Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man vll ha. Andra gånger kan mätosäkerheten vara så stort att resultatet blr helt ontressant. Det gäller alltså att veta vlken osäkerhet man har hos sna mätdata samt vlken noggrannhet man behöver hos resultatet. I stället för mätosäkerhet talar man ofta om mätfel. I detta sammanhang betyder alltså mätfel nte att man gjort något drekt fel utan att det alltd fnns en osäkerhet, ett fel alla mätnngar. Mätfel brukar delas n två grupper: tllfällga fel och systematska fel. Låt oss förklara skllnaden med ett exempel. Ett brev läggs 3 gånger på en mekansk brevvåg. Varje gång avläses vkten och v får följande resultat: 8, 9, 8, 7, 0, 8, 9, 8, 8, 8, 9, 7 och 8 gram. Den sprdnng av mätvärdena som man får kan bl.a. bero på brevets placerng på vågskålen, tröghet det mekanska systemet, dålg avläsnng av skalan, osv. Sådana tllfällga fel uppträder slumpmässgt och kan därför behandlas statstskt. Genom att beräkna ett medelvärde får man en bättre uppskattnng av brevets vkt än om man använder ett ensklt mätvärde. För att få en uppfattnng om hur mätvärdena sprder sg kan man ange standardavvkelsen. Standardavvkelsen blr alltså en uppskattnng av osäkerheten/felet en enskld mätnng. u kan det tyvärr hända att brevet nte alls väger runt 8 gram. Försltnng kan ha gjort att utslaget nte stämmer med skalstrecken. Vågen kanske nte var nollställd eller man gjorde avläsnngarna snett förhållande tll skalan. Denna typ av systematska fel är förödande eftersom de nte försvnner då man bldar medelvärden. aturlgtvs skall man första hand försöka elmnera de systematska felen en försöksuppställnng. Att göra en uppskattnng av systematska fel kräver ofta både erfarenhet och stora fyskkunskaper och kan många gånger vara mer tdskrävande än den aktuella mätnngen! Medelvärde och standardavvkelse Om x, x, x 3,..., x n är de ensklda mätvärdena, beräknar man det artmetska medelvärdet av mätseren <x> på följande sätt: x n n x Standardavvkelsen, s, för mätseren defneras som n s ( x x n otera att både <x> och s får samma enhet som x. Låt oss beräkna medelvärdet och standardavvkelsen för vår mätsere ovan. V får <m> = 8, g och s = 0,83 g.
ormalfördelnngen Antag att v upprepade vägnngen av brevet ett mycket stort antal gånger. Ett dagram där antalet gånger v får en vss massa (eller hamnar nom ett ltet ntervall krng en vss massa avsätts mot massan blr den välkända normalfördelnngen, som vsas Fgur, och som matematskt beskrvs av funktonen där f ( x x ( x e f ( x dx tolkas som sannolkheten att få ett värde ntervallet dx krng x och f ( x dx. Fgur. Två normalfördelnngskurvor (4, och (0,. Det streckade området mellan x motsvarar 68 % av fördelnngen. ormalfördelnngen är symmetrsk krng det mest sannolka värdet (väntevärdet x och har en bredd som beskrvs av (standardavvkelsen. ormalfördelnngen betecknas ofta ( x,. I de flesta expermentella stuatoner beskrver man emellertd lnjebredder genom att ange FWHM ( Full Wdth at Half Maxmum eller hela bredden på halva höjden För normalfördelnngen blr sambandet: FWHM ln(. Från expermentella mätnngar x, x, x 3,..., x n kan v uppskatta x med <x> och med s. Här gäller det att ha begreppen klara för sg, eftersom v använder orden medelvärde och standardavvkelse betydelser med olka betecknngar! Vår expermentella storhet X har en statstsk fördelnng, t.ex. normalfördelnngen, med ett okänt "sant" medelvärde x och en lkaledes okänd "sann" standardavvkelse. Det enda v kan göra är att va mätnngar uppskatta dessa storheter genom att beräkna medelvärden och standardavvkelse från vår mätsere, <x> och s. På engelska är man ofta tydlgare genom att, det senare fallet, tala om "sample mean" respektve "sample standard
devaton". I vårt exempel med brevet kan v alltså uppskatta sannolkheten att en vägnng ger ett vsst resultat från en normalfördelnng med väntevärdet 8, g och standardavvkelsen 0,83 g. Det nnebär bl.a. att sannolkheten är 68 % att få ett resultat mellan 8, - 0,83 och 8, + 0,83 dvs mellan 7,4 och 9,0 g. Feluppskattnng på laboratoner Genom att göra långa mätserer kan man få en bra skattnng av väntevärden och standardavvkelser. På laboratonerna har Du dock ofta nte td att mäta mer än en gång. I andra sammanhang kan expermenten vara så tdskrävande och dyrbara att man bara kan mäta en eller högst ett fåtal gånger. Vad gör man då? Jo, Du får försöka uppskatta osäkerheten dn enda mätnng. Använder Du lnjal för att mäta en sträcka är osäkerheten säkert 0, - 0,5 mm. Vågar kan vara märkta från ± kg ner tll ± 0,0005 g. Elektrska multmetrar kan ha osäkerheten angvet som ett vsst antal procent av fullt utslag, osv. Det går alltd att åstadkomma någon form av feluppskattnng även hos ett enstaka mätvärde. Därefter får Du använda feluppskattnngen stället för standardavvkelsen. För att sklja feluppskattnngar från standardavvkelser använder v betecknngar av typen x stället för s eller. Felfortplantnng Httlls har v bara dskuterat statstken krng en varabel (t.ex. massan av ett brev men den vanlgaste stuatonen är att den ntressanta storheten är en funkton av flera mätbara varabler Y f X, X,..., X. ( V kan t.ex. vlja ha en feluppskattnng av densteten ( av vårt brev från uppmätta värden på massan (m och volymen (V, m/v, eller bestämma osäkerheten spaltvdden (b från en mätnng av dffraktonsvnkeln ( och våglängden, b = /sn(. V dskuterar fall, dels en lnjärkombnaton av normalfördelade varabler och dels fallet ovan med en godtycklg funkton f. Lnjärkombnaton av normalfördelade varabler Om Y a X där X är oberoende normalfördelade varabler, X,, och a konstant så gäller att också Y är normalfördelad och ( X Y ( Y, y där Y a X och y a Exempel : Summa Om X ( X, och X ( X, så skattar v osäkerheten Y X X med Y.
Exempel : Artmetskt medelvärde I vår tdgare dskusson såg v att osäkerheten en mätnng av vkten av brevet kunde uppskattas med den expermentella standardavvkelsen s = 0,83 g. Vad blr osäkerheten medelvärdet av vkterna? m 3 3 m där m (8,, 0,83 m 3 3 0,83 0,83 0,3 3 Därför anger v brevets massa som m = (8, ± 0, g Detta är det vanlgaste sättet att ange mätvärdena på. otera dock att sannolkheten för att massan lgger utanför de angvna gränserna är hela 3%! Det är alltså vktgt att komma håg att en standardavvkelses feluppskattnng verklgen nte betyder att det rktga värdet måste lgga nom de angvna felgränserna. Om man stället anger gränserna som standardavvkelser så är sannolkheten ca. 95% att ntervallet nnehåller det rätta värdet. otera det vktga resultatet att osäkerheten medelvärdet mnskar som / n när antalet mätnngar öka. Att osäkerheten bör mnska med fler mätnngar är väl ganska ntutvt men v ser också att det är dyrbart, en förbättrng med en faktor 0 kostar 00 nya mätnngar. Godtycklg funkton f Det vanlgaste fallet fysk är att den sökta storheten kan skrvas som en allmän funkton av ett antal mätbara storheter: Y f ( X, X,..., X Om f är en ckelnjär funkton är det mycket svårt att exakt bestämma en uppskattnng av felet Y från gva feluppskattnngar X X. V ska stället alltd använda en approxmatonsformel som härrör från Gauss. Genom att Taylorutveckla funktonen runt X X kan man vsa att om varablerna X är oberoende så gäller approxmatvt: ( Y ( X Y ( X ( X Y ( X... ( X Y ( X Detta är ett mycket användbart resultat, som Du säkert kommer att ha nytta av många stuatoner. Observera att det är en approxmaton, vars noggrannhet är bättre ju mer lnjär f är nom de områden där X lgger, dvs för X [ X X, X X]. Om f är exakt lnjär ger formeln samma resultat som för lnjärkombnatonen ovan. V llustrerar resultatet med ett antal exempel.
Exempel 3: Arean av en crkel Arean av en crkel är A d. Du mäter dametern (d tll 0, cm. Beräkna arean 4 och ange en feluppskattnng. Först uppskattar v felet mätnngen av dametern. Antag att v mäter med en vanlg lnjal, då bör v säkert kunna mäta nom 0,5 mm. Om v nu avser att feluppskattnngen arean ska tolkas som standardavvkelse, dvs det tradtonella sättet att ange fel, måste v också använda standardavvkelse mätnngen av d som d. Eftersom v säkert kan mäta nom 0,5 mm är d = 0,5 trolgen nte utan snarare standardavvkelser, enlgt dskussonen exempel. V väljer alltså d = 0,5 mm. Observera att detta resonemang nog behövs de flesta fall (om man ska vara noga, eftersom det är lättare och naturlgare att uppskatta de maxmala felen en mätnng än att drekt gssa på ett värde där man har 3% sannolkhet att gssa fel. Felfortplantnngsformeln ger nu ( A ( d ( d A d d 0,48 cm Svar: Arean av crkeln är (8,7 0,5 cm, där feluppskattnngen avser standardavvkelse. I detta fallet har alltså en mätnng av d med ca 3% fel gett en area med ca 6% osäkerhet, vlket naturlgtvs kommer sg av att v måste kvadrera den uppmätta dametern. Exempel 4: Denstet m V vll bestämma densteten hos en metallegerng. V mäter och uppskattar V felen ( standardavvkelse massan och volymen: m = (33 ± g och V = (6, ± 0,6 cm 3. Bestäm densteten och ange en feluppskattnng. Densteten beräknas tll = 5,47 g/cm 3. Felfortplantnngsformeln ger nu ( m ( m ( ( V ( V V 0,00068 0,0083 0,003 0,056 standard- Svar: Densteten är (5,4 0,06 g/cm 3, där feluppskattnngen avser avvkelse. Här ser v att ett relatvt fel m på 0,3 % kombnerat med ett fel V på 0,99 % ger ett totalt uppskattat fel på, %. är man använder felfortplantnngsformeln är det alltd ntressant att beräkna och skrva ut varje term för sg nnan man summerar eftersom det då tydlgt framgår vlken/vlka av de ngående varablerna som bdrar mest tll totalfelet. I detta exempel är det uppenbart att om man vll ha bättre noggrannhet densteten så ska man först och främst förbättra mätnngen av volymen.
Exempel 5: Spaltvdd Man vll bestämma en spaltvdd b genom att studera dffraktonsmönstret som bldas då spalten belyses med ljus från en He-e laser. En skärm placeras på avståndet L från spalten och man mäter upp en sträcka x mellan det femte mnmat på ömse sdor om centralmaxmat. Resultat: L = (7,00 ± 0,0 m och x = (438 ± mm Våglängden är bestämd tll = (63,8 ± 0,0 nm. Bestäm spaltvdden och ange en feluppskattnng. Enlgt teorn för Fraunhoferdffrakton en enkelspalt gäller att vllkoret för mnmum en vnkel från spaltnormalen ges av b sn( m där m = 5 är ordnngen och sn( x /( L. ml 5 7 6,38 0 b x 3 438 0 Felfortplantnngsformeln ger nu 7 0. m ( b ( L,087 0,30 m x 4 Svar: Spaltvdden är (0 m (,554 0 8 b.06 m ml x, 0 ( x ml x Genom att studera bdraget från de olka termerna ser v att osäkerheten spaltvdden nästan helt bestäms av osäkerheten mätnngen av avståndet mellan mnmpunkterna. Observera att vår felberäknng bara avser de slumpmässga mätfelen. I formeln ovan har v ju också gjort approxmatonen sn tan x /( L, vlket kan leda tll ett systematskt fel, som v får studera separat. Exempel 6: Produkt - relatva fel Låt y = x z där x och z är expermentella varabler med feluppskattnngarna x och z. Bestäm en feluppskattnng av y. Felfortplantnngsformeln ger: ( y ( x z ( z x Om v nu tar roten på bägge sdor och dvderar med y = x z får v y y x x z z
Exempel 7: Kvot - relatva fel Låt y = x / z där x och z är expermentella varabler med feluppskattnngarna x och z. Bestäm en feluppskattnng av y. Felfortplantnngsformeln ger: x ( y ( x ( z z Om v nu tar roten på bägge sdor och dvderar med y = x / z får v även detta fallet y y x x z z De allmänna resultaten exempel 6 och 7 kan v tolka (och mnnas ord som att det relatva felet en produkt eller en kvot beräknas som roten ur summan av de relatva felen varablerna kvadrat. z Exempel 8: Logartmsk transformaton V avslutar med ytterlgar en mycket vanlg stuaton. Låt y = ln(x där x är en expermentell varabel med feluppskattnngen x. Bestäm en feluppskattnng av y. Felfortplantnngsformeln ger: dvs ( y ( x x x y x