Tentamen i MATEMATIK, HF 700 9 nov 007 Tid :5-7:5 KLASS: BP 07 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken tp som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Tentamen består av 8 uppgifter à 4 poäng. För godkänd krävs minst poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 7,, 7 respektive poäng. Komplettering: 0 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F). Denna lapp lämnar du in tillsammans med dina lösningar. Uppgift. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen cos( 0 0 ) 0.5 b) Lös olikheten < 0 ( 4)(8 ) Rita följande andragradskurvor: c) 9 d) 9 Uppgift. En rät linje, som vi betecknar med L, går genom punkterna A(,,) och B (,, ). a) Bestäm linjens ekvation. b) Bestäm skärningspunkten mellan linjen L och planet 0 0. Uppgift. Lös matrisekvationen AX B C med avseende på X då 4 0 0 A B, C Uppgift 4. Lös följande sstem med avseende på, och a) 7 b) 5 Uppgift 5. Hur mcket olja finns det kvar i en clindrisk tank som beskrivs i nedanstående bild. ( Tankens längd är 0 m. Basen är en cirkel med radien m. Övre delen är tom. )
Uppgift. Vi betraktar punkterna A (,,), B(,, 4) och C(, 4, 4). a) Bestäm vektorprodukt N AB AC b) Beräkna arean av triangeln ABC c) Bestäm ekvationen för planet α som går genom punkterna A, B och C d) Bestäm skärningspunkter mellan planet α och koordinatalarna. Uppgift 7. Ett koordinatsstem O är definierat i ett rum ( rät block) med dimensioner 8mμmμ m. enligt bilden nedan. Dessutom gäller CGm, AFm, DEm. a) Bestäm vinkeln mellan vektorerna : OG och OF. b) Beräkna volmen av pramiden OGEF Uppgift 8. Vi betraktar två rmdfarkoster i ett lämpligt vald koordinatsstem. En rmdfarkost rör sig längs banan (,, )(t,-t,-7t) dvs farkosten befinner sig i punkten (,,) vid tidpunkten t. En annan rmdfarkost rör sig länga banan (,,)(-t,-t,-4t). (Tiden är mätt i dagar och längden i 0 5 km ) a) Krockar farkosterna? (Motivering krävs!) b) Skär farkosternas banor varandra? (Motivering krävs!) Lcka till!
FACIT: Uppgift. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen cos( 0 0 ) 0.5 b) Lös olikheten < 0 ( 4)(8 ) Rita följande andragradskurvor: c) 9 d) 9 Lösning: a) cos( 0 0 ) 0.5 i) 0 0 49.458 ± n 0 0 9.458 ± n 0.9458 ± n ii) 0 0 49.458 ± n 0 0-9.458 ± n 0.9458 ± n Svar a:.9458 ± n,.9458 ± n. b) < 0 ( 4)(8 ) 4 8-0 -4 0 8-0 f() 0 ej def Lösningen består av två intervall: < < 4 eller 8 < < Svar: Alla reella för vilka gäller < < 4 eller 8 < < c) c) 9 a a 4 b 9 b Ellipsen med halvalarna a4, b : ej def
d) Hperbeln med a4, b : Uppgift. En rät linje, som vi betecknar med L, går genom punkterna A(,,) och B (,, ). a) Bestäm linjens ekvation. b) Bestäm skärningspunkten mellan linjen L och planet 0 0. Lösning: Linjens riktningsvektor: v AB (,, ) Linjens ekvation: (,, ) (,,) t(,, ) eller t t t. Substitutionen i planets ekvation ger t t t 0 0 t t. Härav, och 4. Svar: Skärningspunkten är P(,,4) Uppgift. Lös matrisekvationen AX B C med avseende på X då 4 0 0 A B, C Lösning: AX B C AX B C Eftersom det (A) 0 är matrisen inverterbar, A 4 Vi multiplicerar ekvationen från vänster och får A AX A ( B C) I X A ( B C) X A ( B C) X 4 0
8 7 X Svar: 8 7 X Uppgift 4. Lösning: a) 7 4 7 4,, Svar 4a),, 4 b) 5 4 0 Ingen lösning Svar 4b) Ingen lösning Uppgift 5. Hur mcket olja finns det kvar i en clindrisk tank som beskrivs i nedanstående bild. ( Tankens längd är 0 m. Basen är en cirkel med radien m. Övre delen är tom. ) 5. Lösning: Om vi betecknar B bastans area (cirkelns segment) och H tankens längd då H B V Först beräknar vi bastans area.
Bastans area (cirkelns area) ( segmentens area) Från triangeln ABO beräknar vi vinkeln v. OB cos v 0.8 v.89898 OA Den centralvinkeln är nu α v 7.7879. Arean av triangeln OAD är A sinα sin 7.7879 / 0.9/0.48 r π Arean av cirkelsektorn är A 7.74 0.4 0 Arean av segmenten ADS A A 0.4 0.480. Cirkelns area r π.4-0..98 Bastans area B(cirkelns area) ( segmentens area).4-0..98 Volmen BÿH.98ÿ0 9.8 m Svar: V9.8 m Uppgift. Vi betraktar punkterna A (,,), B(,, 4) och C(, 4, 4). a) Bestäm vektorprodukten N AB AC b) Beräkna arean av triangeln ABC c) Bestäm ekvationen för planet α som går genom punkterna A, B och C d) Bestäm skärningspunkter mellan planet α och koordinatalarna. a) AB (,, ), AC (0,,) i j k N AB AC i j k (,, ) 0 Svar a): N (,, ) b) Längden av vektorn N är lika med 4.
AB AC N Triangelns area Svar b) : Triangelns area c) Planets ekvation är D 0 För att få D substituerar vi punkten A i ekvationen och får D 0 D. Alltså, planets ekvation är 0 Svar c) : Planets ekvation är 0 d) 0, 0 och skärningspunkten med - aeln är P ( 0, 0, ). 0, 0 och skärningspunkten med - aeln är P ( 0,, 0) 0, 0 / och skärningspunkten med - aeln är P (0, 0,/ ) Svar d) : P ( 0, 0, ), P ( 0,, 0), P (0, 0,/ ) Uppgift 7. Ett koordinatsstem O är definierat i ett rum ( rät block) med dimensioner 8mμmμ m. enligt bilden nedan. Dessutom gäller CGm, AFm, DEm. a) Bestäm vinkeln mellan vektorerna : OG och OF. b) Beräkna volmen av pramiden OGEF a) OG (0,,) och OF (,,0) u OG (0,,), v OF (,,0) u v cosα u v 7 α arccos( ).9 ± 7 Svar a) α.9 ± b) Volmen av parallellepipeden som späns upp av vektorerna OG (0,,), OF (,,0) och OE (,8,) är
0 V 0. 8 Volmen av pramiden OGEF är. Svar b) Volmen av pramiden OGEF m. 8. Lösning: a) Svar: Farkosterna kolliderar ej eftersom sstemet t t t t 7t 4t saknar lösningar 8b) Både farkosterna rör sig längs räta linjer. Deras banor har följande ekvationer: L: (t,-t,-7t) L: (-s,-s,-4s) Vi söker skärningen mellan linjerna och får ekvationssstemet t s t s 7t 4s som har lösningen s, t. Svar: Banorna skär varandra. (Farkost är i skärningspunkter vid tidpunkten t dagar; farkost är i samma punkt vid tidpunkten t dagar