Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Relevanta dokument
KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

20 Gamla tentamensuppgifter

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Prov 4: Miljö- och naturresursekonomi Nationalekonomi och matematik

Matematik CD för TB = 5 +

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

5B1134 Matematik och modeller

Modul 4 Tillämpningar av derivata

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Lösningar kapitel 10

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

4 Fler deriveringsregler

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

MA2001 Envariabelanalys

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

SF1625 Envariabelanalys

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Matematiska uppgifter

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

6 Derivata och grafer

Matematiska uppgifter

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Gamla tentemensuppgifter

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

1.1 Polynomfunktion s.7-15

Avsnitt 3, introduktion.

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

SF1625 Envariabelanalys

Transkript:

Helsingfors universitet, 18.5.2015 Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta riktningar: Matti mot öster och Maija väster. Efter en timme är de på 5 kilometers avstånd från varandra, och Maija är en kilometer längre borta från startpunkten än Matti. Hur lång sträcka har Matti vandrat? (2 p.) s1 + s2 = 5 Vi skriver ekvationsparet {, där s1 den sträcka Matti gått och s2 den sträcka Maija gått (1 p.). Vi s2 s1 = 1 löser s2 ur den andra ekvationen s2 = 1 + s1 och sätter in värdet i den första ekvationen s1 + s1 + 1 = 5 dvs. s1 = 2 och s2 = Svar: Matti har vandrat 2 km. (1 p.) 7. b) Härefter fortsätter de med samma hastigheter som i fall a) rakt norrut. Hur länge måste de ännu vandra för att komma 10 km från varandra? ( p.) Först måste vi beräkna vandringshastigheterna i a-fallet; hastigheten = sträckan/tiden Mattis hastighet v1 = 2 km 1 h = 2 km/h och Maijas hastighet on v2 = km 1 h = km/h Då de vandrat tiden T mot norr, har de vandrat sammanlagt: Matti: X = 2km (öst-västlig riktning), Y = 2 km/h * T (nord-sydlig riktning) Maija: X = km (öst-västlig riktning), Y = km/h * T (nord-sydlig riktning) Härvid är deras avstånd från varandra (x) x = ( ( 2)) 2 + (T 2T) 2 = 25 + T 2 (2 p.) Vi sätter in x = 10 10 25 T 100 25 T 2 2 T 75 8,7 Svar: Efter ungefär 8,7 timmar eller 8 timmar och 40 minuter (1 p.)

8. a) Storheten y beskrivs av ekvationen y = 1 + 0,5exp ( At), där t är tiden och A är en konstant. För vilka värden på t är y = 1,25? (2 p.) Vi löser t ur ekvationen y = 1 + 0,5exp ( At) för y = 1,25 1,25 = 1 + 0,5 exp( At) 0,25 = 0,5exp ( At) 0,5 = exp ( At) ln(0,5) = At t = ln (0,5) A Svar: Vid tidpunkten t = ln (0,5) A (2 p.) 8. b) Storheten y beskrivs av ekvationen y = 10A t, där t är tiden och A är en konstant. Storheten y får värdet y = 500, vid tidpunkten t = 2. Vilket är värdet på storheten y vid tidpunkten t =? ( p.) Vi löser A, då t = 2 och y = 500: 500 = 10A 2 A = 50 1/2 eller A = 50 1/2 (1 p.) Vid tidpunkten t = y = 10A = 10 50 /2 56 eller y = 10 ( 50) /2 56 (2 p.)

9. Fyra cirklar skär varandra och bildar det skuggade området i figuren. Cirklarnas medelpunkter befinner sig mitt på kvadratens sidor. Längden på kvadratens sidor och cirklarnas diameter är x. Vilken är ytan hos det skuggade området? (5 p.) Vi betraktar området A osa Ytan hos området A osa är 1/8 av hela det skuggade områdets yta A. Ytan hos området A osa är ytan hos en fjärdedels cirkel (vars radie är x/2) minus hälften av ytan hos en kvadrat (med sidan x/2). ( p.) A = 8A osa = 8 ( 1 4 π (x 2 )2 1 2 (x 2 )2 ) = 8 ( 1 16 πx2 1 8 x2 ) = 1 2 πx2 x 2 = ( 1 2 π 1) x2 (2 p.)

10. Låt f(x) = (90 x)(225 + 50x + x 2 ). (5 p.) a) Bestäm funktionens (f) nollställen. b) I vilka intervall är funktionen (f) växande? c) För vilka värden på argumentet x är funktionens (f) derivata lika stor som vinkelkoefficienten till funktionens g, g(x) = 100 72x, tangentlinje? d) Bestäm funktionens (f) största och minsta värde i intervallen [20,100]. a) Funktionens nollställen får vi ur ekvationen f(x) = 0. Funktionens nollställen är alltså x = 90, x = 5, ja x = 45. (1 p.) b) Funktionens derivata är f (x) = x 2 + 80x + 4275. Derivatan är större än eller lika med noll då x 2 + 80x + 4275 0. (0,5 p.) Lösningsmängden till denna olikhet är intervallen [ 40 5 577, 40+5 577 ]. Eftersom derivatan i denna intervall är större än eller lika med noll är funktionen växande i denna intervall. (0,5 p.) c) Funktionens g, g(x) = 100 72x, tangentlinje har vinkelkoefficienten 72. (0,5 p.) Funktionens derivata, f (x) = x 2 + 80x + 4275, får detta värde i de punkter som är lösningar till ekvationen x 2 + 80x + 4275 = 72. (0,5 p) Lösningarna till denna ekvation är x = 27 ja x = 161 (1 p.) d) Funktionen f får i intervallen [20, 100] sitt största och minsta värde antingen i ändpunkterna eller i derivatans nollställen i intervallen. I punkten x = 20 är funktionens värde 11750 (0,25 p.), och i punkten x = 100 är värdet 152250 (0,25 p.). Av nollställena till funktionens derivata faller endast punkten x = 40+5 577 inom den betraktade intervallen, och funktionens värde i den punkten är ungefär 21024 (0,25 p.). I den betraktade intervallen är funktionens största värde alltså ungefär 21024 det minsta värdet 152250. (0,25 p.)

11. a) I ett sampel finns n stycken observationer. Antag att siffervärdet för varje observation växer med ett. 1. Vad händer då med det aritmetiska medelvärdet för samplets observationer? Motivera. 2. Vad händer då med bredden hos samplets variationsintervall? Motivera.. Vad händer då med standardavvikelsen hos samplets observationer? Motivera. ( p.) Antag att de observerade talvärdena är x 1,, x n. 1. Det aritmetiska medelvärdet x beräknas med formeln x = n i=1 x i n. När man lägger till talet ett till varje observerat tal växer täljaren med talet n. Talet n delat med talet n är ett, så medelvärdet stiger med ett. (1 p.) 2. Antag att x min och x max är observationernas minsta och största värde i samplet. Variationsintervallens bredd är x max x min. Om alla observerade värden växer med ett gör även det minsta och största värdet det. Bredden hos variationsintervallen förändras inte. (1 p.). Standard deviationen beräknas med någondera av formlerna n i=1 (x i x ) 2 n tai n i=1 (x i x ) 2 n 1 där x är det aritmetiska medelvärdet. Eftersom varje observerat värde växer med ett växer även det aritmetiska medelvärdet med ett, så termerna som adderas förändras inte alls. Standard deviationen förändras alltså inte. (1 p.) 11. b) I ekvationen 4x = kx 1 är koefficienten k ögontalet som fås vid ett tärningskast, när tärningen är en vanlig tärning med sex ögon. Med vilken sannolikhet är lösningen till ekvationen positiv? (2 p.) Lösningen till ekvationen är x = 1 4+k. (1 p.) Eftersom k är ögontalet vid kast av en normal tärning är k alltid positiv. Lösningen till ekvationen är positiv med sannolikheten 1. (1 p.)

12. Fiskstammen i ett havsområde är i början av ett år 500 ton. Fiske är förbjudet varje år vid fiskarnas lektid. Efter lektiden har stammen vuxit med 10 procent. Efter leken fiskas varje år 60 ton. Hur stor är fiskstammen efter tio år? (5 p.) Låt A vara fiskstammens storlek i början och K den årliga fiskfångsten. Efter det första årets lek är fiskstammens storlek Aβ, där β är koefficienten 1,1. Efter det första årets fiskafänge är stammens storlek Aβ K. Efter det andra årets lek är stammens storlek (Aβ K)β, och efter fiskafänget (Aβ K)β K. Dvs. År 1: År 2: År : Aβ K (Aβ K)β K = Aβ 2 Kβ K ((Aβ K)β K)β K = Aβ Kβ 2 Kβ K och så vidare År 10: Aβ 10 Kβ 9 Kβ 8 Kβ K, Formlerna anger fiskstammens storlek efter fisket varje år. (2 p.) Som känt är (geometrisk summa) Aβ 10 Kβ 9 Kβ 8 Kβ K = Aβ 10 K 1 β10. (1 p.) 1 β Insättning av de givna uppgifterna (A = 500, β = 1,1 ja K = 60) i formeln ger fiskstammens storlek efter tio års fiske. Den är ungefär 41 ton. (2 p.) (Ett direktera sätt skulle ha varit att tolka K som annuiteten, β räntekoefficient och A som startkapitalet. Då hade man direkt kunna tillämpa den sista formelns högra del.)