Kap 1. Tidig Atomfysik

Kap 1. Tidig Atomfysik Rydbergs formel för väte 1 λ = R ( 1 n 1 n ) Vågtal ges som ν = 1 λ. För n=1 Lymanserien, n= fås Balmersserien, n=3 Paschenserien. Balmerserien ligger i det synliga spektrat. Elektronernas banradie i vätelika atomer r = a 0n Z Bohrs modell är bra för väte och vätelika atomer (om Z<0) Energinivåerna ges av E n = hcrz n a 0 0.5Å Coloumbpotentialen för en vätelik atom Bohrs postulat V(r) = Ze 4πε 0 r = Ze 0 r Stationära banor Ljusutsändning/-absorption: hf = E n E n Kvantisering av rörelsemängdsmoment L = r p = nħ Moseley samband för röntgenstrålning Energi från vågtal fås som E = hcν, vågtalet ges oftast som inversa centimetrar. Rydbergskonstanen är massberoende, måste använda reducerade massan m = m em m e + M R är för en oändligt tung kärna, för allmänt R gäller R M m e + M Då man substiterar ut elektronmassan mot den reducerade (därför försvinner ett m e ) Detta leder till isotopskiften då den reducerade massan är olika för olika isotoper. f Z Kap 1. Vågfunktioner i väte S.E ( ħ m e + V(r)) ψ = Eψ i sfäriska koordinater blir = 1 r r (r r ) 1 r L DVS hela vinkelberoendet ligger i operatorn L. Variabelseparation av S.E i sf. Koord. Ger ekvationen L Y = by

För vinkeldelen. Lösningen är klotytefunktionerna. Observera att endast s-elektroner har en sannolikhet att befinna sig i r=0. Högre l gör att elektronen befinner sig längre ut och bindningsenergin minskar. Totala lösningen till S.E i sfäriska koord ψ nlm (r, θ, ϕ) = R nl (r) Y lm ( θ, φ) En vinkeldel och en radiell del, vinkeldelen Y ej beroende av n-kvanttalet och radiella delen R ej beroende av m-kvanttalet. Radiella vågfunktionerna och plottar för sannolikhetstätheten i radiell led. Observera den effektiva potentialen och dess beroende av l-kvanttalet. Egenvärden: l Y lm = l(l + 1)Y lm l z Y lm = my lm l är det orbitala rörelsemängdsmomentet, l z är dess projektion på z-axeln. l är rörelsemängdsmomentskvanttalet. m är det magnetiska kvanttalet. Finstruktur Hela vågfunktionen för en enelektronsatom måste kompletteras med spinnet.

ψ = R nl (r) Y lm (θ, φ) sm s eller så skriver man även vinkeldelen med ketnotation L och S ej rörelsekonstanter längre, däremot är j konstant. Måste byta vågfunktioner. ψ = R nl (r) lm l sm s För elektroner (fermioner) s = 1 och m s = ± 1 Inför en vektormodell för spinnet, vektorns längd blir S = s(s + 1) = 3 och precesserar okänt kring z-axeln men med en projektion på denna som alltid är 1/ (eller -1/) Klassiskt sett så ser elektronen en positiv kärna rotera kring den som ger upphov till ett magnetfält. Energin beror då på hur elektronens spin är orienterat i förhållande till detta. Detta ger upphov till spin-banväxelverkan. Spin-banväxelverkan blir E s o = Med β = ħ e m e c 1 4πε 0 r3 s l = β S(S 1)} {J(J + 1) L(L + 1) ħ e 1 m e c 4πε 0 (na 0 ) 3 l(l+ 1 )(l+1) (spin orbit konstanten) Produkten beräknas genom s l = j l s Där j=l+s och kan tolkas genom addition av vektorerna i vektormodellen (addition av rörelsemängdsmoment). Lande s intervallregel ΔE s o = E l+s s o E l s Z 4 s o = n 3 l(l + 1) α hcr Växelverkan (spin-orbit) ger operatorn H = μ B B-fältet är det fält som elektronen ser från kärnan (som ser ut att cirkulera elektronen) och μ är elektronens magnetiska moment. ΔE s o Uppsplittringen för vätelika system. j=l+s j=l-s

Detta gör att s l = 1 {j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)} Resten av konstanterna sätts i β och den energin blir tillslut E s o = β {j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)} Urvalsregler Elektrisk Magnetisk dipolövergång dipolövergång ΔJ = 0, ±1 ΔJ = 0, ±1 Ej 0 till 0 Ej 0 till 0 ΔM J = 0, ±1 ΔM J = 0, ±1 Δl = ±1 Δl = 0 (paritetsbyte) (inget paritetsbyte) Δn Godtyckligt Δn = 0 ΔL = 0, ±1 (vid ΔL = 0 perfekt LS-koppling) ΔS = 0 (vid perfekt ΔS = 0 LS-koppling) s-elektroner har inget banrörelesemlängdsmoment och ger därför inte upphov till någon finstruktur. Flerelektronsystem S.E för helium H = ħ m 1 Ze ħ 4πε 0 r 1 m Ze 4πε 0 r + e 4πε 0 r 1 Kan skrivas som en summa av två operatorer för två olika elektroner. (bortse från elektronernas växelverkan med varandra, dvs den sista termen) E 0 = E 1 + E = 13.6 ev Z = 109 ev Det faktiska värdet är -79 ev. Väntevärdet av repulsionen e ψ 0 ψ 0 = ΔE 4πε 0 r rep = 34 ev och med 1 denna korrektion fås då E = 109 + 34 = 75 ev Fortfarande inte helt rätt då det inte är en liten störning. Vågfunktionen Fermioner är antisymmetriska vågfunktionen måste ha samma egenskap. ψ tot = ψ rum ψ spinn Rumsdelen är symmetrisk så då måste spinndelen vara antisymmetrisk, en sådan vågfunktion är A ψ spinn Alkaliatomer = 1 ( ) Energier från skärmning fås genom (Z eff ) E nl = hcr n l Där n l = n δ l, δ l är kvantdefekten, nästan konstant för olika n men starkt beroende av lkvanttalet. δ l 0 för l > Spinbanenergin kan skalas på liknande sätt. Z i Z o ΔE s o = n 3 l(l + 1) α hcr H 0 ψ 0 = (H 1 + H )ψ 0 = E 0 ψ 0 Och dessa kan lösas var för sig med sin respektive vågfunktion H 1 ψ(1) = E 1 ψ(1) H ψ() = E ψ() Den totala vågfunktionen ψ 0 = ψ(1)ψ() och den totala energin blir då

Periodiska systemet och hur skalen är fyllda. Ädelgaser har alltid fyllda s och p orbitaler och alkalimetaller har alltid en ensam s elektron. Där potentialen är rotationssymmetrisk och alla elektroner känner samma potential. LS-Koppling Försummar spinn-ban växelverkan (eller anser den väldigt liten jämfört med repulsionen) Inför totala moment L = l i i S = s i i J = S + L Centralfältsapproximationen Antar att alla elektroner känner samma potential och rör sig självständigt från dom andra. Totala Hamilton operatorn för ett flerelektronsystem N N Ze H = H i = ħ m i 4πε0 i=1 i=1 N + j>i e 4πε0 r ij Den sista termen beskriver elektronernas växelverkan med varandra, denna antas vara av central karaktär och man inför den nya potentialen V CF = Ze 4πε 0 + S(r) där S(r) innehåller r blandtermerna. Den nya Hamilton operatorn blir då N H = ħ m i + V CF (r i ) i=1 r i J,S och L är rörelsekonstanter och goda kvanttal i en isolerad atom. Tidigare var l och s bevarade men nu är det fler elektroner och repulsionen gör att rörelsemängdsmomentet inte är bevarat längre. Det totala rörelsemängdsmomentet L är däremot bevarat och därmed även J. Vi får då vågfunktioner LM L SM S istället. Spinn-ban växelverkan fungerar som en störning på denna vågfunktion och ger upphov till finstruktur med energier E s o = β LS S L = β LS {J(J + 1) L(L + 1) S(S 1)} och vågfunktionerna LSJM J JJ-Koppling Om spinn-ban växelverkan är större än repulsionen, vilket är vanligt för tyngre atomer eftersom spinn-orbit beror på Z, fungerar inte LS-koppling längre eftersom den inte längre är en liten störning. Istället försummas den ickecentrala elektrostatiska växelverkan, istället kopplas varje l och s i varje atom ihop sig och man får summera alla j istället. J = j i i

Alltså: LS-koppling E re E s o jj-koppling E re E s o Hyperfinstruktur Kärnans magnetiska moment är μ I = g I μ N I Och elektronens är μ = g s μ B S Och den nukleära magnetronen förhåller sig till bohrmagnetonen via μ N = μ B 1836 B-fältet från elektronerna växelverkar med kärnans magnetiska moment och operatorn för hyperfinstruktur blir (JÄMFÖR MED FINSTRUKTUR) H HFS = μ I B e Därmed måste kärnspinnet vara nollskillt för att få hyperfinsstruktur. S-elektronerna påverkar dessutom kärnans spinn mer då dessa är mycket närmare kärnan och hyperfinstruktursuppsplittringen blir större för dessa. Där M är elektronens totala magnetiska moment M = g s μ B S ψ(r) och med r=0 fås H HFS = μ I B e = μ I 3 μ 0g s μ B ψ(0) = g I μ N I 3 μ Bg s μ 0 ψ(0) = AI S Detta är för s-elektroner och allmänt gäller AI J. Totala rörelsemängdsmomentet är konstant men I och J preciserar kring F och är ej konstanta M J, M I ej goda kvanttal. Istället används F och M F som är goda kvanttal. Väntevärdet blir då F = I + J E HFS = A I J = A {F(F + 1) I(I + 1) J(J + 1)} För l = s är ΔE HFS = A och för övriga gäller E F E F 1 = AF B-fältet vid kärnan ges av B e = 3 μ 0M Finstruktur Hyperfinstruktur Finstruktur Hyperfinstruktur Interaktion βl S AI J Totalt rörelsemängdsmoment J = L + S F = I + J Egentillstånd LSJM J IJFM F Energi β {J(J + 1) L(L + 1) S(S 1)} A {F(F + 1) I(I + 1) J(J + 1)} Intervallregel E J E J 1 = βj E F E F 1 = AF Alkali skalning ΔE s o ~ Z i Z o Z i Z o m e n 3 α hcr ΔE s o ~ n 3 α hcr l(l + 1) M p Antal nivåer Min (s+1, L+1) Min (J+1, I+1)

Zeemaneffekt Rörelsemängdsmomentet hos en elektron bunden till en atomkärna är kvantiserad till både storlek och riktning. Dessa kvantiseringar ges av: J = ħ J(J + 1) J z = M J ħ För storlek respektive riktning. Då rörelsemängdsmomentets riktning ges av projektionen på en arbiträr z-axel märks denna under normala omständigheter inte av, utan ger endast energierna degenerationen J + 1. (1) () Genom att placera atomen i ett starkt magnetfält definieras en z-riktning, och får därmed en liten energiuppsplitting beroende rörelsemängdsmomentets projektion på magnetfältets riktning. Det emitterade ljuset vid övergångar mellan de uppsplittrade nivåerna får en liten frekvensskillnad. Energin relativt LS-termen för via Zeemaneffekten uppsplittrade energinivåer ges av: E ZE = g J μ B BM J där μ B = eħ m e 9.7 10 4 JT 1, B är magnetfältets styrka, g J = 3 + S(S+1) L(L+1) och M J(J+1) J, S, L samt J är för tillståndet relevanta kvanttal. OBS ekvidistanta magnetiska subnivåer pga M J Om fältet är starkt Paschen-back, energin ges av E PA = μ B B(M L + M S ) Övergångar med ΔM J = 1, 0, 1 är sigma, pi, sigma, se figur. Det utsända ljuset är polariserat, se figur Zeeman i HFS Hamiltonoperatorn för detta ges av H = g J μ B J B. Om växelverkan med det yttre fältet är svagare än den hyperfina växelverkan (AI J) så kommer I och J precisera kring F men F kommer precisera långsamare kring den magnetiska axeln. Här är F, M F goda kvanttal medan M I, M J inte är det. DVS μ B B < A svagt fält

Energin ges av Där g F = E = g F μ B BM F F(F + 1) + J(J + 1) I(I + 1) g F(F + 1) J Om det magnetiska fältet är starkt μ B > A starkt fält ρ(f) = energi volym frekvensintervall = Js m 3 ρb 1 är sannolikheten per atom och tidsenhet för absorption A 1 är sannolikheten per atom och tidsenhet för spontan emission ρb1 är sannolikheten per atom och tidsenhet för stimulerad emission E = g J μ B BM J + AM I M J Magnetiska moment μ L = e L magnetiskt mom. Pga m banrörelsen μ s = g s elektronen μ I = g Ie m p I μ s μ I ~ 1836 e S m (g s = ) magnetiskt mom. magnetiskt mom. Kärnan μ tot = e (L + S) totala m magnetiska mom.(spin ban) Kärnspinnet Om A udda I halvtal Om A jämnt I heltal A ZX Om A och Z jämnt I = 0 Övergångar Einstein koefficienter Relativ population vid termisk jämvikt N N 1 = g g 1 e ΔE/kT N är populationen, g är statistisk vikt?, boltzmannfördelning. Sambanden mellan koefficienterna Isolerat system i termisk jämvikt A 1 N + ρb 1 N = ρb 1 N 1 Måste gälla. I ord antalet spontana emissioner plus antalet stimulerade emissioner måste vara lika med antalet absorberade fotoner i varje tidsintervall. Det är ett isolerat system och energin måste ta vägen någonstans, då måste den alltså absorberas. Lös ut ρ N ρb 1 = = g e ΔE/kT N 1 A 1 + ρb 1 g 1 ρ = A 1g B 1 g 1 1 e ΔE kt B 1g B 1 g 1 = ρ planck Jämför med plancks strålningslag Identifiera ρ planck = 8πf3 h c 3 1 e ΔE kt 1 g B 1 g 1 B 1 = 1 g B 1 = g 1 B 1

g A 1 = 8πf g 1 B 1 c 3 3 h g A 1 = 8πf3 h c 3 g 1 B 1 Konsekvenser: U = 30 molmassa. T m/s 300M OBS! M är i Kan mätta en övergång om man driver/lyser kraftigt N = N 1 (A 1 försummas) Storleksordningar, obs att dopplereffekten är bland de största. Laserverkan Försumma A 1 ρb 1 N > ρb 1 N 1 N > N 1 Dvs inverterad population. Spontan emission kraftigt frekvensberoende A 1 ~f 3 B 1 (om g = g 1 ) svårigheter med högfrekventa lasrar. Linjebredder Heisenberg ΔE Δt = ħ hδf N τ = ħ Δf π N = 1 πτ Kortare livstid större naturlig breddning Atomerna står inte stilla vilket leder till dopplerbreddning av spektrallinjerna. Dopplerbreddningen blir Δω D ω 0 = ln u c Där Δω D är breddningens FWHM, ω 0 är den frekvens atomerna absorberar vid i vila. Hastigheten i en atomgas ges av