UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel Exempel på ett algebraiska uttryck är 4x " 5y eller x 2 " y 2x + 4y. I dessa uttryck kan olika värden sättas in istället för variablerna x och y och det är möjligt att räkna ut uttryckets värde. Tex för första uttrycket med x =1 och y = 4 får vi värdet 4 "1# 5 " 4 = #16 En ekvation är två uttryck som sätts lika med varandra (det skall finnas ett likhetstecken!). Tex 3x " 2y = x + 8. Detta avsnitt kommer att behandla linjära ekvationer med en variabel, Ax+ B = C. Ex Ekvationen 2x "6 = 2 har lösningen x = 4. Vänsterledet blir då 2 " 4 # 6 = 2 vilket är exakt högerledet. Vi har likhet! Vi säger att x = 4 löser eller satisfierar ekvationen. En vanlig metafor är att se ekvationen som en jämvikt. Detta kan man symbolisera med en balansvåg. Adderar vi något till ena sidan måste samma adderas till andra sidan. Dubblar vi ena sidan (multiplikation med två) måste även andra sida dubblas. På sidan 51-54 har du 4 exempel som löses väldigt grundligt. De avslutar alltid med att kontrollera svaret, ser om det satisfierar ekvationen. På sidan 54-55 delas ekvationer in i tre typer. Conditional (villkorlig): Det är endast en eller ett begränsat antal lösningar till ekvationen (men minst en). Contradiction (Motsägelse): Det finns inte något värde som satisfierar ekvationen. Lösning saknas. Identitet: Det finns oändligt många lösningar. Det går i princip att välja vilket värde som helst. Detta beror på att vänsterledet och högerledet i ekvationen är identiska uttryck (eller går att skriva om så att de blir identiska). Se exempel 5 sid 54-55. Lämpliga övningar: sid 55-57 1,3,5,7,9,15,19,25,31,33,37,41,47,49,51,53 55,57,59,65
Avsnitt 2.2 Formler Inom många områden så används matematiska modeller för att förutsäga vad som kommer att inträffa under vissa förhållanden. Håller bron för den belastningen? Vilken blir strömmen i kretsen? Vilket ph har lösningen? I dessa modeller använder man sig då av ekvationer och olikheter som vi ofta kallar formler. Några exempel är: Ohms lag U = R " I (spänning, resistans och ström), p = F A (tryck, kraft och area), BMI b = m 2 ( body mass index, massa och längd). l Det är viktigt att kunna göra omskrivningar av formler. Du är kanske intresserad av någon av de andra variablerna. Om vi till exempel vill ta reda på idealvikten hos en person. Ideal BMI för en person är 25. Vilken är då idealvikten för en person med längden 1,80m? b = m l 2 " l 2 b = m l 2 l 2 " m = bl 2 m = 25 #1,8 2 = 81kg Hur man löser ut en variabel kan du se i exempel 1-7 sid 67-69. Lämpliga övningar: Sid 62-66 1-5,7,9,13,15,17,19,23,27,29,35,39 Avsnitt 2.3 Tillämpningar av linjära ekvationer Avsnittet innehåller inget nytt utan behandlar samma ekvationer som tidigare men här presenteras ett antal tillämpade problem som kan lösas med linjära ekvationer. Det svåraste momentet är oftast att förstå problemet och därefter ställa upp den ekvation (matematiska modell) som löser problemet. Ett bra exempel på detta är blandningsproblemen på sidan 73-75. Denna problemtyp är svår och steg 1 och 2 i processen är det som oftast ställer till det för problemlösaren, dvs att förstå problemet och ställa upp ekvationen. Studera exemplen och räkna sedan övningarna. Lämpliga övningar: 76-80: 1,3,5 7,9,11,17,19,21,23,25,31,33,41,45,49,51,53 Avsnitt 2.4 Mer tillämpningar av linjära ekvationer Fler tillämpade problem med linjära ekvationer. Titta speciellt på exempel 2 och 3 som behandlar likformig rörelse, dvs föremål som har konstant hastighet. Vi använder två begrepp, hastighet och fart. Hastigheten, betecknas v, talar om hur fort föremålet rör sig och åt vilket håll (riktningen). Farten, är bara hur fort ett föremål rör sig. Dessa begrepp på engelska är velocity och speed (fart). Tex om vi skriver att bilen kör 90 km/h norrut anger vi hastigheten. Skriver vi enbart bilen kör 90 km/h så anger vi farten. Ordet hastighetsmätare är ur en fysikers synvinkel felaktigt medan engelskans speedometer är mer korrekt. Studera exemplen och räkna sedan övningarna. Lämpliga övningar: 1,9,15,19,23,25,31,41*
Avsnitt 2.5 Linjära olikheter med en variabel En linjär olikhet är, precis som hos linjära ekvationer, att man jämför två linjära uttryck. Däremot så söker vi inte likhet utan olikhet. Likhetstecknet ersätts med >, <, eller. Detta innebär att oftast så är det oändligt många värden på variabeln som satisfierar (löser) olikheten. Tex olikheten 4x " 4 + 3x har lösningen x " 4. Dvs alla tal på tallinjen som är mindre än fyra. Lösningsmängden (lösningen) kan åskådliggöras på tallinjen som de har gjort i boken. Vi inför begreppet intervall. Det finns öppna, halvöppna och slutna intervall. Ett slutet intervall kan skrivas på formen a " x " b. Dvs alla tal mellan a och b men även a och b. Man använder i boken hakklammrar [ a,b] som beteckning för detta intervall. Mitt på sid 92 beskrivs de olika intervalltyperna. Man inför även tecknet " som står för plus oändligheten. Intervallet x > 3 kan skrivas ( 3," ). Observera att man alltid har ett öppet intervall om ena änden är ". Oändligheten är ju ingen punkt på tallinjen som kan tillhöra intervallet. När vi löser en olikhet så kan vi använda samma teknik som när vi löser en ekvation. Vi kan addera (subtrahera) vänster led och högerled med samma sak för att förenkla olikheten (se sid 116). Vi kan multiplicera (dividera) vänsterled och högerled med samma sak för att förenkla olikheten. Observera att förhållandet kommer att förändras då vi multiplicerar/dividerar med ett negativt tal. Om vi har olikheten 3< 4. Vi multiplicerar den med (-1). Vi får då "3> "4. Olikhetstecknet vänds. Bortsett detta så är det bara att använda samma strategier som när du löser ekvationer. Lämpliga övningar: Sid 100-103: 1,3,5,7,9,11,15,19,23,25,29,31,33,43,47,57, 71 (men med SI enheter m och kg, se läsanvisningar för formler 2.2.) Avsnitt 2.6 Mängdoperationer och kopplade olikheter Här börjar man att definiera vad man menar med snittet, ", ( intersection på engelska) utav två mängder, dvs mängden av alla gemensamma element. Se blå rutan och exempel 1 på sidan 104. När man har två villkor på en variabel x som kan formuleras som två olikheter Hur tar man då reda för vilka x båda villkoren gäller? En sådan här situation kallas i boken compound inequality with and. Det är inte viktigt att lära sig benämningen utan att förstå hur man löser uppgiften. Studera exempel 2-4 sidan 130-131. Strategin är att man löser de två olikheterna i uppgifterna separat. Lösningen är de gemensamma elementen ( x:en ) för de två olikheternas lösningar,dvs snittet av de två lösningsmängderna. I exempel 2 är det tex enbart intervallet [ 5,8] som är gemensamt. I exempel 4 finns det ingen gemensam del. Detta medför att det inte finns några x:värden som satisfierar båda olikheterna samtidigt och lösningsmängden är tomma mängden ". Vi kan ju även ha en situation där vi har två villkor gällande x och något av dessa skall åtminstone vara uppfyllt. Det som intresserar oss är alla element (x:värden)
som uppfyller något av villkoren. I exempel 6 och 7 har vi just denna situation. Samma strategi som tidigare. Lös de två olikheterna separat. Lösningen är unionen av dessa intervall. Unionen, ", definieras som mängden av alla element i de båda mängderna (se blå rutan sid 107). Lösningsmängden i exempel 6 skrivs som en union. Lämpliga övningar: sid 109-110:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,27,31,33,35,37 39,43,45,47,53 Avsnitt 2.7 Ekvationer och olikheter med absolutvärde I avsnitt 1.1 så introducerades absolutbeloppet x som är x om x " 0 och "x om x < 0. Detta innebär att x alltid är större än eller lika med noll. Tex så är lösningen till ekvationen x = 5 x = 5 eller x ="5. Det vill säga de tal som ligger på avståndet 5 från origo (noll). Ersätter vi likhetstecknet med olikhetstecken så blir lösningsmängden intervall. Se tex figur 31 och 32 sidan 114-115. Ekvationen av typen 2x +1 = 7 (exempel 1 sidan 114) löses genom att titta på de två olika fallen då a) 2x +1= 7och b) 2x +1= "7. Vi får då två lösningar, x = 3 och x = "4 (se exempel 1). Ett annat angreppsätt är skriva om ekvationen på formen x "a = k. Detta kan tolkas geometriskt som att talet x ligger på avståndet k från talet a. Tex ekvationen x + 2 = 4 kan skrivas som x " "2 Avståndet 4 från (-2), dvs x = 2 eller x = "6 ( ). Om vi går tillbaks till vårt exempel 1 och skriver om det. 2x +1 = 2 x + 1 2 = 2 x " # $ 2& = 7 # x " $ 2 & = 7 2 ( ) = 4. x är de tal som ligger på x är de tal som ligger på avståndet 7 2 från talet #, dvs x = 3 och x = "4. $ 2 & Vi kan resonera på samma sätt i exempel 3 på sidan 115. Efter omskrivning (samma steg som i exempel1)får vi # x " $ 2& < 7 2 Lösningsmängden är alla tal som ligger närmare än 7 2 från talet # $ 2 &, dvs, intervallet ("4, 3).
På sidan 118 beskriver man relativt fel. Vi kan ta fallet motstånd. Ett motstånd med relativt fel 5%, dvs 0,05 och förväntad resistans R t =". R är den reella resistansen. Relativa felet enligt formel på sidan 118 Relativa felet = R " R t dvs 0, 05 = " R R t Två fall: 0, 05 = " R eller 0, 05 = - " R I fall 1 är R = 950" och i fall 2 är R =1050". Lämpliga övningar: sid118-120: 1,3,5.9,13,17,23,27,33,37,41,47, 51,55,57,61, 65,67,77, 85,93