Under mitt arbete som klassmorfar i

stig-a r n e e k h a l l Promenad i matematikens idévärld Hur ser vi på matematik? Är den säkert abstrakt och svårbegriplig? Eller är det en myt och värt att ifrågasätta? Här beskriver en matematiker som är klassmorfar hur han förhåller sig till dessa frågor och ger åskådliga exempel i en, två och tre dimensioner. Under mitt arbete som klassmorfar i Närlundaskolan, en FK 5-skola i Ekerö kommun, fick jag en dag för ett par år sedan en riktig tankeställare. På en matematiklektion diskuterade jag klockan med en elev. Problemet var så här: En dag kommer Oskar hem från skolan klockan 14.50. Han ger sig iväg till fotbollsträning klockan 16.15. Hur lång tid har han då varit hemma? Eleven såg bekymrad ut. Jag försökte på alla vis att inrikta eleven på ett lämpligt tänke- eller räknesätt men det gick inte. Nästan uppgiven sa jag då till eleven att låtsas att det inte var en mattelektion. Jaha, sade han och lyste upp och efter några sekunder kom svaret: En timme och 25 minuter. Senare har jag från olika håll hört liknande berättelser. Problem som bemästras i en annan situation kan ge oöverstigliga svårigheter på matematiklektioner. Uppenbarligen ger matematiken, dess symboler, begrepp och språk hämmande känslor hos många. Kan det finnas matematikfobi på samma sätt som man talar om spindelfobi, flygrädsla och liknande? Spindelfobi kan man bota med lämplig terapi. Då borde man även kunna bota eller åtminstone rejält lindra symtomen på matematikfobi. För att visa att matematiskt tänkesätt och dess formler har konkret motsvarighet i vårt dagliga liv och därför inte behöver skrämma någon, hade jag en halv studiedag hösten 2004 med personalen i den skola där jag arbetar. Rubriken var Pythagoras och Hypotenusan eller En promenad i matematikens idévärld. Syftet var alltså inte primärt att lära ut någon intressant del av matematiken. I seminariet deltog all personal: rektor, förskolepersonal, slöjd- och bildlärare, skolmåltidspersonal, vaktmästare, klass- och speciallärare, ca 25 personer. En del av seminariet har jag genomfört med deltagarna i en matematikverkstadskurs. Fotografierna i artikeln är tagna vid detta tillfälle. Platons idélära konkret och abstrakt Jag började seminariet med att ta ett exempel med rötter i Platons idélära (Platon levde 427 347 f Kr). De stolar vi har runt omkring oss motsvarar idén stol, här betecknad med ordet stol : Stol 44 Nämnaren nr 2 2006

Liknande relationer mellan fysiska föremål och abstrakta matematiska objekt har vi alla tillägnat oss utan att tänka på dess djupa innebörd. Tänk bara på de naturliga talen: och enkel sifferräkning: Ett körsbär + Två körsbär = Tre körsbär 1 + 2 = 3 Nu går vi vidare och jämför en fysisk linje, ritad på tavlan, med en matematisk tallinje: Om vi förstorar strecket på tavlan blir det längre men även bredare. Efter ytterligare förstoring ser vi kritklumpar/bläckdroppar, härefter molekyler osv. Tallinjen däremot ändras inte alls hur många gånger vi än förstorar den. 3 3 ner ett litet tal, en miljondel, 1 / 1 000 000, så är det lätt att hitta många mindre tal, t ex 1 / 10 000 000 eller det som är hälften så stort. Hur litet intervall vi än pekar ut på tallinjen finns det minst ett bråktal i det intervallet. Pythagoras sats och kvadratroten ur två Men kan det finnas andra tal än bråktalen? För att ta reda på det närmar vi oss nu Pythagoras sats. (Pythagoras dog ca 500 f Kr). Deltagarna fick, indelade i grupper om 2 5 personer, rita en kvadrat med sidan 1 dm och mäta diagonalen så noggrant som möjligt. Vi kom fram till att diagonalens längd ligger mellan 1,41 och 1,42. (Vi fick då ett närmevärde till kvadratroten ur 2, även om vi inte visste det på detta stadium.) Nu skall vi försöka beräkna exakt hur stort det tal är som mäter denna diagonals längd, sa jag. Då behöver vi Pythagoras sats. Nästa uppgift blev alltså att visa den. Vi använde den så kallade pusselmetoden. Varje grupp fick klippa: en rätvinklig triangel i åtta exemplar, två kvadrater med lika långa sidor som triangelns kateter, en kvadrat med lika lång sida som hypotenusan. Med dessa bitar la vi sedan pussel som skulle bli två lika stora kvadrater. b Vidare egenskaper hos tallinjen är att det varken finns något minsta eller största positiva tal och att det finns ett obegränsat antal heltal. Tar jag ett stort tal, 1 000 000 000 000 kan du direkt nämna det som kommer därnäst 1 000 000 000 001. Överallt kryllar det av rationella tal, bråk, dvs tal av formen p/q, där p och q är heltal, t ex 3 / 14. Om jag näma c b a b När vi sedan tar bort de åtta trianglarna, fyra från vardera kvadraten, är återstoden från de båda pusselkvadraterna fortfarande lika stora. Då ser man att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadrat erna på kateterna, eller med symboler: a a + b b = c c eller a 2 + b 2 = c 2. Nämnaren nr 2 2006 45

Låt oss nu gå tillbaka till diagonalen i kvadraten med sidan 1 (dm): Pythagoras sats ger: 1 1 x 1 1 + 1 1 = x x 2 = x x Diagonalen i kvadraten med sidan ett är alltså ett tal som, multiplicerat med sig självt, blir lika med två. Deltagarna blev snart överens med mig om att ett kortare uttryck än ett tal som multiplicerat med sig självt blir två är lämpligt och vi införde 2. Tidigare har vi sett att 2 ligger mellan 1,41 och 1,42. Genom att multiplicera 1,410, 1,411, 1,412, 1,413, 1,414 och 1,415 i tur och ordning med sig själva får vi ett bättre närme värde. 2 ligger mellan 1,414 och 1,415. (Talen från 1,416 och uppåt behöver vi inte behandla.) Sedan kan vi bestämma fler och fler decimaler på samma sätt, decimalföljden tar aldrig slut. Vi kan bevisa eller åtminstone göra troligt att roten ur två inte är ett bråktal, se rutan. Pythagoras blev mycket förvånad när han kom på att det finns sådana tal. Han var tidigare övertygad om att varje tal kunde skrivas som kvoten mellan två heltal. Fler dimensioner För att ge exempel på åskådliga gestaltningar i matematik gick vi så över från tallinjen till att arbeta i ett plan, alltså i två dimensioner. Vi gick till ett rum med fri golvyta något större än fem gånger fem meter. Två långa måttband, lånade i gymnastiksalen, utgjorde x- respektive y-axel i ett konkret koordinatsystem. Deltagarna ställde sig på platser med heltalskoordinater (mellan ett och fem). Var och en antecknade på ett medhavt papper sina x- och y-koordinater. x-koordinaten är avståndet till y-axeln i meter. y-koordinaten är avståndet till x-axeln i meter. 2 är inte ett rationellt tal Antag att 2 = p/q, där p och q är positiva heltal och att bråket är förkortat så långt det går. Då är p 2 = 2q 2. Högerledet är jämnt, alltså är även vänsterledet det. p måste då vara jämnt, varför vänsterledet är delbart med 4. Då måste även q 2 och därmed även q vara delbart med 2. Alltså kan man förkorta p/q. Vi har kommit till en motsägelse. Det finns alltså inget bråktal som är lika med roten ur två. Sedan fick deltagarna räkna ut x + y med de värden på x respektive y som var och en hade på sitt papper. De som hade x + y = 6 fick stå kvar på sina positioner medan övriga fick sätta sig ner. Det visade sig att de stående befann sig på en rät linje. Alltså har vi motsvarigheten x + y = 6 en rät linje Sedan utvidgade vi våra gemensamma erfarenheter till tre dimensioner. Var och en av deltagarna beräknade z så att x + y + 2z = 7. x + y hade de redan räknat ut så resten var inte så svårt. Deltagarna kunde givetvis hjälpa varandra om det behövdes. Det gällde sedan att hålla papperslappen så högt ovan marken så att det motsvarade z-värdet i meter. Den som hade z = 2,5 ställde sig på en stol. De med z = 2 höll sina papper över huvudet, de med z = 1,5 stod vanligt, de med z = 1 stod på knä och de med z = 0,5 satt ner på marken. De som hade z = 0 lämnade sitt 46 Nämnaren nr 2 2006

Seminariedeltagare, gestaltande x + y + 2z = 7. Artikelförfattaren längst till vänster. papper på marken på sin position. De som hade negativa värden på z fick tillfälligt vara åskådare. Vi såg då att papperslapparna låg i ett plan som bildade en yta, ett snedtak. Vi fick alltså x + y + 2z = 7 (ett snett plan i rummet) ett snedtak Ja, det var linje och plan, men hur är det med en krokig linje, en cirkel till exempel? Vad har den för matematisk motsvarighet? Då gick vi tillbaka till klassrummet och jag arbetade vid tavlan. Cirkeln har radien 5. (x, y) Användning av Pythagoras sats på triangeln med kateterna x respektive y längdenheter och hypotenusan 5 ger: x 2 + y 2 = 25 5 x y För varje punkt (x, y) på cirkeln kan vi sätta upp detta samband och vi säger då att x 2 + y 2 = 25 är en cirkel med radien 5. I tre dimensioner är x 2 + y 2 + z 2 = 25 en boll, en sfär. Matematiska formler har alltså ofta konkreta motsvarigheter, vilket gör matematiken mindre mystisk. Descartes Den förste som behandlade geometri med räknemetoder som vi gjort ovan var den franske filosofen och matematikern René Descartes (1596 1650). För sitt djärva sätt att resonera blev han beskylld för att förföra ungdomen och förvisades till Holland där han arbetade i flera år. Vår drottning Kristina inbjöd honom till Sverige dit han kom hösten 1649. Den ständigt kunskaps törstande drottningen såg till att han blev väckt i ottan för djupa samtal om höga ting. I den iskalla miljön fick han lunginflammation och dog redan i början av 1650. Descartes är även känd för devisen: Jag tänker, alltså finns jag till. Nämnaren nr 2 2006 47

Oändligheten I mitt seminarium tämjde jag också oändligheten genom att berätta om Hilberts hotell med oändligt många rum, rita det i perspektiv på tavlan, dela en tårta i ett oändligt antal bitar, räkna upp de positiva bråktalen samt täcka dem med bitar av ett godtyckligt litet intervall. Tårtan som räcker för alla Om varje gäst tar hälften (eller mindre än hälften) av vad som återstår efter dem som tagit sina bitar innan, räcker tårtan till ett obegränsat antal gäster. 2 Hilberts hotell Detta märkliga hotell har oändligt många rum och har fått sitt namn efter den tyske matematikern David Hilbert (1862 1943). 1 5 4 3 Gäst nummer ett (en hungrig tonåring?) får hälften, nästa får en fjärdedel, så en åttondel till den tredje osv. I den fysiska världen blir det snart svårt. Bitarnas storlek kommer efter ett tag ner till atomnivå och då blir nog gästerna besvikna. Men i matematikens idévärld är 1/1024 lika aptitligt som 1/8, eller hur? Tänk om det är fullbelagt och det kommer ännu fler gäster, säg fem stycken! Inga problem. Man låter bara de som redan har installerat sig i hotellet flytta fem rum bort. Den som bott i t ex rum nr 8 flyttar till rum nummer 13. Då blir rum nummer 1, 2, 3, 4 och 5 lediga och de nya gästerna kan få de rummen. Inte nog med det. Till och med i ett fullbelagt hotell kan man efter en lämplig omflyttning bereda plats för ett obegränsat antal nya gäster. Låt de gamla hotellgästerna flytta till rum som har jämna nummer: 1 > 2, 2 > 4, 3 > 6, 4 > 8 osv. Då blir alla rum med udda nummer, 1, 3, 5, 7, 9... osv lediga för hur många nya gäster som helst. På samma sätt kan man frigöra halva hotellet för renovering utan att behöva förlora en enda gäst. Hilberts hotell har paradoxala och märkliga egenskaper. Men tankeleken visar att även oändligheten kan hanteras med konkreta motsvarigheter i vår vanliga fysiska värld. Oändligheten låter sig tämjas! Bråktalen hur många är de och hur stor plats tar de? Ett bråktal är ju ett heltal dividerat med ett annat. De är många, men vi kan räkna upp dem: 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6... 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6... 5/1 5/2... Skriv först upp dem så här 1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 2/4 3/3 4/2 5/1... och stryk dem som redan förekommit. Då får vi nedanstående talföljd, som vi kan räkna upp 1/1 1/2 2/1 1/3 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 5/1... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 48 Nämnaren nr 2 2006

0,000001 0,000002 nr 1 2 3 4 5 6... Trots att bråktalen är så många fler än heltalen kan vi åstadkomma en motsvarighet mellan dem; vi kan räkna upp dem. Vi säger att bråktalen har samma mäktighet som heltalen. Hela tiden avses de positiva bråktalen och de positiva heltalen. Efter den inledande övningen med Hilberts hotell är vi kanske inte så förvånade. Hur stor plats tar bråktalen på tallinjen? Vi använder tekniken från tårtdelningen. Deltagarna i seminariet fick ange längden på ett mycket litet stycke av tallinjen och så delade vi upp det, först i två lika stora delar. Den högra av dem delade vi i två och så vidare. Sedan numrerade vi de ännu mindre bitarna, se bilden ovan. Med den första biten täckte vi bråktal nummer 1 i vår uppräkning, med den andra täckte vi nr 2 och så vidare. Trots att bråktalen är så många och att de finns i vilket intervall som helst på tallinjen, kan man täcka allihop med bitarna från ett mycket litet stycke av linjen, ja egentligen hur litet som helst. Vi har nu kommit ännu något högre i abstrak tionsnivå. Bråktalen är många fler än heltalen men ändå på något sätt lika många (lika mäktighet). De finns överallt, godtyckligt nära varandra men de tar hur liten plats som helst. Trots det kan de behandlas med tankeverktyg som ligger nära vår dagliga värld. Sammanfattande reflektioner Jag försökte att så långt möjligt undvika att införa nya ord för nya begrepp. Jag kallade t ex rationella tal för bråktal. Huvud syftet med den beskrivna dagen var ju att visa att matematiska symboler och formler (om de inte är alltför avancerade) har konkreta motsvarigheter i vår vanliga vardag. Som verktyg för problemlösning är de egentligen inte mer märkvärdiga än en borrmaskin eller en symaskin. Stämningen blev ganska uppsluppen så det blev dessutom en demonstration av att matematik kan vara ganska rolig. Det visade också den enkla utvärdering som vi gjorde under seminariets fem sista minuter. Jag menar att mina erfarenheter och mitt försök visar att vi kan förmedla att matematiken inte är så märkvärdig som många tror. Men det krävs nog att den som leder seminariet har så pass mycket kunskaper i ämnet att han/hon känner sig trygg i matematikens värld med dess språk, symboler och formler. Och att man har en positiv och lyssnande inställning till dem som tar emot budskapet, förstås! Vad är en klassmorfar? Klassmorfar för barnen är en ideell förening och ett socialt stödprojekt i grundskolan. Syftet är att främja barnens utveckling och berika deras liv under val språket Alla barn är våra barn. Klassmorfar är antingen pensionär eller tidigare långtidsarbetslös man över 50 år. Han är inte lärare och konkurrerar heller inte med andra yrkeskategorier i skolan. Nyligen har man även öppnat för kvinnor. Läs mer på www.klassmorfar.nu Nämnaren nr 2 2006 49