Svar till beräkningsuppgifter för instuderingsfrågor i övning 2 F1: Introduktion till samhällsmätning a) Ge ett par exempel på geografisk information. b) Vad behandlas inom vetenskaperna geodesi respektive fotogrammetri? c) Varför är geodetisk och fotogrammetrisk mätnings- och beräkningsteknik viktigt för en lantmätare? F2: Jordmodell a) Hur definieras longitud på en ellipsoid? b) Hur definieras latitud på en ellipsoid? c) Beräkna de geografiska koordinaterna för punkten nedan. De geografiska koordinaterna ska vara definierade på ellipsoiden GRS 80 som har halva storaxeln a=6 378 137,0 m och avplattning f=1/298,257222101 (dimensionslös). Punkten har följande geocentriskt kartesiska koordinater (i SWEREF 99): X = 2 993 598 m Y = 922 809 m Z = 5 537 267 m Var ligger punkten i Sverige? Använd t.ex. en kartbok eller en karttjänst på nätet för att reda ut detta. Latitud: 60 o 39 59.25 Longitud: 17 o 7 56.93 Höjd över ellipsoiden: 42 m Utanför Gävle. d) Ungefär hur långt avstånd i meter motsvarar en tiondels grad längs en meridian som går genom Greenwich? Spelar det någon roll vilken meridian som studeras? Svar: Cirka 11 km. Det spelar ingen roll vilken meridian som studeras. Kommentar till svar: En sfärisk jordmodell med R= 6 370 000 m har använts. e) Ungefär hur långt avstånd i meter motsvarar en tiondels grad längs en parallellcirkel som ligger på latituden 60 grader norr om ekvatorn? Spelar det någon roll vilken parallellcirkel som studeras? Svar: Cirka 5,5 km. Det spelar roll vilken parallellcirkel som studeras. Kommentar till svar: En sfärisk jordmodell med R= 6 370 000 m har använts. f) Varför används en ellipsoidisk jordmodell istället för en sfärisk vid noggranna tillämpningar? Vilka konsekvenser skulle det få om vi baserade all lägesangivelse på jordytan på en sfärisk jordmodell? Vad skulle det innebära för geodetiska mätningar på jordytan?
F3: Kartprojektioner a) Varför används kartprojektioner? b) Vilka är de två viktigaste egenskaperna för kartprojektioner? Varför går det inte att kombinera dessa egenskaper? c) Hur är transversal Mercator-projektion konstruerad? Vilka kartprojektionsparametrar har projektionen? Vad är den geometriska tolkningen av dessa parametrar? d) Vad är det för skillnad på en loxodrom och en geodetisk linje? e) Vilken kartprojektion använder Google maps? (se t.ex. Wikipedia). Vilka konsekvenser får valet av denna projektion? Se t.ex. på hur Grönland är avbildat. f) Anta att du har två punkter p och q på en sfär med radien 6 370 000 m. Punkterna har följande sfäriska koordinater (6p): 20 3200,0, 68 0000,0 och h 0,0 m. 0 o s, p s, p s, p 30 1400,0, 68 0000,0 och h 0,0 m. 0 o s, q s, q s, q Beräkna följande avstånd mellan punkterna: 1) Euklidiska avståndet 2) Avståndet längs loxodromen 3) Avståndet längs geodetiska linjen 4) Avståndet i Mercators projektion Beräkna följande avstånd mellan punkterna: Euklidiska avståndet Räkna om de sfäriska koordinaterna till decimal form. Då fås: 20,533333, 68,000000 och h 0, 0 m. 0 0 s, p s, p s, p 30,2333333, 68,000000 och h 0, 0 m. 0 0 s, q s, q s, q Formel 1.4 i formelsamlingen ger: Xp=2.2346418e+06 m Yp= 8.3698046e+05 m Zp= 5.9061611e+06 m Xq=2.0616718e+06 m Yq=1.2015279e+06 m Zq= 5.90616115e+06 m Mha Pytagoras sats fås avståndet. Svar: de= 403 502 m Avståndet längs loxodromen Loxodromen är linjen med konstant bäring. I detta fallet fås avståndet längs med parallellcirkeln, dvs. vi får:
d1= 6 370 000 * 2* pi* cos (68,000000 grader) * (30,2333333 20,5333333)/360) m = 403 984 m Svar: dl= 403 984 m Avståndet längs geodetiska linjen Geodetiska linjen är kortast avståndet mellan två punkter på en yta. I fallet med en sfär är geodetiska linjen en del av en storcirkelbåge. Avståndet mellan två punkter längs med storcirkelbågen ges av det sfäriska avståndet (formel 1.10 och 1.11 i FS). Vi får: cos sin sin cos cos cos( ) 0,06335463358 radianer s,q s,p s,q s,p s,q s,p ds=0,06335463358* 6370000m 403 569 m Svar: ds= 403 569 m Avståndet i Mercators projektion Eftersom punkterna har samma latitud kommer de ha samma N-koordinat i Mercators projektion. Vi behöver därför endast beräkna skillnaden i E-koordinat. dm R* 1 078 421 m s, q s, p där vinklarna måste vara i radianer och är absolutvärde. Svar: dm= 1 078 421 m F4: Höjdsystem a) Beskriv de tre fundamentalytorna som används inom geodesin. b) Varför är det olämpligt att använda höjder över ellipsoiden vid anläggningsmätningar? c) Förklara varför lodlinjen är vinkelrät mot geoiden. d) Hur definieras geoidhöjden (N)? F5: Geodetiska referenssystem a) Beskriv ingående hur det svenska koordinatsystemet SWEREF 99 TM är definierat. Beskriv också på vilket sätt det är anpassat till internationella system (minst två internationella system ska nämnas och relationen till dem). b) Vad heter det nya svenska höjdsystemet? Vilken är dess nollnivå (det räcker inte att skriva havsnivån, utan ett mer precist svar krävs)? c) Om man ska utföra en noggrann kartläggning i Sverige i ett globalt geodetiskt referenssystem ska man använda SWEREF 99. Varför kan man inte använda WGS 84? (För att ge ett bra svar på denna fråga behöver man kunskap om mätmetoder vilket undervisas senare i kursen, men det kan vara bra att fundera på denna frågeställning redan nu.) d) Vad är ett indexsystem? Ge exempel på hur ett indexsystem kan användas. e) Hur konverterar man höjder (mer precist normalhöjder) i RH 2000 till höjder över ellipsoiden i SWEREF 99? f) Samhället lägger i dag ner stora resurser på att införa nya referenssystem (SWEREF 99, RH 2000, etc). Ge några funderingar om varför man lägger ner stora resurser på dessa nya referenssystem.
F6: Transformationer a) Inom geodesin används begreppet transformation flitigt. Vad menas med en transformation? b) Beskriv skillnaderna mellan en analytisk och en empirisk transformation. c) Vilka tre geometriska operationer ingår i tvådimensionell likformighetstransformation (Helmerttranformation)? d) Hur transformerar man koordinater från RT 90 2,5 gon väst till SWEREF 99 TM? e) Testa lantmäteriet transformationstjänst: http://www.lantmateriet.se/templates/lmv_koordinattransformation.aspx?id=11499 Testa att transformera koordinater i RT 90 2,5 gon väst för Malmö central till SWEREF 99 TM. Koordinaterna för Malmö central kan du få från Eniro (http://kartor.eniro.se/). Förflyttning i kartan sker genom att flytta positionsmarkören (som fås genom att trycka på och förflytta musen samtidigt). Detta kors placeras sedan över önskat ställe på kartan. Koordinater för både RT 90 2,5 gon väst och SWEREF 99 TM fås genom att i menyn (som återfinns längs högerkanten av kartan) klicka på GPS-koordinat. För in de koordinater du fått i RT 90 2,5 gon väst från Eniro i lantmäteriets transformationstjänst (observera att i denna tjänst används x för koordinat i nord-sydlig riktning och y för koordinat i öst-västlig riktning i RT 90 2,5 gon väst). Ger lantmäteriets transformationstjänst samma koordinater i SWEREF 99 TM som fås i Eniro? Testa också att transformera koordinaterna i uppgift 2c ovan. Vilka koordinatsystem ska du då transformera mellan? Stämmer de koordinater du får med dina egna beräkningar? Svar: Exakt vilka koordinater du får beror givetvis på vilken punkt du väljer på Malmö central. Se nedanståden skärmdumpar för ett exempel.