TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011,

Transkript

1 Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011, The examination consists of 7 questions, each worth 4 points Answer six questions; the six best scores will be counted (You may attempt all 7; the six best scores will be counted) The borders will be approximately: 20-24: 5/A, : 4/B, : 3/C, 0-10: U/FX Permitted: A calculator with empty memory The `Formelsamling i matematisk statistik' published by MAI The relevant parts of the formula and table collection found on the course home page are also attached at the back of the examination paper Four hours 1 (a) Events A and B satisfy p(a) = p(b) = 1 4 and p(a B) = 1 8 i Compute the probability that at least one of the events A and B takes place (1p) ii Determine whether A and B are independent The answer must be motivated (1p) (b) Four men are playing poker in a saloon bar Because of an error in the shuing, the deck contains an extra ace of spades Each player is dealt a hand of 5 cards at random from the deck Compute the probability that one of the players receives both the aces of spades in his hand 2 (a) An urn contains six red and four blue balls Another urn contains three red and six blue balls One moves a randomly chosen ball from the rst to the second urn without noting its colour One then takes a ball at random from the second urn What is the probability that it is red? (b) You arrive at a bus stop at time 0 At the end of every minute, a bus comes with probability p, or no busses come with probability 1 p When a bus comes, you step on with probability q Let T = the number of minutes you stand at the bus stop Let N denote the number of busses that come while you wait at the bus stop Compute p N,T (n, t), the joint probability function 3 (a) The random variables X and Y have joint probability function { c(x + y) x = 1, 2, 3 y = 1, 2 p X,Y (x, y) = 0 other (x, y) i Compute c (1p) ii Compute p(y X 1) (1p) (b) There are two batches of items The rst contains 1590 good items and 10 defective items The second contains 980 good items and 20 defective items 100 items are taken without replacement from each batch and the total number of defective items is noted Compute, with suitable approximations, the probability that the combined total number of defective items is at least three 1

2 4 A prisoner is trapped in a cell with three unlocked doors The rst leads to a tunnel that returns the prisoner to his cell after three days The second returns him to his cell after four days The third leads immediately to freedom Suppose that when he returns to his cell, he is so disoriented that each time he chooses between doors 1, 2 and 3 with probabilities 04, 04 and 02 respectively, independently of previous attempts Assume that he attempts another escape as soon as he returns to his cell Compute the expected number of days until he reaches freedom (4pt) 5 (a) The input for a digital lter is a sequence of random variables X 0, X 1, X 2, The output is the sequence W 1, W 2, W 3,, where W n = 2 3 X n X n 1 n = 1, 2, 3, X 0, X 1, X 2, are independent identically distributed with E[X i ] = 0, V (X i ) = 1, i = 0, 1, 2, Compute E[W i ] and V (W i ) (b) Three boys, A, B and C are throwing a ball to each other If A has the ball, he throws it to B with probability 02 and C with probability 08 If B has the ball, he throws it to A with probability 06 and C with probability 04 If C has the ball, he throws it to A or B each with probability 05 If each boy has the ball with equal probability at the beginning (t = 0), which boy has the highest probability of having the ball at time t = 2? 6 (a) The random variables X 1, X 2, X 3, X 4 are independent, normally distributed, each N(1, 1 9 ) (expectation 1, variance 1 9 ) Compute p( 2 < 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 < 3) (b) In a computer, every number is rounded to the nearest whole number The rounding errors can be considered as independent identically distributed variables, each with a uniform distribution on the interval ( 05, 05) How many numbers can be summed so that, with probability 090, the absolute value of the total error is less than 10? Suitable approximations are permitted 7 Customers arrive at a shop according to a Poisson process with intensity 12 customers per hour The shop has one server Suppose that it takes the server an exponentially distributed time, with expected value 3 minutes to serve a customer (a) What is the probability that a customer who has just arrived must wait to be served? (b) Compute the probability that there are more than 4 customers in the system at equilibrium 2

3 Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble tel : x1424 TAMS15/TEN1 Matematisk statistik I gk tentamen tisdagen den 10 april 2012, kl Tentamen består av 7 uppgifter värda 3 poäng vardera Svara på sex frågor Du får svara på alla sju; de sex bästa svaren räknas Betygsgränser (ungefär): 20-24: 5/A, : 4/B, : 3/C, 0-10: U/FX Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa med tömda minnen Formelsamling i matematisk statistik utgiven av matematiska institutionen Formel och tabelsamling nns också vid tentan Fyra timmar 1 (a) A och B är händelser sådana att p(a) = p(b) = 1 4 och p(a B) = 1 8 i Beräkna sannolikheten för att åtminstone en av händelserna A och B inträar (1p) ii Avgör om händelserna A och B är oberoende Svaret måste motiveras (1p) (b) I en saloon sitter fyra män och spelar poker På grund av ett missöde vid blandningen innehåller kortleken ett extra spaderess Given sker så att var och en av spelarna får fem slumpmässigt valda kort Beräkna sannolikheten för att någon av spelarna får båda spaderessen på hand 2 (a) En urna innehäller sex röda och fyra blå kulor, en annan urna tre röda och sex blå kulor Man yttar en på måfå vald kula från den första till den andra urnan utan att notera dess färg Om man sedan drar en kula ur den andra urnan, vad är sannolikheten att den är röd? (b) Du kommer till en busshållplats vid tidpunkt 0 På slutet av varje minut, kommer en buss med sannolikhet p, eller ingen buss med sannolikhet 1 p När en buss kommer, stiger du på med sannolikhet q Låt T = antalet minuter du står att busshållplatsen Låt N betekna antalet bussar som kommer när du vänter vid busshållplatsen Beräkna p N,T (n, t) 3 (a) Slumpvariablerna X och Y har den gemensamma sannolikhetsfunktionen p X,Y (x, y) = { c(x + y) x = 1, 2, 3 y = 1, 2 0 annars(x, y) i Beräkna c (1p) ii Beräkna p(y X 1) (1p) (b) I två partier nns det 1590 korrekta och 10 defekta enheter respektive 980 korrekta och 20 defekta enheter Man tar 100 enheter slumpmässigt utan återläggning ur vardera partiet och noterar totala antalet påträade defekta enheter Beräkna med lämplig approximation sannolikheten att sammanlagt minst tre defekta enheter påträas 3

4 4 En fånge är insätt i en cell som innehåller tre olåsta dörrar Den första leder till en tunnel som återför fången till hans cell efter tre dagar Den andra återför fången till hans cell efter fyra dagar Den tredje leder omedelbart till frihet Anta att han varje gång väljer från dörr 1, 2 och 3 med sannoliheterna 04, 04 och 02 respektive Beräkna det förväntade antalet dagar för att hitta till friheten (4p) 5 (a) Input för ett digitalt lter är en sekvens av slumpvariabler X 0, X 1, X 2, Uteekten är sekvensen W 1, W 2, W 3,, där W n = 2 3 X n X n 1 n = 1, 2, 3, X 0, X 1, X 2, är oberoende, identiskt fördelade med E[X i ] = 0, V (X i ) = 1, i = 0, 1, 2, Beräkna E[W i ] och V (W i ) (b) Anta att tre pojkar A, B och C kastar en boll, den ena till den andra Om A har bollen, kastar han den till B med sannolikhet 02 och till C med sannolikhet 08 Om B har bollen, kastar han den till A med sannolikhet 06 och till C med sannolikhet 04 Om C har bollen, kastar han den till A eller B, var och en med sannolikhet 1 2 Om varje pojke har bollen med samma sannolikhet från början (t = 0), vilken pojke har den högsta sannolikheten att ha bollen vid tid 2? 6 (a) Slumpvariablerna X 1, X 2, X 3, X 4 är oberoende normalfördelade, var och en N(1, 1 9 ) (väntevärde 1, varians 1 9 ) Beräkna p( 2 < 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 < 3) (b) I en dator, avrundas varje tal till närmaste heltal Avrundningsfel kan ses som en likformig fördelning på intervallet ( 05, 05) Hur många tal kan summeras så att, med sannolikhet 090, det absoluta beloppet av det totala felet är mindre än 10? 7 Kunder anländer till en butik enligt en Poisson-process med intensitet 12 kunder per timme Butiken har en expedit som betjänar kunderna Anta att det tar expediten en exponential fördelad tid, med väntevärdet 3 minuter att betjäna en kund (a) Vad är sannolikheten att en kund som just anlänt måste vänta på betjäning? (b) Beräkna sannolikheten att det nns mer än 4 kunder i systemet vid jämvikt 4

5 Formel och tabelsamling 1 Sannolikhetslära 11 Några diskreta fördelningar Binomialfördelning, Bi(n,p) p X (k) = Poissonfördelning, Poiss(µ) ( n k X Bi(n, p) ) p k (1 p) n k, k = 0, 1,, n E[X] = np, V (X) = np(1 p), G X (s) = (1 + p(s 1)) n Hypergeometriskfördelning, Hy(N,n,p) X Poiss(µ) p X (k) = µk k! e µ, k = 0, 1, 2, E[X] = µ, V (X) = µ, G X (s) = e (s 1)µ p X (k) = ( Np k X Hy(N, n, p) ) ( ) N(1 p) n k ( ), k = 0, 1,, n N n E[X] = np, Geometrisk fördelning Ge(p) V (X) = N n np(1 p) N 1 p X (k) = (1 p) k p, k 0 E[X] = 1 p p, V (X) = 1 p p 2 G X (s) = För första-gången-fördelning, Ffg(p) p X (k) = (1 p) k 1 p, k 1 p 1 (1 p)s E[X] = 1 p, V (X) = 1 p p 2, G X (s) = sp 1 (1 p)s Negativ Binomialfördelning NB(r,p) ( k + r 1 p X (k) = r 1 E[X] = r(1 p) p V (X) = ) p r (1 p) k r k = 0, 1, 2, r(1 p) p ( p G X (s) = 1 (1 p)s ) r 5

6 12 Några kontinuerliga fördelningar Likformig (rektangulär) fördelning på intervallet (a,b), U(a,b) f X (x) = 1 b a a x b E[X] = a + b 2 Exponentialfördelning, Exp(λ) V (X) = (b a)2 12 X Exp(λ) M X (p) = epb e pa p(b a) f X (x) = λe λx, x 0 Här betecknar λ intensiteten E[X] = 1 λ, V (X) = 1 λ 2, M X(p) = λ λ p λ > p Normalfördelningen, N(µ, σ 2 ) f X (x) = 1 { exp 2πσ } (x µ)2 2σ 2, < x < + E[X] = µ, V (X) = σ 2, M X (p) = exp { } pµ + p2 2 σ2 χ 2 -fördelning, χ 2 (n) Uppkomst: Om X 1,, X n är oberoende, var och en N(0, 1), gäller att Y = X X2 n får en χ 2 fördelning med n frihetsgrader f Y (x) = x(n/2) 1 e x/2 2 (n/2) Γ(n/2) x 0 E[Y ] = n, V (Y ) = 2n, M Y (p) = 1 (1 p) n/2 p < 1 t-fördelning, t(n) Uppkomst: Om X N(0, 1) och Y χ 2 (n) samt X och Y är oberoende, så gäller att Z = får en t-fördelning med n frihetsgrader f Z (x) = ( ) Γ n+1 2 nπγ ( n 2 ) ( 1 + x2 n ) (n+1)/2 X Y/n F - fördelning, F (n 1, n 2 ) Uppkomst: Om X 1 χ 2 (n 1 ) och X 2 χ 2 (n 2 ) samt X 1 och X 2 är oberoende, så gäller att Y = X 1/n 1 X 2 /n 2 får en F -fördelning med n 1 och n 2 frihetsgrader f Y (x) = Γ ( n 1 +n 2 ) ( ) n1 /2 n 1 2 n 2 x (n 1 /2) 1 Γ ( n ) ( 1 2 Γ n2 ) ( ) (n1 +n n 2 )/2 1 2 n 2 x + 1 x 0 6

7 Gammafördelning, Γ(α, λ) Uppkomst: Om X 1,, X n är oberoende, var och en Exp(λ), så blir Y = X X n gammafördelad med parametrarna n och λ f Y (x) = λ(λx)α 1 e λx Γ(α) x 0 Weibullfördelning ) c 1 e (x/a)c x 0 f X (x) = c ( x a a ( ) ( ) ( ( )) ) c + 1 c + 2 c E[X] = aγ V (X) = a (Γ 2 Γ c c c 13 Kovarians och Korrelation Kovarians: K(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )], µ X = E[X] Korrelation ρ(x, Y ) = K(X,Y ) σ X σ Y, σ 2 X = V (X) σ2 Y = V (Y ) 14 Linjärkombinationer av slumpvariabler 1 Gäller generellt: E[a 1 X a n X n + b] = a 1 E[X 1 ] + + a n E[X n ] + b 2 För oberoende slumpvariabler X 1,, X n gäller att 3 Gäller generellt: 15 Genererande funktioner V (a 1 X a n X n + b) = a 2 1V (X 1 ) + + a 2 nv (X n ) n V (a 1 X a n X n + b) = a 2 jv (X j ) + 2 a j a k K(X j, X k ) j=1 1 j<k n En diskret icke-negativ, heltalsvärd slumpvariabel X har sannolikhetsgenererande funktion G X (s) = E[s X ] = s k p X (k) k=0 E[X] = G X(1), V (X) = G X(1) + G X(1) (G X(1)) 2 En kontinuerlig slumpvariabel X har momentgenererande funktion M X (p) = E[e px ] = e px f X (x)dx Om (X j ) j=1 är oberoende och likafördelade diskreta icke-negativa heltalsvärda slumpvariabler, samma fördelning som X, och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: G Y (s) = G Z (G X (s)) Om (X j ) j=1 är oberoende likafördelade slumpvariabler, samma fördelning som X och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: M Y (s) = G Z (M X (s)) 7

8 16 Centrala gränsvärdessatsen Låt X 1,, X n vara oberoende och likafördelade slumpvariabler, var och en med väntevärde E[X] = µ och varians V (X) = σ 2 Låt X n = 1 n (X X n ) Då gäller för stora n att, approximativt, n( Xn µ) N(0, 1) σ X n N(µ, σ2 n ) n X j N(nµ, nσ 2 ) j=1 17 Approximationer mellan olika fördelningar Hy(N, n, p) Bi(n, p) om n N 1 10 Hy(N, n, p) N(np, N n N n N 1 np(1 p)) om N 1 np(1 p) 10 Bi(n, p) P oiss(np) om n 10 och p 01 Bi(n, p) N(np, np(1 p)) om np(1 p) 10 P oiss(µ) N(µ, µ) om µ Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser E[X] = E[E[X Y ]] = y E[X Y = y]p Y (y) V (X) = E[V (X Y )] + V (E[X Y ]) 19 Slumpvektor Väntevärdesvektorn µ och kovariansmatrisen C för en slumpvektor lyder följande räknelagar: Specialfall: Y = AX + b ger µ Y = Aµ X + b och C Y = AC X A t n V a j X j = V j=1 ( ) a t X = a t C X a Prediktering: E[(Y a bx) 2 ] har minimum lika med V (Y )(1 ρ 2 ) för b = K(X, Y ) V (X) a = E[Y ] be[x] Normalfördelning En N(µ, C) normalfördelad vektor X = (X 1,, X n ) t har täthetsfunktionen { 1 f X1,,X n (x 1,, x n ) = (2π) n/2 exp 1 } C 1/2 2 (x µ)t C 1 (x µ) och momentgenererandefunktion { M X (p) = exp (p, µ) + 1 } 2 pt Cp 8

9 2 Markovkedjor och köteori 21 Stationära fördelning För tidshomogen Markovkedja i diskret tid, låt p ij = p(x(n + 1) = j X(n) = i) och P = p 00 p 01 p 02 p 10 p 11 p 12 p 20 p 21 p 22 Låt π = (π 0, π 1, π 2, ) beteckna stationära fördelning π(i P ) = 0 För tidshomogen ergodisk Markovkedja i kontinuerlig tid, låt ν i beteckna intensiteten för processen att lämna tillstånd i och låt (q ij ) ij beteckna transitionssannolikheterna för lagrad diskret tid Markovkedjan Låt { νi q γ ij = ij j i ν i j = i Låt Γ = γ 00 γ 01 γ 02 γ 10 γ 11 γ 12 γ 20 γ 21 γ 22, Det följer att πγ = 0 Stationära fördelningen uppfyller: π n = 1 n=0 22 Födelsedöds-process En dödsfödelse process är en process där γ ij = 0 för i j > 1 För en födelsedöds process, låt λ i = γ i,i+1 och µ i = γ i,i 1 Stationära fördelningen π uppfyller: π n = λ 0λ 1 λ n 1 µ 1 µ 2 µ n π 0 9

10 23 Utnyttjande För ett M/M/c kösystem, låt λ beteckna ankomstintensiteten och µ betjäningsintensiteten för en server Det nns c server Utnyttjande ρ denieras som ρ = λ cµ Little's sats Låt N beteckna antalet kunder i systemet, λ ankomstsintensiteten och T den totala tiden att en kund nns i systemet Little's sats är: E[N] = λe[t ] Låt N q antalet som står i kön och W väntetiden innan betjäning Little's sats ger: 24 M/M/1 system E[N q ] = λe[w ] Fördelningsfunktioner för W (väntetid) och T (total tid) är och respektive 25 M/M/c system Fördelningsfunktion för W (kötid) är π c = p(n = c) från stationärfördelning F W (t) = p(w t) = 1 ρe µ(1 ρ)t, t 0 F T (t) = p(t t) = 1 e µ(1 ρ)t, t 0 F W (t) = p(w t) = 1 π c 1 ρ e cµ(1 ρ)t, 26 Erlang formel För en M/M/c kö med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet µ för en betjäning, låt a = λ µ Sannolikheten att alla betjäningar är upptagna när en kund anländer givs av Erlang c formel: C(c, a) = π c 1 ρ = 1 a c 1 ρ c! 1 c 1 j=0 aj j! + ac c! 1 1 ρ För en M/M/c/c kö, med λ ankomstintensitet och µ betjäningsintensitet för en betjäning och a = λ µ, Erlang b formel ger sannolikheten att alla betjäningar är upptagna: B(c, a) = a c /c! cj=0 a j /j! 10

11 Normalfördelning Tabell för Φ(x) = P (X x), där X N(0, 1) För x < 0, använd att Φ(x) = 1 Φ( x) x

12 Poissonfördelning Tabell för P (X x) där X P o(µ) µ k k k

13 µ k k

14 µ k

15 Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2012, Short answers 1 (a) i p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = = 3 8 (1p) ii No, they are not independent A and B are independent if and only if p(a B) = p(a)p(b) But p(a B) = while p(a)p(b) = 16 (1p) (b) 2 (a) 4 51! 3!5!5!5!33! 53! 5!5!5!5!33! = p(r) = = = 9 25 (b) p N,T (n, t) = ( t 1 n 1 ) p n (1 p) t n (1 q) n 1 q 3 (a) i (binomial coecient - number of ways to place the n 1 busses that you do not step onto in the rst t 1 minutes p n (1 p) t n probability of a particular sequence of t minutes with n busses You decline n 1 busses and you step onto the last one) ii 1 = c( ) = 21c c = 1 21 p(y X 1) = p X,Y (2, 1) + p X,Y (3, 1) + p X,Y (3, 2) = (b) X number from batch 1, Y from batch 2 X Hyp(1600, 100, ) Bi(100, ) P oiss(0625) 20 Y Hyp(1000, 100, ) Bi(100, 002) P oiss(2) 1000 Z = X + Y P oiss(2625) = = 4 7 (1p) p(z 3) = 1 p(z 2) = 1 (e e e 2625 ) =

16 4 5 (a) E[T ] = (3 + E[T ]) 04 + (4 + E[T ]) = 08E[T ] + 28 E[T ] = 14 E[W i ] = 2 3 E[X i] E[X i 1] = 0 (4p) (b) 6 (a) so C has the highest probability V (W i ) = 4 9 V (X i) V (X i 1) = 5 9 ( 1 3, 1 3, 1 3) p( 2 < 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 < 3) = p 2 = ( , , ) 2X 1 X 2 + X 3 3X 4 N( 1, 15 9 ) ( 1 < Z < 4 ) 5/3 5/3 3 3 = Φ(4 5 ) + Φ( ) 1 = Φ(310) + Φ(077) 1 5 (b) E[X] = 0, V (X) = 1 12 S n = X X n N(0, n 12 ) 09 = p( 10 < S n < 10) = p( n < Z < n ) n > 165 n M/M/1 λ = 12 customers per hour arrivals Departures: µ = 1 3 customers per minute, which is 20 customers per hour ρ = λ µ = 06 Birth / death formula in formula collection: (a) (b) π n = λ 0 λ n 1 π 0 = 06 n π 0 µ 1 µ n 1 = π n = π 0 06 n 1 = π = π 0 04 π 0 = 04 n=0 n=0 π n = 06 n 04 n = 0, 1, 2, p(wait) = 1 π 0 = 1 04 = 06 p(n > 4) = 1 (π 0 + π 1 + π 2 + π 3 + π t ) = 1 04 ( ) =