6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar

6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] F m (r, v) = qv B(r) (6.4) Man kallar B för magnetisk flödestäthet eller magnetisk induktion. Dess enhet är N/(m/s) = Ns/(m) = N/(m) T, som kallas tesla. Ekv. (6.3) ger flödestätheten i punkten r orsakad av en punktladdning q i r som rör sig med den konstanta hastigheten v. I dessa ekvationer måste vi kräva att q beter sig som en testladdning, eftersom dess effekt på q inte har tagits i beaktande. Om en laddning q påverkas av både el- och magnetfält känner den av den totala kraften som kallas orentz-kraften. F = q(e + v B), (6.5) Obs : F m är vinkelrät mot v, men befinner sig i planet som spänns upp av v och d r r. Obs : v F m = så att arbetet som F m utför är dr F m = dtv F m =, d.v.s. den magnetiska kraften utför inget arbete på den laddning som den påverkar. i kommer senare att se att Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.3 6.. Magnetisk flödestäthet ε µ = c (6.6) Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta hastigheterna v och v så utövar q en magnetisk kraft på q som är F m (r, v) = µ qq (v 4π r r v r ) r r r (6.) där c är ljusets hastighet. i kan då skriva Det är enkelt att visa att vi nu får F m (r, v) = qq ( v v 4πε r r c c r ) r r r (6.7) där r är q :s position och r är q:s position. I kapitel hade vi att µ 4π 7 Ns / 7 N/ (6.) F m F e v (6.8) c c där F e är storleken av den elektrostatiska växelverkan mellan laddningarna. Om laddningarnas hastigheter är icke-relativistiska så gäller att v c och v c, så att F m /F e, d.v.s. den magnetiska kraften borde kunna ignoreras jämfört med den elektriska. v addningen q kan anses befinna sig i ett magnetiskt fält orsakat av laddning q. Detta stöds av faktumet att vi kan separera ut en faktor som inte beror på q:s laddning eller hastighet: B µ q (v r ) r 4π r r r r (6.3) I de flesta situationer har vi dock strömmar som växelverkar (i) med varandra via sina magnetfält, eller (ii) med ett yttre, fixerat magnetfält. I det senare fallet kan jämförelsen ovan inte göras. I det förra fallet krävs i allmänhet en explicit beräkning för att avgöra vilken kraft som dominerar. så att Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.4

6.. Kraften på en strömledare åt oss bestämma den magnetiska kraften på ett strömförande element med längden dr, vars riktning sammanfaller med strömmen I i elementet. Det gäller då att dr har samma riktning som laddningarnas hastigheter v. åt B representera magnetfältet som laddningarna påverkas av, inte producerar. i har nu att t, som går från till. Eftersom kurvan är sluten gäller (t = ) motsvarar samma punkt som (t = ), och x i (t = ) = x i (t = ), så att integralen ovan är noll. df = dnqv B = ndrqv B, (6.9) där dn är antalet laddningar i elementet dr, n är laddningarnas nummertäthet och ledarens tvärsnittsarea. dr och v är parallella, så vi kan också skriva df = nvqdr B = nqvdr B = Jdr B = Idr B (6.) Totala kraften på en strömförande ledare är F = dr BI (6.) För en sluten slinga: Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.5 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.7 F = I = I dr B ( x(dyb z dzb y ) + ŷ(dzb x dxb z ) + ẑ(dxb y dyb x )) ( = I dx(b y ẑ B z ŷ) + ) dy(b z x ẑb x ) + dz(b x ŷ xb y ) = (6.) om flödestätheten B är homogen. arför blir t.ex. integralen dx noll? Detta är enkelt att förstå i en dimension: Kurvan kan vara linjen från till och tillbaka till. Integralen blir då dx = dx + dx = ( ) + ( ) =. ridmomentet på ett strömelement är 6.3. ridmomentet på en strömledare dτ = r df = r (Idr B) = Ir (dr B) (6.4) Då r utgår från origo ger detta uttryck vridmomentet för en vridning runt origo. ridmomentet på en strömförande ledare är alltså τ = r (dr B)I (6.5) i övergår nu till att betrakta en sluten strömslinga. ridmomentet på denna är: τ = I r (dr B) (6.6) I tre dimensioner, och mera formellt: dx i = dt dx i dt = x i(t) t= t= (6.3) Kurvan består av punkterna (x(t), y(t), z(t)), och är parametriserad med den reella variabeln Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.6 ntag att B är homogen, d.v.s. inte beror på platsen. B-B-regeln r (dr B) = dr(r B) B(r dr) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.8

= dr(xb x + yb y + zb z ) B(xdx + ydy + zdz) (6.7) ger τ = I dr(xb x + yb y + zb z ) IB dr r (6.8) Integralerna innehåller termer som û duv och duu, där u, v står för x, y eller z. i använder nu ett symboliskt artesiskt koordinatsystem (u, v, w). τ = I dr(xb x + yb y + zb z ) = I( x z B y + x y B z + ŷ z B x ŷ x B z ẑ y B x + ẑ x B y ) = I( x( y B z z B y ) + ŷ( z B x x B z ) + ẑ( x B y y B x ) I B (6.) (i) duu dt du dt u = dtu (t)u = dt d ( ) dt u = t= u = (6.9) t= eftersom u(t = ) = u(t = ) då kurvan är sluten, d.v.s. startpunkten är ju lika med slutpunkten. Den andra integralen innehåller enbart dylika termer, så den blir noll. (ii) Integralen Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.9 Här gäller att = x x + y ŷ + z ẑ, där x är (absolutbeloppet av) arean av kurvans projektion in yz-planet, y är (absolutbeloppet av) arean av kurvans projektion in xz-planet, z är (absolutbeloppet av) arean av kurvans projektion in xy-planet, i visar nu att tolkningen att är lika med ytans projektioner i koordinatplanen är konsistent med tolkningen att är lika med arean räknad över den kurviga ytan i 3 dimensioner gånger ytans riktningsvektor. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6. duv (6.) äger rum i uv-planet, och integrationskurvan är därför :s projektion i detta plan, t.ex. för w =. Integralen blir duv = = duv + duv u u duv + u u duv w (6.) cos β = e a = cos(π π α) = sin α = b a + b (6.3) som är kurvans area i uv-planet. Indexet w kommer från att ytans normal är i w-axelns riktning. Teckenregler: Integration i uv-planet ger w, så integration i vu-planet ger w. i har också att integration i vw-planet ger u, så integration i wv-planet ger u, integration i wu-planet ger v, och integration i uw-planet ger v. i får nu att Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6. Rymdtriangelns area är = df = a + b f = a + b c + e = a + b c + a b a + b = c (a + b ) + a b (6.4) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.

Projektionernas areor är Storheten I har ett eget namn, magnetiskt dipolmoment, och betecknas m. Dess enhet är m. rean är alltså = x x + y ŷ + z ẑ n, där = x = bc (6.5) y = ac (6.6) z = ab (6.7) x + y + z = b c + a c + a b = c (a + b + a b = (6.8) d.v.s arean av rymdtriangeln är konsistent med projektionernas areor. Eftersom r dr = d = så gäller m = I = I En tredje form för det magnetiska dipolmomentet får vi med identifikationen Detta följer från följande behandling. r dr (6.33) Idr = Jd (6.34) Strömmen genom ett litet ytelement δ på ett större infinitesimalt ytelement d är δi = J δ (6.35) T.ex. n = = x x + y ŷ + z ẑ (6.9) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.3 Multiplikation med strömmens tjocklek och riktning dr i elementet ger δidr = (J δ)dr (6.36) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.5 n x = bc (6.3) a b + a c + b c x Från figuren ser vi att u = ( a,, c) och u = ( a, b, ) är två vektorer i ytans plan. Kryssprodukten u u ger ytans onormaliserade riktningsvektor u = (bc, ac, ab), så att vilket sammanfaller med n x! û x = u x u = bc (6.3) b c + a c + a b x J or dr är parallella, eftersom de båda anger strömmens riktning: δidr = J(δ dr) Jδd (6.37) Integration med avseende på δ-differentialerna ger det eftersökta sambandet. Det magnetiska dipolmomentet kan alltså också skrivas m = d r J (6.38) Detta visar att tolkningen att består av kurvans projektioner på koordinatplanen är konsistent med att = n, där är ytans riktiga area och n dess normaliserade normalvektor. En komplicerad yta i 3 dimensioner kan uppdelas i infinitesimala plana ytor, så härledningen ovan gäller också för dem. i får nu att τ = I B (6.3) För att upprepa, här är alltså vektorfältet som bildas av arean gånger ytnormalens enhetsvektor i varje punkt på arean. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.4 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.6

[RM, Jackson] 6.4. Uttrycket för flödestätheten År 89 observerade Hans hristian Oersted att magneter som låg nära elektriska ledningar påverkades av strömmen i dessa. År 8 etablerade Biot och Savart en experimentell lag för hur strömmen påverkade magneterna. mpère utförde mellan 8 och 85 mycket grundligare undersökningar av samma fenomen. Han kom fram till följande grundläggande ekvation: Ett element med längden dr som bär strömmen I alstrar en magnetisk flödestäthet som är så att = µ 4π I d J(r ) ( ( r r )) = (6.44) B = (6.45) db I dr (r r ) r r 3 (6.39) där r är punkten där flödestätheten mäts och strömelementets position är r. Detta beroende kunde kallas mpères lag, men detta namn är reserverat för en annan lag som vi tar upp senare. Därför går denna lag istället under namnet Biot-Savarts lag. Denna ekvationen säger att magnetfältet inte har några isolerade källor, kallade monopoler, på samma sätt som elfältet kan ha det. Magnetfältets källor förekommer alltid i par av negativa och positiva poler, så att summan är noll. Denna ekvation gäller alltid, också för tidsberoende strömmar. I SI-systemet är koefficienten i Biot-Savarts lag µ /(4π), så att db(r) = µ I dr (r r ) (6.4) 4π r r 3 6.4.. Tillämpningar av Biot-Savarts lag Ett alternativt uttryck är Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.7 Exempel : Flödestätheten från en oändligt lång rak strömförande ledare. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.9 db(r) = µ d J(r ) (r r ) (6.4) 4π r r 3 Strömelementet ger upphov till en kraft df(r) = Idr db(r) (6.4) på ett element dr, som bär strömmen I, i punkten r. Kraften på en sluten krets med strömmen I p.g.a. av en sluten krets med strömmen I blir nu Observera: F = µ dr (dr (r r )) 4π II (6.43) r r 3 i bestämmer B i en punkt på y-axeln. B(r) = µ dx x ( x x + yŷ) 4π I (6.46) (x + y ) 3/ B(r) = µ 4π I d ( J(r ) ( r r r r 3) + (r ) r ) r r ( 3 J(r )) = µ 4π I d J(r ) ( r r r r 3) Eftersom får man: B(r) = µ 4π I tan α = y x dxyẑ (x + y ) 3/ (6.47) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.8 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.

= µ 4π I ẑ = µ 4π I ẑ = µ 4π I ẑ = µ 4π I ẑ Nu kan vi även byta integreringsvariabeln till α: dxy (y / tan α + y ) 3/ dx y (cos α/ sin α + ) 3/ dx y (cos α/ sin α + sin α/ sin α) 3/ dx sin 3 α y (6.48) så får vi π ρ = dθ cos θ = = a cos θ x + a sin θŷ π a (6.5) dθ sin θ (6.53) så vi får dx = y d tan α tan α dα = y tan α cos α dα = y sin dα (6.49) α B(r) = µ 4π I ẑ π dα sin α y = µ I πy ẑ (6.5) Uppenbarligen har vi symmetri kring x-axeln, eftersom planet yz-kan roteras utan att flödestätheten Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6. B(r) = µ aẑ 4π I a (a + z ) 3/ = µ π dθ I a (a + z ) 3/ẑ (6.54) Exempel 3: Flödestätheten på en solenoids symmetriaxel. En solenoid består av N st cirklulära ledningsvarv så att de bildar en cylindrisk helhet med radien a och längden. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.3 ändrar. Från detta exempel har vi nu högerhandsregeln för strömmens och flödestäthetens riktningar! Exempel : Flödestätheten från en cirkulär strömslinga. i bestämmer B i en punkt på z-axeln. B(r) = µ π dθa θ ( a ρ + zẑ) 4π I (a + z ) 3/ = µ 4π I a π dθ(aẑ + z ρ) (a + z ) 3/ (6.5) I en kontinuum-approximation kan vi bestämma flödestätheten på symmetriaxeln som en integral av bidraget från cirkulära strömslingor. Med hjälp av föregående exempel får vi nu att i skrev alltså dr = adθ θ, vilket följer från radianens definition. Eftersom Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6. B(z ) = µ a Strömmen genom en differentiell slinga är di (a + (z z ) ) 3/ẑ (6.55) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.4

di = N dzi (6.56) där N/ är slingornas täthet och Ndz/ deras antal på sträckan dz. arje slinga bär strömmen I. α a z (6.6) α a z (6.63) i får så att B z (z ) = µ = µ NI a NI a dz (a + (z z ) ) 3/ dz a 3 ( + (z z ) /a ) 3/ (6.57) B z (z ) µ [ ] NI a a 4z 4( z ) (6.64) För att göra denna integral gör vi variabelbytet cot α = (z z )/a som ger för dz = ad cot α = ad cos α sin α = α + cos α asin sin = a α sin α Integreringsgränserna blir nu α och π α (se bilden) så man får (6.58) B z (z ) = µ NI a π α a α sin α ( + cot α) 3/ Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.5 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.7 = µ = µ = µ = µ NI NI NI NI π α α π α α π α α π α α sin α sin α sin α sin α = µ NI cos α + cos α ( + cos α sin α )3/ ( sin α+cos α sin ) 3/ α ( sin α )3/ (6.59) 6.5. mpères kretslag ntag att strömmarna är stationära, d.v.s. J =. Rotorn av flödestätheten är B(r) = µ 4π = µ 4π = µ J(r) µ 4π ( d [J(r ) r r r r 3 ) J(r ) r r d [ J(r )4πδ(r r ) + J(r ) r r r r 3 ] r r 3 [ d J(r ) r ] r r r 3 ] (6.65) Om a och z inte ligger nära solenoidens ändpunkter gäller eftersom F (r r ) = F (r r ). Det gäller att tan α = a z (6.6) tan α = a z (6.6) så att (ff) = ( f) F + f F = F ( f) + f F (6.66) och vi kan approximera Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.6 F ( f) = (ff) f F (6.67) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.8

nvänd detta: För a < r < b: d J = I, och vi får d J(r ) r r = r r 3 3 i= d J(r ) x i x i r r 3 3 i= d x i x i r r 3 J(r ) = (6.68) B = I π r (6.74) eftersom ytan kan väljas i oändligheten där strömmarna har dött bort, och J = för stationära strömmar. i har nu härlett mpères lag i differentialform: B(r) = µ J(r) (om J = ) (6.69) Ytintegralen av detta är d ( B) = dr B (6.7) enligt Stokes teorem, och Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.9 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.3 enligt ekvationen ovan. i har nu härlett mpères kretslag d ( B) = dr B = µ d (µ J) (6.7) d J (om J = ) (6.7) Denna säger alltså då vi integrerar B runt en sluten kurva så får vi µ gånger den totala strömmen genom den region som denna kurva innesluter. mpères lag möjliggör en snabb bestämning av flödestätheten för enkla geometrier! Exempel : Magnetfältet runt en lång rak koaxialkabel, där den innersta ledaren har radien a och den yttre ledaren är en cylindriskt skal med radien b. Integrera runt en cirkel: dr B = πrb (6.73) eftersom dr är i den tangentiella riktningen och det är också B, enligt högerhandsregeln. För r < a och r > b: d J = och alltså B =. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.3 [RM, Jackson] 6.6. Magnetisk vektorpotential i såg tidigare att B = alltid. Detta medför att B kan skrivas som där kallas magnetisk vektorpotential. Dess enhet är N/. B = (6.75) Notera att B = gäller även om vi adderar gradienten av en godtycklig skalärfunktion Ψ till : Detta kallas för en mått-transformation. Eftersom B = µ J får vi nu att + Ψ (6.76) µ J = ( ) = ( ) (6.77) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.3

Genom att välja Ψ så att =, d.v.s. genom att välja oulomb-måttet, så får vi d(r (r r )) = r (r dr ) + dr (r r ) (6.84) = µ J (6.78) Detta påminner ju om Poissons ekvation, så kopiering och anpassning av dess lösning ger oss förutsatt att Ψ är en konstant. (r) = µ d J(r ) 4π r r (6.79) ektorpotentialen förenklar i själva verket inte våra räkningar för att bestämma B. Den är dock till en viss nytta i problem relaterade till strålning, och i vissa approximativa behandlingar. Summering av dessa ger i får Men vi hade ju tidigare att så vi får nu dr (r r ) = (r dr ) r + d(r (r r )) (6.85) (r) µ I ( ) (r dr ) r (6.86) 4π r 3 m = I r dr (6.87) Flödestätheten är (r) µ 4π m r r 3 (6.88) B(r) = (r) =... = µ [ m ] 3(m r)r + 4π r3 r 5 (6.89) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.33 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.35 ektorpotentialen för en sluten krets är 6.7. Flödestätheten från en avlägsen krets (r) = µ d J(r ) 4π r r = µ I 4π där r är punkten där potentialen sökes och r löper över kretsen. Då kretsen är avlägsen kan nämnaren approximeras som dr r r (6.8) Detta uttryckt är analogt med det vi fick för en elektrisk dipols fält. v denna anledning kallas detta flödestätheten från en magnetisk dipol. Denna ekvation kan skrivas i den alternativa formen ( ) m r B(r) = µ 4πr 3 (6.9) r r r [ + r ] r r (6.8) till första ordningen i r /r. Det här betyder att kretsen måste vara mycket närmare origo än den punkt där vi vill bestämma B. i får: Notera: (r) µ I ( 4π r dr + r 3 dr r r ) = µ I 4π r 3 dr r r (6.8) (r dr ) r = r (r dr ) + dr (r r) (6.83) Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.34 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.36

6.8. Magnetisk skalärpotential mpères lag säger att B = i de regioner där strömmen är noll, d.v.s. B är ett konservativt fält i dessa regioner. Detta betyder att B har en skalärpotential där. Man definierar den magnetiska skalärpotentialen ϕ M enligt ϕ M (P ) = dm v = I d v (6.96) 4π v 3 4π v 3 i tog i bruk en ny symbol v för vektorn som går från origo till observationspunkten P där vi vill veta skalärpotentialen. Eftersom r v kan v approximeras som vektorn från kretsen till P. Om vi istället vill dra vektorn från P till kretsen, så måste vi alltså byta v mot v r och v mot r: Divergensen: B(r) = µ ϕ M (r) (där J = ) (6.9) B = (6.9) i får då: ϕ M (P ) = I d r I 4π r 3 4π Ω (6.97) där Ω är den rymdvinkel som ytan begränsad av kurvan upptar, sett från punkten P. från Biot-Savart-lagen. Detta betyder att och alltså B = µ ϕ M = (6.93) ϕ M = (6.94) så att ϕ M kan erhållas med de tekniker vi lärt oss för att lösa aplace-ekvationen. Skalärpotentialens enhet är. Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.37 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.39 Jämförelse med föregående kapitel ger för den magnetiska dipolen ϕ M (r) = m r 4πr 3 (6.95) En sluten slinga som bär strömmen I kan indelas i många små strömbärande slingor: 6.9. Magnetiskt flöde Man definierar det magnetiska flödet genom en yta som Φ M d B (6.98) SI-enheten är [Φ M ] = Tm = m N/(m) = Nm/ = Wb, som kallas weber. Flödet genom en sluten yta är Nettoströmmen i de ben som är gemensamma för angränsande slingor är noll. Det betyder att ström löper enbart i den yttre slingan, så som det bör vara i denna situation. För de mindre slingorna gäller dm = Id. Φ M = d B = d B = d = (6.99) enligt divergensteoremet och lagen om magnetiska monopolers icke-existens. Detta betyder att magnetiska fältlinjer som går in en volym också måste komma ut därifrån. i får Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.38 Elektrodynamik, vt 3, Kai Nordlund 6.4