Anteckningar i. Inledande Matematik

Anteckningar i Inledande Matematik Anders Logg Chalmers tekniska högskola (Utkast, version 3 oktober 2016)

Copyright 2016 Anders Logg

Förord och läsanvisningar Dessa anteckningar är avsedda att användas som kompletterande material i kursen Inledande matematik på M (TMV225) på Chalmers. Vi kommer i huvudsak att använda oss av boken Calculus (Adams & Essex) men läsvecka 1 och 6 kommer vi att läsa kapitel 1 respektive 6 i dessa anteckningar som täcker ämnen som inte tas upp i Adams & Essex. Kapitel 1 behandlar grundläggande matematisk notation, talföljder, konvergens, Cauchyföljder och konstruktionen av de reella talen R. Detta kommer vi att få stor användning för under de kommande veckorna. Kapitel 6 behandlar metoder (algoritmer) för lösning av ekvationer: bisektionsalgoritmen, fixpunktsalgoritmen och Newtons metod. Synpunkter och korrigeringar mottages tacksamt, på Twitter (@professorlogg) eller på email (logg@chalmers.se)! Anders Logg Göteborg, 3 oktober 2016 Tack! Stort tack till Niklas Ericsson och Stig Larsson för många bra kommentarer och synpunkter på texten! Stort tack också till övningsledare på TMV225 för korrekturläsning av bokens facit: Robert Forslund, Felix Held, Carl Lundholm, Raad Salman och Joel Sjögren.

Innehåll 0 Ekvationen f (x) = 0.......................................... 7 1 Reella tal................................................... 11 1.1 Mängdlära 11 1.2 Matematisk logik 12 1.3 Rationella tal 16 1.4 Talföljder och konvergens 19 1.5 Reella tal 24 1.6 Datorrepresentation av reella tal 31 2 Funktioner (I)............................................... 39 2.1 Introduktion 39 3 Gränsvärde och kontinuitet................................. 41 3.1 Introduktion 41 4 Derivata och linjärisering.................................... 43 4.1 Introduktion 43 5 Approximation och serieutveckling.......................... 45 5.1 Introduktion 45 6 Ekvationslösning............................................ 47 6.1 Ekvationer, rötter och fixpunkter 47

6.2 Bisektionsalgoritmen 49 6.3 Fixpunktsalgoritmen 53 6.4 Newtons metod 59 6.5 Konvergenshastighet 62 7 Tillämpningar............................................... 73 7.1 Introduktion 73 8 Repetition.................................................. 75 8.1 Introduktion 75 9 Extra....................................................... 77 Facit....................................................... 95 Bibliografi................................................. 117

0. Ekvationen f (x) = 0 I detta inledande kapitel funderar vi på hur man löser skalära ickelinjära ekvationer på formen f (x) = 0 och på vad det egentligen innebär att lösa en ekvation. Vi presenterar ett par exempel på till synes enkla ekvationer som visar sig vara mycket svårlösta och ser hur dessa kan lösas med generella metoder. Symbolisk ekvationslösning Hur löser man ekvationen f (x) = 0? Denna fråga kommer att gå som en röd tråd genom första delen av den här boken. Vi är vana vid att lösa enkla algebraiska ekvationer som till exempel andragradsekvationen x 2 + bx + c = 0. Vi kan direkt skriva upp lösningen (lösningsskaran) som x = b 2 ± b 2 /4 c. (1) Men låt oss för en stund fundera på ekvationen x 2 = 2, det vill säga b = 0 och c = 2. Lösningarna ges då av x = ± 2. Men vad är 2? Har vi verkligen löst ekvationen x 2 = 2 genom att skriva x = 2, eller har vi i själva verket bara hittat på en symbol ( ) för lösningen? Och hur vet vi alls att ekvationen har en lösning? Finns talet 2? Dessa frågor kommer vi att besvara redan i kapitel 1 när vi ger mening åt symbolen. Detta med att ge mening åt olika symboler är centralt inom matematiken och vi kommer i de följande kapitlen att ge mening åt symboler som d, lim n, dx och n=1 och, inte minst, hitta användning för dessa verktyg. Men även om man kan ge mening åt symboler som så räcker det inte långt om man vill lösa allmänna ekvationer på formen f (x) = 0. För vad är till exempel lösningsformeln för följande till synes enkla ekvation? x = cos(x) (Ekvationen kan alternativt skrivas som f (x) = x cos(x) = 0.) (3) Denna ekvation saknar en enkel lösningsformel. Vi skulle kunna hitta på en symbol för ekvationens lösning (ty ekvationen har en lösning), men vi kommer istället att se hur lösningen enkelt kan beräknas med en generell lösningsalgoritm. (2)

8 Kapitel 0. Ekvationen f (x) = 0 Generella lösningsalgoritmer I kapitel 6 kommer vi att konstruera kraftfulla lösningsalgoritmer som, under vissa milda antaganden, kan lösa alla tänkbara ekvationer skrivna på formen f (x) = 0, till exempel f (x) = x 2 + bx + c = 0, f (x) = x 2 2 = 0 eller f (x) = x cos(x) = 0: bisektionsalgoritmen, fixpunktsalgoritmen och Newtons metod. Gemensamt för dessa algoritmer är att lösningsprocessen är iterativ; lösningen konstrueras genom att steg för steg beräkna allt noggrannare approximationer av lösningen, vilket kan göras med ett enkelt datorprogram. Ingen av algoritmerna ger en explicit formel för lösningen. Som en försmak på detta undersöker vi hur ekvationerna x = cos(x) och x 2 = 2 kan lösas iterativt. Exempel 0.1 Lösning av ekvationen x = cos(x) med fixpunktsiteration. För att lösa ekvationen x = cos(x) gissar vi att lösningen är x = 1, vilket faktiskt inte är en helt orimlig gissning. Låt oss kalla denna gissning för x 0 och låt oss testa vad som händer om vi nu sätter in denna gissning i högerledet och beräknar x 1 = cos(x 0 ) = cos(1) 0.54. Detta värde tar vi som vår nya gissning. Varför detta skulle vara en bättre gissning återkommer vi till i senare kapitel, men låt oss för stunden se på detta som en lyckosam chansning... Vi upprepar förfarandet och stoppar nu in x 1 i högerledet och får x 2 = cos(x 1 ) 0.86. Om vi upprepar detta ett antal gånger ser vi att talen x 0,x 1,x 2,... ser ut att närma sig ett tal i närheten av 0.73908513321516: x 0 = 1 x 1 = cos(x 0 ) 0.54030230586814 x 2 = cos(x 1 ) 0.85755321584639 x 3 = cos(x 2 ) 0.65428979049778 x 4 = cos(x 3 ) 0.79348035874257 x 5 = cos(x 4 ) 0.70136877362276. x n = cos(x n 1 ). x 79 = cos(x 78 ) 0.73908513321515 x 80 = cos(x 79 ) 0.73908513321517 x 81 = cos(x 80 ) 0.73908513321516 x 82 = cos(x 81 ) 0.73908513321516 x 83 = cos(x 82 ) 0.73908513321516 Detta förfarande kallas fixpunktsiteration och ger, i detta fall, en följd av tal som ser ut att närma sig (konvergera mot) ett tal x 0.73908513321516. Vilket är då detta tal x? Jo, eftersom uppenbarligen också cos( x) 0.73908513321516 (se sista raden i följden av tal ovan) så drar vi slutsatsen att talföljden närmar sig det tal x som löser just ekvationen x = cos(x)! I figur 1 åskådliggörs detta grafiskt. Vi ser att iterationerna snabbt närmar sig ett värde i närheten av 0.73908513321516. Vid närmare undersökning finner man att i varje iteration minskar avståndet mellan x n och lösningen x med en faktor 0.67 sin( x). I senare kapitel kommer vi att förstå varför. Vi kommer också att förstå hur vi skall göra för att lösningen skall konvergera (mycket!) snabbare. Exempel 0.2 Lösning av ekvationen x 2 = 2 med fixpunktsiteration. Inspirerade av det förra exemplet försöker vi nu lösa ekvationen x 2 = 2 med fixpunktsiteration. Vi gissar återigen att lösningen ges av x = 1 och sätter x 0 = 1. Till skillnad mot ekvationen x = cos(x) så kan vi inte direkt sätta in x 0 i högerledet och få ut en ny gissning. Vi måste därför på något sätt lösa ut x ur ekvationen. Vi resonerar då på följande sätt. Om vår gissning x 0 är för liten (vilket den ju är, vi vet att 2 1.41) så bör 2/x 0 vara för stor. Omvänt, om x 0 är för stor, så bör 2/x 0 vara för

9 Figur 1: Iterativ lösning av ekvationen x = cos(x). Till vänster talen x 0,x 1,x 2,... som funktion av iterationsnumret n. Till höger felet x n 0.73908513321516. liten. Och om x 0 är precis rätt, det vill om säga x 0 = 2 så är 2/x 0 = 2/ 2 = 2 = x 0. Vi kan då hoppas på att medelvärdet av x 0 och 2/x 0 är en bättre gissning. Vi sätter därför x n = x n 1 + 2/x n 1. (4) 2 Om vi upprepar (itererar) detta förfarande får vi en följd av tal som ser ut att mycket snabbt närma sig ett tal i närheten av 1.4142135623731: x 0 = 1 x 1 = (x 0 + 2/x 0 )/2 1.5 x 2 = (x 1 + 2/x 1 )/2 1.4166666666667 x 3 = (x 2 + 2/x 2 )/2 1.4142156862745 x 4 = (x 3 + 2/x 3 )/2 1.4142135623747 x 5 = (x 4 + 2/x 4 )/2 1.4142135623731 x 6 = (x 5 + 2/x 5 )/2 1.4142135623731 x 7 = (x 6 + 2/x 6 )/2 1.4142135623731 x 8 = (x 7 + 2/x 7 )/2 1.4142135623731 x 9 = (x 8 + 2/x 8 )/2 1.4142135623731 x 10 = (x 9 + 2/x 9 )/2 1.4142135623731 I figur 2 ser vi att lösningen redan efter fem iterationer har konvergerat mot lösningen x 1.4142135623731. I kapitel 6 kommer vi att förstå varför denna iteration konvergerar så mycket snabbare än iterationen för x = cos(x) i exempel 0.1. Innan vi lämnar ekvationen x 2 = 2 för stunden noterar vi att ekvationen x = x + 2/x 2 (5)

10 Kapitel 0. Ekvationen f (x) = 0 Figur 2: Iterativ lösning av ekvationen x 2 = 2. Till vänster talen x 0,x 1,x 2,... som funktion av iterationsnumret n. Till höger felet x n 1.4142135623731. är en omskrivning av ekvationen x 2 = 2, vilket indikerar att när iterationen har konvergerat så har vi funnit lösningen x = 2 eftersom då vänsterled är lika med högerled i ekvation (5). Beräkning och matematisk analys Vi ser att ekvationerna x = cos(x) och x 2 = 2 enkelt kan lösas med hjälp av fixpunktsiteration (en dator kan utföra iterationerna på en bråkdel av en mikrosekund). Men vad är det som gör att fixpunktsiterationen fungerar? Varför närmar sig talföljden mystiskt lösningen till ekvationen? Vi kommer att kunna besvara dessa frågor i detalj och inte bara kunna förklara när och varför iterationen fungerar, utan också hur snabbt iterationen kan väntas ge ett svar. För att förstå och analysera fixpunktsiteration och andra generella tekniker för ekvationslösning kommer vi i de följande kapitlen att i detalj konstruera och studera det matematiska teoribygge som går under namnet matematisk analys. Vi kommer att behöva studera grundläggande begrepp från den matematiska analysen: de reella talen, funktionsbegreppet, gränsvärden, kontinuitet, derivata och serieutveckling (kapitel 1 5). Med hjälp av dessa verktyg kommer vi i kapitel 6 att kunna konstruera och analysera kraftfulla generella algoritmer för lösning av allmänna ekvationer på formen f (x) = 0. Redan i bokens första kapitel kommer vi att definiera de reella talen och finna att ekvationen x 2 = 2 faktiskt har en lösning x = 2 och att den lösningen är ett reellt tal.

Mängdlära Matematisk logik Rationella tal Talföljder och konvergens Reella tal Datorrepresentation av reella tal 1. Reella tal I detta kapitel introducerar vi de reella talen som är själva byggstenen för den matematiska analysen. Att konstruera de reella talen är en högst icketrivial uppgift, men vi tar oss an uppgiften med gott mod och kommer att bli rikligt belönade i senare kapitel; vi kommer inte bara att kunna sova bättre trygga i vetskapen att de kalkyler och beräkningar vi gör vilar på en solid matematisk grund utan vi kommer också att se hur konstruktionen av de reella talen återkommer i konstruktionen och analysen av de beräkningsalgoritmer vi använder för att lösa ekvationer, allt från den enkla ekvationen x 2 = 2 till kopplade system av ickelinjära partiella differentialekvationer. 1.1 Mängdlära För att effektivt kunna resonera om tal, funktioner och andra centrala objekt inleder vi med att sammanfatta grundläggande notation och resultat från mängdlära och logik. Vår första definition är mängdbegreppet. Definition 1.1 Mängd. En mängd X är en samling av objekt. Om x är ett objekt i mängden X säger vi att x är ett element i mängden X och skriver x X, vilket utläses x tillhör X. Om x inte tillhör X skriver vi x / X, vilket utläses x tillhör inte X. Detta är en högst informell definition (för vad är egentligen en samling av objekt?) men vi kommer att nöja oss med denna intuitiva definition. 1 En mängd skrivs ofta med klammerparentes som i följande exempel: A = {1,2,3,4,5}, (1.1) B = {1,2,3}, (1.2) C = {3,4,5,, }, (1.3) D = {5,,,3,4}, (1.4) E = {1,{1},{1,2,3}}, (1.5) F = {}. Vi noterar direkt två viktiga punkter. För det första är en mängd oordnad, vilket innebär att elementens ordning saknar betydelse. Således är mängden C samma mängd som mängden D. 1 En mer rigorös definition kan göras utifrån Zermelo Fraenkels axiom; se till exempel [Tao06]. (1.6)

12 Kapitel 1. Reella tal För det andra kan elementen i en mängd också vara mängder såsom mängden E bestående av de tre elementen 1 (talet 1), {1} (mängden vars enda element är talet 1) och mängden {1,2,3}. Slutligen noterar vi att en mängd kan vara tom (mängden F). Det finns bara en sådan mängd. Den kallas tomma mängden och betecknas /0. När vi nu har definierat mängdbegreppet är det dags att definiera ett antal viktiga relationer och operationer på mängder: inklusion, likhet, union, snitt, differens och produkt. Vi ger följande informella definitioner. Definition 1.2 Relationer mellan mängder. Låt A och B vara mängder. (Inklusion) A är en delmängd av B omm 2 alla element i A också är element i B; skrivs A B. (Likhet) A och B är lika omm A B och B A; skrivs A = B. (Strikt inklusion) A är en strikt delmängd av B om A B och A B; skrivs A B. Definition 1.3 Operationer på mängder. Låt A och B vara mängder. (Union) Unionen av A och B är mängden av alla objekt som är element i A eller B; skrivs A B. (Snitt) Snittet av A och B är mängden av alla objekt som är element i A och B; skrivs A B. (Differens) Differensen av A och B är mängden av alla element i A som inte också är element i B; skrivs A \ B. (Produkt) Produkten av A och B är mängden av alla ordnade par (a,b) där a är ett element i A och b är ett element i B; skrivs A B. Exempel 1.1 Relationer och operationer på mängder. Låt A-F vara mängderna definierade i (1.1 1.6). Då gäller (exempelvis) följande relationer: B A (B är delmängd av A.) (1.7) B A (B är strikt delmängd av A, mer precist.) (1.8) C = D (C och D är lika.) (1.9) F A (/0 är delmängd av alla mängder.) (1.10) F A (/0 är strikt delmängd av alla icke-tomma mängder.) (1.11) Vi kan också bilda nya mängder med hjälp av operationerna union, snitt, differens och produkt: A B = {1,2,3,4,5} (1.12) A C = {1,2,3,4,5,, } (1.13) A B = {1,2,3} (1.14) A C = {3,4,5} (1.15) A \ B = {4,5} (1.16) A \C = {1,2} (1.17) A B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),...,(5,3)} (1.18) 1.2 Matematisk logik Logik är matematikens språk och mängdläran kan anses vara en del av den matematiska logiken. Vi kommer inte att ge några formella definitioner av logiken utan sammanfattar istället den 2 omm = om och endast om.

1.2 Matematisk logik 13 grundläggande notationen: (negation), (konjunktion och), (disjunktion eller), (implikation) och (ekvivalens). Vi ser på dessa symboler som mer precisa och kompakta skrivsätt för motsvarande uttryck på svenska språket. De logiska operatorerna,,, och opererar på logiska utsagor. En logisk utsaga är ett uttryck som kan vara antingen sant (T) eller falskt (F), aldrig båda. Exempel på sådana uttryck är: P = Solen är en stjärna. (1.19) Q = (1 + 1 = 2) (1.20) R = (5 {1,2,3}) (1.21) De första två utsagorna är sanna (har värdet T) och den tredje utsagan är falsk (har värdet F). Notera att inte alla uttryck är utsagor. Exempelvis är 1 + 1 ett uttryck men inte en utsaga. (Uttrycket har värdet 2, inte sant eller falskt.) Notera också att ett uttryck kan se skenbart logiskt ut men ändå inte vara en giltig logisk utsaga. Exempelvis är 0 0 = 1 (1.22) inte en logisk utsaga eftersom division med noll inte är väldefinierat. De fem grundläggande logiska operatorerna,,, och kombineras med utsagor för att bilda nya utsagor (uttryck som har värdet T eller F). Den första operatorn är en unär operator, vilket innebär att den opererar på en enda utsaga (operand). Om P är en utsaga betyder P detsamma som icke P, det vill säga den logiska motsatsen. ( Solen är inte en stjärna. ) De övriga fyra logiska operatorerna är binära och opererar på två utsagor (operander). Om P och Q är utsagor så betyder P Q detsamma som P och Q (att både P och Q är sanna); P Q betyder detsamma som P eller Q (att någon eller bådadera av P och Q är sanna); P Q betyder detsamma som P implicerar Q (att Q måste vara sann om P är sann); och P Q betyder detsamma som P är ekvivalent med Q (att P och Q alltid har samma sanningsvärde). Vi inför också symbolen för uteslutande eller; P Q är sann om och endast om exakt en av utsagorna P och Q är sanna. Eftersom logiska utsagor måste vara antingen sanna (T) eller falska (F) kan vi definiera de logiska operatorerna fullständigt genom att räkna upp alla tänkbara värden som de kan ta i en tabell, vilket vi gör i följande definition. Att på motsvarande sätt försöka skriva upp alla värden som x + y (operatorn +) kan ta om x och y är reella tal skulle generera en betydligt längre tabell... Definition 1.4 Logiska operatorer. Låt P och Q vara logiska utsagor. Då definieras de fem grundläggande logiska operatorerna enligt följande sanningstabeller: P P Q P Q P Q P Q F T T F T T T T F F F F T F F F T T T T T F F T T F F F T T T T F F F T T F T F T T T T F F F F T F T F Sanningstabellerna utläses så att om exempelvis P är sann och Q falsk, så är P falsk, Q sann, P Q falsk, P Q sann, P Q falsk och P Q falsk. Sanningstabellerna är intuitiva och behöver inte memoreras, förutom möjligtvis P Q i fallet när P är falsk då implikationen alltid är sann, oavsett sanningsvärdet för Q. Vi kommer senare i boken att bevisa ett stort antal satser. En matematisk sats är en logisk utsaga och ett bevis är en serie logiska slutledningar som visar att utsagan (satsen) är sann. Vi

14 Kapitel 1. Reella tal kommer då att ha användning för ett antal grundläggande regler för logisk algebra och slutledning. Vi presenterar och bevisar några viktiga sådana regler som vår första sats. Sats 1.1 Logisk algebra. Låt P, Q och R vara logiska utsagor (sanna eller falska). Då är följande utsagor sanna: P Q Q P P Q Q P (kommutativa lagar) (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) (associativa lagar) P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) (distributiva lagar) (P Q) P Q (P Q) P Q (De Morgans lagar) Bevis. Vi bevisar den första av De Morgans lagar och lämnar de övriga utsagorna som övningsuppgifter. Vi sätter upp en sanningstabell och för in alla möjliga värden på utsagorna P och Q. Vardera av dessa kan vara antingen sanna eller falska: (P Q) P Q T T T T T F T F F T F T F F F F Vi använder därefter definitionerna av de logiska operatorerna och fyller i sanningsvärdet för alla delutsagor (inifrån och ut): (P Q) P Q F T T T T F T F F T T T F F T F T T T F T F F T T T F T F T T F F F T T F T T F Enligt sanningstabellen är utsagan (ekvivalensen ) alltid sann (en tautologi), vilket bevisar satsen. Sats 1.2 Logisk slutledning. Låt P och Q vara logiska utsagor (sanna eller falska). Då är följande utsagor sanna: ((P Q) P) Q ((P Q) Q) P (Modus ponens) (Modus tollens) Dessa båda utsagor är sanna oavsett sanningsvärdena för P och Q men vi kommer framförallt att använda dem då vi vet att P är sann respektive Q falsk: Modus ponens Modus tollens P Q (P implicerar Q är sann) P Q (P implicerar Q är sann) P (P är sann) Q (Q är falsk) Q (därför är Q sann) P (därför är P falsk) Symbolen uttyds därför. Bevis. Se problem 1.2.

1.2 Matematisk logik 15 Slutligen skall vi införa beteckningar för kvantorer, som används för att konstruera logiska utsagor om variabler, det vill säga logiska uttryck vars sanningsvärde beror av värdet på en eller flera variabler. Speciellt kommer vi att uttala oss om utsagor som gäller för antingen alla eller något (minst ett) möjligt värde på en variabel som i följande exempel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (1.23) x 2 = 2. (1.24) Sanningsvärdet för dessa båda utsagor beror (potentiellt) på vilka värden variablerna a, b och x har. Genom att komplettera utsagorna med för alla eller för något får vi kompletta logiska utsagor som är antingen sanna eller falska: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, för alla reella tal a och b, (1.25) x 2 = 2, för något reellt tal x. (1.26) Vi ger följande definitioner för kvantorerna (för alla) och (för något). Definition 1.5 Logiska kvantorer. Låt X vara en mängd och låt P(x) vara en logisk utsaga vars sanningsvärde beror av variabeln x X. Uttrycket x X : P(x) ( för alla x i X är P(x) sann ) definieras som x X P(x); (1.27) det vill säga om x är ett element i mängden X så är P(x) sann. Uttrycket x X : P(x) ( det finns minst ett x i mängden X sådant att P(x) är sann ) definieras som ( x X : P(x)); (1.28) det vill säga P(x) är inte falsk för alla x i X. Vi kommer också att använda symbolen! som betyder samma sak som med tillägget att det bara finns ett möjligt värde på variabeln x. Satsen!x X : P(x) utläses då: det finns ett unikt (ett enda) x i mängden X sådant att P(x) är sann. Vi inför också symbolen som används för att definiera mängder. Notationen {x X P(x)} utläses mängden av alla x i X som uppfyller P(x) eller mängden av alla x i X för vilka P(x) är sann. Exempel 1.2 Logiska kvantorer och konstruktion av mängder. Med hjälp av de logiska kvantorerna kan vi formulera följande (sanna) utsagor: a,b R : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (1.29) x R : x 2 = 2, (1.30)!x R : x 2 = 2 x > 0. (1.31) I dessa exempel har vi använt beteckningen R för mängden av reella tal som vi ännu inte har konstruerat. Vi kan också definiera mängder: {x R x > 2}, (1.32) {a R x R : a + x(1 x) < 1} (1.33) Den första av dessa mängder kan enklare uttryckas som intervallet (2, ) och den andra mängden kan uttryckas som intervallet (, 3 /4).

16 Kapitel 1. Reella tal Mängdrelationer tillhör är delmängd av är strikt delmängd av Logik icke och (konjunktion) eller (disjunktion) implicerar är ekvivalent med uteslutande eller Mängdoperationer union snitt \ differens produkt Kvantorer för alla existerar! existerar unikt Tabell 1.1: Liten matematisk ordlista. Vi har nu infört all den grundläggande notation vi kommer att använda för att uttrycka matematik i resten av boken. Notationen sammanfattas i tabell 1.1. Vid en första anblick kan kanske mängden av nya definitioner och symboler kännas skrämmande, men betänk då att (i) man vänjer sig snabbt och (ii) listan av symboler vi redan nu har träffat på är relativt komplett; vi kommer inte att införa många fler symboler i senare kapitel. 1.3 Rationella tal Vår huvuduppgift i det här kapitlet är att konstruera de reella talen R som är grunden för den matematiska analysen. Vår utgångspunkt är de rationella talen Q, det vill säga alla tal x som kan skrivas på formen x = p/q där p och q är heltal och q 0: Q = {p/q p,q Z, q 0} (de rationella talen) (1.34) Vi erinrar oss också de naturliga talen N och de hela talen Z som kan ses som delmängder av de rationella (och de reella) talen: N = {0,1,2,3,...} (de naturliga talen 3 ) (1.35) Z = {0,1, 1,2, 2,3, 3,...} (de hela talen) (1.36) Vi kommer inte att ge någon formell definition av dessa talmängder men vi erinrar oss om att N, Z och Q har de välkända algebraiska 4 operationerna addition (x + y) och multiplikation (xy). De rationella talen har följande viktiga och välkända algebraiska egenskaper (räkneregler). 3 De naturliga talen definieras ibland med, ibland utan, talet 0. Vi väljer här att låta 0 N och betecknar de positiva hela talen med Z +. 4 Algebra är läran om räkning med symboler.

1.3 Rationella tal 17 Sats 1.3 Algebraiska egenskaper för Q. Låt x, y, z Q. Då gäller följande algebraiska lagar: x + y Q xy Q x + y = y + x xy = yx (sluten under addition) (sluten under multiplikation) (kommutativ lag) (kommutativ lag) (x + y) + z = x + (y + z) (associativ lag) (xy)z = x(yz) x(y + z) = xy + xz x + 0 = x 1x = x x R : x + ( x) = 0 x 0 x 1 R : xx 1 = 1, (associativ lag) (distributiv lag) (additiv identitet) (multiplikativ identitet) (existens av additiv invers) (existens av multiplikativ invers) Operationerna subtraktion (x y) och division (x/y) definieras utifrån existensen av additiv respektive multiplikativ invers. Talet y är det rationella tal som uppfyller att y + ( y) = 0 och vi kan därefter definiera x y = x + ( y). På samma sätt kan vi, om y 0 definiera x/y = xy 1 där y 1 är det rationella tal som uppfyller att yy 1 = 1. Notera att de naturliga talen N och de hela talen Z saknar några av dessa egenskaper. 5 Speciellt saknar de hela talen Z multiplikativ invers; x = 3 Z men det finns inget tal x 1 Z som uppfyller xx 1 = 1. Talet x 1 = 1/3 måste istället definieras som ett rationellt tal. De naturliga talen N saknar också additiv invers; x = 3 N men det finns inget tal x N som uppfyller x + ( x) = 0. Talet x = 3 måste istället definieras som ett heltal. Notera också att de naturliga talen och de hela talen kan anses vara delmängder av Q; varje tal x N eller x Z kan skrivas x/1 Q. Vi har alltså N Z Q. Vi konstaterar också att de rationella talen har följande välkända ordningsegenskaper. Dessa egenskaper, liksom de algebraiska, kan relativt enkelt visas från motsvarande egenskaper för de naturliga talen. Sats 1.4 Ordningsegenskaper för Q. Låt x, y, z Q. Då gäller följande ordningslagar: x = y x < y x > y x < y y > x x < y y < z x < z x < y x + z < y + z x < y z > 0 xz < yz (trikotomi) (antisymmetri) (transitivitet) (addition bevarar ordning) (positiv multiplikation bevarar ordning) Liksom de hela talen kan rationella tal vara positiva och negativa. Absolutbeloppet av ett rationellt tal definieras som talets storlek (avstånd till x = 0) utan tecken. 5 De egenskaper som listas i sats 1.3 gör de rationella talen Q till en så kallad kropp (engelska field). De hela talen Z i avsaknad av multiplikativ invers är inte en kropp men däremot en ring medan de naturliga talen N i avsaknad också av en additiv invers är en semiring.

18 Kapitel 1. Reella tal Definition 1.6 Absolutbelopp. Absolutbeloppet x av ett rationellt tal x är { x, x 0, x = x, x < 0. (1.37) För absolutbeloppet gäller den mycket viktiga triangelolikheten. Sats 1.5 Triangelolikheterna. Låt x, y Q. Då gäller följande olikheter: x ± y x + y (triangelolikheten) x y x ± y (omvända triangelolikheten) Bevis. Se problem 1.3. De rationella talen räcker långt, men inte till allt. Speciellt uppstår en del märkliga situationer inom geometrin. Vad är till exempel längden av diagonalen på en kvadrat med sidlängd 1? Vad är förhållandet mellan omkretsen och diametern av en cirkel? Svaren är som bekant 2 och π. Båda dessa tal är irrationella, det vill säga 2 / Q och π / Q. Vi visar först att 2 inte är ett rationellt tal och återkommer i ett senare kapitel (när vi har definierat det reella talet π) till ett bevis för att π / Q. Sats 1.6 2 är inte ett rationellt tal. Det finns inget tal x Q som uppfyller x 2 = 2. Bevis. Vi bevisar att det inte finns något rationellt tal x som löser x 2 = 2 genom att först anta att x Q och x 2 = 2. Detta leder till en motsägelse, vilket visar att antagandet är falskt, det vill säga (x Q x 2 = 2). Antag att x 2 = 2 och att x = p/q Q för p,q Z. Förkorta bråket p/q så långt som möjligt så att x = p /q för p,q Z där p och q saknar gemensamma faktorer. Vi har då x 2 = 2 (1.38) (p /q ) 2 = 2 (1.39) (p ) 2 = 2(q ) 2. (1.40) Därmed måste (p ) 2 vara ett jämnt tal, varför också p måste vara ett jämnt tal (ty kvadraten av ett udda tal är udda). Vi kan då skriva p = 2k för något k Z. Vi har då (2k) 2 = 2(q ) 2 (1.41) 4k 2 = 2(q ) 2 (1.42) 2k 2 = (q ) 2. (1.43) Därmed måste (q ) 2 vara ett jämnt tal, varför också q måste vara ett jämnt tal. Både p och q är alltså jämna tal, vilket motsäger att p och q saknar gemensamma faktorer (de innehåller ju båda faktorn 2). Detta är en motsägelse 6 (), vilket bevisar satsen. Satsen bevisar att det finns hål i det rationella talsystemet; Q saknar viktiga tal som 2 och π. I själva verket finns det oändligt många hål i Q. Därför behöver vi utvidga Q och fylla igen hålen. Resultatet av vår utvidgning kommer att vara mängden R som består av just Q med hålen ifyllda. 6 Denna bevisteknik kallas ibland reductio ad absurdum; motsatsen till det som skall bevisas reduceras till en uppenbarligen falsk utsaga.

1.4 Talföljder och konvergens 19 Innan vi gör detta noterar vi att vi kan beräkna godtyckligt bra approximationer av 2. I kapitel 0 såg vi ett exempel på en algoritm som beräknar allt noggrannare approximationer av 2. Samma sak gäller för alla reella tal; varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med rationella tal. Vi skulle kunna stoppa här och säga att det finns tal som är irrationella och dem kan vi endast approximera. Exempelvis skulle vi kunna säga att 2 representeras av algoritmen från exempel 0.2. Detta är i princip vad vi kommer att göra vi kommer att definiera reella tal med utgångspunkt i approximerande talföljder men vi kommer att formalisera de reella talen så att vi enkelt kan utföra kalkyler med dem, såsom x = 2 (1.44) x 2 = 2. (1.45) 1.4 Talföljder och konvergens Talföljder spelar en central roll i den matematiska analysen och vi kommer att använda dem för att definiera de reella talen. De beräkningsalgoritmer som vi i senare kapitel skall studera kommer också att generera talföljder, precis som de algoritmer vi såg exempel på i kapitel 0. Definition 1.7 Talföljd. En talföljd (x n ) n=0 är en regel7 som för varje naturligt tal n = 0,1,2,3,... bestämmer ett entydigt värde x n i en mängd X. Följande exempel visar olika sätt att generera talföljder. Exempel 1.3 Jämna tal. Regeln x n = 2n genererar en naturlig talföljd, nämligen de jämna talen 0,2,4,6,... Exempel 1.4 Udda tal. Regeln x n = 2n + 1 genererar en naturlig talföljd, nämligen de udda talen 1,3,5,7,... Exempel 1.5 Fibonaccital. Regeln x 0 = x 1 = 1 och x n = x n 1 + x n 2 för n 2 genererar en naturlig talföljd, nämligen Fibonaccitalen 1,1,2,3,5,8,13,21,... Exempel 1.6 Gyllene snittet. Låt (x n ) n=0 vara talföljden från föregående exempel (Fibonaccitalen). Regeln y n = x n+1 /x n genererar då en rationell talföljd, nämligen y 0 = 1 y 1 = 2 = 2 y 2 = 3/2 = 1.5 y 3 = 5/3 1.6666666666667 y 4 = 8/5 = 1.6 y 5 = 13/8 = 1.625 y 6 = 21/13 1.6153846153846 y 7 = 34/21 1.6190476190476 y 8 = 55/34 1.6176470588235 y 9 = 89/55 1.6181818181818 y 10 = 144/89 1.6179775280899. Talföljden närmar sig (konvergerar mot) talet φ = ( 5+1)/2, det gyllene snittet. Vi återkommer till denna talföljd i problem 1.7. Exempel 1.7 Harmonisk talföljd. Regeln x n = 1/(n + 1) genererar en rationell talföljd, nämligen den harmoniska talföljden 1, 1 /2, 1 /3, 1 /4, 1 /5,... Talföljden närmar sig (konvergerar mot) 0. 7 När vi i nästa kapitel har definierat funktionsbegreppet kommer vi att kunna säga att en talföljd är en funktion f : N X.

20 Kapitel 1. Reella tal Exempel 1.8 Roten ur två. Regeln x 0 = 1 och x n = x n 1 (xn 1 2 2)/2 genererar en rationell talföljd, nämligen x 0 = 1 x 1 = 3/2 = 1.5 x 2 = 11/8 = 1.375 x 3 = 183/128 = 1.4296875 x 4 = 46127/32768 1.4076843261719 x 5 = 3042762591/2147483648 1.4168967450969 x 6 = 13033533669502966463/9223372036854775808 1.4130985519638. Talföljden närmar sig (konvergerar mot) 2. Precis som i exempel 0.2 från kapitel 0 är detta ett exempel på en fixpunktsiteration för lösning av ekvationen x 2 = 2, men en betydligt mindre effektiv sådan. Vi återkommer till denna talföljd i datorövning 1.10. Några av talföljderna från dessa exempel utmärker sig från de andra. Talföljderna från exempel 1.6, 1.7 och 1.8 skiljer sig från de första tre exemplen på två viktiga punkter (förutom att de är rationella). För det första ser talen ut att närma sig något. I fallet med den harmoniska talföljden som ges av x n = 1/(n+1) är det lätt att se att talen x n närmar sig 0. I de andra två fallen är det svårare att se att talen närmar sig just ( 5 + 1)/2 och 2 men med hjälp av en miniräknare kan vi misstänka att så är fallet och med papper och penna faktiskt också bevisa att talföljderna måste konvergera mot just dessa tal (se problem 1.7 och 1.8). För det andra ser talen ut att stabiliseras; ju större n blir, desto mer lika blir talen. Denna aspekt, att talföljderna stabiliseras, är intimt förknippad med den första aspekten, att talföljderna närmar sig något. Intuitivt verkar det rimligt att om talföljderna stabiliseras, så måste de också närma sig något, och omvänt, om talföljderna närmar sig något, så måste de också stabiliseras. Vi kommer strax att formulera detta som en sats att en talföljd stabiliseras om och endast om den konvergerar mot något men först måste vi precisera exakt vad vi menar med att närma sig och att stabiliseras. Vi börjar med att definiera begreppet konvergent talföljd. Definition 1.8 Konvergent rationell talföljd. En konvergent rationell talföljd med gränsvärde x Q är en rationell talföljd (x n ) n=0 sådan att ε Q + N N : n N x n x < ε. (1.46) Med andra ord för varje (litet) rationellt tal ε > 0 finns det ett (stort) naturligt tal N sådant att avståndet x n x mellan x n och x är mindre än ε om n är större än eller lika med N. Vi säger då att talföljden (x n ) n=0 konvergerar mot gränsvärdet x och skriver alternativt lim x n = x, (1.47) n x n x då n. (1.48) Denna definition försöker fånga vad det betyder att en talföljd närmar sig något och säger att avståndet x n x kan göras hur litet som helst (ε Q +, ett positivt rationellt tal) om bara n är tillräckligt stort. Vi kan tänka på denna definition som ett vattentätt argument som måste hålla i en rättegång där en skicklig åklagare anklagar en talföljd för att inte vara konvergent (en förseelse som normalt leder till stränga påföljder). Försvararen inleder då med att hävda att talföljden faktiskt är konvergent eftersom skillnaden x n x kan göras hur liten som helst. Åklagaren tror

1.4 Talföljder och konvergens 21 naturligtvis inte på detta och begär att skillnaden skall göras mindre än ε = 10 6. Försvararen måste då konkret kunna svara med ett stort tal N sådant att skillnaden x n x är mindre än 10 6 för alla n N. Beroende på vilken talföljd man har att göra med blir svaret annorlunda, men kanske svaret blir att så länge n N = 1000 så är faktiskt x n x < ε = 10 6. Åklagaren låter sig inte nöjas utan begär helt fräckt att skillnaden skall göras mindre än 10 100! Återigen måste försvararen kunna ange ett tal N sådant att skillnaden garanterat är mindre än 10 100 för n N. Om försvararen alltid kan ge svar på tal, oavsett vilket ε som åklagaren väljer, så är det bevisat att talföljden är konvergent; för varje litet ε (men större än noll!) måste försvararen kunna säga ett N som garanterar att x n x < ε för alla n N. Och detta är exakt vad definition 1.8 säger: ε > 0, ε Q N N : n N x n x < ε. (1.49) Notera att talföljden mycket väl kan vara konvergent, även om försvararen inte lyckas bevisa det i en rättegång. Det är vår uppgift som matematiker (försvarare) att konstruera vattentäta bevis men det är inte alltid vi lyckas. I nästa exempel ges ett vattentätt bevis för att den harmoniska talföljden, x n = 1/(n + 1), från exempel 1.7 är konvergent. Exempel 1.9 Den harmoniska talföljden är konvergent. Den harmoniska talföljden 1, 1 /2, 1 /3, 1 /4, 1 /5,... definieras av x n = 1/(n+1). För att kunna hävda att den är konvergent måste vi för varje givet (rationellt) ε > 0 kunna bestämma ett N sådant att x n x < ε om n N. Till att börja med konstaterar vi att gränsvärdet x bör vara 0. Vår uppgift är nu att bevisa det utifrån definitionen 1.8. Vi gör detta genom att bestämma en formel för N som gör att vi enkelt kan räkna ut N för varje givet ε. Vi noterar först att avståndet mellan x n och x ges av x n x = x n 0 = x n = 1/(n + 1) = 1/(n + 1). (1.50) Vi vill att denna skillnad skall vara mindre än ε och sätter därför upp och löser olikheten: 1/(n + 1) < ε (1.51) 1/ε < n + 1 (1.52) n + 1 > 1/ε (1.53) n > 1/ε 1. (1.54) Vi måste alltså bestämma ett naturligt tal N sådant att denna olikhet är uppfylld så snart n N. Eftersom 1/ε inte nödvändigtvis är ett naturligt tal (om till exempel ε = 2 /3) och för att olikheten måste gälla då n N väljer vi N = 1/ε 1 + 1 = 1/ε. (1.55) Beteckningen x betyder avrundning uppåt till närmaste större heltal (det minsta heltal som inte är mindre än x). Motsvarande notation för avrundning nedåt är x. Givet ett tal ε > 0 kan vi då garantera att x n x < ε så länge n N = 1/ε. Vi har därför garanterat svar på tal om någon kommer och begär att x n x skall göras mindre än ett visst ε > 0, hur litet detta ε än må vara. Speciellt vet vi att x n x < 10 100 om n N = 1/10 100 = 10 100. För att dubbelkolla vår kalkyl ser vi hur nära x n är x = 0 om n N = 1/ε. Vi får x n x = 1/(n + 1) 1/(N + 1) < 1/N = 1 1/ε 1 1/ε = ε, (1.56) det vill säga x n x < ε, vilket känns betryggande.

22 Kapitel 1. Reella tal Begreppet konvergens kan också illustreras grafiskt. I figur 1.1 illustreras talföljden som genereras av formeln x n = ( 1) n /(n + 1). (1.57) Denna talföljd liknar den harmoniska talföljden från exempel 1.7 med skillnaden att talen växlar tecken. Figur 1.1 visar att talföljden närmar sig gränsvärdet 0 och att talföljden håller sig innanför den kanal som definieras av x = ±ε = ±0.1 om n N = 1/ε = 10. Figur 1.1: Talföljden definierad i ekvation (1.57) konvergerar mot x = 0. För n N = 10 gäller att x n x < ε = 1/10. Vi noterade tidigare att talföljderna från exempel 1.6, 1.7 och 1.8 har två viktiga egenskaper: de ser alla ut att närma sig ett visst tal, och de ser alla ut att stabiliseras då n växer. Den första egenskapen, att närma sig något, har vi definierat som konvergens. De tre talföljderna konvergerar mot ( 5 + 1)/2, 0 respektive 2. Detta kan vi strikt talat ännu inte uttala oss om eftersom vi varken har definierat 2, 5 eller konvergens för reella tal, men vi har åtminstone bevisat att den harmoniska talföljden konvergerar mot det rationella talet 0. Den andra egenskapen, att stabiliseras, innebär att istället för att närma sig något, så närmar sig talen varandra. Talföljder med den egenskapen kallas Cauchy-följder och vi ger följande definition som påminner mycket om definitionen av konvergent talföljd. Definition 1.9 Rationell Cauchy-följd. En rationell Cauchy-följd är en rationell talföljd (x n ) n=0 sådan att ε Q + N N : m,n N x m x n < ε. (1.58) Med andra ord för varje (litet) rationellt tal ε > 0 finns det ett (stort) tal N sådant att avståndet x m x n mellan x m och x n är mindre än ε om både m och n är större än eller lika med N.

1.4 Talföljder och konvergens 23 Vi ser att begreppet Cauchy-följd definieras på nästan samma sätt som begreppet konvergent talföljd med den skillnaden att istället för att närma sig ett visst tal, så närmar sig talen varandra. På samma sätt som tidigare gäller det att för varje ε > 0 säga precis vilket N som gör att avståndet x m x n blir mindre än ε så snart m N och n N. Och på precis samma sätt gäller det att kunna bevisa detta med ett vattentätt argument. I följande exempel ges ett bevis för att den harmoniska talföljden som vi tidigare visat är konvergent också är en Cauchy-följd (vilket vi snart skall se att den måste vara). Exempel 1.10 Den harmoniska talföljden är en Cauchy-följd. Den harmoniska talföljden definieras som tidigare av x n = 1/(n + 1). För att visa att den är en Cauchy-följd betraktar vi avståndet x m x n som alltså måste göras litet: x m x n = 1/(m + 1) 1/(n + 1) 1/(m + 1) + 1/(n + 1) < 1/m + 1/n (1.59) 1/N + 1/N = 2/N < ε, (1.60) förutsatt att m,n N och 2/N < ε, det vill säga N > 2/ε. Detta villkor är garanterat uppfyllt om vi väljer (1.61) N = 2/ε + 1. (1.62) För alla ε > 0 gäller alltså att om m,n N = 2/ε + 1 så är x m x n < ε, vilket visar att (x n ) n=0 är en Cauchy-följd. Vi återvänder nu till de tre talföljderna i exempel 1.6 (gyllene snittet), 1.7 (harmonisk talföljd) och 1.8 (Roten ur två). Vi har sett att den harmoniska talföljden är såväl konvergent som Cauchy, men vad gäller för de andra två talföljderna? Vi kommer i kapitel 6 att kunna visa att dessa båda talföljder faktiskt är Cauchy-följder. Däremot är de inte konvergenta enligt definition 1.9 eftersom deras potentiella gränsvärden φ = ( 5 + 1)/2 och 2 inte är rationella tal. Vi har ju tidigare visat att 2 inte är ett rationellt tal och på liknande sätt kan man visa att 5 inte är ett rationellt tal. Slutsatsen är att en rationell Cauchy-följd inte behöver vara konvergent (mot ett rationellt tal). Däremot måste en konvergent rationell talföljd alltid vara en Cauchy-följd, vilket följande sats visar. Sats 1.7 En konvergent rationell talföljd är alltid en rationell Cauchy-följd. Låt (x n ) n=0 vara en rationell talföljd. Om (x n) n=0 är konvergent så är den också en Cauchy-följd. Bevis. Vi skall i detta bevis använda oss av två knep som vi kommer att ha stor nytta av i många bevis och övningar. Det första är att lägga till och dra ifrån och det andra är triangelolikheten som vi redan har träffat på. Vi vet att (x n ) n=0 är konvergent, vilket innebär att det finns ett gränsvärde x sådant att skillnaden x n x kan göras godtyckligt liten, så länge n görs tillräckligt stort. Vi vill nu visa att skillnaden x m x n också kan göras godtyckligt liten. Vi argumenterar för detta genom att säga att eftersom både x m och x n ligger mycket nära x, så måste de också ligga mycket nära varandra. Rent konkret uttrycker vi detta genom att lägga till och dra ifrån x och använda triangelolikheten: x m x n = x m x + x x n x m x + x x n. (1.63) Givet ε > 0 väljer vi nu N sådant att x m x < ε/2 och x n x < ε/2 om n N för något visst N N. (Talföljden är konvergent så vi kan göra skillnaden hur liten vi vill, till exempel mindre än ε/2.) Vi får då x m x n x m x + x x n < ε/2 + ε/2 = ε, (1.64)

24 Kapitel 1. Reella tal under förutsättning att m,n N, vilket visar att (x n ) n=0 är en Cauchy-följd. En konvergent rationell talföljd måste alltså alltid vara en Cauchy-följd; en talföljd kan inte närma sig något utan att också stabiliseras. Däremot gäller inte det omvända, eftersom vi har sett exempel på talföljder som är Cauchy-följder men som inte, enligt vår definition, är konvergenta. Detta verkar vara en brist eftersom talföljderna faktiskt ser ut att närma sig något: ( 5 + 1)/2 respektive 2. Bristen ligger hos de rationella talen Q. Som vi nämnt tidigare finns det hål i Q, vilket gör att talföljder kan konvergera just mot ett sådant hål. Man kan faktiskt med visst fog säga att det finns fler hål än det finns rationella tal, så det är inte så märkligt att hitta talföljder som konvergerar mot just ett sådant hål. När vi strax har definierat de reella talen och fyllt igen hålen kommer vi att ha korrigerat denna brist och visat att alla reella Cauchy-följder måste vara konvergenta. Innan dess skall vi visa en viktig egenskap för konvergenta talföljder. Sats 1.8 En rationell talföljds gränsvärde är alltid unikt. Låt (x n ) n=0 vara en konvergent rationell talföljd. Då är dess gränsvärde unikt. Bevis. Vi behöver visa att om talföljden (x n ) n=0 konvergerar mot x så kan den inte samtidigt konvergera mot ett annat tal x. Antag att så skulle vara fallet, det vill säga att x n x, x n x och x x. För att visa att detta är omöjligt väljer vi ε = x x /2 > 0 och därefter N så stort att x n x < ε för n N och N så stort att x n x < ε för n N. Vi betraktar skillnaden mellan x och x genom att lägga till och dra ifrån x n. För n max(n,n ) har vi x x = x x n +x n x x x n + x n x < ε +ε = x x /2+ x x /2 = x x. (1.65) Vi kommer då fram till slutsatsen att x x < x x och eftersom x x > 0 kan vi förkorta och får 1 < 1 (). Detta är en motsägelse, vilket bevisar satsen. 1.5 Reella tal Vi har sett att rationella talföljder ibland ser ut att konvergera mot tal som inte är rationella; x = 2 är bevisligen inte ett rationellt tal men vi har trots det sett två exempel på algoritmer som producerar lösningar till ekvationen x 2 = 2 med godtycklig precision. Hur skall vi då definiera det svårfångade talet 2 och alla andra reella tal? Det är frestande att definiera de reella talen som de tal som kan approximeras godtyckligt väl med rationella tal, med andra ord som de tal som man kan närma sig godtyckligt väl med rationella talföljder. Men det finns en uppenbar brist med en sådan definition, nämligen den att vi inte har definierat vad ett tal är för något; vi kan inte definiera de reella talen som den delmängd R av mängden av alla tal T som kan approximeras godtyckligt väl av rationella tal eftersom mängden T inte är definierad. Vi måste istället definiera de reella talen som något konkret. Vi gör detta genom att identifiera de reella talen med de beräkningsalgoritmer (regler) som genererar dem, eller mer precist som de rationella Cauchy-följder som genereras av beräkningsalgoritmerna. 8 Talet 2 kan då definieras antingen som den rationella Cauchy-följd (x n ) n=0 som genereras av regeln x n = x n 1+2/x n 1 2 (exempel 0.2) eller som den rationella Cauchy-följd (y n ) n=0 som genereras av regeln y n = y n 1 (y 2 n 1 2)/2 (exempel 1.8), eller som vilken som helst annan rationell Cauchy-följd som konvergerar mot samma sak. För att göra detta precist måste vi först definiera vad vi menar med att två Cauchy-följder konvergerar mot samma sak. 8 Mer precist definierar detta inte de reella talen i vanlig mening, utan endast de så kallade beräkningsbara reella talen, see [Tur67].

1.5 Reella tal 25 Definition 1.10 Ekvivalenta Cauchy-följder. Två rationella Cauchy-följder (x n ) n=0 och (y n ) n=0 är ekvivalenta omm talföljden (z n) n=0 där z n = x n y n konvergerar mot 0; det vill säga ε Q + N N : n N x n y n < ε. (1.66) Vi skriver då (x n ) n=0 (y n) n=0. Exempel 1.11 Ekvivalenta Cauchy-följder. Talföljderna (x n ) n=0 och (y n) n=0 där x n = 1 + 1/(n + 1) och y n = (n + 1)/(n + 2) är ekvivalenta, ty om z n = x n y n gäller att z n = 1 + 1 n + 1 n + 1 (n + 1)(n + 2) + (n + 2) (n + 1)2 = n + 2 (n + 1)(n + 2) = n2 + 3n + 2 + n + 2 n 2 2n 1 (n + 1)(n + 2) = (1.67) 2n + 3 0, (1.68) (n + 1)(n + 2) då n. Skillnaden mellan talföljderna närmar sig noll, varför talföljderna har samma gränsvärde, nämligen det naturliga talet 1. Givet en rationell Cauchy-följd (x n ) n=0 låter vi [(x n) n=0 ] beteckna mängden (ekvivalensklassen) av alla rationella Cauchy-följder som är ekvivalenta med (x n ) n=0. Med denna notation kan vi nu konkret definiera det reella talet 2: 2 = [(xn ) n=0], (1.69) där (x n ) n=0 är den rationella Cauchy-följd som genereras av algoritmen i exempel 0.2. Med andra ord är 2 ekvivalensklassen bestående av talföljden från exempel 0.2 och alla andra ekvivalenta talföljder (alla andra talföljder som konvergerar mot samma sak ). Detta är ett sätt att uttrycka att 2 definieras av den rationella talföljden från exempel 0.2 men att man lika gärna kan definiera 2 som talföljden från exempel 1.8. Vi är nu redo att ge definitionen av de reella talen. Definition 1.11 De reella talen R. De reella talen R är mängden av alla ekvivalensklasser av rationella Cauchy-följder. Ett reellt tal x R är alltså en ekvivalensklass av Cauchy-följder av rationella tal och kan representeras av vilken som helst av alla möjliga Cauchy-följder i ekvivalensklassen. Med denna definition på plats återstår det att visa att definitionen är meningsfull. Speciellt måste vi reda ut om och i så fall hur man kan räkna med reella tal. Vad är till exempel summan av två reella tal? Vi vill också att våra välbekanta talsystem N, Z och Q skall kunna inordnas som delmängder av R. Vi har definierat de reella talen R men vi måste också definiera de vanliga operationerna + (addition), (subtraktion), (multiplikation) och / (division) för reella tal. Definition 1.12 Algebraiska operationer för de reella talen R. Låt x = [(x n ) n=0 ] och y = [(y n ) n=0 ] vara reella tal. Vi definierar då operationerna + (addition), (subtraktion), (multiplikation) och / (division) enligt x + y = [(x n + y n ) n=0], (1.70) x y = [(x n y n ) n=0], (1.71) x y = [(x n y n ) n=0], (1.72) x/y = [(x n /ỹ n ) n=0], y 0, (ỹ n ) n=0 (y n ) n=0, n : ỹ n 0. (1.73)

26 Kapitel 1. Reella tal Givet två reella tal x = [(x n ) n=0 ] och y = [(y n) n=0 ] kan vi alltså bilda summan z = x + y genom att beräkna summan av de båda talföljderna: z n = x n + y n. Det återstår att visa att denna summa faktiskt också är (representant för) ett reellt tal, det vill säga att (z n ) n=0 också är en Cauchyföljd. Sats 1.9 De algebraiska operationerna för reella tal är väldefinierade. Låt x = [(x n ) n=0 ] och y = [(y n) n=0 ] vara reella tal. Då är x + y, x y, x y och x/y (y 0) också reella tal. Bevis. Vi visar att x + y är ett reellt tal och lämnar övriga operationer som övningsuppgifter. Operationen x/y kräver extra eftertanke eftersom vi vill undvika att y n = 0 i uttrycket x n /y n. Vi vill alltså visa att om (x n ) n=0 och (y n) n=0 är Cauchy-följder så är (x n + y n ) n=0 också en Cauchy-följd. Låt ε > 0 vara givet och låt z n = x n + y n, n = 0,1,2,... Betrakta nu skillnaden z m z n (som skall bli liten för stora m och n om (z n ) n=0 skall vara en Cauchy-följd): z m z n = (x m + y m ) (x n + y n ) = (x m x n ) + (y m y n ) x m x n + y m y n. (1.74) Eftersom (x n ) n=0 och (y n) n=0 båda är Cauchy-följder kan vi göra avstånden x m x n och y m y n godtyckligt små för stora m och n. Välj N N sådant att x m x n < ε/2 och y m y n < ε/2 för m,n N. Vi får då z m z n x m x n + y m y n < ε/2 + ε/2 = ε. (1.75) Vi ser att z m z n < ε om m,n N, vilket visar att (z n ) n=0 är en Cauchy-följd. Vi konstaterar alltså att vi kan addera, subtrahera, multiplicera och dividera reella tal (undantaget division med noll) genom att helt enkelt utföra motsvarande operationer på de talföljder (Cauchyföljder) som representerar de reella talen. Exempel 1.12 2 2 = 2. Låt (x n ) n=0 vara den talföljd som genereras av algoritmen i exempel 0.2 och låt (y n ) n=0 vara den talföljd som genereras av algoritmen i exempel 1.8. Låt också x = [(x n ) n=0 ] och y = [(y n) n=0 ] vara motsvarande reella tal som representeras av dessa båda Cauchy-följder. 9 Bilda nu talföljden (z n ) n=0 definierad av z n = x n y n. (1.76) Resultatet är en talföljd som till synes närmar sig talet z = 2: x 0 = 1 y 0 = 1 z 0 = 1 x 1 = 1.5 y 1 = 1.5 z 1 = 2.25 x 2 1.4166666666667 y 2 = 1.375 z 2 1.9479166666667 x 3 1.4142156862745 y 3 = 1.4296875 z 3 2.0218864889706 x 4 1.4142135623747 y 4 1.4076843261719 z 4 1.9907662656145 x 5 1.4142135623731 y 5 1.4168967450969 z 5 2.0037945933983 x 6 1.4142135623731 y 6 1.4130985519638 z 6 1.9984231371570 I föregående exempel utgick vi från de två Cauchy-följderna (x n ) n=0 och (y n) n=0 som båda är representanter för det reella talet 2. Vi såg också att produkten av dessa båda talföljder ger en talföljd (z n ) n=0 som ser ut att konvergera mot talet 2 N Q. Men vad är relationen mellan det naturliga talet 2 och det reella talet z = [(z n ) n=0 ]? Vi besvarar denna fråga genom 9 Vi har ännu inte visat men misstänker starkt att dessa båda talföljder är Cauchy-följder. Vi återkommer till denna fråga i kapitel 6.