Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS5/TEN Mathematical Statistics I, ground course Tuesday th December 0, 400-800 The examination consists of 7 questions, each worth 4 points Answer six questions; the six best scores will be counted (You may attempt all 7; the six best scores will be counted) The borders will be approximately: 0-4: 5/A, 6-95: 4/B, 05-55: /C, 0-0: U/FX Permitted: A calculator with empty memory The `Formelsamling i matematisk statistik' published by MAI The relevant parts of the formula and table collection found on the course home page are also attached at the back of the examination paper Four hours (a) A telephone company is monitoring calls A call is classied as voice (V ) if someone is talking or as data (D) otherwise (for example, if it is a modem or fax signal) The call is long (L) if it lasts more than minutes or brief (B) otherwise Based on data collected by the company, the trac is described by the following probability model: p(v ) = 07, p(l) = 06, p(v L) = 05 Compute the following probabilities: i p(d L) ii p(d L) (b) Peter and Paul have eleven apples, of which three are poisoned Peter chooses four at random and eats them, Paul chooses six at random and eats them The dog eats the remaining apple What is the probability that the dog survives? (a) Three machines are used to produce a large batch of similar items The percentage of the batch produced by machines, and are 0%, 0% and 50% respectively Suppose further that % of the items produced by machine are defective, % of those produced by machine and % of those produced by machine One item is selected at random and is found to be defective What is the probability that it was produced by machine? (b) A person has two match boxes, each containing n matches Every time he needs a match, he chooses one of the boxes at random and takes a match Sooner or later, he takes the last match from one of the boxes Compute the probability function for the number of matches in the other box (a) The random variables (X, Y ) have joint probability function What is p(y X )? p X,Y (x, y) = y\x 0 0 0 0 0 4 0 0 4 5 0 4 5 6
(b) Let X and Y be two random variables, with V (X) > 0 and V (Y ) > 0 Prove that ρ X,Y Hint: consider V (cx + Y ) = V (cx) + K(cX, Y ) + V (Y ) Compute the value of c that gives the minimum 4 For a stock price process (S t ) t=0,,,, S 0 = $00 and S t+ = S t ξ t+, where ξ, ξ, ξ are independent identically distributed variables, taking values or 09 with probabilities p(ξ j = ) =, p(ξ j = 09) = You buy a European Call Option for $4, which gives you the right to buy a share at time for price $08 If S > $08, then you exercise the option, sell immediately and make a prot X = $(S 08 4) If S $08, then you do not exercise the option and make a prot of X = 4 (that is, you have spent $4 on an option which you did not exercise, thus making a loss of $4 on the transaction) (a) Represent the situation with an appropriate tree (b) Compute E[X], your expected prot (c) Compute E[X S = 0] and E[X S = 90] (d) Compute E[E[X S ]] 5 (a) Suppose that X P oiss(5), where X represents the number of beetles in a colony Suppose that the number of eggs laid by a beetle can be considered as a random variable Y, where p(y = 0) = p(y = ) = The number of eggs laid by each beetle is independent and independent of the total number of beetles X Let Z denote the total number of eggs Compute E[Z] (b) A wireless packet communication channel suers from clustered errors That is, whenever a packet has an error, the next packet will have an error with probability 09 Whenever a packet is error free, the next packet is error free with probability 099 In the limit, over a long time period, what is the proportion of packets that are error free? 6 (a) Suppose that people attending a party pour drinks from a bottle containing 00cl of a certain liquid Suppose that the expected size of each drink is 55cl, with a standard deviation of 05cl for each drink and that all drinks are poured independently of each other Compute the probability that the bottle will not be empty after 6 drinks are poured Suitable approximations may be used (b) Suppose that X N(µ, ) (that is E[X] = µ and V (X) = ) and that X satises p(x 6) = 00 and p(x 8) = 09 Compute µ and 7 A processor can work on four tasks at once If a new task arrives and the processor is already working on four tasks, the new task is reassigned to another processor Tasks arrive according to a Poisson process with rate tasks per millisecond and the completion rate for the computer is tasks per millisecond (a) Compute the stationary distribution (b) Compute the average number of tasks, at equilibrium, that the processor is working on at any given time
Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble tel : x44 TAMS5/TEN Matematisk statistik I gk tentamen tisdagen den december 0, kl 400-800 Tentamen består av 7 uppgifter värda 4 poäng vardera Svara på sex frågor Du får svara på alla sju; de sex bästa svaren räknas Betygsgränser (ungefär): 0-4: 5/A, 6-95: 4/B, 05-55: /C, 0-0: U/FX Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa med tömda minnen Formelsamling i matematisk statistik utgiven av matematiska institutionen Formel och tabelsamling nns också vid tentan Fyra timmar (a) Ett telefonbolag kontrollerar anrop Ett anrop klassiceras som voice (V ) om någon pratar eller data (D) annars (till exempel, om det är en modem eller fax signal) Ett anrop är långt (L) om det tar mer än tre minuter eller kort (B) annars Baserad på data samlat av bolaget, kan traken beskrivas enligt följande sannolikhetsmodell: Beräkna: i p(d L) ii p(d L) p(v ) = 07, p(l) = 06, p(v L) = 05 (b) Per och Pål har elva frukter av vilka tre är giftiga Per äter fyra på måfå valda frukter och Pål sex; hunden får den återstående Beräkna sannolikheten att hunden klarar sig (a) För att producera ett stort parti av liknande enheter, används tre maskiner Procenterna av partiet som kommer från maskin, och är 0%, 0% respektive 50% Anta vidare att % av enheterna från maskin är defekta, % från maskin och % från maskin En enhet väljs på måfå från partiet och är defekt Beräkna sannolikheten att enheten kommer från maskin (b) En person har två tändsticksaskar som från början innehåller n tändstickor vardera Varje gång han behöver en tändsticka väljer han på måfå en av askarna och tar därur en sticka Förr eller senare kommer han att ta den sista tändstickan från en ask Bestäm fördelningen för det antal stickor som då är kvar i den andra asken (a) Slumpvariablerna (X, Y ) har den gemensamma sannolikhetsfunktionen Beräkna p(y X ) p X,Y (x, y) = y\x 0 0 0 0 0 4 0 0 4 5 0 4 5 6
(b) Låt X och Y vara två slumpvariabler som uppfyller V (X) > 0 och V (Y ) > 0 Visa att ρ X,Y Leding: V (cx +Y ) = V (cx)+k(cx, Y )+V (Y ) Beräkna värdet för c som ger minimum 4 Låt (S t ) t 0 vara en process som modellerar priset för en aktie S uppfyller: S 0 = $00 och S t+ = S t ξ t+, där ξ, ξ, ξ är oberoende identiskt fördelad variabler, som tar värde eller 09 med sannolikheter p(ξ j = ) =, p(ξ j = 09) = Du köper en European Call Option för $4, som ger dig rätten att köpa en aktie vid tidpunkt t = för $08 Om S > $08, använder du optionen, du köper aktien och säljer omedelbart och får en vinst av X = $(S 08 4) Om S $08, använder du inte optionen och får en vinst X = $4 (dvs du har betalt $4 som du förlorar) (a) Beskriv med ett lämpligt träd (b) Beräkna E[X], förväntad vinst (c) Beräkna E[X S = 0] och E[X S = 90] (d) Beräkna E[E[X S ]] 5 (a) Anta att X P oiss(5), där X representerar antalet skalbaggar i en koloni Anta att antalet ägg från en skalbagge är en slumpvariabel Y, med p(y = 0) = p(y = ) = Antalet ägg från en skalbagge är oberoende av alla andra skalbaggar och oberoende av X Låt Z vara det totala antalet ägg Beräkna E[Z] (b) En trådlös paketöverföringskanal drabbas av klusterfel När ett paket är fel, så är nästa paket fel med sannolikheten 09 Om ett paket är felfritt, så är nästa paket felfritt med sannolikheten 099 Över en lång tidsperiod, vad är proportionen av felfria paket? 6 (a) Vid en fest, tar folk dryck från en aska som innehåller 00cl av en viss vätska Anta att den förväntade storleken för en drink är 55cl, med en standardavvikelse 05cl Alla drinkar är oberoende av varandra Beräkna sannolikheten att askan inte är tom efter 6 drinkar Lämpliga approximationer är tillåtna (b) Anta att X N(µ, ) (dvs E[X] = µ och V (X) = ) och att X uppfyller p(x 6) = 00 och p(x 8) = 09 Beräkna µ och 7 En processor kan arbeta med fyra uppgifter samtidigt Om en ny uppgift ankommer när processorn redan arbetar med fyra uppgifter, så tilldelas den nya uppgiften en annan processor Uppgifter anländer enligt en Poissonprocess med intensiteten uppgifter per milli-sekund och kompletteringsintensteten för processorn är uppgifter per milli-sekund (a) Beräkna den stationära fördelningen (b) Beräkna det förväntade antalet uppgifter som nns i processorn vid jämvikt 4
Formel och tabelsamling Sannolikhetslära Några diskreta fördelningar Binomialfördelning, Bi(n,p) p X (k) = Poissonfördelning, Poiss(µ) ( n k X Bi(n, p) ) p k ( p) n k, k = 0,,, n E[X] = np, V (X) = np( p), G X (s) = ( + p(s )) n Hypergeometriskfördelning, Hy(N,n,p) X Poiss(µ) p X (k) = µk k! e µ, k = 0,,, E[X] = µ, V (X) = µ, G X (s) = e (s )µ p X (k) = ( Np k X Hy(N, n, p) ) ( ) N( p) n k ( ), k = 0,,, n N n E[X] = np, Geometrisk fördelning Ge(p) V (X) = N n np( p) N p X (k) = ( p) k p, k 0 E[X] = p p, V (X) = p p G X (s) = För första-gången-fördelning, Ffg(p) p X (k) = ( p) k p, k p ( p)s E[X] = p, V (X) = p p, G X (s) = sp ( p)s Negativ Binomialfördelning NB(r,p) ( k + r p X (k) = r E[X] = r( p) p V (X) = ) p r ( p) k r k = 0,,, r( p) p ( p G X (s) = ( p)s ) r 5
Några kontinuerliga fördelningar Likformig (rektangulär) fördelning på intervallet (a,b), U(a,b) f X (x) = b a a x b E[X] = a + b Exponentialfördelning, Exp(λ) V (X) = (b a) X Exp(λ) M X (p) = epb e pa p(b a) f X (x) = λe λx, x 0 Här betecknar λ intensiteten E[X] = λ, V (X) = λ, M X(p) = λ λ p λ > p Normalfördelningen, N(µ, ) f X (x) = { exp π } (x µ), < x < + E[X] = µ, V (X) =, M X (p) = exp { } pµ + p χ -fördelning, χ (n) Uppkomst: Om X,, X n är oberoende, var och en N(0, ), gäller att Y = X + + X n får en χ fördelning med n frihetsgrader f Y (x) = x(n/) e x/ (n/) Γ(n/) x 0 E[Y ] = n, V (Y ) = n, M Y (p) = ( p) n/ p < t-fördelning, t(n) Uppkomst: Om X N(0, ) och Y χ (n) samt X och Y är oberoende, så gäller att Z = får en t-fördelning med n frihetsgrader f Z (x) = ( ) Γ n+ nπγ ( n ) ( + x n ) (n+)/ X Y/n F - fördelning, F (n, n ) Uppkomst: Om X χ (n ) och X χ (n ) samt X och X är oberoende, så gäller att Y = X /n X /n får en F -fördelning med n och n frihetsgrader f Y (x) = Γ ( n +n ) ( ) n / n n x (n /) Γ ( n ) ( Γ n ) ( ) (n +n n )/ n x + x 0 6
Gammafördelning, Γ(α, λ) Uppkomst: Om X,, X n är oberoende, var och en Exp(λ), så blir Y = X + + X n gammafördelad med parametrarna n och λ f Y (x) = λ(λx)α e λx Γ(α) x 0 Weibullfördelning ) c e (x/a)c x 0 f X (x) = c ( x a a ( ) ( ) ( ( )) ) c + c + c + E[X] = aγ V (X) = a (Γ Γ c c c Kovarians och Korrelation Kovarians: K(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )], µ X = E[X] Korrelation ρ(x, Y ) = K(X,Y ) X Y, X = V (X) Y = V (Y ) 4 Linjärkombinationer av slumpvariabler Gäller generellt: E[a X + + a n X n + b] = a E[X ] + + a n E[X n ] + b För oberoende slumpvariabler X,, X n gäller att Gäller generellt: 5 Genererande funktioner V (a X + + a n X n + b) = a V (X ) + + a nv (X n ) n V (a X + + a n X n + b) = a jv (X j ) + a j a k K(X j, X k ) j= j<k n En diskret icke-negativ, heltalsvärd slumpvariabel X har sannolikhetsgenererande funktion G X (s) = E[s X ] = s k p X (k) k=0 E[X] = G X(), V (X) = G X() + G X() (G X()) En kontinuerlig slumpvariabel X har momentgenererande funktion M X (p) = E[e px ] = e px f X (x)dx Om (X j ) j= är oberoende och likafördelade diskreta icke-negativa heltalsvärda slumpvariabler, samma fördelning som X, och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X + + X Z, gäller: G Y (s) = G Z (G X (s)) Om (X j ) j= är oberoende likafördelade slumpvariabler, samma fördelning som X och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X + + X Z, gäller: M Y (s) = G Z (M X (s)) 7
6 Centrala gränsvärdessatsen Låt X,, X n vara oberoende och likafördelade slumpvariabler, var och en med väntevärde E[X] = µ och varians V (X) = Låt X n = n (X + + X n ) Då gäller för stora n att, approximativt, n( Xn µ) N(0, ) X n N(µ, n ) n X j N(nµ, n ) j= 7 Approximationer mellan olika fördelningar Hy(N, n, p) Bi(n, p) om n N 0 Hy(N, n, p) N(np, N n N n N np( p)) om N np( p) 0 Bi(n, p) P oiss(np) om n 0 och p 0 Bi(n, p) N(np, np( p)) om np( p) 0 P oiss(µ) N(µ, µ) om µ 5 8 Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser E[X] = E[E[X Y ]] = y E[X Y = y]p Y (y) V (X) = E[V (X Y )] + V (E[X Y ]) 9 Slumpvektor Väntevärdesvektorn µ och kovariansmatrisen C för en slumpvektor lyder följande räknelagar: Specialfall: Y = AX + b ger µ Y = Aµ X + b och C Y = AC X A t n V a j X j = V j= ( ) a t X = a t C X a Prediktering: E[(Y a bx) ] har minimum lika med V (Y )( ρ ) för b = K(X, Y ) V (X) a = E[Y ] be[x] Normalfördelning En N(µ, C) normalfördelad vektor X = (X,, X n ) t har täthetsfunktionen { f X,,X n (x,, x n ) = (π) n/ exp } C / (x µ)t C (x µ) och momentgenererandefunktion { M X (p) = exp (p, µ) + } pt Cp 8
Markovkedjor och köteori Stationära fördelning För tidshomogen Markovkedja i diskret tid, låt p ij = p(x(n + ) = j X(n) = i) och P = p 00 p 0 p 0 p 0 p p p 0 p p Låt π = (π 0, π, π, ) beteckna stationära fördelning π(i P ) = 0 För tidshomogen ergodisk Markovkedja i kontinuerlig tid, låt ν i beteckna intensiteten för processen att lämna tillstånd i och låt (q ij ) ij beteckna transitionssannolikheterna för lagrad diskret tid Markovkedjan Låt { νi q γ ij = ij j i ν i j = i Låt Γ = γ 00 γ 0 γ 0 γ 0 γ γ γ 0 γ γ, Det följer att πγ = 0 Stationära fördelningen uppfyller: π n = n=0 Födelsedöds-process En dödsfödelse process är en process där γ ij = 0 för i j > För en födelsedöds process, låt λ i = γ i,i+ och µ i = γ i,i Stationära fördelningen π uppfyller: π n = λ 0λ λ n µ µ µ n π 0 9
Utnyttjande För ett M/M/c kösystem, låt λ beteckna ankomstintensiteten och µ betjäningsintensiteten för en server Det nns c server Utnyttjande ρ denieras som ρ = λ cµ Little's sats Låt N beteckna antalet kunder i systemet, λ ankomstsintensiteten och T den totala tiden att en kund nns i systemet Little's sats är: E[N] = λe[t ] Låt N q antalet som står i kön och W väntetiden innan betjäning Little's sats ger: 4 M/M/ system E[N q ] = λe[w ] Fördelningsfunktioner för W (väntetid) och T (total tid) är och respektive 5 M/M/c system Fördelningsfunktion för W (kötid) är π c = p(n = c) från stationärfördelning F W (t) = p(w t) = ρe µ( ρ)t, t 0 F T (t) = p(t t) = e µ( ρ)t, t 0 F W (t) = p(w t) = π c ρ e cµ( ρ)t, 6 Erlang formel För en M/M/c kö med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet µ för en betjäning, låt a = λ µ Sannolikheten att alla betjäningar är upptagna när en kund anländer givs av Erlang c formel: C(c, a) = π c ρ = a c ρ c! c j=0 aj j! + ac c! ρ För en M/M/c/c kö, med λ ankomstintensitet och µ betjäningsintensitet för en betjäning och a = λ µ, Erlang b formel ger sannolikheten att alla betjäningar är upptagna: B(c, a) = a c /c! cj=0 a j /j! 0
Normalfördelning Tabell för Φ(x) = P (X x), där X N(0, ) För x < 0, använd att Φ(x) = Φ( x) x 0 4 5 6 7 8 9 00 05000 050 05080 050 0560 0599 059 0579 059 0559 0 0598 0548 05478 0557 05557 05596 0566 05675 0574 0575 0 0579 058 0587 0590 05948 05987 0606 06064 060 064 0 0679 067 0655 069 06 0668 066 0644 06480 0657 04 06554 0659 0668 06664 06700 0676 0677 06808 06844 06879 05 0695 06950 06985 0709 07054 07088 07 0757 0790 074 06 0757 079 074 0757 0789 074 07454 07486 0757 07549 07 07580 076 0764 0767 07704 0774 07764 07794 078 0785 08 0788 0790 0799 07967 07995 080 0805 08078 0806 08 09 0859 0886 08 088 0864 0889 085 08 0865 0889 0 084 0848 0846 08485 08508 085 08554 08577 08599 086 0864 08665 08686 08708 0879 08749 08770 08790 0880 0880 08849 08869 08888 08907 0895 08944 0896 08980 08997 0905 090 09049 09066 0908 09099 095 09 0947 096 0977 4 099 0907 09 096 095 0965 0979 099 0906 099 5 09 0945 0957 0970 098 0994 096 0948 0949 0944 6 0945 0946 09474 09484 09495 09505 0955 0955 0955 09545 7 09554 09564 0957 0958 0959 09599 09608 0966 0965 096 8 0964 09649 09656 09664 0967 09678 09686 0969 09699 09706 9 097 0979 0976 097 0978 09744 09750 09756 0976 09767 0 0977 09778 0978 09788 0979 09798 0980 09808 098 0987 098 0986 0980 0984 0988 0984 09846 09850 09854 09857 0986 09864 09868 0987 09875 09878 0988 09884 09887 09890 0989 09896 09898 0990 09904 09906 09909 099 099 0996 4 0998 0990 099 0995 0997 0999 099 099 0994 0996 5 0998 099 0994 0994 09945 09946 09948 09949 0995 0995 6 0995 09955 09956 09957 09959 09960 0996 0996 0996 09964 7 09965 09966 09967 09968 09969 09970 0997 0997 0997 09974 8 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 0998 9 0998 0998 0998 0998 09984 09984 09985 09985 09986 09986 0 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 09990 0999 0999 0999 0999 0999 0999 0999 0999 0999 0999 0999 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 4 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 5 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 6 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 7 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 8 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 9 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 40 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS5/TEN Mathematical Statistics I, ground course Tuesday th December 0, 400-800 Short answers (a) i p(d L) = 05 ii p(d L) = p(d) + p(l) p(d L) = 0 + 06 05 = 065 (b) (a) p(dog survives) = 8 There are fruits in total, the dog gets, each of them equally likely; 8 chances in that he survives All questions along the lines of `who takes the fruits rst' and `how long do they take to die after eating a poisoned fruit' are irrelevant to the dog's prospects of a long and healthy life p(m ) = 0, p(m ) = 0, p(m ) = 05 p(d M ) = 00 p(d M ) = 00 p(d M ) = 00 p(m D) = = p(d M )p(m ) p(d M )p(m ) + p(d M )p(m ) + p(d )p(m ) 00 05 00 0 + 00 0 + 00 05 = 065 (b) If there are k matches remaining in one box, then he has chosen the empty box n times and the non empty box n k times; a total of n k selections have been made Each ( ) n ( ) n k sequence has probability = The empty box must be chosen last There ( ) n k n k are possible sequences Hence n (a) p X (k) = ( n k n ) n k k =,, n p(y X ) = p X,Y (, 0) + p X,Y (, 0) + p X,Y (, ) + p X,Y (, 0) +p X,Y (, ) + p X,Y (, ) = 0 + 0 + + + 4 + 5 = 5 = 8
(b) 0 V (cx + Y ) = V (cx) + V (Y ) + K(cX, Y ) = c V (X) + V (Y ) + ck(x, Y ) d V (cx + Y ) = cv (X) + K(X, Y ) dc minimum when c = K(X,Y ) V (X) so that so that K(X, Y ) V (X) ρ X,Y = K(X, Y ) + V (Y ) V (X) K(X, Y ) V (X)V (Y ) ρ X,Y 4 (a) draw the tree (b) E[X] = 9 8 9 4 = 0 (c) 0 E[X S = 0] = 4 = 4 = 8 (d) E[E[X S ]] = 8 4 = 0 5 (a) E[Y ] = 0 + = E[X S = 90] = 4 E[Z] = E[E[Z X]] = Alternatively, E[Y + + Y k X = k]p X (k) = k= ke[y ]p X (k) = E[X] = 5 G Y (s) = s k p Y (k) = + s G X (s) = exp {5(s )} k { (( ) )} { } G Z (s) = G X (G Y (s)) = exp 5 + s 5 = exp (s ) G Z(s) = 5sG Z (s) E[Z] = G Z() = 5G Z () = 5 (b) 0 = error free, = packet has an error ( ) 099 00 P = 0 09 ( ) 00 00 (π 0, π )(I P ) = (π 0, π ) 0 0 00π 0 0π = 0 π = 0π 0 π 0 + π = π 0 ( + 0) = π 0 = 0, π = The proportion of error free packets is π 0 = 0 4 k=
6 (a) To suitable approximation, S = X + + X 6 N(6 55, 6 05 ) = N(98, 9) Z = S 98 N(0, ) 7 (a) p(s < 00) = p(z < ) 07486 (b) Z = X µ N(0, ) Use p(z x) = p(z x) as written at the top of the N(0, ) table Then p(z 6 µ ) = 0 p(z µ 6 ) = 0 p(z µ 6 ) = 08 µ 6 = 084 p(z 8 µ ) = 09 8 µ = 8 µ = 6 + 084, µ = 8 8 = 00, µ = 00 ( ) j π j = π 0 j =,,, 4 (b) π 0 = 8 = π 0 ( + + 4 9 + 8 7 + 6 8 ) = π 0 8 π = 54 π = 6 π = 4 π 4 = 6 E[N] = 54 + 7 + 7 + 64 = 6 5