1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en "radvektor" När det gäller ortsvektorer kallas elementen 3 och komponenter och för motsvarande punkt koordinater (a) För att beräkna vektorsumman a + b ritar vi och får att alltså komponentvis addition a + b = (3, ) + (5, 1) = (8, 1) (b) Längd av resp vektor är detsamma som avstånd mellan motsvarande punkt och origo (0, 0) = 0 a = a = 3 + = 13 och b = b = 6 (c) Vinkeln mellan vektorerna: Vi ser vektorerna som sidor i en triangel Den tredje sidan kan skrivas som c := ba = (, 3) med längd c = c = 13 Mellanliggande vinkel θ(= C) ges av Cosinussatsen: a + b ab cos θ = c cos θ = a + b c (d) En enhetsvektor e 1 a ges av Men visar lätt att e 1 = 1 e 1 = a (3, ) = = a 13 ab ( 3 13, = = 1 θ = 45 ) 13 För att beräkna vinkeln mellan a = OA och b = OB, där a = (ax, a y ) och b = (b x, b y ), använder vi oss av Cosinussatsen Den säger att med c = a b och c = c, är cos θ = a + b c ab Med komposanterna ovan får vi cos θ = a x + a y + b x + b y ((a x + b x ) + (a y + b y ) ) ab Vi definierar skalärprodukten Alltså gäller, för vektorer i R att Ex 1 till ab cos θ = a b cos θ =: a b a b cos θ = a b = a x b x + a y b y = a x b x + a y b y ab Med a = (3, ) och b = (5, 1) får vi cosinus för mellanliggande vinkel cos θ = 3 5 + (1) 13 6 = 1 θ = 45 1

Ex 13 Givet punkterna A = (, 1) och B = (6, 4), bestäm (a) linjen genom punkterna på parameterform (b) punkterna på linjen som ligger på avståndet 1 från A (a) linjen genom punkterna på parameterform: Den ges av där OA = a = (, 1) och r = (x, y) = OA + t AB AB = OB OA = b a = (6, 4) (, 1) = (4, 3) Alltså är { x = 4t + y = 3t + 1 För att få paremeterfri form löser vi ut t i de båda ekvationerna: t = x 4 = y 1 3 eller 3x 4y = 0 (b) punkterna på linjen som ligger på avståndet 1 från A: Vi skall alltså finna t sådant att t AB = 1 dvs t = 1 5 t = ±1 5 svarande mot två punkter med avstånd 1 ( 6 t = 1 (x, y) = 5, ) resp t = 1 (x, y) = 5 ( 14 5, 8 ) 5 Kommentarer: Vektorerna som har längd 1 (enhetsvektorer) och ligger längs koordinataxlarna betecknas i e x = (1, 0) och j e y = (0, 1) i R I R 3 beteckna de i e x = (1, 0, 0), j e y = (0, 10) och k = e z = (0, 0, 1) Ex 14 Givet punkterna A = (1, 1, 3), B = (, 3, 4) och C = (4, 6, 11) (a) Bestäm vektorna startpunkt i A och slutpunkter i B resp C och bestäm deras längder (b) Bestäm vinkeln mellan vektorerna (c) Bestäm en ekvation för linjen genom punkterna 1 Bestäm de punkter på linjen som har avståndet d = 6 från punkten A

(a) med längder AB = (1,, 1) och AC = (3, 5, 8) AB = 1 + + 1 = 6 och AC = 3 + 5 + 8 = 98 = 7 (b) Vinkeln får vi med skalär produkt: (1,, 1) (3, 5, 8) cos θ = 7 1 3 = 6 7 3 = θ = 30 (c) Vi bildar vektorn AB = (1,, 1) Linjens ekvation blir då { x = 1 t + 1y = t + 1 eller (x, y, z) = (1, 1, 3) z = 1 t + 3 (d) Vi skall alltså lösa ekvationen t 1 + + 1 = t 6 = 6 t = ±1 P 1 = (1, 1, 3) 1(1,, 1) = (0, 1, ) och P = (1, 1, 3) + 1(1,, 1) = (, 3, 4) 11 Vektoriell produkt (Cross product) Denna multiplikation finns bara i R 3 Givet två vektorer i R 3, säg a och b Vektorprodukten a b definieras som den vektor 1 sådan att a, b och a b bildar ett högersystem i den ordningen Längden av denna vektor är a b = a b sin θ, där θ är mellanliggande vinkel 3 a b a och a b b Kommentarer: Det följer att a = 0, om θ = 0 eller θ = 180 Vidare är a b = a b, om θ = 90 a b = b a (Antikommutativitet) Man kan visa att vektorprodukten är vänster- och högerdistributiv Ex 15 Givet punkterna A = (1, 1, 3), B = (, 3, 4) och C = (4, 6, 11) Vi bildar vektorerna AB = (1,, 1) och AC = (3, 5, 8) Dessa kan vi skriva med mha basvektorerna e x = i = (1, 0, 0), e y = j = (0, 1, 0) och e z = k = (0, 0, 1) AB = i + j + k och AC = 3i + 5j + 8k Innan vi multiplicerar ihop dessa, ser vi att i i = 0, nollvektorn, eftersom mellanliggande vinkel är θ = 0 Pss med de två andra basvektorerna Dessutom är i j = k och k j = i 3

detta beror på att koordinataxlarna, x, y och zaxlarn utgör ett högersystem i den ordningen Distributiva lagarna ger att AB AC = (i + j + k) (3i + 5j + 8k) = = ( 8 5 1)i + (1 3 8 1)j + (1 5 3)k = (11, 5, 1), Man kan alternativt göra beräkningen med determinant av ordning 3: i j k 1 1 = (16 5)i + (3 8)j + (5 6)k = (11, 5, 1) 3 5 8 Vi verifierar att denna vektor är vinkelrät mot a: Pss med b (Övning!) a (a b) = (1,, 1) (11, 5, 1) = 11 10 1 = 0 Ex 16 exempel Bestäm en ekvation för planet, som innehåller punkterna i föregående Vi vet att (11, 5, 1) =: n är vinkelrät mot de två vektorerna (1,, 1) och (3, 5, 8) och dessa vektorer är parallella med planet Man säger då att n = (11, 5, 1) är normalvektor till planet Detta plan består av alla punkter (x, y, z)(= r som ortsvektor), sådana att n r OA, alltså Med talen givna av ovan, är n (r OA) = 0 n (r OA) = (11, 5, 1) ((x, y, z) (1, 1, 3)) = 11x 5y z 3 = 0 Kommentarer: Planets ekvation blir densamma även om man byter A mot B elller C Planets allmänna ekvation kan skrivas Ax + By + Cz + D = 0 (1) KoefficienternaA, B, C, D är inte punkterna givna o exemplet utan komponenter för normalvektorn Ex 17 Beräkna arean av triangeln med hörn i A, B och C Enligt areasatsen för triangel är arean T = 1 a b sin θ där θ är mellanliggande vinkel till sidorna med längder a och b Nu är a b = ab sin θ, om a = a och b = b 4

I vårt fall är alltså arean T = a b = 11 + (5) + (1) = 7 3 ae Ex 18 Beräkna volymen på den tetraeder som har hörn i A, B, C och D = (4, 5, 7) AD = (3, 4, 4) Volymen är V = ( AB AC) AD 6 Nu är denna "trippel skalär produkt" möjlig att beräkna som en determinant ( 1 1 AB AC) AD = 3 5 8 3 4 4 = = 9 Volymen är V = 9 6 = 3 ve Ex 19 Beräkna avståndet mellan punkten D och planet Π ovan Vi ser att avståndet d = AD cos φ där φ är vinkeln mellan AD och n = AB AC Vi använder skalär produkt för att uttryck avståndet d d = AB AC AD cos φ AD cos φ = AB AC = ( Vi skriver D = (x 1, y 1, z 1 ) och A = (x 0, y 0, z 0 ) Då blir AD = (x 1, y 1, z 1 ) (x 0, y 0, z 0 ) AB AC) AD AB AC Vi skiftar nu beteckningar och skriver AB AC = n I täljaren står en faktor AD Täljaren blir med detta byte av bosktäver n ((x 1, y 1, z 1 ) (x 0, y 0, z 0 )) = n (x 1, y 1, z 1 ) n (x 0, y 0, z 0 ) Och sedan inför n = (A, B, C), alltså dessa bokstäver betyder nu komponenter för normalvektorn! Med n = (A, B, C) blir den första termen och den andra termen Ax 1 + By 1 + Cz 1 (Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) Nu ligger punkten (x 0, y 0, z 0 ) i planet (ursprunligen punkten A) Det betyder att Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 D = (Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) Avståndet kan alltså skrivas d = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A + B + C 5

Nu kan φ vara trubbig varför cos φ < 0 Däreför behövs ett absolutbelopp på täljaren d = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A + B + C I exemplet är alltså n = (A, B, C) = (11, 5, 1) och punkten (x 1, y 1, z 1 ) = (4, 5, 7) Avståndet blir alltså d = 11 4 + (5) 5 + (1) 7 3 11 + (5) + (1) = 3 3 7 Kommentarer: I exemplet ovan har vi produkterna ( AB AC) AD Denna produkt med tre vektorer kallass trippel skalär produkt Vi kan beräkna AB AC som en determinant med översta raden [i j k] Vi gör två byten i denna determinant, så att vi får raderna AB AC i j k där (x 1, y 1, z 1 ) I den trippla skalärprodukten ersätts sista raden med AD, så att AB AC AD = AB AC AD = 1 1 3 5 8 3 4 4 = = 9 Ex 110 I ex 15 (a) i avsnittet ekvationssystem har vi ekvationerna x y + z = 0 x + y z = 3 med lösning (x, y, z) = (1, z + 1, z) = z(0,, 1) + (1, 1, 0) z = 1 Riktningsvektor är v = (0,, 1) Linjen är vinkelrät mot planens normalvektorer Alltså (anti-)parallell med n 1 n, där n 1 och n är normalvektorer till två av planen Vi verifierar detta för de två första planen x y + z = 0 och x + y z = 3 Normalvektorer är n 1 = (1, 1, ) och n = (, 1 ) Vektorprodukten blir n 1 n = (0, 6, 3) v = (0,, 1) Ex 111 Man kan beräkna vinkeln mellan två plan I exempel 18 har vi ES med två ekvationer och tre variabler, som är ekvationer för två plan { x + y z = 1 x = 7t med lösning y = 1 3t y + 3z = z = t 6

Först lägger vi märke till att linjen riktningsvektor är v = (7, 3, ) Den ligger parallellt med planen och är alltså vinkelrät mot planens normalvektorer n 1 = (1, 1, ) respektive n = (0,, 3) Vi får att v n 1 n Vi verifierar detta i j k n 1 n = 1 1 = (7, 3, ) 0 3 som bara inte är parallell utan lika med v Nu till vinkeln mellan planen n n 1 Θ 1 Θ De två planen Π 1 och Π sett från kanten med normaler och mellanliggande vinkel Den mellanliggande vinkeln θ får vi med skalär produkt cos θ = n 1 n n 1 n = 39 < 0 Att cos θ < 0 säger att vinkeln är trubbig Ett exakt uttryck för vinkeln är ( ) arccos 39 Vi definierar dock vinkeln som spetsig Alltså är det supplementvinkeln till denna vinkel, som vi svarar med ( ) ( ) 180 arccos = arccos ( 631 ) 39 39 Ex 11 Givet punkten (4, 5, 7) och planet x + y z 1 = 0 Bestäm (a) Projektionspunkten av punkten i planet (b) Avståndet mellan punkten och planet (a) Projektionspunkten av punkten i planet: Linjen vinkelrät mot planet genom punkten (4, 5, 7) har ekvationen på parameterform (x, y, z) = (4, 5, 7) + t(1, 1, ) eftersom n = (1, 1, ) är normalvektor till planet För vilket t skär linjen och planet varandra? Sätt in (x, y, z) för linjen i planets ekvation (t + 4) + (t + 5) (7 t) 1 = 6(t 1) = 0 t = 1 Projektionspunkten är alltså P = (4, 5, 7) + 1 (1, 1, ) = (5, 6, 5) (b) Avståndet d mellan punkten och planet får vi genom att subtrahera punkterna (5, 6, 5) och (4, 5, 7) och sedan ta längden/avståndet d = (5, 6, 5) (4, 5, 7) = (1, 1, ) = 1 + 1 + () = 6 7

Ex 113 Givet två linjer på parameterform x = t + x = t + 1 L 1 : y = t + 5 och L : y = 3 t z = 1 t z = t + 4, t R Två linjer i R 3 skär i regel inte varandra Här gör de det (a) Bestäm skärningspunkten (b) Beräkna vinkeln mellan linjerna (a) I skärningspunkten behvöer inte värdet på parametern t vara densamma för de två linjerna Byt därför t mot s i den första linjen L 1 och sätt koordinaterna lika x = s + = t + 1 s t = 1 1 1 1 y = s + 5 = 3 t L : s + t = 1 z = 1 s = t + 4 s + t = 3 1 3 1 1 1 0 3 1 0 3 1 1 0 4/3 0 1 1/3 0 0 0 { s = 4/3 t = 1/3 Eftersom vi har en lösning på detta överbestämda ES, får vi skärningspunkten ( (x, y, z) = 4/3(1, 1, ) + (, 5, 1) = 3, 11 3, 11 ) 3 (Verifiera att t = 1/3 i linjen L ger samma punkt) (b) Cinkeln mellan linjerna är spetsig eller rät, inte trubbig Vi använder oss av skalärprodukt mellan riktningsvektorerna v 1 = (1, 1, ), v = (1,, 1) cos θ = v 1 v v 1 v = 3 6 6 = 1 Vinkeln θ = 10 mellan vektorerna, men vinkeln mellan linjerna är 180 10 = 60 (Svar) Ex 114 Bestäm avståndet mellan linjen L i föregående exempel och punkten Q = (4, 5, 7) Punkten P = (1, 3, 4) ligger på linjen L Bilda vektorn P Q = (4, 5, 7) (1, 3, 4) = (3,, 3) Avståndet d kan då skrivas d = P Q sin φ där φ är vinkeln mellan P Q och v = (1,, 1) Eftersom det är "sinus" och inte "cosinus", använder vi vektoriell produkt d = v P Q sin φ P Q sin φ = v 8 = v P Q v

Nu är v P Q = i j k 1 1 3 3 = (8, 0, 8) med längd (8, 0, 8) = 8 Därmed är d = 8 6 = 8 3 le Ex 115 (a) Bestäm en ekvation för linjen L L och som går genom punkten (4, 5, 7) och skär linjen L (b) Bestäm skärningspunkten mellan linjerna L och L Q 4,5,7 Linjen L P 1,3,4 v 1,,1 Linjen L S (a) Linjen L:s riktningsvektor kan vi sätta till v Linjen L är vinkelrät mot v och v P Q och därmed (anti-)parallell med v (v P Q) = = (16, 16, 16) Vi väljer v = (1, 1, 1) Ekvationen för linjen L är därmed (x, y, z) = t(1, 1, 1) + (4, 5, 7) (b) Vi skall lösa ES s(1,, 1)+(1, 3, 4) = t(1, 1, 1)+(4, 5, 7) 1 1 3 1 5 1 1 3 ( 4 Skärningspunkten är (x, y, z) = 3, 7 3, 13 ) =: S 3 { s = 1/3 t = 8/3 Kommentarer: Vi kan nu lätt beräkna avståndet mellan punkten Q = (4, 5, 7) och linjen L, se exempel 11 Helt enkelt S Q = 8 3 (1, 1, 1) = 8 3 = 8 le 3 3 9

Ex 116 Givet punkterna/ortsvektorerna (x 1, y 1 ) och (x, y ) i planet Tillsammans med (0, 0) utgör de tre hör n i en triangel Vad är arean av denna triangel? Man kan beräkna arean med elementär trigonometri Exvis är den tredje sidan som vektor (x, y ) (x 1, y 1 ) Således kan alla tre sidornas längder och därmed triangelns area beräknas 1 Vi kan också se (x 1, y 1 ) som en vektor i R 3 : a = (x 1, y 1, 0) och pss b = (x, y, 0) Arean fås då med vektorprodukten mellan dessa a b = i j k x 1 y 1 0 x y 0 = {Utv längs kolonn 3} = (x 1y y 1 x )j Arean är alltså T = x 1y y 1 x 1 Herons formel 10