Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 By, Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-01-11 Tid: 14.00-18.00 Hjälpmedel: Kalkylator Bifogad formelsamling: Formelblad och tabeller i statistik Språklexikon: Persiska - Svenska, Svenska - Persiska. Engelska - Svenska, Svenska - Engelska Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3 = 20, 4 = 30, 5 = 40. 50 poäng Allmänna anvisningar: Rättningstiden är som längst tre veckor Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Rustan Halldin Telefonnummer: 4354672
1
Högskolan i Borås Tentamen i Matematisk statistik, 7.5 hp, TT091A. Ingenjörshögskolan 2012-01-11 Rustan Halldin Fullständiga lösningar krävs. Enbart svar ger 0 poäng på uppgiften. Varje lösning skall börja överst på nytt blad. 1. a) I en vindkraftspark står två mindre vindkraftverk. De fungerar oberoende av varandra och sannolikheten att de fungerar vid ett visst tillfälle är 0.98 respektive 0.90. Bestäm sannolikheten att precis ett av de två kraftverken fungerar. (2 p) b) Tiden mellan två kunder är exponentialfördelad med väntevärde 2 minuter. Vad är sannolikheten att det dröjer mer än 2 minuter mellan två kunder? (2 p) c) De fyra siffrorna i koden till ett portlås kan anses vara slumpmässigt valda bland siffrorna 0, 1,, 9. Hur många möjliga kombinationer finns det om den första och den sista siffran inte får vara 0 och alla fyra siffrorna måste vara olika? (1 p) d) Antalet rapporterade fel från en produktionsprocess under ett dygn anses vara Poissonfördelat. I genomsnitt inträffar 3.2 fel per dygn. Hur hög är sannolikheten att få 5 fel ett dygn? (1 p) 2. Ett livsmedelsföretag säljer burkar med konserverade ärtor. På burkarna står det att innehållet är 280 gram. Vikten av innehållet kan anses vara normalfördelat med väntevärde 280 gram och standardavvikelse 15. a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald burk innehåller mellan 260 och 275 gram ärtor? (1 p) b) Pelle behöver 550 gram ärtor och köper två burkar. Vad är sannolikheten att det räcker? (2 p) c) Karin köper tre burkar ärtor och kontrollväger dem. Hon kommer att kontakta företaget och klaga om ingen av burkarna innehåller minst 275 gram. Vad är sannolikheten att hon kommer att klaga? (3 p) 3. En kontinuerlig stokastisk variabel X har frekvensfunktionen: a) Bestäm konstanten k. (1 p) b) Bestäm fördelningsfunktionen till X. (2 p) c) Bestäm väntevärde och median till X. (2 p) 4. Man beräknade med en dator medelvärdet och standardavvikelsen i ett datamaterial med 800 observationer. Man fick Vid kontroll av databasen visade det sig att en observation som skulle varit 9.56 hade lästs in som 1.56. Vilket medelvärde och vilken standardavvikelse hade man fått om det nämnda felet inte hade funnits? (4 p)
5. Ett företag tillverkar en stållegering A med en genomsnittlig draghållfasthet på 48 kp/mm 2. Man har tagit fram en ny stållegering B, för vilken man gjort dragprov på 8 provkoppar. Man erhöll följande resultat: 51.2 49.6 47.5 50.4 49.3 48.1 47.8 50.8 Mätvärdena kan antas vara normalfördelade. Man har för avsikt att byta till stållegering B om man kan visa att B har större genomsnittlig draghållfasthet. a) Formulera lämplig nollhypotes och mothypotes och genomför ett klassiskt hypotestest på signifikansnivån 5%. (4 p) b) Förklara vad som menas med Fel av typ I respektive Fel av typ II i samband med hypotestest. (2 p) 6. I en textilfabrik kontrollerar två kontrollanter A och B alla plagg efter att de sytts ihop. De ska båda två granska alla plagg, och de ska också genomföra granskningarna så att de är oberoende av varandra. Antag att en viss typ av plagg är defekt, och att sannolikheten att kontrollant A upptäcker detta är 91% och motsvarande för kontrollant B är 96%. a) Beräkna sannolikheten att ingen av A och B upptäcker defekten. (1 p) b) Beräkna sannolikheten att exakt en av A och B upptäcker defekten. (1 p) c) Beräkna att minst en av A och B upptäcker defekten. (1 p) d) Givet att minst en av A och B upptäcker defekten, hur stor är sannolikheten att B upptäcker defekten? (2 p) 7. En fabrik misstänks förorena en närliggande bäck genom utsläpp av en viss kemikalie. På grund av detta mäter man därför halten y i gram kemikalie per kilo vatten i bäcken på olika avstånd x i km från fabriken, vilket anges av talparen (x i, y i ). Man utförde 20 mätningar och beräknade följande summor: a) Utför en linjär regression och tolka koefficienterna. (3 p) b) Beräkna determinationskoefficienten och tolka den. (2 p) 8. Livslängden X i timmar för en viss typ av elektroniska komponenter är exponentialfördelad med väntevärdet 200. a) Bestäm sannolikheten att en komponent håller mellan 200 och 250 timmar. (2 p) b) Man definierar den så kallade nominella livslängden som den livslängd L som 90 % av komponenterna överskrider. Bestäm L. (2 p) 9. Vid en trottoar skall man sätta kantstenar vars längd i meter kan anses vara likafördelade stokastiska variabler med väntevärde 0.5 och standardavvikelse 0.06. Stensättaren sätter under en dag 100 stenar. Bestäm approximativt sannolikheten att den sammanlagda längden av dessa stenar överstiger 49 meter. (4 p)
10. Antag att X är en stokastisk variabel med fördelningsfunktionen F( x) 1 0 ( x 1) 1/ om x 0 för övrigt där θ är en okänd men positiv parameter som vi önskar skatta. Vi tar ett stickprov x 1, x 2,, x n på X. Bestäm maximum-likelihood-skattningen av θ samt beräkna den om vi har följande mätdata: 0.6, 0.1, 0.3. (5 p)