Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f () är deriverbar i intervallet (a, b) och f ( ) > 0 i detta intervall så är funktionen väande i (a, b) Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f väande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] ii) Om f ( ) < 0 så är funktionen avtagande i (a, b) Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f avtagande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] iii) Om f ( ) 0 för alla i (a, b) så är f () en konstant funktion i (a,b) Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f konstant i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] 4 STATIONÄRA PUNKTER Lösningar till ekvationen f ( ) 0 En stationär punkt kan vara : A ) lokal maimipunkt B) lokal minimipunkt c) terraspunkt kallas funktionens stationära punkter Med hjälp av förstaderivatans teckenschema i en omgivning till en stationär punkt kan vi bestämmapunktens typ: A) Om teckentabell för förstaderivatan har följande formen av 8
Stationära och infleionspunkter f () + 0 f () väer avtar ger följande graf så är är en lokalt maimipunkt B) Om teckentabell för förstaderivatan har följande formen f () 0 + f () avtar väer ger följande graf så är är en lokalt mminimipunkt C) Om teckentabell för förstaderivatan har följande formen f () + 0 + f () väer väer ger följande graf och f () 0 avtar avtar ger så är är en lokalt terrasspunkt Vi kan i några fall använda andraderivatans värde i en stationär punkt för att bestämma om punkten är maimum eller minimum Låt vara en stationer punkt dvs f ( ) 0 A) Om f ( ) < 0 så är punkten en lokal maimipunkt B) Om f ( ) > 0 så är punkten en lokal minimipunkt Men om f ( ) 0 alla tre fall kan förekomma och vi måste använda teckenschema för förstaderivatan för att bestämma om punkten är maimi- minimi- eller terrasspunkt av 8
Stationära och infleionspunkter 5 KONVEXA och KONKAVA funktioner i) Om f ( ) > 0 i ett intervall (a, b) så är funktionen konve ( konkav uppåt i Adams) i detta intervall ii) Om f ( ) < 0 i ett intervall (a, b) så är funktionen konkav ( konkav nedåt i Adams) i detta intervall 6 INFLEXIONSPUNKTER Infleionspunkt är en punkt på en kurva där kurvan övergår från att vara konkav till att vara konve eller vise versa Anmärkning: I kursboken Adams Calculus krävs dessutom att kurvan har tangenten i punkten Infleionspunkter bestämmer vi med hjälp av andra derivatan Vi löser ekvationen f ( ) 0 och analyserar teckentabell för av andra derivatan Om f ( 0 ) 0 och dessutom derivatan ändrar tecken i 0 ( dvs + tecken på en sidan av 0 och tecken på andra sidan) då är punkten 0 en infleionspunktför till y f () --------------------------------------------------------------------------------------------------- ÖVNINGAR Uppgift Bestäm a) det största öppna intervall b) det största intervall ( oavsett öppet, slutet eller halvöppet) där funktionen f ( ) arctan( ) är väande Lösning: a) f ( ) + ( ) f ( ) > 0 > 0 ( eftersom nämnaren är >0) + ( ) > 0 > Alltså är funktionen väande på det öppna intervallet (, ) Svar: a) (, ) är det största öppna intervall där funktionen är väande 3 av 8
Stationära och infleionspunkter b) Eftersom funktionen är kontinuerlig på intervallet [, ) och f ( ) > 0 i på (, ) så är funktionen väande på intervallet [, ) Svar:b) [, ) är det största öppna intervall där funktionen är väande 3 Uppgift Låt f ( ) 3 + 3 + Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ Rita grafen i grova drag Lösning: f ( ) 3 6 + 3 3( + ) 3( ) f ) 0 3( ) 0 (dubbelrot till ekvationen f ( ) 0 ) (, Teckentabell för förstaderivatan f () + 0 + f () väer terrasspunkt väer 3 Grafen till f ( ) 3 + 3 + Uppgift 3 Låt f ( ) 5 3 5 Bestäm det största öppna intervall där funktionen är a) väande b) konve Lösning: Förstaderivatan: f ( ) 5 5, Andraderivatan: f ( ) 30 Funktionen är väande om f ( ) > 0 4 av 8
Stationära och infleionspunkter f ( ) 5 5 5( ) 5( )( + ) f ( ) > 0 5( )( + ) > 0 För att lösa olikheten kan vi antingen använda en teckentabell eller, alternativt, skissa parabeln 5( ) Från grafen ( eller tabellen) har vi att 5( ) > 0 om < eller > Funktionen är väande om (, ) (, ) Funktionen är konve om f ( ) > 0 30 > 0 > 0 Svar a) (, ) (, ) b) ( 0, ) Uppgift 4 Låt f ( ) e a) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ b) Bestäm eventuella infleionspunkter Lösning: a) f ( ) e, f ( ) 0 e 0 0 En stationär punkt 0 Teckentabell för förstaderivatan f () + 0 f () väer avtar visar att 0 är en maimipunkt y ma Motsvarande punkt på kurvan är S(0,) b) f ( ) e + 4 e e ( + 4 ) f ( ) 0 ger + 0 ± f () + 0 0 + f () konve infleionspunkt konkav infleionspunkt konve 5 av 8
Stationära och infleionspunkter Alltså är f ( ) och e / två infleionspunkter Vi beräknar och får motsvarande punkter på grafen / f ( ) e och / I (, e ) och I (, / e ) Anmärkning: vi kan beräkna lim f ( ) lim e 0, lim f ( ) lim e 0 och rita grafen till f ( ) e : Uppgift 5 Låt f ( ) ln( ) / a) Bestäm (det största) öppna intervall där funktionen väer/ avtar b) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ c) Bestäm (det största) öppna intervall där funktionen är konve/ konkav b) Bestäm eventuella infleionspunkter Lösning: Funktionen är definierad för > 0 ln( ) ln Från f ( ) har vi f ( ) och f ( ) ( ln ) 4 3 + ln 3 Förstaderivatan: ln f ( ) 0 0 e Teckentabell för första derivatan: 6 av 8
Stationära och infleionspunkter (Lägg märke till att ln < 0 ln < ln > > e ) 0 e ln + 0 + + + ln + 0 f ( ) f () väer maimipunkt avtar Svar: a) Funktionen väer i intervallet (0, e) och avtar i (e, ) Svar: b) Stationär punkt e är en maimipunkt { y ma f(e) /e } Andraderivatan: f ( ) 0 3 + ln 0 e Teckentabell för andra derivatan: 0 3/ e 3 + ln 0 + 3 + + + 3 + ln 0 + f ( ) 3 f () konkav (konkavnedåt) Infleionspunkt konve (konkavuppåt) Svar: c) Funktionen är konkav i intervallet (0, e ) och konve i intervallet ( e 3/, ) 3/ Svar: d) Funktionen har en infleionspunkt 3/ e, där f ( e 3/ 3 ) e 3/ Anmärkning: Vi kan beräkna lim 0 ln( ) f ( ) lim 0, (täljaren går mot och nämnaren gåt mot 0+) ln( ) och lim f ( ) lim [ ] lim 0 { vi använder L' Hospitals regel: } och därefter rita grafen till ln( ) f ( ) : 7 av 8
Stationära och infleionspunkter 8 av 8