Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se Jan 8 Signaler & Signalanals Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla funktioner Enkla beräkningar, periodiska, integration och derivation ger oftast en annan sinus eller cosinus Olika tper av signaler Deterministisk Stokastisk Periodisk Icke-periodisk Analog Digital Kontinuerlig Diskret Deterministisk/Stokastisk Periodisk/Icke-periodisk Hela signalen kan förutsägas, utifrån en del av signalen En deterministisk signal är oftast periodisk 3 4 Analog/Digital Kontinuerlig/Diskret Analog Enkel signalanals Medelvärde Kontinuerlig signal - integration mean Digital Amplitudkontinuerlig idskontinuerlig Amplitudkontinuerlig idsdiskret Amplituddiskret idskontinuerlig Amplituddiskret idsdiskret 5 Diskret signal - summering Varians mean m m Beskriver hur mcket funktionen förändras runt medelvärdet m var σ ( x i x mean ) m i var σ ( x x ) i mean i x i 6
Amplitudegenskaper för sinussignal En sinusformad signal med perioiden och frekvensen f kan beskrivas genom sin amplitud A u ( A sin(π f Man kan enkelt beräkna DC-nivå och effektivvärde () för varje periodisk funktion u u DC u( u( 7 Effekt i sinussignal Effekt i sinussignal: U R Effekt i Brus-signal: U σ Pbrus R Vid signalberäkningar sätter man ofta R och får alltså P Brus σ Signal-Brus förhållande: U SNR R /σ P SINUS σ 8 Signalanals Amplitudanals Vilka amplituder finns i signalen? Frekvensanals Vilka frekvenser finns i signalen? äthetsfunktion Probabilit Densit Function (PDF) Amplituäthetsfunktion +d Sannolikheten att signalen har en viss amplitud i ett intervall ( till +d) + +... dq lim 9 Några viktiga samband Sannolikheten beror av d, varför vi inför: Amplituäthetsfunktionen: dq p ( ) d Vidare sannolikheten att signalens amplitud ligger i intervallet a till b: P ( a < < b) p( ) d b a En signals medelvärde (mean, expected value) och dess effektivvärde eller standardavvikelse σ medel p( ) d E eff σ ( effektivvärde) {[ E[ ] } p( ) ( ) d E ] eff medel σ {}
Cumulative Densit Function (CDF) Integration av PDF Går från till P( <.5).5 p( ) d.5 π p( ) π d arcsin( ) π.5... 3 3 cdf ( ) pdf ( d( cdf ) pdf d 4 Gaussfördelning Kallas också normalfördelning Standard normalfördelning µ σ Korrelation Används för att hitta en signal i en annan Ett mått på hur lika två signaler är R ( j) x N k x[ k] [ k + j] Autokorrelation en signal jämförd med sig själv N R ( j) x[ k] x[ k + j] xx k 5 6 Frekvensanals Frekvenser i ljudklippet Exempel 7 8 3
Relation mellan tid och frekvens >99% av signaleffekten i frekvens- Intervallet -.5 5. 9.5 Relation mellan tidsplanet och frekvensplanet Smalt i tid brett i frekvens, vice versa Fourierserier Jämna eller udda Alla periodiska signaler Likspänning ett antal sinus eller cosinus spänningar u( a + ( an cos πnft + bn sin πnf n Man kan visa att varje periodisk tidskontinuerlig signal med perioiden kan bggas upp av deltoner. Dessa toner har frekvens k*ω där k är ett heltal och ω π / Jämna funktioner innehåller bara likspänning och cosinus Smmetri runt -axeln Udda funktioner innehåller bara likspänning och sinus Smmetri runt både -axeln och x-axeln Korta pulser Viktiga vid telekommunikation Digitala signaler är ofta korta pulser, och Frekvensspektrat (fouriertransformen) blir en sinc-funktion Fourierserie för frkantsvåg Ex: Fourier-Serie för frkant-våg med frekvens och amplitud sin( πx) sinc( x) ( πx) 3 4 4
Uppdelning i grunon och övertoner N k,3,5,... 4 sin(kπ π k 4 sin(πt ) + sin(6πt ) + sin(πt ) +... π 3 5 delton Grunonen * ω 6 deltoner: (,3,5,7,9,)*ω id id 5 För att återge snabba förändringar krävs många deltoner För att återge snabba förändringar krävs stor bandbredd 6 idskontinuerlig Fourierserie ω ω ω j k ω t t ) X [ k ] e j k ω t X [ k ] t ) e < > t ) X [ k ] och X[k] bildar ett Fourier-par 7 8 Icke-periodiska signaler Periodiska signaler kan användes för att testa funktionen hos ett sstem, men är inte särskilt intressanta i sig. eorin för kontinuerliga och tidsdiskreta Fourier-serier kan emellertid utvecklas till gälla även icke-periodiska signaler. idskontinuerlig Fouriertransform t ) X jω e π ( ) X ( jω ) t ) e t ) X ( jω ) j ω t j ω t dω 9 3 5
Fast Fourier ransform (FF) Insignalen är kontinuerlig och icke-periodisk Beskrivningen i frekvensplanet är inte periodisk Beskrivningen i frekvensplanet är ibland svår att beräkna eftersom den bgger på integrering Frekvensanals av en okänd signal görs i praktiken alltid med datorstöd. Med datorer är det naturligare att summera istället för att integrera och man bör därför använda en metod som enbart kräver summering och multiplikation. Fast Fourier ransform (FF) 3 3 Analoga signaler? Om signalen är analog måste den först samplas i N st. punkter med tidsintervall Man kan sedan beräkna frekvensinnehållet i signalen för intervallet till f s [Hz], där f s är samplingsfrekvensen / 33 Val av samplingstiden ( samplingstiden ) måste väljas så att att man får minst sampel på varje period av högsta frekvenskomponenten f max i signalen. / f s > f max Om f max inte är känd måste den analoga signalen filtreras så att inga frekvenskomponenter > f s / finns kvar vid samplingen. 34 Val av antalet sampel N Om man gör frekvensanals på N sampel kommer man att kunna beräkna frekvensinnehållet i N st. frekvenser på intervallet till f s. Frekvensupplösningen blir f s /N [Hz]. Vid givet f s strs alltså valet av antal sampel av den frekvensupplösning man önskar. Laboration A47 MALAB Intro imorgon MALAB-stödpåhemsidan Exempel på hemsidan 35 36 6