Juan Parera-Lopez Stjärnor tema för julmatematiklektioner Stjärnor är vanligt förekommande i vår vardag, särskilt i adventstider. Förutom att de lyser upp när vi har det som mörkast kan de ge rika uppslag till innehåll i geometriundervisningen. Artikelförfattaren ger oss här en guidad tur bland såväl två- som tredimensionella stjärnor. När jag promenerar i stan under julen väcker synen av alla adventsstjärnor matematiska tankar hos mig. Adventsstjärnor Religioner och filosofier har gett speciella värden till regelbundna geometriska figurer i synnerhet till stjärnor. Antagligen är förklaringen att man under sökandet efter Guds verk och i naturväsen hittar det som är väsentligt hos saker och ting genom abstraktion. Det leder till de enkla strukturer som ligger till grund för de mer komplicerade former och egenskaper som verkliga kroppar har. Stjärnor är viktiga symboler för människan, exempelvis har många länder flaggor med stjärnor. Den regelbundna sexuddiga stjärnan är en symbol för judendomen och i västerländsk kultur är den regelbundna femuddiga stjärnan den mest vanligt förekommande. Den regelbundna sexuddiga stjärnan. Den regelbundna femuddiga stjärnan. Den regelbundna sexuddiga stjärnan Den regelbundna femuddiga stjärnan a d b c Man kan fundera på varför den femuddiga stjärnan är så populär. Symmetrin hos denna stjärna förekommer i många organismer, exempelvis havsdjur och blommor. Några påstår att populariteten har att göra med att talet fem är speciellt i naturen. En annan möjlig förklaring är konstargumentet att det gyllene talet phi Φ 1,6180 gör att vi upplever skönhet hos saker där proportioner mellan olika delar av den är lika med phi. I figuren visas skelettet hos den femuddiga stjärnan och relationer mellan sträckor som är lika med phi. a/b = b/c = c/d = Φ Fig 4. a/b Proportioner = b/c = c/d = mellan Φ. olika sträckor i den Proportioner regelbundna mellan olika femuddiga sträckor stjärnan i är lika med det gyllene talet Φ. den regelbundna femspetsiga stjärnan är lika med det gyllene talet Φ. 34 Nämnaren nr 4 2013
Stjärnor är ett lämpligt område att utveckla matematik ur. Här är tre exempel på geometriuppgifter för gymnasieelever eller elever i grundskolan som behöver utmaningar. Bestäm spetsvinkeln i de regelbundna sexuddiga och femuddiga stjärnorna. Bestäm arean hos stjärnan i figur 4. Uttryck den som funktion av sidan d hos pentagonen i dess centrala område. Visa att förhållanden mellan sträckorna som visas i stjärnan i figur 4 är lika med det gyllene talet phi. Rita regelbundna stjärnor Det finns olika systematiska sätt att rita regelbundna stjärnor. Vi kan utgå från en regelbunden månghörning som har samma antal sidor som det antal spetsar stjärnan ska ha. Sen sätter vi likbenta trianglar på månghörningens sidor, se figur 5. En annan konstruktiv algoritm är att utgå från en cirkel och sätta ekvidistanta punkter på den, så många som antalet spetsar stjärnan ska ha. Därefter drar vi räta linjer genom att hoppa över ett bestämt antal av punkterna. I figur 6 ritas två niouddiga stjärnor med denna algoritm; till vänster genom att hoppa över en punkt, till höger genom att hoppa över tre punkter. Fig 5. Konstruktion Fig.5 av av en reguljär en regelbunden stjärna månghörning. från en regelbunden stjärna från reguljär månghörning. Fig. 6 Man ritar en stjärna genom att dra raka sträckor mellan punkter på cirkeln. Till vänster genom var andra punkt, till höger genom var fjärde punkt. Fig 6. Man ritar en stjärna genom att dra räta linjer mellan punkter på cirkeln. De stjärnor som ritas med hjälp av den sistnämnda metoden kan betecknas S(n; k) där n är antalet spetsar som stjärnan ska ha och k är antalet punkter som vi hoppar över plus ett. Då kan stjärnan till vänster i figur 6 betecknas S(9; 2) och stjärnan till höger i figuren S(9; 4). Några egenskaper hos dessa stjärnor: Stjärnan S(n; k) kan ritas genom en enkel sicksackbana endast om n inte är delbart med k. Är n delbart med k med kvoten r krävs vid ritandet av stjärnan att vi drar k banor. Dessa är då identiska i regelbundna r-hörningar. Ett exempel är när vi använder metoden för att rita den sexuddiga stjärnan i inledningen, alltså stjärnan S(6; 2), alltså r = 3 som består av två liksidiga trianglar. S(n; k) = S(n; n k). Ett sätt att visa denna egenskap är att rita sicksackbanan åt motsatt håll. Stjärnor kan alltså ge möjlighet att utveckla talteoretiska resonemang, i synnerhet om delbarhet. Hur många gånger går sicksackbanan runt cirkeln när man ritar S(n; k)- stjärnan i fallet där n inte är delbart med k? Undersök det först för speciella fall, t ex S(5, 2), S(7, 2) och S(7, 3). Ta sen upp det generella fallet S(n; k). Nämnaren nr 4 2013 35
Vi kan generalisera S(n; k)-algoritmen. Ett sätt att göra det är att rita den med två olika steglängder. I första steget hoppar vi över (k 1) punkter på cirkeln, i nästa steg hoppar vi över (r 1) punkter, sen igen över (k 1) punkter osv. De stjärnor som ritas med denna generaliserade algoritm betecknas S(n; k, r). I figur 7 visas stjärnan S(9; 2, 3) där k-steg (k = 2) visas grönt och r-steg (r = 3) visas rött. Vi ser att det blir två stjärnor eftersom 9 är inte delbart med summan (2 + 3). Fig 7. Stjärnan Fig.7 Stjärnan S(11; 2, 2, 3) blir en en dubbelstjärna. Tredimensionella stjärnor De adventsstjärnor vi sätter upp till jul är tredimensionella. Den matematiska studien av sådana öppnar vägen för övning av det tredimensionella tänkandet. För att gå från tvådimensionella till tredimensionella stjärnor finns olika vägar. De enklaste stjärnorna kan skapas genom att vi flyttar upp den tvådimensionella stjärnan i den tredje dimensionen. I fallet med den femuddiga stjärnan visas resultatet i figur 8. Fig 8. En tredimensionell stjärna fås genom att en tvådimensionell flyttas upp i den tredje dimensionen. Fig.8 En tredimensionell stjärna fås genom att flytta upp en två dimensionell i den tredje dimensionen. Matematiskt mer intressant är den pyramidformade, tredimensionella stjärnan. De julstjärnor som visas i inledningen har denna form. För att konstruera en pyramidformad stjärna kan vi utgå från den motsvarande tvådimensionella stjärnan. Vi drar linjer från stjärnans mittpunkt till alla hörn. Till vänster i figur 9 visas det i fallet med den femuddiga stjärnan. Vi låtsas att dessa sträckor är gummiband som gör att vi kan dra upp mittpunkten. I figur 9 till höger åskådliggörs den tredimensionella stjärna som bildas. Fig.9 Den tredimensionella, pyramidformade stjärnan till höger fås från den två dimensionella Fig genom 9. Den att rita tredimensionella, i den sista gummi- sträckor pyramidformade från centret stjärnan till alla hörn, till sen höger dras kan den centrala vi få från den knutpunkten tvådimensionella upp. genom att rita in gummi-sträckor från mittpunkten till alla hörn, sen dras den centrala knutpunkten upp. En bra uppgift för att öva förmågan att tänka i tre dimensioner är att bestämma volymen hos tredimensionella stjärnor. Bestäm volymen hos stjärnan i figur 9. 36 Nämnaren nr 4 2013
Den tredimensionella generaliseringen av en tvådimensionell stjärna fås genom en generalisering av den metod som beskrevs ovan för att rita regelbundna tvådimensionella stjärnor. Utgå från motsvarande regelbundna månghörning och sätt likbenta trianglar på dess sidor. I det tredimensionella fallet kan vi utgå från en regelbunden polyeder. Vi förlänger dess kanter tills de träffar varandra. I fallet med dodekaedern som bildas med regelbundna femhörningar gör vi som det visas i figur 10 till vänster. Den tredimensionella stjärna som blir resultatet visas i figur 10 till höger. Fig.10 En tredimensionell stjärna fås när man förlänger kanter hos en reguljär polyeder tills de träffar varandra. Fig 10. En tredimensionell stjärna fås när man förlänger kanter hos en regelbunden polyeder tills de träffar varandra. Utveckla en metod för att bestämma volymen av stjärnan i figur 10. Matematikens konstnärliga sida Matematik är inte bara algoritmiskt räknande. Matematik är också konstruktivt och grafiskt. Matematik har även en konstnärlig sida. Figurer kan hjälpa oss att åskådliggöra matematiska samband och genomföra matematiska resonemang. Vi kan använda oss av stjärnor för att bilda konstfulla mosaiker. I figur 11 visas några exempel. Några av dessa bilder visar olika sätt att tessellera i planet med figurer där stjärnor är huvudfigurer. Fig.11 Att rita mosaiker med färgade stjärnor Fig 11. Att rita mosaiker med färgade stjärnor Att färglägga geometriska delfigurer av större figurer ger inte bara vackra konstruktioner, det underlättar också visualisering av matematiska relationer och samband mellan delarna. Ett exempel på det visas i samband med bilderna i figur 12. I bilden till vänster används metoden som utgår från en regelbunden månghörning för att rita den sexuddiga blå stjärnan. Om vi inskriver den blå stjärnan i en större sexhörning och upprepar förfaranden bildas den gulgröna stjärnan (bara stjärnors spetsar färgläggs för att förenkla visualisering). Bestäm förhållande mellan areorna hos dessa två stjärnor, dvs den inre blå och den yttre gulgröna. Nämnaren nr 4 2013 37
(1) Fig 12. Två stjärnor bildas med metoden att sätta liksidiga trianglar på sexhörningen. För att bestämma förhållande mellan deras areor används bilden längst till höger. (1) Det går att lösa uppgiften algebraiskt men också grafiskt. Den grafiska lösningen grundas på bilden i figur 12 till höger. I den sista bilden ser vi att den blå stjärnan som konstrueras från sexhörningen har dubbelt så stor area som sexhörningen jämför de interna och de externa liksidiga trianglarna. Använder vi arean hos en liksidig triangel som areaenhet (ae) har den blå stjärnan arean 12 ae. I bilden ovan till höger ritas en större sexhörning genom att vi drar linjer mellan stjärnans spetspunkter. Den stora sexhörningen har en area lika med den blå stjärnans plus areorna hos de röda och vita trianglarna. Dessa röda och vita rätvinkliga trianglar har area lika med hälften av en liksidig triangel. Så har den större sexhörningen arean 18 ae. Den stora gulgröna stjärnan till vänster i figur 12 har en area dubbelt så stor som den stora hexagon, som det visades ovan, alltså 36 ae. Jämför vi areorna hos den stora gulgröna och den lilla blå stjärnan ser vi att förhållandet blir ett till tre. Litteratur Chamoso, J. m fl. (2009). Burbujas de Arte y Matemáticas. Nivola. Ghyka, M. (1977). The geometry of art and life. New York: Dover. Förslag på lösningar finns i en bilaga på Nämnaren på nätet. 38 Nämnaren nr 4 2013