Komplex algebra. Komplex algebra - 1

Komplex algebra 1 Polynom med komplexa lösningar.. Modell Grafer till rationella funktioner...9 Komplexa tal i polär form och potensform...1 3 Teori - Komplex analys... 3 Historien om hyperkomplexa tal...3 Facit..9 Bilder s.5 Das Gauß-Weber-Denkmal in Göttingen från omkring 1900. s.3 Studenter som lyssnar på Johannes av Legano i Bologna Författarna och Bokförlaget Borken, 011 1

1 Polynom med komplexa nollställen Modell Polynomdivision På samma sätt som du kan dividera två heltal där täljaren är större än nämnaren, kan du dividera två algebraiska uttryck där täljarens gradtal är större än nämnarens. Vi visar divisionen 4378/1 med liggande stolen. 08 4378 4 178 168 1 (43 delat med 1 är (hela), som skrivs ovanför linjen.) ( gånger 1 är 4 som subtraheras från 43, vilket ger 1.) (7 flyttas ner. 17 delat med 1 är lika med 0 hela, som skrivs ovanför l ) (8 flyttas ner. 178 delat med 1är lika med 8 hela.) Detta innebär att 10 4378 10 = 08 + eller 1 1 4378=1 08 + 10. x 3 + x x + 3 x + 3x + Vi visar divisionen x 1 x 3 + x x + 3 med liggande stolen. Hur många x 1 gånger går x i högstagradstermen x 3? (x 3 x ) Skriv svaret x på raden ovanför. Beräkna produkten x (x 1) och subtrahera. 3x x + 3 (3x 3x) Gör om samma sak med termen 3x x + 3 som är termen med näst högsta grad. Motsvarande produkt är 3x(x 1). (x ) Subtrahera denna produkt från förra 5 resultatet. Gör sedan om samma sak med konstanttermen. Produkten som ska subtraheras är nu (x 1). Rest vid denna division blir 5. Resultat: (x 3 + x x + 3) = (x 1) (x + 3x+ ) + 5.

Modell Ekvationslösning med faktorisering Vi har tidigare skrivit om en produkt som en summa på följande sätt: x (5 + x) = 5x + x faktorer termer (x 3)(x + ) = x x 6 Dessa beräkningar kan vi också utföra baklänges, från en summa till en produkt: 5x + x = x (5 + x) termer faktorer x x 6 = (x 3) (x + ) Detta kallas att faktorisera polynomen 5x + x respektive x x 6. Att göra faktoriseringen 5x + x = x(5 + x) kallas ofta att bryta ut x. En ekvation kan lösas med faktorisering genom att (i tur och ordning) bryta ut lämpliga faktorer ur alla termer använda konjugat- eller kvadreringsregeln tillämpa faktorsatsen Faktorsatsen Vi har tidigare visat att om andragradsuttrycket ax + bx + c har rötterna x 1 och x, med faktoruppdelningen: ax + bx + c = a(x - x 1)(x - x ). Generellt gäller enligt den s k faktorsatsen: Om en algebraisk ekvation f(z) = 0 har en lösning z = z 1 så är f(z) = (z z 1 ) g(z). Ty om vi dividerar f(z) med (z z 1) får vi f(z)= (z - z 1) g(z) + A (=resten). Eftersom f(z 1) = 0 får vi 0 = (z 1 z 1) g(z 1) + A. Detta innebär att A = 0. (Om man inte får resten noll så är inte z = z 1 en lösning.) Vi kan alltså dra slutsatsen att f(z) = (z z 1 ) g(z). 3

Ekvationen g(z)= 0 kan nu kanske lösas eftersom den har en enhet lägre gradtal än ekvationen f(x) = 0. Exempel Lös ekvationerna a) x 3 + x x = 0 c) x 3 7x + 6 = 0 med en lösning x 1 = 1 b) x 4 x = 0 d) x 4 + x 3 7x x + 6 = 0 med lösningarna x 1, = ± 1 Lösning a) x 3 + x x = x(x + x ), ty vi kan bryta ut faktorn x. Eftersom andragradsekvationen x + x = 0 har lösningarna x 1 = eller x = 1. så har ekvationen = x(x + x ) = 0 lösningarna x 1 = - eller x = 1 eller x 3 = 0. b) x 4 x = x (x 1) = x (x + 1)(x 1). Vi har först brutit ut x och sedan tillämpat konjugatregeln. Lösningarna är x 1, = 0, x 3 = 1 eller x 4 = 1. c) Eftersom ekvationen har en lösning x 1 = 1 så är uttrycket delbart med (x 1). Om vi utför divisionen (x 3 7x + 6)/(x 1) får vi: (x 3 7x + 6) = (x 1)( x + x 6). Eftersom andragradsekvationen x + x 6 = 0 har rötterna x 1 = 3 eller x =, kan vi dra slutsatsen: Ekvationens lösningar x 1 = -3 eller x = eller x 3 = 1. d) Eftersom ekvationens vänsterled är delbart med (x 1) och (x + 1), så är det delbart med (x 1) (x + 1) eller (x 1). Vi får (x 4 + x 3 7x x + 6) = (x 1)(x + 1)(x + x 6). Lösningarna är x 1 = 1 eller x = 1 eller x 3 = 3 eller x 4 =. Normalt kan man inte lösa algebraiska ekvationer av femte graden och högre med hjälp av rotutdragningar, men med vissa går det. I detta fall flyttar vi över alla termer till det ena ledet och får x 7 - x 5 x 3 = 0. Vi ser att vi kan (i) bryta ut faktorn x 3. Vi får x 3 (x 4 x ) = 0. Det betyder att x 3 (x 4 - x ) = 0 x = 0 eller x 4 - x = 0. Den senare ekvationen är en fjärdegradsekvation, och till sådana finns det en allmän lösningsmetod. Denna är dock omständlig. Här finns inga udda potenser med och då kan vi göra substitutionen t = x t - t = 0 t = 0,5 ± 0, 5 + t = 0,5 ± 1,5 t 1 = -1 eller t = Eftersom t = x måste t 0 Alltså är x 1 = eller x = - 4

Teori Hur många komplexa lösningar har en ekvation? Carl Friedrich Gauss formulerade år 1800 algebrans fundamentalsats: Varje ekvation a 0x n + a 1x n-1 + a x n- + + a n = 0, där koefficienterna a 0, a 1 a n är komplexa tal och a 0 0, har minst en komplex rot. Detta innebär att ekvationen x 3 + 5x x 5 = 0 har minst en lösning. Visa att x =1 är en lösning. Enligt faktorsatsen är uttrycket (x 3 + 5x x 5) delbart med (x 1). Om vi utför divisionen så blir kvoten ett uttryck av andra graden. Alltså har denna ekvation två lösningar och tredjegradsekvationen ovan tre lösningar. Rent generellt gäller: Ekvationen a 0x n + +a 1x n-1 + a x n- + + a n = 0, där koefficienterna a 0, a 1, a a n är komplexa tal och a 0 0, har exakt n rötter. I sin doktorsavhandling från år 1796 lade Gauss fram flera bevis för algebrans fundamentalsats. Gauss arbetade även med matematikens tillämpning i astronomin. År 1801 lyckades han till exempel beräkna planeten Ceres bana, som en astronom under en kort tid observerat och sedan tappat ur sikte. Under sina 50 sista år var han föreståndare för det astronomiska observatoriet i Göttingen. Gauss formulerade även en matematisk teori om rummets krökning, vilket hade sin betydelse för Albert Einsteins allmänna relativitetsteori. Vi ser - Gauss sittande och Weber stående - samtalande. De talar om den elektromagnetiska telegrafen, som de hade lyckats uppfinna 1833. 5

G1.1 Utför följande divisioner med papper och penna. Vad blir kvot och rest? 317 3 a) x 3x + x d) x + 3 435 b) 9 00 c) 37 G1. Visa att x 4 + 3x 3 7x 15x + 10 = (x + 3x )(x 5) är en korrekt faktorisering. G1.3 Bryt ut största möjliga faktor ur polynomen a) x + 8x d) 8x 40x + 80x 4 b) 5x 15x e) xy 3xy c) x 3 + x + 8x f) 5x y 10xy G1.4 Lös följande ekvationer genom faktorisering. a) x 16x = 0 h) 4y 144 = 0 b) x + x 3 = 0 c) x 3 + 6x + 9x = 0 d) 7 10x + 50x = 0 e) x 0x = 0 f) 4x + 0x + 5 = 0 i) x 3 = 0 j) 1x 3 60x + 75x = 0 k) 9x 4 6x 3 + x = 0 l) 4x 4 9x + = 0 m) 5x 4 1x + 100 = 0 g) x 3x + x 3 = 0 G1.5 Lös följande ekvationer genom att först faktorisera ekvationens vänstra led. a) z + 8z = 0 b) z iz = 0 c) z 3 + z = 0 d) z 4 1 = 0 e) z 3 6z + 18z = 0 f) 4z 4 0z 3 + 5z = 0 g) z 4 z 3 + z = 0 h) 4z 4 + 9z + = 0 6

G1.6 Lös följande ekvationer. Vi vet att de har en lösning z = 3. a) z 3 z 14z + 33 = 0 b) z 3 7z + 17z 15 = 0 G1.7 Lös ekvationen f(z)=0 om f(z) = z 3 z 14z 1 och f( )=0 G1.8 Dividera f(z) med g(z) och lös sedan ekvationen f(z) = 0. a) f(z) = z 3 + z z, g(z) = z 1 b) f(z) = z 3 3z, g(z) = z c) f(z) = z 3 9z + 8z 30, g(z) = z 3 d) f(z) = z 3 z + z 1, g(z) = z 3 V1.9 Lös ekvationen (z + 5)(z + z + 3) = 0. V1.10 Bestäm de tre rötterna till ekvationen (z 3 z ) + 4(z 1) = 0. V1.11 Lös ekvationen z(z 9) + (z 9)(z + 8) = 0 genom faktorisering. V1.1 Lös följande ekvationer genom att gissa en av heltalsrötterna. a) z 3 + z + 3z 5 = 0 b) z 3 z 4z + 8 = 0 V1.13 Skriv en andragradsekvation med heltalskoefficienter vars rötter är a) x 1 = 5 och x = 5/ b) x 1 = 5 + i och x = 5 i c) x 1 = 3 + 3 i och x = 3 3 i V1.14 Förenkla följande rationella uttryck 3 z + 5z + 5z 3 a) z + 3 4 3 z 4z + 9z 10z+ 8 b) z 3z+ 4 3 V1.15 När lösningarna till ekvationen z 4z + 5z = 0 anges som punkter i det komplexa talplanet, kan en cirkel ritas som går genom alla punkterna. Lös ekvationen samt bestäm cirkelns radie. (NpE ht98) 7

V1.16 For which values of a does the polynomial z 3 + 4z + a have two complex conjugate roots? V1.17 Every quadratic polynomial has either distinct real roots, one real root of multiplicity, or complex roots. What cases can occur for a polynomial of degree 3? Give an example for each of these cases. V1.18 Hur många lösningar har ekvationen iz 7 + (7 + i)z 5-8z + 6i = 0? V1.19 Tredjegradsekvationen x 3 3x + x 6 = 0 har de två lösningarna x 1 = 3 och x = i. Vilken är den tredje roten? V1.0 Ge exempel på ett femtegradspolynom vars enda reella rötter är x = med multipliciteten, dvs polynomet har faktorn (x ) och x = 1 med multipliciteten 1. 8

Modell Grafer till rationella funktioner 4x + 1 Exempel Rita grafen till funktionen f(x)= ; x 0. Om vi utför x en division med metoden enligt sid. får vi resultatet Alltså: f ( x) 1 = 4x+ x f( x) i( x) y = (efter division) hx ( ) gx ( ) = = + gx ( ) där h(x) är ett polynom och gradtalet för i(x) är mindre än g(x). 1 Lösning Derivatan tecknas: f (x) = 4 x = 4x 1 x 4x 1 Derivatans nollställen bestäms: = 0 för x1 = 1/ och x = 1/ x Derivatans tecken i de olika delintervallen bestäms. Vi måste även ta med de värden på x då nämnaren är lika med noll. Eftersom f ( 1) = 3, 1 1 f ( ) = -1, f ( ) = 1 och f (1) = 3 får vi: 4 4 x x < 1/ 1/ 1/ < x < 0 0 0 < x < 1/ 1/ x > 1/ f (x) + 0 0 + f(x) ej def 9

Vad händer när absolutbeloppet av x blir mycket stort eller mycket nära de värden för vilken nämnaren är noll (i vårt fall x = 0)? För mycket stora värden på x liknar den rationella funktion en polynomfunktion (i vårt fall y = 4x). I det andra fallet närmar sig kurvan lodräta linjer obegränsat (i vårt fall x = 0). 1 Låt oss använda limessymbolen: lim ( 4x+ ) = 4x x ± x ty 1/x kan bli hur litet som helst bara x är tillräckligt stort. Detta innebär att avståndet till kurvan y = 4x 1 från f ( x) = 4x+ kan bli hur litet som helst bara x x 1 görs tillräckligt stort. lim ( 4x + ) = och x 0 x 1 lim ( 4x + ) = + x 0 x De linjer (kurvor) som framkommer i limesprocessen kallas asymptoter. I vårt fall linjerna y = 4x och x = 0 x f(x) - -8,5-1 -5-1/ -4-1/16-80 +1/16 +80 1/ 4 1 5 8,5 Grafen nedan finns på gratisdisketten som: En rationell kurvas asymptoter 10

1 V1.1 Rita grafen till funktionen f(x) = x ; x 0. Vilka grafer x liknar f(x) när absolutbeloppet av x är stort respektive litet? V1. Rita grafen till funktionen x + 1 y = x + 4x 1 samt bestäm kurvans asymptoter. V1.3 Rita grafen till funktionen y = 3 x 1 x Bestäm kurvans asymptoter.. Att fundera på Vilka två asymptoter har kurvan här bredvid? Ge förslag på ett funktion för denna kurva med hjälp av dessa två asymptoter. 11

Komplexa tal i polär form och potensform Modell Polär form Vi har tidigare representerat komplexa tal, z = a + bi, med vektorer som är definierade till längd och riktning. Riktningen bestämmer vi med hjälp av vinkeln, ϕ (även kallat argumentet för z), mellan vektorn och den positiva reella axeln. Längden av vektorn (absolutbeloppet av z) är z = a + b. Vi låter vinkeln variera enligt π < ϕ π, dvs -180 < ϕ 180. Exempel 1 med lösning Vi beräknar argumentet för z = i. Vi ser att vinkeln mellan den reella axeln och vektorn är 45 (= 4 π ). Alltså är ϕ 1 = arg( i) = 4 π. 1

Exempel med lösning Vinkeln mellan vektorn z = + 4i och den negativa reella axeln, a, ger ekvationen tan a = 4/ vilket ger a = = 63,4. Alltså är arg z =180 63,4 = =117. Om vektorns argument är ϕ och dess längd är r (som vi tidigare skrivit z ), så blir koordinaterna för vektorns spets (rcosϕ, r sinϕ), vilket innebär att vi kan skriva det komplexa talet som z = rcosϕ + i r sinϕ Om vi nu bryter ut r får vi s k polär form, vilket innebär att längd och vinkel ingår i formen. Alltså z = r(cosϕ + i sinϕ). Exempel 3 Skriv talen i och i på polär form. Använd radianer. Eftersom vektorn i har längden 1 och argumentet π är π π π π i = 1 (cos + i sin ). Varför är i = (cos ( ) + i sin( ) )? π Jo, det komplexa talet i har längden 1 och argumentet ( ). Exempel 4 Skriv talet: z = 1 + i 3 på polär form. Lösning: r = z = 1 + ( 3) =. Talet ligger i andra kvadranten och vinkeln mellan den negativa x-axeln och vektorn ges 3 av ekvationen tan a = 1 vilket ger a = π. 3 π π Alltså är arg z = π =. 3 3 Talets polära form är (cos π π + i sin ) 3 3 13

G.1 Rita följande komplexa tal samt ange deras argument. Ange svaren i radianer. a) 3i e) 1 + 3 i b) 1 i f) 3 + i c) 6 g) - 3 + i d) + i G. Skriv följande komplexa tal på polär form och ange argumentet i grader. a) + i b) 1 i c) 3 3i d) 3 + i e) 3 + 7i f) 5 i g) 3 + i h) 4 i G.3 (Tips: Skriv först talen på formen a + bi.) 4 a) Skriv talet z = på polär form. Ange argumentet i grader. i 1 b) Skriv talet z = på polär form. Svara exakt med (1 i) radianer. Vad kan man använda komplexa tal till? Låt oss ge ett exempel! En strömkrets har en resistor på 4Ω och en reaktans över en spole på 7Ω samt en reaktans över en kondensator på 1Ω. Uttryck kretsens impedans som ett komplext tal i polär form. Om vi låter resistorns impedans (resistans) ges av det komplexa talet R = 4 + 0i så har spolens impedans π X L ett argument på samt kondensatorns impedans π ett argument på. Alltså är X L =7i och X C = 1i. Alltså R+ XL + XC= 4 + 8i 1i = 4 4i. Skriv nu detta tal i polär form! X C 14

Teori Multiplikation och division av komplexa tal skrivna i polär form Antag att vi har två tal skrivna i polär form: z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) och z = r (cos ϕ + i sin ϕ ). Detta ger z 1 z = r 1 r (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) (cos ϕ + i sin ϕ ) = = r 1 r (cos ϕ 1 cosϕ sin ϕ 1 sin ϕ + i cos ϕ 1 sin ϕ + i sin ϕ 1 cos ϕ ) = r 1 r [(cos ϕ 1 cos ϕ sin ϕ 1 sin ϕ ) + i(sin ϕ 1 cos ϕ + cos ϕ 1 sin ϕ )] = (enligt de trigonometriska additionsformlerna) = = z 1 z = r 1 r [cos (ϕ 1 + ϕ ) + i(sin(ϕ 1 + ϕ )]. z1 r1(cosϕ1+ isin ϕ1) r1(cosϕ1+ isin ϕ1)(cosϕ isin ϕ) = = = z r (cosϕ + isin ϕ ) r (cosϕ + isin ϕ )(cosϕ isin ϕ ) r (cosϕ + isin ϕ )(cosϕ isin ϕ ) = = 1 1 1 r(cos ϕ + sin ϕ) r [cosϕ cosϕ + sinϕ sinϕ i cosϕ sinϕ + i sinϕ cos ϕ ] = = 1 1 1 1 1 r (cos ϕ + sin ϕ) r [(cosϕ cosϕ + sinϕ sin ϕ ) + i(sinϕ cosϕ cosϕ sin ϕ )] = 1 1 1 1 1 r(cos ϕ + sin ϕ) z1 r1 = z r [cos (ϕ 1 ϕ ) + i sin (ϕ 1 ϕ )] Vid division av komplexa tal divideras de komplexa talens absolutbelopp och argumenten subtraheras. 15

Modell Multiplikation och division av komplexa tal skrivna i polär form Exempel Låt z 1 = (cos π/3 + i sin π/3) och z = 3(cos π/1 + i sin π/1). z1 Vad är z 1 z och z? Lösning z 1 z = (cos π/3 + i sin π/3) 3(cos π/1 + i sin π/1) = = 6(cos(π/3 + π/1) + i sin(π/3 + π/1) = 6(cos 5π/1 + i sin 5π/1) π π (cos + i sin ) z1 3 3 π π π π = = 1,5(cos( ) + i sin( )) = z π π 3(cos + i sin ) 3 1 3 1 1 1 3π 3π = 1,5(cos + i sin ) 1 1 G.4 Om z har argumentet 35 vilket är då argumentet för i z? (Tips: arg (i z)=arg i + arg z) G.5 Antag att z = 3(cos 45 + i sin 45 ). Bestäm arg iz. Svara i grader. G.6 Förenkla kvoten möjligt. G.7 Förenkla kvoten 48(cos8 + isin8 ) 3(cos + isin ) 15(cos 60 + isin 60 ) 5(cos30 + isin 30 ) a) Svara på polär form. b) Ge svaret exakt på formen a + bi. 16 så långt som så långt som möjligt. G.8 Antag att z = 4(cos 30 + i sin 30 ). Bestäm talet 1. Svara på z polär form. z G.9 Bestäm kvoten 1 z om z 11π 11 1 = 6 cos + isin z =4 cos π + isin π 6 6 π 1 1 och. Svara i både polär och (a + bi)-form

G.10 Antag att z 1 = 1 + i och z = i a) Skriv de båda talen i polär form. b) z1 Bestäm argumentet för z Teori Potensform i Låt oss laborera med uttrycket e ϕ (som vi ännu inte definierat, men en definition bör vara sådan att alla räkneregler, som du tidigare lärt dig, fortfarande är korrekta). a b Om vi skulle lita på potenslagarna [e e skulle vi få: a+ b = e samt e a b = e ], så b e i 1 1 1 (1) e ϕ i e ϕ i e ϕ + i ϕ i e ( ϕ + = = ϕ ) iϕ1 e iϕ1 iϕ i( ϕ1 ϕ) () = e = e iϕ e Vi har redan upptäckt att (3) (cos ϕ 1 + isin ϕ 1)(cos ϕ + isin ϕ ) = cos (ϕ 1 + ϕ ) + isin (ϕ 1 + ϕ ) cosϕ1+ i sinϕ1 (4) = cos (ϕ cosϕ + i sinϕ 1 ϕ ) + isin (ϕ 1 ϕ ) i 1 Om vi skulle definiera e ϕ i 1 med uttrycket e ϕ = cosϕ 1 + i sinϕ 1, så skulle raderna (3) och (4) få utseendena: iϕ1 iϕ1 iϕ i( ϕ1+ ϕ) e i( ϕ1 ϕ) (3) e e = e (4) = e iϕ e Eftersom rad 1 och överensstämmer med rad 3 och 4 så verkar det finnas en överensstämmelse mellan potenslagarna och de trigonometriska additionsformlerna för de komplexa talen. Om vi skulle fortsätta att söka överensstämmelser mellan olika typer av lagar för de komplexa talen, så skulle vi aldrig misslyckas. Detta är ett gott skäl för att identifieringen e ϕ = cosϕ 1 + i sinϕ 1 bör i 1 gälla. a 17

Modell Tal i potensform skrivna på formen a + bi Exempel Skriv e π + i 4 på formen a + bi Lösning e π + i 4 = e (cos π/4 + isin π/4) = e ( +i ) = e (1 + i) V.11 Skriv följande tal på formen a + bi a) b) c) d) e) i e π e e iπ iπ i π e 3 e 3 i π 4 V.1 Visa att 6e 3e i π /3 i π /3 f) g) h) = 1 i 3 (NpE vt 98) i -3e π iπ e 3 + 1i 4π e 3 18

Modell Tal på formen a+bi skrivna på potensform Exempel Skriv talet: z = 1 + i Lösning r = z = ( 1) + ( 3) = Det komplexa talet ligger i andra kvadranten och vinkeln mellan den negativa x-axeln och vektorn, a, ges av ekvationen tan a= 3 vilket ger 1 π π π a =. Alltså arg z = π = 3 3 3 π i Talets potensform är e 3. Talets polärform är (cos π π + i sin ). 3 3 3 i potensform (polär form). V.13 Skriv följande tal z på potensform: a) z = 3 b) z = 3i c) z = + i d) z = -i e) + i z = V.14 Skriv följande tal z på potensform med argumentet i radianer och två värdesiffror: a) z = 3 i b) z = 3 + 5i c) z = -13 i d) z = 0 19

Teori de Moivres formel iϕ n iϕ iϕ iϕ niϕ ( ) = = e e e e e n st faktorer iϕ n niϕ Vi skriver ( e ) = e i polär form och får de Moivres formel: (cos ϕ+ i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ Detta innebär t ex att: (cosϕ + i sinϕ) = cos ϕ + i sin ϕ (cosϕ + i sinϕ) 3 = cos 3ϕ + i sin 3ϕ (cosϕ + i sinϕ) 4 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ Modell de Moivres formel Exempel Skriv π π cos i sin + på formen a + bi. 4 4 Lösning 4 π π cos i sin π π cos 4 i sin 4 + = + = ( cosπ + i sinπ) = 1 4 4 4 4 V.15 Bestäm z 5 på formen a + bi om z = 3(cos 5 + i sin 5 ). V.16 Skriv på formen a + bi uttrycken 18 9 π π a) cos + i sin π π b) cos i sin + 6 6 3 3 7 V.17 Förenkla uttrycket i (cos30 + i sin30 ) så långt som möjligt. 4 V.18 Beräkna ( 3 + i) 6. För vilka heltal n gäller att Rez = 0 då z = ( 3 + i) n? (NpE vt 97) 0

Modell Lös ekvationer av typen z 3 = 4i Lösning Vi skriver z i polär form z = r (cos ϕ + i sin ϕ). Vi skriver z 3 i polär form z 3 = r 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ). Vi skriver 4i på polär form 4i= 4(cos π / + i sin π / ). Eftersom z 3 = 4i får vi r 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ) = 4(cos π / + i sin π / ). Identifiering av de bägge leden ger: r = 3 4 = 1,59 och 3ϕ = π /+ k π vilket ger ϕ = π /6+ k π /3. Eftersom det är en tredjegradsekvation skall vi få tre lösningar. ϕ0 = π / 6 ( = 30 ) för k = 0; ϕ 1 = π /6+ π /3 ( = 150 ) för k = 1; ϕ = π /6+ 4 π /3= 9 π /6 ( = 70 ) för k = ; Lösningarna är z 1 = 3 4 (cos30 + i sin30 ) z = 3 4 (cos150 + i sin150 ) z 3 = 3 4 (cos 70 + i sin 70 ) Den svarta ringen eller den gröna vektorn är det komplexa talet c. De fem röda ringarna representerar de komplexa talen z 1 z z 3 z 4 och z 5 som är lösningar till ekvationen z n = c V.19 Skriv lösningarna till ekvationerna nedan på formen a + bi. a) z 3 i = 0 b) z 3 8 = 0 c) z 3 + 64 = 0 d) z 3 + i = 0 1

Teori Komplex analys V.19 Ett område i matematiken kallas komplex analys. Där studerar man funktioner w = f ( z) som avbildar en talmängd i det komplexa talplanet (z-planet ) på ett annat komplext talplan (w-planet). (NpE vt96) Im z Im w w =f(z) Re z Re w z-plan w-plan De tre komplexa talen 0, och + i utgör hörn i en rätvinklig triangel i z-planet. Triangeln avbildas på w-planet med hjälp av funktionen w = f ( z), där f ( z) = z. Markera i w-planet bilderna av triangelns hörn. Undersök hur triangelns hypotenusa avbildas på w-planet. Bestäm bilderna av triangelns övriga sidor. Nedan visas avbildningen av ett rektangulärt nät i z-planet och dess bild under avbildningen e z till w-planet.

Historien om hyperkomplexa tal Lösningen till tredjegradsekvationen x 3 + mx = n formulerades av Gerolamo Cardano från Milano i Ars Magna, 1545. Cardano använde 3 3 formeln 3n n m 3 n n m + + + +. Detta var emellertid 4 7 4 7 inte Cardanos upptäckt. Lösningarna hade i olika varianter formulerats av bl a Tartaglia (1535), från staden Bologna. Cardano var en typisk renässansmänniska matematiker, läkare, magiker och kättare. Han var både gillad och ogillad av kyrkan, en spelare som följdriktigt gjorde upptäckter i sannolikhetsläran. Han kunde dock inte godta de komplexa lösningarna som korrekta sådana. Gravstensrelief av Johannes från Legnano, juridikprofessor i Bologna (död 1383). Reliefen visar studenter som lyssnar på en föreläsning av Johannes vid universitetet i Bologna. Väst får kontakt med det grekiska vetandet Under 1100- och 100-talen sker en våldsam expansion av det filosofiska, teologiska och naturvetenskapliga vetandet i Västeuropa. Ett stort antal grekiska och arabiska skrifter översätts till latin. Den lärda världen kan nu stifta bekantskap med skrifter av Aristoteles, Euklides geometri och optik, Ptolemaios astronomi och optik, medicinska verk av Hippokrates och Galenos. Det blir nu naturligt att finna institutioner för den grekisk-arabiska vetenskapen. De första universiteten inrättas i Västeuropa till exempel i Paris, Oxford, Bologna och Padua. Universitetet i Bologna räknas som Europas äldsta (möjligen grundat 1088) och är under högmedeltiden 3

ett av de mest betydande. I Bologna sluter sig ursprungligen studenterna samman i ett skrå och anställer sina lärare. Den främsta specialiteten är juridiken. Universiteten fungerar genom sina så kallade fakulteter: medicinska, juridiska, teologiska och filosofiska. Det blir den filosofiska fakulteten som får ansvaret för hela det nya vetande som kommer fram genom översättningarna till latin. V3.1 Den generella tredjegradsekvationen kan skrivas y 3 + by + cy + d = 0. Visa att denna kan överföras till x 3 + px = q (som har visat sig lösbar) genom att byta ut varje förekomst av y mot (x b/3). V3. Bestäm en lösning till ekvationen x 3 + 5x = 18. Cardano gav en av sina studerande, Lodovico Ferrari, i uppgift att lösa fjärdegradsekvationen, vilket denne gjorde med glans genom att överöra fjärdegradsekvationen till en tredjegradsekvation som alltså kunde lösas. Rafaello Bombelli publicerade 157 de tre första böckerna i algebra i en planerad serie om fem. De två sista har bara hittats som manuskript i ett bibliotek i Bologna på 1900-talet. Bombelli är den förste som skriver ned regler för hur man adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar komplexa tal, inte helt i överensstämmelse med de regler som gäller idag. Han kunde visa att om man använder de komplexa talen så kan man, med Cardanos formel, finna alla tre reella lösningarna till en tredjegradsekvation. Det gäller även om formeln kommer att innehålla roten ur ett negativt tal. Albert Girard ger 169 ut verket Invention nouvelle en l algebra där han visar på relationen mellan rötter och koefficienter, vilket var möjligt genom att han godtog negativa och imaginära rötter. Girard var dessutom den förste som formulerade algebrans fundamentalsats även om han inte lyckades bevisa den. V3.3 Antag att vi har en tredjegradsekvation x 3 + a 1x + a x + a 3 = 0, som har rötterna x 1, x och x 3. Visa nu det som matematikern Albert Girard bevisade om sambandet mellan rötter och koefficienter: x 1 + x + x 3= a 1 x 1x + x 1x 3 + x x 3= a x 1x x 3= a 3. 4

V3.4 Vilket värde har uttrycket 1 1 x + 1 x3 x + 1 om x 1, x och x 3 är rötterna till ekvationen: x 3 7x + 8x + = 0? René Descartes (1596-1650) föddes i Frankrike. Efter studier i matematik, filosofi, teologi, juridik, medicin med mera vid en jesuitskola i La Flèche begav sig Descartes ut på resor. Studierna hade fått honom att tvivla på värdet av den antika naturfilosofin. Han kritiserade även Galilei för att denne inte försökt förklara det biologiska livet med hjälp av mekanikens lagar. Descartes filosofi sågs av många som den moderna tidens filosofi och som ett heltäckande alternativ till antikt tänkande. Descartes tänkte 163 ge ut sin skrift Världen eller traktat om ljuset, då han fick höra talas om domen mot Galilei på grund av dennes utgivna skrift Dialog över de två världssystemen. Descartes bestämde sig då för att inte publicera sin framlagda version av en mekanistisk världsbild, då hans teori till och med var radikalare än Galileis. Descartes trodde, som en av de första, att vårt universum har en historia. Vår mångfasetterade värld har uppstått genom att Gud en gång gav det oändligt utsträckta universum en knuff. Genom att materien följer de mekaniska naturlagarna, uppstod virvlar i universum. I varje virvel uppstod en sol och däromkring kretsande planeter. Planeterna hålls kvar i sina elliptiska banor tack vare virvelns materia. De stjärnor vi ser är dessa oändligt många solar. 5

Algebran och aritmetiken var före Descartes ett kaos av osammanhängande metoder för olika typer av problem. Descartes beskrev olika metoder för att överföra algebraiska problem till geometriska problem. Han uppfann till exempel en metod att geometriskt multiplicera två längder så att svaret blev en längd i samma plan. Metoden bygger på likformighet. Även de andra aritmetiska räknesätten t ex division och rotutdragningar kunde han utföra geometriskt. På detta sätt kunde han återföra algebraiska algoritmer till den säkra geometriska grunden. V3.5 Konstruera sträckan ab med hjälp av de givna sträckorna a och b samt passare och ograderad linjal. (Ledning: Använd dig av figuren nedan och likformiga trianglar.) Han utnyttjade också att man kunde göra det motsatta och löste geometriska problem genom att föra in bokstäver och ställa upp och lösa ekvationer. Denna metod kallas analytisk geometri. Han löste alltså matematikens från dess begränsning att betrakta tal som x, x och x 3 som geometriska figurer: sträckor, kvadrater och kuber. Vi tänker alltså inte längre på uttryck som t ex x 3 som något annat än ett tal som fås genom att multiplicera talet x med sig självt två gånger. Leonhard Euler framlade 1748 de oändliga serierna för e x, sin x och i cos x samt härleder formeln e ϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Han visade också att logaritmen av ett negativa tal är imaginär. Han införde också symbolen i för 1. 6

V3.6 Visa att ln ( 1) = iπ. i ϕ iϕ V3.7 Vi vet att e = cosϕ+ isinϕ och e = cosϕ isin ϕ. Bevisa med hjälp av dessa samband följande formler av Euler: a) b) e e iϕ iϕ + e e i iϕ iϕ = cosϕ = sinϕ. V3.8 Visa att cos i är ett reellt tal. Jean Robert Argand skriver 1806 om hur de komplexa talen kan representeras i planet med en reell axel och en imaginär axel, ett så kallat Argandplan. Det blir Carl Friedrich Gauss och William Rowan Hamilton som framlägger den teori om komplexa tal som vi har idag. Den irländske matematikern Hamilton framlägger även de första idéerna om kvaternioner, vektorer bi + cj + d k som svarar mot punkter i en tredimensionell rymd. Kvaternioner används t ex för att beskriva spin hos elementarpartiklar, vänster- eller högerrotation. En typisk kvaternion har formen a + bi + cj + d k, dvs den består av en skalärdel, a, och en vektordel, bi + cj + d k. 7

V3.9 Förenkla följande kvaternioner (Reglerna för kvaternioner finns på frimärket ovan.) a) (3 + 6i)(4 8j) b) (4 8j)(3 + 6i) c) (5 + i + j)(3 + j 6k) d) (3 + i) ( + j) V3.10 Visa att om konjugatet q till q = a + bi + cj + d k definieras som q = a bi cj d k, så gäller q q = a + b + c + d. Filosofen och matematikern Charles S Peirce visar 1870 att av algebror som har färre än sju dimensioner så är det bara tre där division kan utföras, nämligen den vanliga reella skolalgebran, den komplexa algebran och kvaternionalgebran. 8

Facit G1.1 a) kvot = 105 rest = 7 b) kvot = 15 rest = 0 c) kvot = 54 rest = 4 d) kvot = x 6x +19 rest = 57 G1. Multiplikation av faktorerna (x + 3x )(x 5) visar påståendet. G1.3. G1.4. G1.5 a) z + 8z = z(1 + 4z) = 0 vilket ger z 1 = 0 eller z = 1/4 b) z iz = z(z i)= 0 vilket ger z 1 = 0 eller z = i G1.6 c) z 3 + z = z(z + 1) = 0 vilket ger z 1 = 0 eller z = i eller z 3 = i d) z 4 1 = (z + 1)(z 1) = (z + 1)(z + 1)(z 1)= 0 vilket ger z 1 = 1 eller z = 1 eller z 3 = i eller z 4 = i e) z 3 6z + 18z = z(z 6z + 18) = 0 vilket ger z 1 = 0 eller z,3 = 3 ± 3i f) 4z 4 0z 3 + 5z = z (4z 0z + 5) = z (z 5) = 0 ger z 1, = 0 eller z 3,4 =,5 g) z 4 z 3 + z = z (z z + 1) = 0 vilket ger z 1, = 0 eller z 3,4 = 1/ ± 3 i/ h) 4z 4 + 9z + = 0 Sätt z = w och lös ekvationen 4w + 9w + = 0 vilket ger vilket ger w 1 = 1/4 eller w = vilket ger z 1, = ±i/ eller z 3,4 = ± i a) z 1 = 3 eller z,3 = 1/ ± 45 / b) z 1 = 3 eller z,3 = ± i G1.7 z 1 = eller z,3 = ± 10 G1.8 a) z 1 = eller z = 1 eller z 3 = 1 b) z 1, = 1 eller z 3 = c) z 1, = 3 ± i eller z 3 = 3 d) z 1, = 1 ± i 6 eller z 3 = 3 9

V1.9 z 1, = 1/ ± i 11 eller z 3,4 = ± i 5 V1.10 z 1 = ± i eller z 3 = 1 V1.11 1 31 z 1, = ±3 eller z 3,4 = ± i V1.1 a) z 1, = 1 ± i eller z 3 = 1 b) z 1, = eller z = V1.13 a) x + 15x + 5 = 0 c) x + 6x + 1 = 0 b) x + 10x + 9 = 0 V1.14 a) z + z 1 b) z z + V1.15 Ekvationen har lösningarna z 1, = ± i eller z 3 = 0. Alltså ligger cirkelns medelpunkt på x-axeln med avståndet x från origo. Pythagoras sats ger x = ( x) + 1 vilket ger x = 1,5. V1.16 a > 4 V1.17 Every quadratic polynomial has either 3 distinct real roots, one real root of multiplicity and another real root, or one real root and complex roots. V1.18 7 V1.19 x 3= i. V1.0 T ex y = ( x ) ( x 1)( x + 1) G.1 a) π/ b) 3π/4 c) 0 d) π/4 G. a),8(cos 45 + isin45 ) b),(cos (-63 )+ isin(-63 )) c) 4,(cos(-135 )+ isin(-135 )) d) (cos150 + isin150 ) e) 7,6(cos 67 + isin 67 ) f) 5,4(cos ( )+ isin ( )) g) 3,6(cos 146 + isin 146 ) h) 4,1(cos ( 166 )+ isin ( 166 )) e) π/3 f) π/6 g) 5π/6 30

3 G.3 a) z = 4(cos ( 90 ) + sin ( 90 )) b) z = 0,5(cos π/+ sin π/) G.4 Argumentet för i z är 15 G.5 Arg iz är 3(cos 135 + i sin 135 ) G.6 4(cos 80 + i sin 80 ) 3 3 3 G.7ab) + i z = 0,5(cos ( 30 ) + i sin ( 30 )) G.8 0,5((cos(-30 ) + i sin(-30 )) G.9. a) z1 3π 3π = 1,5 cos i sin + z 4 4 3 3 b) + i 4 4 G.10 π π π π a) z 1 = (cos + i sin ) och z = cos + i sin 4 4 b) 0 V.11 a) 1 b) i c) i d) e) V.1 1 3 + i e( i ) 6e 3e i π /3 iπ /3 = i π /3 i π /3 i π /3 = e = e f) 3 g) h) 1 3 i = (cos( π / 3) + i sin( π / 3) = ( / ) = V.13 a) z = 3e i0 b) z = 3e i π c) z = e i π 4 1 1 3 e ( i ) 1/ i 3 1 i 3 π i d) z = e 3 e) z = e i π 4 31

V.14 a) 0,7i z = 1,3e c) z = 5,8e 1,0i b) z = 3,6e -0,59i d) z = 13e -3,0i V.15 z 5 = 43 (cos15 + isin15 ) = 139 + 199i V.16 V.17 a) 18π 18π cos i sin + = ( cos3π + i sin 3π) = 1 6 6 b) ( cos 6π + i sin 6π) = 1 i (cos30 + isin30 ) = 7 = (cos90 + isin90 )(cos10 + isin10 ) = 1 3 = (cos300 + isin300 ) = i 3 i 3 + i = 4 ( + ) = 4 6 (cos30 + isin30 ) = = 4096( 1+ 0i) = 4096 Re z = 0 om 30 n = 90 + 360 m vilket ger n = 3 + 1m dvs för n = 3, 15, V.18 ( ) 6 6 6 6 V.19 a) z 1, = ± 3 + i eller z 3 = i b) z 1, = 1 ± 3 i eller z 3 = c) z 1, = ± 3 i eller z 3 = 4 d) z 1, = ± 3 i eller z 3 = i 3