Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05
Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik, men enligt min erfarenhet är det inte alltid man behärskar det man borde kunna och i så fall kan man ha nytta av detta häfte. Jag har medvetet bara gjort ett fåtal uppgifter till varje område; om man upptäcker att det är saker man behöver öva mer på, kan man ta fram sina gymnasieböcker och läsa mer. Man får gärna höra av sig till mej om man behöver mer hjälp. Boel Lindegård e-mail: boel.lindegard@hik.se tel 44 6 86
A. Addition, multiplikation Räkneregler -(a+b) = -a-b -(a-b) = -a+b = b-a (-a) (-b) = a b = ab = ba Parenteser går före division och multiplikation, vilka går före addition och subtraktion (pdmas) Eempel: 3 + 5 = 6 + 5 = 11 Men: ( 3 + 5) = 8 = 16 1. Förenkla 4a b (3a c) (b 3c). Förenkla 9y 6 z + y 9 + 4z y 3. Förenkla (a-b)(b+3a) 4. Beräkna (3+6) (7+) + (3-4) 4 + 11 3 5 5. Beräkna ( ) Multiplicering av parenteser Allmänt: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd Kvadreringsreglerna: (a+b) = a + ab + b (a-b) = a ab + b Konjugatregeln: (a+b)(a-b) = a b 6. Utveckla (-3) 7. Utveckla (3+)(-3) 8. Förenkla (3 +)(3 -) Ekvationslösning 9. Lös ekvationen 3(+5) (+3)(-3) (+7) = 100 10. Lös ekvationen (+1) = 5 11. Lös ekvationen (+)(-) (-6) = 8 3
Kemiska tillämpningar Då man späder koncentrerade lösningar till lösningar med lägre koncentration, använder man följande uttryck: V 1 ml av den koncentrerade lösningen ( stamlösningen ) med koncentrationen c 1, späds till volymen V som då får koncentrationen c. Då gäller: c 1 V 1 = c V 1. 0 ml av en saltsyralösning med koncentrationen 1,0 M späds upp till 1,0 L. Vilken blir den nya lösningens koncentration? 13. 00 ml av en 0,5 M natriumhydroidlösning späds till 375 ml. Vilken blir den nya koncentrationen? 14. Hur mycket ska man ta av en stamlösning med koncentrationen,0 M för att få 1,0 L av en 0,05 M lösning? Då man kalibrerar pipetter, dvs undersöker eakt vilken volym de ger, gör man det genom att väga mängden vatten den ger ifrån sig. Ur vattnets densitet vid den aktuella temperaturen beräknar man sedan volymen. 15. En 10 milliliters vollpipett skulle kalibreras. Vattnet den gav ifrån sig vägde 9,9803 g. Beräkna pipettens eakta volym. Temperaturen var 0ºC. Vattens densitet är vid den temperaturen 0,998 g/cm 3. 16. En sommardag skulle en annan 10 milliliters vollpipett kalibreras. Vattnet den gav ifrån sig vägde 9,9803 g. Temperaturen var vid det tillfället 3ºC på lab. Vattens densitet är vid den temperaturen 0,9975 g/cm 3. Beräkna pipettens eakta volym. B. Bråkräkning Förkortning och förlängning av bråk: c a c b = a b a c = b c Division av bråk: a b c d = a b d c Addition av bråk: Det är alltså inte så att 1 1 1 + = a b a + b a c ad bc ad bc + = + = + b d bd bd bd! (se nedan) 1. Beräkna 1 1 + 6 4
. Beräkna 3. Beräkna 4. Beräkna 5. Beräkna 1 + 6 3 4 5 1+ 3 4 1 1 + 3 C. Andragradsekvationer Ekvationen + p + q = 0 har rötterna 1, p = ± p q Kemiska tillämpningar Då man håller på med jämviktsberäkningar, landar man ofta i andragradsekvationer som ser ut som nedan: ( 0, ) ( 0,5 ) = 4 är den andel av ursprungskoncentrationen som har reagerat och 0, resp 0,5 är ursprungskoncentrationerna. (0, ) resp (0,5-) är koncentrationerna av de reagerande ämnena som är kvar efter reaktionen och eftersom en koncentration inte kan vara negativ, måste vara mindre än 0, (och 0,5). Man multiplicerar samman parenteserna i nämnaren och stuvar om uttrycket: 0,1 0, 0,5 + = 4 ( 0,1 0,7 ) = + 4 =,4,8 + 0 4 4 +,8 0,4 = 0 5
3 +,8 0,4 = 0,8 3 + 0,4 3 = 0,8 = ± 3,8 3 0,4 3 0,4667 ± 0,906 1 0,7573 0,1761 Dessa är de matematiska rötterna till uttrycket. Eftersom i det här fallet inte får vara större än 0, (se ovan) är det dock bara den andra roten,, som är ett rimligt svar. (Man kan inte minska koncentrationen 0, M med 0,7573 M.) Ibland får man istället ett uttryck med kvadrater i både nämnaren och täljaren: = 4, 0,16 ( ) Även i detta fall är 0,16- en koncentration och får inte vara större än 0,16. Man drar roten ur båda sidor, och får då matematiskt två alternativ: 0,16 = ± 4, Den negativa delen, = 4,, ger dock ett värde på som är orimligt ( blir 0,31) 0,16 och man behöver i de här sammanhangen alltid bara räkna vidare på den positiva delen. 1 = 4, 0,16 = ( 0,16 ) = 0,16 4, 4, 4, ( 1+ 4, ) = 0,16 4, 0,16 = 1+ 4, 4, 0,108 1 Enda sättet att få högerledet negativt, är när är större än 0,16, och det är ju inte tillåtet. 6
1. Lös + 6 + 5 = 0. Lös + 5 = 3 3. Lös ( 0,3 ) = 6 4. Lös ( 0,3 ) ( 0,1 ) = 0,5 D. Logaritmer För tio-logaritmen lgy och naturliga logaritmen lny gäller: = lg y = ln y y = 10 y = e för y>0 Därför blir: lg 10 = och ln e = 1. Beräkna lg 1000. Beräkna lg 0,01 3. Beräkna ln e 3 4. Lös ekvationen lg = 0 Logaritmlagarna: ln(y z) = ln y + ln z ln (y/z) = ln y ln z ln y p = p ln y 7
Kemiska tillämpningar Inom kinetiken använder man ofta naturliga logaritmer. Till eempel: vid en första ordningens reaktion kan koncentrationen [A] av ett ämne efter tiden t sekunder tecknas som: [ A] = [ A] 0 e kt där [A] 0 är koncentrationen av ämnet från början (efter 0 sekunder) och k är en konstant. 5. Beräkna värdet på [A] vid en första ordningens ekvation då [A] 0 = 0,5M och k = 0,07 s -1 samt t = 60 sek 6. Beräkna koncentrationen [A] då [A] 0 =,5M, k = 3,7 10-4 s -1 och t = 600 sek. Då man tar reda på halveringstider, dvs den tid det tar för koncentrationen att halveras för det ämne som förbrukas, får man för en första ordningens reaktion följande samband: 0,5 = e -kt Man tar då ln på båda sidor: ln 0,5 = ln e -kt ln 0,5 = -kt t = ln 0,5 / -k 7. Beräkna t ur ekvationen ovan, då k = 3,5 10-3 s -1 Inom elektrokemin använder man också logaritmer, t e i följande uttryck: 8. Beräkna värdet på E då 0,057 E = 0,0 ln 1 0, 0,35 0,057 0,15 9. Beräkna värdet på E, då E = 0,16 ln 3 0,31 8
E. Räta linjens ekvation Räta linjens ekvation är: y = k + m, där k är riktningskoefficienten, linjens lutning, och m är interceptet, skärningen med y-aeln. Kemiska tillämpningar Inom kemin tar man ofta upp kalibreringskurvor på lab. Genom att avsätta någon signal, te UV-absorbansen, mot koncentationen av ett ämne, får man ett linjärt samband som talar om hur stor signalen (absorbansen) blir vid en viss koncentration. Kalibreringskurvan görs bäst i Ecel, där man direkt får fram riktningskoefficienten och interceptet för den räta linjen.tänk bara på att ta fram tillräckligt många värdesiffror för parametrarna. Det är också bra att kunna rita en kalibreringskurva för hand. Linjens lutning, k, fås ur sambandet k = y y1 1 1. Beräkna riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1, 3) och (,6). Beräkna riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (0,1, 0,6) och (3,4, 5,18) F. Ekvationssystem Koncentrationsberäkning av två okända koncentrationer. Med hjälp av absorbansmätning med en UV-spektrofotometer, kan man bestämma koncentrationerna av två olika ämnen som finns i en blandning. Koncentrationen av det ena ämnet tecknas då t e c M och av det andra c N. Absorbansen av lösningen blir då summan av ämnena M och Ns absorbanser. Genom att mäta absorbansen vid två våglängder, får man ett ekvationssystem med två okända faktorer, c M och c N, vilka då kan beräknas. Man får följande uttryck: A 1 = e M1 b c M + e N1 b c N A = e M b c M + e N b c N, där e M1, e N1, e M, e N och b är kända storheter (b är kyvettbredden, vilken ofta är 1 cm). A 1 och A är de absorbanser som mätts upp vid två olika våglängder 1 och. Eempel: ta reda på koncentrationerna c M och c N ur följande ekvationssystem: 0,900 = 5 1 c M + 1 c N 0, = 0,3 1 c M + 10 1 c N 9
Lösning: Lös först ut c N ur den första ekvationen och uttryck c N med hjälp av c M. Sätt sedan in uttrycket för c N i den undre ekvationen. 0,900 = 5 1 c M + 1 c N c N = 0,900 5c M c N = 0,900/ 5/c M, dvs c N = 0,450,5c M. Sätt in detta uttryck i ekv : 0, = 0,3 1 c M + 10 1 c N 0, = 0,3 1 c M + 10 1 (0,450,5c M ) Lös ut värdet på c M genom vanlig ekvationslösning: 0, = 0,3c M + 10(0,45,5c M ) 0, = 0,3c M 5c M + 4,5 0, = (0,3-5)c M + 4,5 0, 4,5 = -4,7cM c M 0,174 Sätt in detta värdet i den första ekvationen för att även få värdet på c N : c N = 0,45,5 c M 0,45,5 0,174 0,015 Svar: koncentrationen av ämnet M är 0,174M och av ämnet N 0,015M. 1. Lös följande ekvationssystem: 0,80 = 0, 1 c M + 0,4 1 c N 0,90 = 0,5 1 c M + 0,3 1 c N. Lös ekvationssystemet 0,50 = 0,35 1 c M + 1,8 1 c N 1,10 = 0,19 1 c M + 4 1 c N Den här sortens beräkningar görs inte i de tidiga kemikurserna, men de ger god övning i ekvationslösning. 10
FACIT A Addition, multiplikation 1. a-4b+4c. 14+6y+3z 3. -ab+3a -b 4. 8 5. 1 6. 4-1+9 7. 6-5-6 8. 9 4-4 9. =1 10. = 11. =4 1. 0,00 M 13. 0,7 M 14. 5mL 15. 9,998 ml 16. 10,01 ml B Bråkräkning 1. /3 ( 0,67). 1/8 (=0,15) 3. 5/6 4. 1/ 5. 5/6 C Andragradsekvationer 1. 1 =-1, =-5. saknar reella rötter ( -5=3 har däremot rötterna 1 =10/4, =-1) 3. 0,13 (Om man löser ekvationen som en vanlig andragradsekvation får man även lösningen 0,507. I detta sammanhang är den dock orimlig, eftersom inte får vara större än 0,3) 4. 1 0,0646 ( -0,465, men kan inte vara negativt i detta sammanhang) D Logaritmer 1. 3. 3. 3 4. =1 5. [A]=0,0075 M 6. [A]=,00 M 7. t=198 s 8. E=0,1V 9. E=0,17V E Räta linjens ekvation 1. k=3. k=1,58 F Ekvationssystem 1. c M =0,857 M, c N =1,57 M. c M =0,494 M, c N =0,048 M 11