Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010

Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 20 januari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 1 / 22

Upplägg Sju föreläsningar, en per vecka Tonvikt på likheter och skillnader mellan en och flera variabler Repetition av utvalda delar av envariabelteorin Examination: Inlämningsuppgifter + munta Kurslitteratur: Stephen G. Krantz, Function theory of several complex variables, AMS-Chelsea. Referenslitteratur: Valfri favoritbok i en komplex variabel. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 2 / 22

Vad är komplex analys i flera variabler? Pluripotentialteori Differentialgeometri Funktionalanalys PDE Komplex analys i flera variabler Komplex analys i en variabel Potentialteori Algebraisk geometri Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 3 / 22

Holomorfa funktioner Definition Vi säger att en funktion f : C C är holomorf om gränsvärdet f(z + h) f(z) lim C h 0 h existerar för alla z. (Analogt för funktioner som är definierade på en delmängd Ω C.) Observera att en funktion f : C C kan betraktas som en funktion R 2 R 2, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Om vi för enkelhets skull antar att u och v är C 1, så följer att gränsvärdena f(z + h) f(z) lim = = u R h 0 h + i v och är lika. f(z + ih) f(z) lim = i u R h 0 ih + v Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 4 / 22

Cauchy-Riemanns ekvationer Det är inte svårt att visa omvändningen till ovanstående, dvs vi har följande karakterisering av holomorfa funktioner: Sats Antag att f(z) = u(x, y) + iv(x, y), där u och v är C 1 (på sitt definitionsområde). Då är f holomorf om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda. ( u u = v = v Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 5 / 22

Komplexa strukturer Vi ska även titta på ett alternativt, mer modernt sätt att betrakta Cauchy-Riemanns ekvationer. Först lite komplex linjär algebra. Definition Antag att V är ett reellt vektorrum. En linjär avbildning J : V V kallas en komplex struktur på V om J 2 = I, (där I : V V betecknar identitetsavbildningen). Exempel Låt R 2 = {(x, y) : x, y R} och definiera J std (x, y) = ( y, x). Då är J std en komplex struktur på R 2. Övning Antag att J är en komplex struktur på vektorrummet V. Visa att J är inverterbar och att V måste vara av jämn dimension. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 6 / 22

Komplexa vektorrum Givet ett reellt vektorrum V med en komplex struktur J, kan vi på ett naturligt sätt definiera ett komplext vektorrum V C genom att låta (α + iβ)v = αv + βjv. (På omvänt sätt kan ett komplext vektorrum betraktas som ett reellt vektorrum med en komplex struktur given av Jv = iv.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 7 / 22

Linjära avbildningar Antag nu att T är en linjär avbildning på V. Denna avbildning kan förstås även betraktas som en funktion på V C. Vad krävs för att T ska vara en (komplex-)linjär avbildning på V C? T ((α + iβ)v) = (α + iβ)t (v) T (αv + βjv) = αt (v) + βj(t (v)) αt (v) + βt (J(v)) = αt (v) + βj(t (v)) T (J(v)) = J(T (v)) dvs T är komplex-linjär om och endast om T J = JT. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 8 / 22

Linjära avbildningar, II Sats Varje (reell-)linjär avbildning T : V V kan skrivas som en summa T = A + B, där A är komplex-linjär och B är komplex-anti-linjär, dvs B(zv) = zb(v). Bevis. Låt A = 1 (T JT J) och B(v) = 1 (T + JT J). Då blir A + B = T och 2 2 respektive JA = 1 2 (JT JJT J) = 1 2 (JT + T J) = 1 (T J JT JJ) = AJ 2 JB = 1 2 (JT + JJT J) = 1 2 (JT T J) = 1 (T J + JT JJ) = BJ 2 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 9 / 22

Holomorfa funktioner, en gång till Sats En C 1 funktion f : C C är holomorf om och endast om df är komplex-linjär. Här dx betecknar df den totala derivatan av f, sedd som en funktion dx R2 R 2, dvs df dx = u v u v! Bevis. J std df dx = df dx J std = 0 1 1 0 u v «u v u v u v!! 0 1 1 0 = v «= u u v v u u v med likhet om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda.!! Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 10 / 22

Wirtingers operatorer Den totala derivatan df kan skrivas som en summa där f z Sats f är komplex-linjär och z Om f är C 1, så blir och Motsvarande operatorer z och z df dx = f z + f z är komplex-antilinjär. f z = 1 f 2 i f «f z = 1 f 2 + i f «kallas ibland Wirtingers operatorer. Observera att f är holomorf om och endast om f z = 0. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 11 / 22

Kedjeregeln Övning Visa följande versioner av kedjeregeln: (f g) z = f z g z + f z ḡ z respektive (f g) = f z z g z + f z ḡ z Hur förenklar dessa formler om f eller g är holmorfa? Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 12 / 22

Några ord om C 1 -antagandet För enkelhets skull har vi antagit att våra holomorfa funktioner är C 1. I själva verket är detta inte nödvändigt, utan följer faktiskt som en konsekvens av definitionen, dvs om gränsvärdet f(z + h) f(z) lim C h 0 h existerar, så är f automatiskt C 1 (och i själva verket till och med C ). Vi hoppar över detaljerna, åtminstone tills vidare. (Läs om Moreras sats i en envariabelbok, om du är intresserad.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 13 / 22

Holomorfa funktioner av flera variabler Vad ska vi mena med att en funktion f : C n C är holomorf? Det finns flera alternativa, naturliga, sätt att definiera detta, men i slutänden visar sig dessa vara ekvivalenta. Vi väljer följande definition: Definition Låt f : C n C vara en funktion. Vi säger att f är holomorf om f är holomorf i varje variabel separat, dvs om funktionen f(z 1, z 2,..., z n) är holomorf om vi betraktar den som en funktion av z j för varje j (med resten av koordinaterna konstanta). Mängden av holomorfa funktioner på Ω C n brukar betecknas O(Ω). Även om denna definition är naturlig, är den delvis problematisk. Jämför till exempel med hur kontinuerliga funktioner av flera (reella) variabler definieras. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 14 / 22

Holomorfa och analytiska funktioner Ibland använder man termen analytisk i stället för holomorf. Om man ska vara petig, så brukar egentligen ordet analytisk betyda följande: Definition En funktion f : C C kallas analytisk om den lokalt går att skriva som en konvergent potensserie, X f(z) = a j(z z 0) j för alla z 0. j=0 Analogt i flera variabler. Det följer ur Cauchys integralformel att varje holomorf funktion är analytisk (även i flera variabler) vi spar detaljerna till nästa vecka. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 15 / 22

Hartogs lemma Det är faktiskt rätt märkvärdig att separat-analyticitet (eller separat-holomoficitet) medför analyticitet. Resultatet brukar kallas Hartogs lemma: Sats (Hartogs lemma) Om en funktion f(z 1, z 2,..., z n) är analytisk i varje variabel separat, så är den analytisk. Observera att man inte ställer några krav på f (inte ens mätbarhet!). För ett bevis, se till exempel www.math.umn.edu/~garrett/m/complex/hartogs.pdf Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 16 / 22

Existensområden för analytiska funktioner I en variabel är varje område (dvs öppen, sammanhängande mängd) ett existensområde för analytiska funktioner, dvs till varje område Ω C kan man hitta en analytisk funktion f O(Ω) som inte går att utvidga till något större område. Situationen i flera variabler är fullständigt annorlunda. En stor del av teorin för funktioner av flera komplexa variabler handlar om att karakterisera olika typer av existensområden, och att studera hur områdets egenskaper (geometri, topologi, randregularitet etc) påverkar funktionsteorin. Som ett första steg i denna riktning ska vi titta på Hartogs utvidningssats. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 17 / 22

Hartogs utvidgningssats Sats Låt Ω C n vara ett område och K Ω en kompakt delmängd, sådan att Ω \ K är sammanhängande. Om f O(Ω \ K) finns en (entydigt bestämd) f O(Ω), sådan att f Ω\K = f. Ett fullständigt bevis kräver lite teori om lösningar till -problem, men vi kan visa ett specialfall. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 18 / 22

Hartogs utvidgningssats, bevis Bevis. Vi antar att Ω = D 3 D 3 och K = D 1 D 1. Laurentserieutveckla f(z, w) för ett fixt z med avseende på w: f(z, w) = X j= a j(z)w j, w 3 2 w = 2 Ω där koefficienterna ges av a j(z) = 1 I 2πi w =2 f(z, ζ) ζ j+1 dζ. 1 K 0 0 1 2 3 Observera att koefficienterna a j(z) beror holomorft av z, eftersom I a j(z) dz = 1 I I! f(z, ζ) dζ γ 2πi γ w =2 ζ j+1 z dz = 1 I I «f(z, ζ) dz dζ = 0. 2πi w =2 γ ζ j+1 Eftersom a j(z) = 0 för j < 0 och 1 < z < 3, så måste a j(z) 0 för j < 0. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 19 / 22

Varianter av Hartogs utvidgningssats Övning Ge ett exempel som visar att villkoret Ω \ K är sammanhängande verkligen behövs. Övning Det är inte alltid nödvändigt att K är kompakt. Betrakta följande områden i C 2 : w w w 1 Ω 1 0 0 1 z 1 Ω 2 0 0 1 z 0 0 1 Visa att varje analytisk funktion f O(Ω 1) respektive f O(Ω 2) fortsätter till bidisken D 2. Hur är det med f O(Ω 3)? 1 Ω 3 z Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 20 / 22

Lite mer om existensområden Man kan visa att ett område Ω C n är ett existensområde för O om det till varje randpunkt p Ω går att hitta en funktion f p O(Ω) som inte går att fortsätta över p. (Detta faktum medför alltså existensen av en funktion som inte går att fortsätta över någon randpunkt.) Exempel Bidisken D 2 är ett existensområde. Låt p = (p 1, p 2) (D 2 ). Då är antingen p 1 = 1 eller p 2 = 1. I det första fallet, ta och analogt i det andra fallet. f p(z, w) = 1 z p 1 Övning Visa att enhetsbollen B = {(z, w) : z 2 + w 2 < 1} är ett existensområde. Visa att alla konvexa områden är existensområden. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 21 / 22

Läs på egen hand till nästa gång Repetera lite envariabelteori, i synnerhet Cauchys integralformel. Läs kapitel 0 i Krantz. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 22 / 22