FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys pratar man i första han om två begrepp: erivata och integral. Nu har vi kommit fram till et första av em. 1.1. Definition av erivata. Definition 1. Derivatan av en funktion f är en funktion f efiniera av f f(x + h) f(x) (x) = lim, h 0 h för alla x är gränsväret finns. Om f (x) finns för något x säger vi att f är eriverbar i x. Alternativt kan erivatan uttryckas som f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, Om f inte är eriverbar i x (et vill säga om gränsväret ovan inte finns) säger vi att x är en singulär punkt. Definition 2. Funktionen f är eriverbar i intervallet I om f (x) existerar för varje x I. Geometriskt kan man tolka erivatan som lutningskoefficienten för tangenten till kurvan y = f(x) i punkten x 0. Mer exakt: tangent till y = f(x) i x 0 har ekvationen y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Fysikaliskt tolkar man erivatan som ett mått på föränringshastigheten hos storheten f(x). Det finns många olika sätt att beteckna erivatan av en funktion: f (x) = Df(x) = x f(x) = y x = y = D x y. 1

2 JONAS ELIASSON 1.2. Derivatan av några enkla funktioner. Här följer erivatan av några enkla funktioner. f(x) = c (konstant) f (x) = 0 f(x) = x f (x) = 1 f(x) = x 2 f (x) = 2x f(x) = 1 x f (x) = 1 (x 0) x2 f(x) = x f (x) = 1 2 x (x > 0) f(x) = x r f (x) = rx r 1 (x r 1 reellt tal) f(x) = x f (x) = { 1 x > 0 1 x < 0 1.3. Deriverbara funktioner är kontinuerliga. Sats 1. Om funktionen f är eriverbar i punkten x 0 så är f kontinuerlig i x 0. Bevis. Eftersom f är eriverbar i x 0 så finns gränsväret Vi skriver om f(x) f(x 0 ) lim. x x 0 x x 0 f(x) = f(x) f(x 0) + f(x 0 ) x x 0 (x x 0 ) = f(x 0 ) + f(x) f(x 0) x x 0 (x x 0 ) Nu kan vi beräkna gränsväret för f när x går mot x 0 : lim f(x) = lim f(x 0 ) + f(x) f(x 0) (x x 0 ) x x 0 x x0 x x 0 = f(x 0 ) + lim x x0 f (x 0 )(x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 0 = f(x 0 ). Alltså är f kontinuerlig i x 0.

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 3 1.4. Räkneregler för erivator. Om f och g är eriverbara i x och c är en konstant å är f + g, f g och cf eriverbara i x och (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (cf) (x) = c(f (x)). fg är också eriverbar i x me (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Om f(x) 0 så är 1/f eriverbar i x och ( ) 1 (x) = f (x) f (f(x)). 2 Om g(x) 0 så är f/g eriverbar i x och ( ) f (x) = g(x)f (x) f(x)g (x). g (g(x)) 2 Bevisen för essa regler följer av motsvarane regler för gränsvären. 1.5. Kejeregeln. Om funktionen f är eriverbar i punkten u, u = g(x) och g är eriverbar i x så är en sammansatta funktionen f g eriverbar i x och (f g) (x) = (f(g(x))) (x) = f (g(x))g (x). Detta kallas för kejeregeln. Termen g (x) i uttrycket kallas en inre erivatan. Vi har rean sett ett exempel av kejeregeln, nämligen fallet 1/f blan räknereglerna för erivator. 1/f är sammansättningen av funktionerna g(x) = 1/x och f, är f (x) = f (x) och g (x) = 1/x 2. Exempel. Funktionen h(x) = 1/x 2 (för x 0) är en sammansättning av f(u) = 1/u och g(x) = x 2. Derivatorna är f (u) = 1/u 2 och g (x) = 2x. Alltså är h (x) = (f g) (x) = 1 (x 2 ) 2x = 2 2 x. 3 Bevis av kejeregeln. Bevis. Antag att f är eriverbar i u = g(x) och g är eriverbar i x. Vi vill visa att f(g(x + h)) f(g(x)) lim = f (g(x))g (x). h 0 h Definiera funktionen E(k) som E(0) = 0 E(k) = f(u + k) f(u) f (u), k 0. k

4 JONAS ELIASSON E(k) mäter skillnaen mellan f:s erivata i u och approximationen till erivatan för ett litet k (et vill säga felet i approximationen). Enligt efinitionen av erivata så är lim k 0 E(k) = f (u) f (u) = 0. Alltså är E kontinuerlig i k = 0. Vi har också för alla k f(u + k) f(u) = (f (u) + E(k))k. Sätt nu u = g(x) och k = g(x + h) g(x). Då är u + k = g(x + h) och vi får f(g(x + h)) f(g(x)) = (f (u) + E(k))(g(x + h) g(x)). Eftersom g är eriverbar så är lim h 0 (g(x+h) g(x))/h = g (x). Funktionen g är också kontinuerlig i x. Alltså är lim h 0 k = lim h 0 g(x + h) g(x) = 0. Eftersom E är kontinuerlig i k = 0 så är lim h 0 E(k) = lim k 0 E(k) = E(0) = 0. Om vi sätter ihop allt etta så får vi: (f g) (x) = f(g(x + h)) f(g(x)) lim h 0 h = (f (g(x)) + E(k))(g(x + h) g(x)) lim h 0 h = (f (g(x)) + 0)g (x) = f (g(x))g (x). 1.6. Derivatan av trigonometriska funktioner. Här kommer några resultat om trigonometriska funktioner. Först påminner vi om att funktionerna sin(x) och cos(x) är kontinuerliga för alla x. Ett viktigt gränsväre är sin(x) lim = 1. x 0 x Bevisen för erivatorna nean använer resultaten ovan samt geometriska omskrivningar för e trigonometriska funktionerna. Sats 2. sin(x) = cos(x). x cos(x) = sin(x). x x tan(x) = 1 cos 2 (x) = 1 + tan2 (x). x cot(x) = 1 sin 2 (x) = 1 cot2 (x).

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 5 1.7. Meelväressatsen. Denna sektion ägnas åt en mycket viktiga Meelväressatsen. Först formulerar vi satsen, sean visar vi några av e konsekvenser en har. Därefter formulerar och bevisar vi två hjälpsatser innan vi slutligen ger beviset för huvusatsen. Sats 3. Antag att f är kontinuerlig på ett slutet begränsat intervall [a, b] och att en är eriverbar på et öppna intervallet (a, b). Då finns et en punkt c i (a, b) så att f(b) f(a) b a = f (c). Två konsekvenser av Meelväressatsen: om f har positiv erivata (f (x) > 0) för alla x så att a < x < b så växer f på intervallet [a, b]. om f har erivatan 0 för alla x i intervallet (a, b) så är funktionen f konstant på [a, b]. Nu börjar vi beviset av Meelväressatsen me följane sats: Sats 4. Antag att f är efiniera på et öppna intervallet (a, b) och har sitt maximala väre i punkten c (a, b). Om f är eriverbar i c så är f (c) = 0 (vi säger att c är en stationär punkt till f). Bevis. Antag att f har sitt max i c och att f (c) finns. Då är f(x) f(c) 0 för alla x (a, b). Om c < x < b så är f(x) f(c) x c alltså är f (c) = lim x c + f(x) f(c) x c 0. På samma sätt om a < x < c så är f(x) f(c) x c 0, 0, alltså är f (c) = lim x c f(x) f(c) x c 0. Men f (c) 0 och f (c) 0 ger f (c) = 0. Nästa sats är så intressant i sig att en fått ett eget namn: Rolles sats. Sats 5. Antag att f är kontinuerlig på ett slutet begränsat intervall [a, b] och att en är eriverbar på (a, b). Om f(a) = f(b) så finns et en punkt c (a, b) så att f (c) = 0. Bevis. Om f(x) = f(a) = f(b) för alla x (a, b) så är f en konstant funktion och f (x) = 0 för alla x (a, b). Annars finns et en punkt x 0 (a, b) så att f(x 0 ) f(a). Antag att f(x 0 ) > f(a) (om f(x 0 ) < f(a) så blir beviset i stort sett likaant). Eftersom f är kontinuerlig på ett kompakt intervall så har f, enligt Max-Min satsen, sitt maximala väre i någon punkt c [a, b].

6 JONAS ELIASSON Nu är f(c) f(x 0 ) > f(a) = f(b). Alltså kan c inte vara punkterna a eller b. Alltså är f eriverbar i c så enligt föregåene sats är f (c) = 0. Nu kommer beviset för Meelväressatsen. Bevis. Antag att f uppfyller villkoren i satsen. Låt ( ) f(b) f(a) g(x) = f(x) f(a) + (x a). b a Funktionen g mäter, givet ett x, et vertikala avstånet mellan kurvan y = f(x) och en räta linjen från f(a) till f(b). g är kontinuerlig på [a, b] och eriverbar på (a, b) eftersom f är et. Dessutom är g(a) = g(b) = 0. Enligt Rolles sats finns et en punkt c (a, b) så att g (c) = 0. Eftersom g (x) = f f(b) f(a) (x) b a följer att f (x) = f(b) f(a). b a 1.8. Högre erivator. När man har eriverat en funktion f får man en ny funktion f. Denna nya funktion kan ha, eller inte ha, alla e egenskaper som alla anra funktioner kan ha. Funktionen f har en efinitionsmäng är en är efiniera. Den kan vara kontinuerlig, men behöver inte vara et. f kan vara eriverbar. I så fall kallar man erivatan av f för anra erivatan av f och betecknar en f (f bis). Me anra beteckningar skriver vi f (x) = y = 2 y x 2. På samma sätt kan f ha en n:te erivata f (n). 1.9. Implicit erivering. Hittills har vi eriverat funktioner f(x). Vi har också pratat om en geometriska tolkningen av erivata som lutningen hos grafen till funktionen i en punkt. Men alla kurvor i planet är inte grafen av någon funktion. Till exempel är inte cirklar (x 2 + y 2 = K) möjliga att beskriva på formen y = f(x) (e är ock unionen av graferna till två funktioner, övre och unre halvcirkeln). Kan vi bestämma lutningen hos en såan kurva i en punkt? Ja, et kan vi ofta me hjälp av implicit erivering. Vi implicit erivering antar vi helt enkelt att ekvationen som beskriver kurvan implicit efinierar y som en funktion av x och använer sean kejeregeln för att hitta erivatan av y.

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 7 Ett exempel visar hur et fungerar. Exempel. Betrakta cirkeln x 2 + y 2 = 10 och hitta lutningen hos kurvan i punkten (1, 3). Vi skriver y som en funktion av x: x 2 + y(x) 2 = 10. Derivera alla termer me avseene på x: x x2 = 2x, 10 = 0 och x x y(x)2 = 2yy, en sista via kejeregeln. Alltså får vi 2x + 2yy = 0. Vi bryter ut y och får y = 2x 2y = x y. I punkten (1, 3) får vi alltså y = 1/3. Denna meto ger inget väre för y = 0 vilket är helt i sin orning eftersom kurvan har en lorät asymptot är. Att bevisa att implicit erivering verkligen fungerar ligger utanför enna kurs räckvi. 1.10. Transcenenta funktioner. En transcenent funktion är en funktion som inte kan konstrueras genom upprepa använning av e fyra räknesätten och potenser me rationella exponenter. Transcenenta funktioner vi eriverat tiigare är e trigonometriska funktionerna. Som beskrivs i Aams sektion 3.3 kan vi efiniera en logaritm (en naturliga logaritmen ln x) och motsvarane exponentialfunktion e x så att x ln x = 1 x och x ex = e x. En alternativ efinition är via e x = lim (1 + x ) n. n n Det finns också fler trigonometriska funktioner som vi är intresserae av erivatan på. Vi efinierar e inversa trigonometriska funktionerna genom arcsin x = y sin y = x och π/2 y π/2. arccos x = y cos y = x och 0 y π. arctan x = y tan y = x och π/2 y π/2. Dessa har erivatorna x arcsin x = 1. 1 x 2 x arccos x = 1 1 x 2.

8 JONAS ELIASSON x arctan x = 1 1 + x. 2 Vi visar et första fallet me hjälp av implicit erivering. Om y = arcsin x så har vi x = sin y(x) och π/2 y π/2. Derivera båa sior i ekvationen me avseene på x: Alltså 1 = (cos y)y. y = 1 cos y. Men me hjälp av trigonometriska ettan (sin 2 + cos 2 = 1) och et faktum att cos y 0 när π/2 y π/2 får vi att cos y = 1 sin 2 y = 1 x2. Alltså y 1 =. 1 x 2 1.11. Extremvären. Nu ska vi börja prata lite mer om problemlösning relatera till erivator. En första tillämpning är att bestämma extremvären me hjälp av erivatan. En funktion f kan ha fyra sorters extremvären: (globalt) max väre för f (globalt) min väre för f lokalt max väre för f lokalt min väre för f Ett globalt max eller min är helt enkelt et som förut hetat max eller min för f: en punkt x 0 så att f(x 0 ) f(x) ( f(x 0 ) f(x)), för alla x är f(x) är efiniera, är ett globalt max (min). Lokala extremvären är extrema bara i en omgivning av punkten x 0. Det vill säga: f har ett lokalt max (min) i punkten x 0 om et finns ett h > 0 så att f(x 0 ) f(x) ( f(x 0 ) f(x)) för alla x är f är efiniera och x x 0 < h. Observera att alla globala extremvären också är lokala extremvären. Enligt e satser vi visat om största och minsta väre för en funktion så gäller att: Sats 6. Om f är efiniera på ett intervall I och har ett lokalt max eller min i en punkt x 0 I så är x 0 av någon av följane typ: (1) stationär (kritisk) punkt, f (x 0 ) = 0, (2) singulär punkt, f (x 0 ) finns inte, (3) änpunkt på intervallet I.

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 9 Är et omväna sant? Det vill säga om vi vet att x 0 är en stationär punkt, är å x 0 ett lokalt extremväre? Ett bra sätt att avgöra et är me hjälp av en teckentabell. Om erivatan är positiv innan x 0 och negativ efter så är x 0 ett lokalt max. Om erivatan är negativ innan och positiv efter så är x 0 ett lokalt min. Om erivatan har samma tecken före och efter x 0 så har funktionen varken ett lokalt max eller min i x 0. 1.12. Kurvskissning. En mycket vanlig typ av problem hanlar om kurvskissning. För att lösa ett såant problem kan man följa schemat nean: Stuera f(x): Hitta efinitionsmängen för f. Bestäm skärningen me koorinataxlarna (f(x) = 0, f(0) =?). Har f några symmetrier? Hitta ev. vertikala asymptoter (nämnaren = 0). Hitta ev. horisontella eller snea asymptoter (lim x ± f(x)). Stuera f (x): Hitta efinitionsmängen för f (singulära punkter, änpunkter). Stationära punkter (f (x) = 0). Teckentabell (max eller min). Stuera ev. f (x): Tecknet hos f (x) (typ av extrempunkt). En funktion f har en sne asymptot om en närmar sig en rät linje y = ax + b i oänligheten. Man ser att f har en sne asymptot om lim (f(x) (ax + b)) = 0. x ± 1.13. Approximationer. Genom att beräkna erivatan till en funktion f i en punkt a kan vi hitta tangenten till kurvan y = f(x) i a: T (x) = f(a) + f (a)(x a). Vi kan tänka på enna tangent som en linjär approximation till f (linjär betyer första orningens polynom). I en bestäm mening är T (x) en bästa linjära approximationen till f: et är en ena såana är båe funktionen och ess erivata har samma väre som f i a T (a) = f(a) och T (a) = f (a). På samma sätt som me tangenten kan vi hitta en bästa approximation till f me polynom av högre orning P 2 (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2. 2 För P 2 har vi P 2 (a) = f(a), P 2(a) = f (a) och P 2 (a) = f (a).

10 JONAS ELIASSON Vi kan generalisera etta till ett gotyckligt n: P n (x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) 2 +... + f (n) (a) (x a) n, 1! 2! n! förutsatt att alla erivatorna av f finns. P n kallas för Taylor polynomet av gra n för f vi x = a. Om x = 0 säger man ofta Maclaurin polynom. Hur bra approximation till f ger P n för x nära a? Taylors sats ger svaret. Sats 7. Om f är n + 1 gånger eriverbar på ett intervall I så att a, x I och om P n (x) är Taylor polynomet av gra n för f vi x = a så är f(x) = P n (x) + E n (x) (Taylors formel) är feltermen E n (x) (kalla Lagrangres restterm) ges av E n (x) = f (n+1) (X) (n + 1)! (x a)n+1, för något X, a X x. Satsen kan bevisas me hjälp av en generalisera Meelväressats men vi ger att annat bevis senare i kursen. Observera ock att E n (x) är liten, i alla fall betyligt minre än x a för x nära a. Taylorutvecklingar kan vara mycket använbara till exempel för att beräkna gränsvären. Nean ger vi några av e vanligaste vi x = 0. Istället för att skriva ut hela resttermen så använer vi så kalla oro notation O. Me O(x n+1 ) menar vi en funktion som beter sig som x n+1 när x går mot 0 (eller x a i allmänhet). e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... + xn n! + O(xn+1 ). sin x = x x3 3! + x5 5!... + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! + O(x2n+1 ). cos x = 1 x2 2! + x4 x2n... + ( 1)n 4! (2n)! + O(x2n+2 ). ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn +... + ( 1)n 1 4 n + O(xn+1 ). arctan x = x x3 3 + x5 5... + x 2n 1 ( 1)n 1 (2n 1) + O(x2n+1 ).