1. Himmelskupan Vinkelavstånd och Storcirklar Vårt synfält formar en perfekt sfär, vad som befinner sig ovanför horisonten utgör himlen. Avstånd mellan punkter på himlen anges av vinkelavstånd. Dessa är helt oberoende av konventioner som prototyper av metrar, fot eller vad andra måttenheter vi kan tänka oss. En rät vinkel är en rät vinkel oberoende av vilket mått vi använder. Vad som är en konvention är dock vilka numeriska värden vi skall använda. Astronomer använder per hävd ett system som går tillbaka till Babylonierna. Enhetscirkeln indelas i 360 grader, varje grad i 60 minuter, och varje minut i 60 sekunder. Matematiker använder radianer. Detta är baserat på enhetscirkeln vars omkrets är 2π = 6.283185... och har många beräkningsbara fördelar. En rät vinkel är således π/2. För små vinklar t gäller att sint tant t och cost = 1 t 2 /2. Som tumregel gäller att 1 o 1 60 = 0.016..,1 1 3600 = 0.00028 och 1 1 216000 = 0.0000046.. På en sfär har vi cirklar. Dessa är givna av att sfären skärs av ett plan. Om planet går genom medelpunkten kallas det en storcirkel. Storcirklar är de största cirklarna, och utgör sfärens räta linjer, På en fysisk sfär utgör storcirkelbågar de kortaste avstånden mellan två punkter. På himmelsfären upplevs storcirklar som räta linjer ty betraktarens ögon befinner sig i sfärens centrum. Exempel på storcirklar är ekvatorn och longituderna, latituderna däremot (med undantag av ekvatorn) är små cirklar, ju närmare polerna desto mindre (och mer krökta). Vinkelavståndet θ mellan två punkter P, Q på enhetsfären ges av cos(θ) =< P,Q > där P, Q nu betraktas som enhetsvektorer. Varje storcirkel bestäms av planet genom centrum som skär ut den. Detta plan i sin tur är bestämt av normalen vid centrum. Denna kan givetvis normaliseras och då har vi två enhetsnormaler som bestämmer ett par av anti-poda punkter. Omvänt varje punkt på sfären definierar en anti-podal punkt och därmed en axel genom origo, och en storcirkel. Storcirkeln ges av det plan genom centrum som är ortogonalt till axeln och består av alla de punkter som befinner sig på samma avstånd från polerna (paret av antipoda punkter). Om vi betraktar ett par av antipoda punkter som poler kommer den tillhörande storcirkeln att utgöra ekvatorn. Om vi har två punkter P och Q och betraktar motsvarande storcirklar S P,S Q kommer dessa att skära varandra i två antipodala punkter, dessa benämns när de uppkommer i astronomiska sammanhang som noder. För att finna dessa måste vi finna en vektor ortogonal till både P och Q vilket lämpligast görs genom vektor-produkten P Q som sedan kan normaliseras. Vinkeln mellan de två storcirklarna är helt enkelt vinkelavståndet mellan P och Q. 1
Exempel 1.1 Vad är avståndet mellan Göteborg och Sydney fågelvägen? Och var skär den storcirkel som går igenom den ekvatorn? Vi antar att jorden är en sfär med radie 6400 km. Givet sfäriska ko-ordinater (θ, ψ) där θ ger longituden och ψ latituden, finner vi i kartesiska ko=ordinater (x,y,z) att x = cosθcosψ y = sinθcosψ z = sin ψ Göteborg är givet av (11 o 58,57 o 42 ) och Sydney av (151 o 13, 33 o 52) vilket vi kan omvandla till kartesiska ko-ordinater(0.523, 0.111, 0.845) och( 0.728, 0.400, 0.557) respektive. Tar vi skalärprodukten erhåller vi 0.807 vilket motsvarar en vinkel av 143.82 o eller i radianer 2.51. Denna behöver vi bara multiplicera med jordens radie 6400 km för att erhålla avståndet 16065 km. Tar vi istället vektorprodukten av de två positionsvektorerna erhåller vi ( 0.400, 0.324, 0.290) efter normalisering( 0.677, 0.549, 0.491). Ekvatorn är given av (0, 0, 1) vektorprodukten ger ( 0.549, 0.677, 0) och efter normalisering ( 0.630,0.777,0) vilket motsvarar vinkeln 129 o E och dess antipod 51 o W Himlavalvets rotation V S Z Himlakroppars position på denna himmel beror på tidpunkt (på såväl dagen som på året) och positionen på jordytan. Dessa positioner anges traditionellt via sfäriska ko-ordinater. Dessa består av longituder och latituder. Latituden är höjden över horisonten, som utgör himmelskupans ekvator. Högsta höjden över horisonten utgörs av en punkt på N höjd 90 o denna kallas zenit (dess antipod, osynlig för oss kallas nadir 1 ). Longituderna utgörs av storcirklar genom zenit (och således även genom nadir). E De anger riktningen längs horisonten. Längs horisonten kan man lägga ut fyra punkter som delar denna i fyra lika delar (fyra räta vinklar) och ges av Nord och Syd, Öst och Väst. En naturlig konvention är att sätta noll-longituden i Syd och sedan räkna medsols, så Väst är 90 grader och Öst är 270 grader. För en matematiker är det naturligare att räkna motsols och låta noll grader ligga vid Öst. Den longitudinella positionen av ett objekt kallas dess azimut (α), medan höjden h (dess latitud) ibland benämnes altitud. De fixa objekten på himmelssfären sitter på en roterande sfär, som roterar med en period (den siderala) av 24h56m. Vid polerna roterar den kring en axel 1 arabiska ord 2
given av zenit och nadir, vid ekvatorn av en axel given av Nord och Syd. Vid polerna är halva stjärnhimlen hela tiden ovanför horisonten, höjden på ett objekt är hela tiden densamma, endast dess azimut roterar. Vi ekvatorn är varje objekt ovanför horisonten halva tiden, nedanför den resterande halva tiden. Rotationen är motsols. Objekt går upp i öster och ned i väster. Vi kan tänka oss en jättelik sfär - himmelssfären och en (liten) roterande jord i dess centrum. Från en punkt på jorden upplevs istället att det är himmelssfären som roterar. Två fixa antipodala punkter deltar inte i rotationen. Vid den nordliga punkten befinner sig för närvarande en ljusstark stjärna - Polstjärnan. Jorden roterar motsols sett ovanifrån d.v.s. från Polstjärnan. De fixa positionerna på den roterande himmelsfären anges likaledes av sfäriska ko-ordinater. Den roterande axeln bestämmer två antipodala punkter motsvarande zenit och nadir, och en storcirkel - himmelsekvatorn, som är ortogonal mot axeln. Höjden över himmelsekvatorn benämns deklinationen(d), och avståndet från noll-longituden (noll-meridianen) kallas Rektascensionen(Right Ascension) R denna räknas motsols. Valet av noll-meridianen har astronomisk signifikans (i motsats till valet av Greenwhich som är Vdagjmn rent politisk). Solen är inte fix, utan rör sig i en storcirkel som lutar ungefär 26.5 o mot himmelsekvatorn. Denna storcirkel kallas Ekliptikan. Som alla storcirklar skär den himmelsekvatorn i två antipodala punkter, så kallade noder, i detta fall benämns dessa dagjämningar (equinoxes), det är således de två punkter där solens deklination är noll. I en av dessa växer deklinationen, i den motsatta sjunker den. Den växande deklinationen benämnes vårdagsjämningen (vernal equinox) den andra höstdagjämningen (autumnal equinox). Vårdagsjämningen sätts som nollmeridianen. 3
L Rotationsaxelns lutning mot det lokala horisontplanet ges av ortens latitud. Vid Nordpolen är denna 90 o och Polstjärnan befinner sig i zenit. Vid sydpolen är latituden 90 o och Polstjärnan befinner sig i nadir, och är således osynlig nedanför horisonten. Vid ekvatorn befinner sig Polstjärnan vid horisonten, i själva verket i dess nordpunkt. Vid latitud L är lutningen L på axeln, som befinner sig i det plan som spänns av zenit samt nord och sydpunkterna. På norra halvklotet syns Polstjärnan i norr, ju längre norrut ju högre över horisonten. På södra halvklotet syns inte Polstjärnan alls, himmelssfärens nadir, som (för tillfället) saknar en ljusstark stjärna, befinner sig i söder. Ju längre söderut, desto högre på himlen. Ett typiskt objekt på stjärnhimlen går upp i öster och går ned i väster och mitt emellan dessa två tidpunkter kulminerar den, d.v.s. dess höjd över horisonten är maximal. Ett halvt varv senare är den minimal. Objekt som inte går upp och ner är av två typer. Antingen är de alltid ovanför horisonten, och då benämns de circumpolära, eller är de aldrig över horisonten, d.v.s. de är circumpolära för den antipodala punkten på jordytan. Om L är latituden och således lutningen av rotationsaxeln kommer de circumpolära objekten vara dessa vars deklination är större än 90 L om L 0 (d.v.s. vi befinner oss på norra halvklotet) och mindre än (d.v.s. mer negativ) 90+L om L 0 (d.v.s. vi befinner oss på södra halvklotet). d L 90-L Somviseravfigurentillvänsterärhöjdenpåkulminationen 90 L+d där d är deklinationen. För att denna skall vara positiv gäller att d > L 90. Om L = 90 måste deklinationen vara positiv, om L = 0 är alla objekt synbara. På samma sätt inser vi att den minimala höjden är given av L 90+d som är positiv om d > 90 L d.v.s när den är circumpolär. Rektascensionen brukar ofta beskrivas inte i grader utan i timmar. Ett varv motsvarar 24 timmar, så en timme motsvarar 15 grader, och en grad således 4 minuter, som inte skall förväxlas med bågminuter av vilka det fortfarande går 60 på en grad. Anledningen till detta är att skillnaden i rektascension mätt i timmar och minuter motsvarar tidsskillnaden mellan kulminationerna. Exempel 1.2 Sirius har rektascension 6h45m medan Vega har 18h37m. Detta betyder att Vega kulminerar 11h52 före Sirius (eller 12h8m efter). Det betyder också att det är hart när omöjligt att se dem samtidigt på himlen. För objekt med samma deklination gäller även denna förskjutning för uppgång och nedgång det blir mer komplicerat när deklinationerna är olika. 4
För ekvatorn befinner sig varje objekt halva tiden ovanför och halva tiden nedanför horisonten, speciellt gäller det solen, så dagen och natten är lika långa under hela året. Genom att veta när en stjärna kulminerar får man lätt fram när den går upp och när den går ner, bara genom att lägga till eller dra ifrån sex timmar. Objekt på himmelsekvatorn befinner sig halva tiden ovanför horisonten och halva tiden nedanför, oberoende av latitud. Speciellt under dagjämningarna är dag och natt lika långa över hela jordklotet.. Man kan återigen lätt beräkna uppgång och nedgång givet rektascensionen. I övrigt blir det lite mera komplicerat. Antag att objekt med rektascension 0 kulminerar vid en viss tidpunkt. Då kan man beräkna höjden h över horisonten av ett objekt med rektascension R och deklination δ vid en punkt på jordytan med latitud L genom följande formel 2. sin(h) = sin(l) sin(δ) + cos(r) cos(δ) cos(l) Vi noterar att om L = 0 får denna en enkel form nämligen sin(h) = cos(r) cos(δ) vilket kan inses direkt. R h Stjärnor med fixed deklination δ kommer att beskriva en halvcirkel med radien cos δ vinkelrät mot horisontalplanet. Om vi sätter R och h med samma enheter erhåller vi R + h = 90( π 2 ). Likaledes om δ = 0 får vi den enkla formen sin(h) = cos(r) cos(l) vilken vi kan utnyttja i ett senare sammanhang. Formeln ovan ger för fixt δ,l en relation mellan R och h och kan således användas som klocka. Känner man altituden kan man sluta tiden. Exempel 1.3 Arkturus har deklinationen 19 o 10. I London ses den i väster med höjden 52 o hur lång tid har gått sedan den kulminerade? Vi löser ut cos(r) = sin(h) sin(l)sin(δ) cos(δ) cos(l) LatitudenförLondonär51 p 30,vifinnersåledessin(L) = 0.78cos(L) = 0.62,sin(δ) = 0.33,cos(δ) = 0.94 och därmed cos(r) = 0.0033 med lösningen R = ±25.4 o = ±1.694h = ±1h42m Eftersom det rör sig om västra halvan rör det sig om 1 timme och 42 minuter efter kulmineringen. Vi kan även beräkna hur lång tid objektet är ovan horisonten. Vi sätter då h = 0 och erhåller cos(r) = tan(l)tan(δ) 2 bevisad i kompendiet 5
förutsatt att högersidan har absolutbelopp högst 1 vilket inträffar om objektet varken är circumpolärt, eller antipoden är det. Exempel 1.4 I hur många timmar är Sirius över horisonten i Stockholm? Deklinationen för Sirius är (16 o 43 latituden för Stockholm är 59 o 20/p således tan(δ)tan(l) = 0.506 vilket ger vinkeln R = 59.57 o vilket är 0.33 av 180 o eller 12h således är Sirius ovanför horisonten i 8 timmar av dygnets tjugofyra. Notabene: I alla dessa exempel har vi antagit att rotationsperioden är 24 timmar, egentligen är den 23h56m. Solens färd över himlavalvet Solen färdas runt himlen längs ekliptikan. Den färdas medsols, d.v.s. dess rektascension är avtagande. Detta betyder att det inte är 23h56m mellan dess kulminationer utan 24h. Dessa extra 4 minuter är fås från 24h/365 eftersom dess rektascension avtar med detta varje dag. Avtagandet är inte helt likformigt, detta har att göra med den så kallade tids-ekvationen (som behandlas lite utförligare i kompendiet), men som vi kommer att ignorera. 360 o är ganska nära 365 dagar och kan ses som 12 månader med 30 dagar i varje. Således sackar rektascensionen efter med knappt en grad varje dygn. Om vi gör förenklingen om den likformiga rörelsen kan vi enkelt sätta upp en korrespondens mellan solens rektascension och årets dagar, vilken återfinnes i appendixet. Den slår som mest fel på ett par dagar, ty sommarhalvåret på norra halvklotet är ett par dagar längre än vinterhalvåret, något som redan grekerna upptäckte. Solens deklination δ beror på tiden av året. Den är given av sin(δ) = sin(l) sin(r) där l utgör lutningen av jordbanan, och R rektanscenionen. Solens deklination är noll vid två tillfällen, nämligen vår- och höstdagjämningarna omkring 21 mars och 21 september respektive. Vid dessa tillfällen är, som tidigare påpekats men tål att upprepas, dag och natt lika långa. Omkring den 21 juni har vi midsommar, då antar solen sin maximala deklination 23.5 o och dagen är av maximal längd på norra halvklotet och norr om norra vändkretsen står solen som högst, och det är sommar. Ovanför norra polcirklen är solen circumpolär och går således aldrig ner. Omkring den 21 december är dagen av minimal längd på norra halvklotet, och norr om norra vändkretsen står solen som lägst under året, och norr om norra polcirklen råder midvinternatt. På södra halvklotet är det tvärtom. På ekvatorn är alla dagar av samma längd oberoende av tiden på på året. Solen står som högst på himlen, d.v.s. i zenit vid dagjämningarnav vid middagstid. Latituden vid vilken den står i zenit under någon del av dagen kryper norrut under första delen av sommaren för att nå norra vändkretsen vid midsommar, sedan kryper den söderut och når ekvatorn vid höstdagjämningen och ner till södra vändkretsen vid midvintern. 6
Polcirklarna har latitud ±(90 23.5) o = ±66.5 p medan vändkretsarna har latitud ±23.5 p Exempel 1.5 Hur högt på himlen står solen när den kulminerar och hur lång är midsommardagen i Toronto? Toronto har latitud L = 43 0 43. Solen har deklination δ = 23.5 o, således kulminerar den på en höjd av 43 o 43 + 23 o 30 = 67 o 13. Vi skall nu beräkna arccos( tan(l)tan(δ))ocherhåller114.6 o vilketutgörenfraktion0.637av180 o och således talar vi om 0.637 24h = 15.277h Exempel 1.6 Vilken deklination har solen den 18 oktober? Vi kollar årscykeln i appendixet. Den 18/10 svarar mot 208 o. Deklinationen δ svarar mot sin(δ) = sin(23.5 o )sin(208 o ) d.v.s. 10.8 o Övningsuppgifter 1 1.1 På vilken höjd över horisonten kulminerar Sirius i Kairo? 1.2 Hur länge befinner sig solen över horisonten i Paris vid midsommar? 1.3 Hur lång är dagen i Göteborg den 20 april? 1.4 Hur lång är polarnatten i Longyearbyen på Svalbard? 1.5 En vertikal pinne med höjd 1 meter befinner sig i Stanley på East Falkland island. Hur lång skugga kastar denna pinne klockan tre på eftermiddagen den 24 februari? 1.6 Under vilken tid på året i Göteborg går solen ned innan Sirius går upp över horisonten, och solen går upp efter att Sirius har gått ner. (Med andra ord när kan man se Sirius under alla åtta timmar under natten.) 2. Sfärer Vi påminner om följande formler för en sfärs area (A) och volym (V) given radien (R) A = 4πR 2 V = 4π 3 R3 Exempel 2.1 Jordens radie är 6400(= 2 6 10 2 ) km. Dess yta är således 4π(2 12 10 4 km 2 d.v.s 500 miljoner km 2. 7
θ θ Horisonten Jordens krökning tar sig uttryck i att det är ett ändligt avstånd till horisonten. Detta avstånd kan uttryckas på två sätt. Antingen genom vinkelavståndet θ till horisonten, vilket även är den vinkel horisontcirkeln ligger nedanför den storcirkelhorisont som delar den visuella sfären i två delar, och som vi skulle uppleva som horisont om jorden vore platt och obegränsad. Eller genom att beräkna avståndet d direkt med jordiska mått. I det senare fallet får vi om h är litet jämfört med R att detta kan approximeras med hjälp av Pythagoras och vi får d (R+h)2 R 2 2Rh, medan i det förra fallet (1+h)sin(θ) = (1+h) 2 1 vilket ger för små h att θ sin(θ) 2h. Genom att ersätta h med h/r och skala med h återfår vi den förra formeln. d = 2Rh Exempel 2.2 Om R = 6400000m, d.v.s. Jordens radie, och h = 2m (en person som står på en kobbe mitt i havet). Finner vi att d = 2 7 10 5 3580m. Om vi istället befinner oss på ett berg 200m högt, skalar vi med kvadratroten ur skalningen och erhåller 35.8km. Om vi iställer betraktar Månen, vars radie är en fjärdedel av jordens, halverar vi och finner 1.8 km till horisonten om vi befinner oss i ett platt område på Månen. Vi kan även betrakta krökningen genom att beräkna hur snabbt ytan sänker sig under ett plan. Vi betraktar då x 2 + y 2 = R 2 och löser ut y = R 2 x 2 och betraktar skillnaden R y = R(1 1 ( x R )2 1 2R x2. Genom att sätta h = 1 2R x2 löser vi ut x = 2Rh. Övningsuppgifter 2 2.1 Beräkna arean hos Solen och Jupiter och Dysonsfären! 2.2 Beräkna volymen hos Solen, Jupiter och Dysonsfären! 2.3 Beräkna kvoten mellan areorna givet av ett tvärsnitt genom jorden och och Dysonsfären! 2.4 Beräkna antalet A.E. enheter i ett ljusår med tanke på att jordens hastighet runt solen är en tiotusendels av ljusets hastighet. 2.5 Beräkna arean av en sfär med radien till närmaste stjärnan (4 ljusår) jämfört med Dysonsfären. 8
2.6 Beräkna massan hos Solen om dess täthet ges av vattnets. 2.7 Antag att Solen bara består av väte och att dessa atomer är jämnt utspridda i Solen, d.v.s. att Solen uppdelas i kuber, var och en med sidan d med en väteatom i mitten. Beräkna d! Observera att d utgör även avståndet till den närmaste grannen. (Observera att Avogrados tal är väsentligt.) 2.8 Antag att jordklotet vilar på ett plant underlag, med sydpolen nederst. Om man är två meter lång, hur nära kan man komma sydpolen innan man stöter huvudet i jordytan? Kommer taket (d.v.s. jordytan ovan) upplevas som parallellt med marken eller sluttande? 3. Luminositet och Magnituder Magnitud Ljusstyrka mäts i magnituder. Detta är en logaritmisk skala som går tillbaka till grekernas indelning av stjärnor av första, andra t.o.m sjätte magnituden. Desto högre magnitud desto ljussvagare är stjärnan. En konstant kvot mellan ljusstyrkor motsvarar en konstant skillnad mellan magnituder Mag(L1) Mag(L2) = 2.5 10 log( L 1 L 2 ) Inversa kvadraten En ljuskälla ger ut en mängd ljus. Mängden ljus per tidsenhet kan betecknas som dess absoluta ljusstyrka eller luminositet. Den kan mätas på många olika sätt. I astronomin är det vanligt att tala om dess absoluta magnitud, d.v.s. den magnitud den skulle ha haft på 10 parsec (32.6 ljusårs) avstånd. Vi kan även tala om energin hos det ljus som avges per tidsenhet, m.a.o. dess ljus effekt. Eller antalet fotoner den sänder ut per tidsenhet (detta ger dock inte ett mått på absolut ljusstyrka ty olika källor kan ha fotoner av olika energi beroende på ljusets våglängd. Men detta klargör ändå det väsentliga att ljusmassan så att säga per ytenhet avtar med kvadraten på avståndet som vidhängande figur illustrerar. Solen levererar omkring 3.8 10 26 W På ett avstånd av 1 A.E Detta upplever vi som magnitud 27 vilket förankrar magnitudskalan, ty upp till nu har vi bara betraktat den relativt (som en potential) 3. Vi kan även omräkna detta i effekt per m 2 på Dysonsfären, d.v.s. få fram den så kallade Solarkonstanten. Det är 3 En bättre förankring ges av att sätta stjärnan Vegas magnitud till 0 9
givetvis denna som kan beräknas direkt och genom att gå baklänges få fram den totala effekten. Albedo och Reflekterat Ljus Betrakta Dysonsfären innifrån vid solen. Om den är fullständigt reflekterande återspeglas all solenergi, och därmed luminositet tillbaka till solen. Den som kommer från jordytan utgör den försvinnande del, som utgöres av jordens skenbara storlek jämfört med hela Dysonsfären 4π. Allt reflekteras inte tillbaka, utan det beror på albedot. Albedot defineras som kvoten mellan reflekterat ljus och inkommande och varierar därmed mellan 0 (totalt svart) och 1 (en perfekt spegel). Den luminositet som återspeglas från denna lilla skiva ger då en jämförelse med solens. Exempel 3.1 Om Jordens radie är 1 är Dysonsfärens (1 A.E.) lika med 24000. Av den totala sfären utgör detta ( 1 1 2 24000 )/2 (ty diametern är 2). Det sista kan 2 vi ignorera, ty vi ser endast hälften av det ljus som Solen sänder ut. (D.v.s. om baksidan av Solen vore helt svart skulle vi inte märka det). Vi talar således om 10 9. (Hälften av detta utgör den del av Solens totala energi som når Jorden). Jordens albedo är omkring 0.3. Vi skall således multiplicera med detta. För att få fram magnitudskillnaden betraktar vi 2.5 10 log(0.3 10 9 ) = 2.5(0.5 10) = 23.75 d.v.s. Jorden sedd från Solen skulle ha en magnitud av 3.25. Månen med en yta av 1/16 av jordens och ett albedo av en 1/6 skulle vara 2 magnituder ljussvagare och alltså ha magnitud 1.25. Tar vi Jupiter och gör samma resonemang kommer dess yta vara 11 2 120 gånger jordens, men betraktas från ett 5.2 längre avstånd och således skall vi dividera med 52 2 27 men å andra sidan är dess albedo ungefär 1.5 gånger jordens. Således skall vi multiplicera med en faktor 120 1.5/27 6. Men å andra sidan Solens magnitud sedd från Jupiter endast 1/(5.2) 2 1/27 av den sedd från Jorden. Jupiters ljusstyrka kommer således bli 1/4 av Jordens sedd från Solen och vi talar om 1.75. Övningsuppgifter 3 3.1 Beräkna Jordens magnitud när den är full på Månen. 3.2 Beräkna Solens magnitud sedd från Sirius 3.3 Antag att en 10 W LED lampa omvandlar så gott som all sin energi till synligt ljus. Beräkna dess magnitud om den befinner sig a) i zenit på 100 meters höjd b) vid horisonten om du befinner dig på en lagun mitt i Stilla Havet i toppen av en palm som är 18 m hög. Om du inte kan skönja den, beräkna öppningen (aperaturen på linsen) på den kikare med vilken du nätt och jämnt kan se den (se nedan). 10
3.4 Antag att en asteroid med Månens albedo befinner sig jämte fullmånen. Hur stor (d.v.s. vilken radie) måste den ha för att bli nätt och jämnt synlig för blotta ögat? Magnituden skall således vara 6. 3.5 Ljusstyrka per ytenhet kan vi kalla briljans. a) Visa att en stjärnas briljans är oberoende av avståndet medan b) En planets briljans avtar med kvadraten av avståndet från dess ljuskälla. c) Gör en jämförelse mellan Månens och Jupiters briljans. d) Beräkna briljansen av nymånen (upplyst av Jorden!) i jämförelse med fullmånens, och beräkna magnituden av den förra. 3.6 Beräkna Io s magnitud sedd från Jupiter, när den passerar över den fullständigt belysta Jupiterskivan. 3.7 Givet solarkonstanten 1350W/m 2 beräkna Solens totala effekt. 3.8 Beräkna solarkonstanten på Jupiter (och därmed även för dess månar). 3.9 Betrakta ett tunt istäcke på Io isolerat från sin omgivning. Solens strålar faller vinkelrätt mot det. Antag att temperaturen på det är från början 130 K. Hur tjockt istäcke kan vi smälta på en timme? 4. Gravitationen På jordytan har vi konstant gravitation g = 10m/s 2 (9.81m/s 2 ). En kropp som släpps accelererar mot jordytan med en acceleration g (vi bortser från luftmotstånd). Detta betyder att efter tiden t har den uppnått en hastighet av v = gt och tillryggalagt en sträcka av s = 1 2 gt2. Om vi ger en kropp (säg en kanonkula) en utgångshastighet av v = (v x,v y ) (med farten given av v 2 x +v 2 y)kan vi behandla komponenterna för sig. Det betyder att vid tiden t har den hastigheten (v x,v y gt), d.v.s. den horisontella hastigheten påverkas inte alls (vi bortser från luftmotståndet). Kroppen når sin högsta höjd när v y gt = 0 d.v.s. när t = v y /g, den har då tillryggalagt (v x v y )/g horisontellt. Efter dubbla tiden har den tillryggalagt 1 2 g(2vy g )2 = 2vy g i nedåtgående vertikal led, samma sträcka som den skulle ha tillryggalagt i uppåtgående vertikal led, hade hastigheten v y varit oförändrad. Kroppen har med andra ord slagit i backen. Exempel 4.1 Låt en kanonkula skjutas iväg från toppen av Dovers vita klippor 110 meter över havet, mot Frankrike. Med vilken hastighet måste vi skjuta iväg den för att den skall nå ett skepp 5 km längre bort, eller rentav Calais på andra sidan Engelska kanalen 35 km längre bort.? Givet H skall vi tydligen beräkna t så att 1 2 gt2 = H d.v.s. t = 2H/g. Om distansen är D skall tydligen hastigheten v ges av v = D/ 2H/g = D g 2H. Sätter vi in värdena erhåller vi v = 5000m 10m/s 2 / 2 110m 1000m/s. 11
Men skall vi till Calais måste vi ta i beaktande jordens krökning ty avståndet till horisonten från klipporna är omkring 35 km Om vi vill beräkna hastigheten för att nå horisonten en distans d av d = 2Rh skall vi dividera med tiden t = 2h/g och erhåller då h h 2Rh 2h g = Rg som är oberoende av h! Förklaringen till detta fenomen framgår av figuren till vänster. När kulan har tillryggalagt detta avstånd och fallit h har jordytan hunnit falla samma avstånd och den befinner sig på samma höjd, d.v.s tillbaka till ruta ett. Detta betyder att den aldrig kommer att falla ner utan beskriva en cirkulär omloppsbana runt jorden. Denna hastighet är således en kritisk sådan. Om det går en aning saktare kommer kulan att sjunka ner, dock om den inte har slagit i marken efter ett halvt omlopp, kommer den att återvända till utgångspunkten, och därvidlag inser vi att den ursprungliga höjden kommer att spela en roll, genom att ge en bredare felmarginal. Exempel 4.2 I fallet med Jorden kommer denna kritiska hastighet ges av 6400000 10m2 /s 2 = 8000m/s. Eftersom ekvatorn är 40000km talar vi om 5000s vilket rör sig om 85 minuter. Cirkulära rörelser Om vi skalar med en faktor R kommer g att skalas med en faktor R2 1 vilket betyder att den kritiska hastigheten kommer att vara proportionell mot Rg R = g 2 R d.v.s. för fixt g proportionell mot R 1 2. Eftersom omloppsbanans längd kommer att vara proportionell mot R kommer omloppstiden att vara proportionell mot R 3 2 och därmed T 2 = kr 3 Vi noterar att k kommer att vara omvänt proportionell mot g och således omvänt proportionell mot massan. Om vi har en kraft F som är riktad mot en punkt P och beror på avståndet till denna punkt, kan vi skriva upp en potential U(R) som satifierar (vi bryr oss inte om massan m genom att normalisera den till 1) U(R 1 ) U(R 2 ) = R1 R 0 F(t)dt där skillnaden ger energin som krävs för att gå från R 1 till R 2. I fallet med den harmoniska oscillatorn finner vi U(r) = k 2 r2 och i fallet med gravitationen 12
r G U(r) = R t 2 = G R G r där G är proportionell mot massan. Låter vi r har en kropp oändligt långt borta den potentiella energin G R och om den faller ner till R frigörs en kinetisk energi av 1 2 v2 2G. Genom att sätta dem lika erhåller vi v = R = 2gR ty G R = g, där g är gravitationen vid avstånd R. Denna hastighet benämnes 2 flykthastigheten. En kropp som får en sådan utgångshastighet kommer att undfly planeten och gå till oändligheten. Notera att 2gR = 2 gr Där högerledet är lika med den cirkulära omloppshastigheten. Exempel 4.3 I fallet med Jorden där den senare är 8km/s kommer flykthastigheten att bli 11.2km/s. Jordens omloppshastighet runt solen är 30km/s vid detta avstånd från solen kommer flykthastigheten från solen och därmed solsystemet att vara 43km/s, däremot vid själva solytan som är 200 gånger närmare, kommer g att skalas med 200 2 medan R med 1 och därmed flykthastigheten med 200 200 14 således talar vi om 600km/s två promille av ljushastigheten. Om flykthastigheten är större än ljusets hastighet är massan så tung och koncentrerad att vi har ett svart hål. Givet en massa M talar man om Schwarzschildranden, det R inom vilket massan måste vara koncentrerad för att ge ett svart hål. Övningsuppgifter 4 4.1 Om du lyckas stöta iväg en kula med en fart av 4m/s i en vinkel av 45 o hur långt skulle du då stöta på a) Jupiter b) Jorden c) Ganymedes? 4.2 Du hoppar längdhopp och springer med en hastighet av 6 m/s och med bibehållande av farten gör du ett skutt i en vinkel av 20 o hur långt hoppar du på a) Jupiter b) Jorden c) Ganymedes? 4.3 Du springer uppför en brant backe med en effekt av en tredjedels hästkraft (250W). Hur högt hinner du på 5 sekunder på a) Jupiter b) Jorden c) Ganymedes? 4.4 En astronaut tappar en kamera på Månens avstånd från Jorden. Hur lång tid tar det innan den når jordytan? 13
4.5 Jorden krockar med ett lika stort och tungt objekt som roterar kring Solen i motsatt riktning, och båda stannar till (d.v.s. ingen studs alls) a) Hur mycket kinetisk (rörelse)energi frigörs. b) Antag att båda består av järn, hur mycket kommer temperaturen att höjas? c) Båda kommer att falla mot Solen. Hur lång tid tar det innan de uppslukas av densamma? Och hur mycket ytterligare kinetisk energi frigörs? 4.6 Ceres befinner sig på 400 miljoner km från Solen. Beräkna dess omloppstid. 4.7 Beräkna på vilket avstånd en så kallad geosynokron satellit (en vars omloppstid sammanfaller med jordrotationen) skall befinna sig från Jordens centrum. 4.8 En satellit sänds upp från Ganymedes och rör sig i en omloppsbana nära dess yta. Beräkna dess omloppstid. 4.9 Ett interstellärt objekt uppfångas av solsystemet, d.v.s. objektet faller fritt mot Solen från att ursprungligen ha rört sig med samma hastighet som Solen. Detta objekt träffar Jorden. Beräkna dess hastighet vid nedslaget. 4.10 En komet från Oorts moln börjar falla mot Solen. Hur lång tid tar det innan den hunnit till jordbanan? 4.11 Beräkna massan hos en sfär med radien 1Å (10 8 cm, atomstorlek) för att den skall utgöra ett svart hål! 14
5. Appendix Årscykeln 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 April Maj Juni Juli Augusti September Oktober November December Januari Februari Mars 15