siffrorna hos a = 1.649. Det var ju ett närmevärde det var frågan om. Det exakta svaret är a = e, men jag tänker inte berätta hur jag kom fram till det. Du får vänta några kurser till. TB: Att skriva om en potens a b, som ju har basen a och exponenten b till en annan bas till exempel e eller 10 görs genom eller på samma sätt för basen e Speciellt då för uppgiften ) 1 h a b = 10 lg ab = 10 blg a a b = e ln ab = e bln a 4 2t = 10 lg 42t = 10 2tlg 4 4 2t = e ln 42t = e 2tln 4 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

KTH: Kan verka enkelt men det är viktigt att man kan detta, eftersom det dyker upp som små detaljer i större sammanhang. TB: Vad händer om man skriver om 10 x till basen 10 som det ju redan är. Jag, menar om man inte tänker på detta. 2353 10 x = 10 lg 10x = 10 xlg 10 = 10 x Det blir rundgång eftersom lg10 = 1, på samma sätt som lne = 1 TB: Nu kommer ett sådant här obegripligt uttryck igen. oberoende av x Vad menar de? KTH: Att du ska få fram ett uttryck där x inte ingår. TB: Hur gör jag då? KTH: Vi säger att du inte har en aning. Vad gör du då? TB: Jag har f(x) = 5000 1.05 x, som jag omedelbart skriver om till basen e, bara för att jag då enklare kan derivera f(x). Jag får då f(x) = 5000 e xln 1.05 och dess derivata är f (x) = 5000 ln1.05 e xln 1.05 Enligt uppgiften ska jag nu beräkna en kvot f (x) f(x) = 5000 ln1.05 exln 1.05 = ln1.05 5000 e xln 1.05 KTH: Ja Är det rätt? TB: Men varför. Vad var det för vits med detta? KTH: Att kvoten mellan derivatan och funktionen är konstant ln 1.05. Vet du ett funktionsvärde f(a) så kan du omedelbart bestämma f (a) genom f(a) ln1.05. Det är väl bra! TB: Nej. 2356 TB: Den här uppgiften är mer konkret och därmed tycker jag att den är bättre. Jag har funktionen f(x) = 2 x = e xln 2 och dess derivata f (x) = ln 2 e xln 2 Tangenten har k-värdet f (1) = ln2 e ln 2 = 2 ln2. Jag ska bestämma k och m i f(x) = kx + m. k = 2 ln2 och med hjälp av punkten (1, 2), som ligger på linjen får jag m genom 2 = (2 ln2) 1 + m, ger m = 2 2 ln2. Nu frågar man var tangenten skär y-axeln och det råkar vara samma värde som m. Svaret är (0, 2 2 ln2) Håkan Strömberg 12 KTH Syd