formler Centralt innehåll

Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Strategier för problemlösning. I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volm, skala och likformighet samt trigonometri. 6

38876744 894789475 7547 534374 55 777 48398678567 894789475849 Inledande aktivitet TRIANGLAR OCH CIRKLAR Arbeta tillsammans två och två. Bestäm, var och en, värdena med hjälp av figurerna. Jämför era svar och diskutera eventuella skillnader. Kontrollera sedan svaren till uppgift och med räknare. 30 60 / 3 v Q (b, a) P (a, b) v 3 / a) sin 30 c) tan 30 sin 30 b) cos 60 d) cos 30 P (0,39; 0,9) 67 (, 0) a) sin 67 c) sin (80 67 ) b) cos 67 d) cos (80 67 ) a) cos v b) sin (90 v ) c) sin (v + 360 ) d) cos (v 360 ) 7

. Trigonometri och trianglar Enhetscirkeln och trianglar I kurs 3c arbetade vi i trigonometriavsnittet med enhetscirkeln och olika triangelsatser. Vi repeterar här några viktiga begrepp och samband innan vi går vidare. rätvinkliga trianglar sin A a b cos A c b tan A a c motstående katet hpotenusan närliggande katet hpotenusan motstående katet närliggande katet A b c C a B vinkel A sin (a/b) cos (c/b) tan (a/c) enhetscirkeln Med enhetscirkeln kan vi utöka de trigonometriska kvoterna till att gälla även trubbiga vinklar. P (cos v, sin v) (0, ) v (, 0) O (, 0) sin v -koordinaten för P cos v -koordinaten för P tan v sin v cos v då cos v 0 I figuren till höger ser vi att sin v b och sin (80 v) b cos v a och cos (80 v) a Q ( a, b) P (a, b) Smmetrin i enhetscirkeln ger oss två viktiga samband för vinklar sin v sin (80 v) cos v cos (80 v) v 80 v v (, 0) 8. Trigonometri och trianglar

C satser för godtckliga trianglar Areasatsen: Sinussatsen: Cosinussatsen: arean a b sin C sin A a sin B b sin C c a b + c bc cos A A b c a B 0 P v (, 0) Punkten P har koordinaterna (-0,57; 0,8). Bestäm a) sin v b) cos v c) tan v d) v a) sin v är punktens -koordinat, 0,8 sin v 0,8 b) cos v är punktens -koordinat, 0,57 cos v 0,57 c) tan v sin v cos v 0,8 0,57,44 d) v cos ( 0,57) 5 eller sin (0,8) 55 och v > 90 ger v 80 55 5 sin v sin (80 v) Svar: a) sin v 0,8 c) tan v,44 b) cos v 0,57 d) v 5 0 En triangel har två sidor som är 5 cm och 0 cm med mellanliggande vinkel v. Triangelns area är 0 cm. Beräkna vinkeln v. Areasatsen ger: 5 0 sin v 0 sin v 0,8 v sin (0,8) 53 v 80 53 7 Svar: Vinkeln v är 53 eller 7.. Trigonometri och trianglar 9

03 Bestäm sin v, cos v och tan v om punkten P har koordinaterna a) (0,559; 0,89) b) (0,34; 0,94) v P (, 0) 04 För vilka vinklar i intervallet 0 80 är a) sin 0,56 c) sin 0,3 b) cos 0, d) cos 0,89? 05 För att beräkna höjden på Hanö fr mätte en grupp elever upp sträckan 9,0 m på marken enligt figur. Frens diameter mättes till 5,0 m och vinkeln v uppskattades till 37 med hjälp av en stor gradskiva och en käpp. Beräkna frens höjd h. 07 Sant eller falskt? Motivera. När vi bestämmer en vinkel i en triangel med sinussatsen så kan vi få två fall medan cosinussatsen alltid ger ett fall för vinkeln. 08 Beräkna triangelns a) höjd h b) area c) omkrets. (cm) A 4 56,4 09 Bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0 v 80 som är lösningar till ekvationen a) sin v sin 56 b) cos v cos 40 c) sin v sin 58 Motivera dina svar. 0 8 h B C Q P (a, b) v (, 0) 06 C 6,0 A 0,6 C 77,6 a) Vilka koordinater har Q, om P (a, b)? b) Vilka samband kan du visa med hjälp av koordinaterna för P och Q? B 8,5 7,0 D Visa att sambandet (sin v) + (cos v) gäller för alla vinklar i intervallet 0 v 80. 4,0 A (cm) a) Gör en enkel uppskattning av frhörningens area. b) Beräkna frhörningens area. c) Beräkna diagonalen BD. 0. Trigonometri och trianglar

Aktivitet Enhetscirkeln och smmetrier Undersök Q 0,5 P v 30 0,5 390 30 0,5 R 0,5 S Materiel: Gradskiva, linjal, räknare Lös uppgifterna med hjälp av enhetscirkeln ovan. I enhetscirkeln kan vi införa godtckliga vinklar. Om v > 360 så är vridningen av radien större än ett varv och om v < 0 så har radien vridits i negativ riktning. Bestäm värdet med din räknare och motivera resultatet med enhetscirkeln. a) sin 30 c) cos 30 e) sin 750 b) sin 390 d) cos 30 f) sin 330 a) Vilket är det största respektive minsta värdet sin v kan anta? Vilka vinklar ger dessa värden? b) Vilket är det största respektive minsta värdet cos v kan anta? Vilka vinklar ger dessa värden? 3 Med hjälp av -koordinaterna för punkterna P och Q (eller R och S) kan vi motivera sambandet sin v sin (80 v). Med hjälp av vilka punkter och koordinater kan vi motivera sambandet a) cos v cos ( v) b) sin v sin (80 + v)? 4 Studera punkterna P, Q, R och S och deras smmetrier. Hitta och beskriv så många trigonometriska samband som möjligt med hjälp av punkternas koordinater.. Trigonometri och trianglar

. Trigonometriska formler Enhetscirkeln och formler Sambanden sin v, cos v och tan v är eempel på trigonometriska funktioner. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi införa trigonometriska funktioner för godtckliga vinklar. P (cos v, sin v ) v O (, 0) O v (, 0) O v 3 (, 0) P (cos v, sin v ) P (cos v 3, sin v 3 ) Vinkel i tredje kvadranten Vinkel större än ett varv Negativ vinkel 80 < v < 70 v > 360 v < 0 Definition Om radien OP vridits en vinkel v i positiv eller negativ riktning gäller sin v - koordinaten för P cos v - koordinaten för P tan v sin v cos v där cos v 0 Om vi vrider radien OP ett helt varv i positiv eller negativ riktning så är vi tillbaka i samma läge, vilket t e ger att sin 40 sin (40 + 360 ) sin (40 + 360 )... cos 50 cos (50 360 ) cos (50 360 )... period Sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska med perioden 360. Period sin v, cos v sin (v + n 360 ) sin v n heltal (0, ±, ±, ±3,...) cos (v + n 360 ) cos v n heltal (0, ±, ±, ±3,...). Trigonometriska formler

Smmetrin i enhetscirkeln ger oss några viktiga samband. P och R ger P och Q ger sin (80 v) sin v cos (80 v) cos v sin (90 v) cos v cos (90 v) sin v Q (b, a) R ( a, b) P (a, b) v v v Q (, ) P (, ) I figuren intill utgår vi ifrån punkten P (, ). Smmetri ger koordinaterna för punkterna Q, R och S. v v (, 0) R (, ) S (, ) P och S ger sin ( v) sin v -koordinaterna har motsatta tecken cos ( v) cos v -koordinaterna är lika P och R ger sin (v + 80 ) sin v cos (v + 80 ) cos v Både - och -koordinaterna har motsatta tecken Några formler sin ( v ) sin v cos ( v ) cos v sin (v + 80 ) sin v cos (v + 80 ) cos v Av formlerna får vi följande samband: sin (v + 80 ) tan (v + 80 ) cos (v + 80 ) sin v cos v tan v Detta betder att tangensfunktionen har perioden 80. Om cos v 0, dvs då v 90 + n 80, är tan v inte definierad. Tangensfunktionen är periodisk med perioden 80. Period tan v tan (v + n 80 ) tan v n heltal (0, ±, ±, ±3,... ). Trigonometriska formler 3

0 Anta att du vet att sin 0 0,34, cos 0 0,94 och tan 0 0,36. Bestäm utan räknare värdet av a) cos 740 b) tan ( 60 ) c) sin ( 380 ) a) Vi drar bort perioder. cos 740 cos (740 360 ) cos 0 0,94 b) Vi lägger till period. tan ( 60 ) tan ( 60 + 80 ) tan 0 0,36 c) sin ( 380 ) sin ( 380 + 360 ) sin ( 0 ) sin 0 0,34 sin ( v ) sin v 0 Använd enhetscirkeln för att bestämma a) sin 90 c) sin 70 b) cos 80 d) cos ( 70 ) 03 Förklara varför sin 50 sin 40. 04 Vad menas med att tangensfunktionens period är 80? 05 Bestäm utan räknare värdet av a) sin 750 om sin 30 0,5 b) cos ( 30 ) om cos 58 0,53 c) tan 400 om tan 0 0,84. 06 (0,9; 0,4) 07 Undersök påståendet med hjälp av räknare. Om det är sant, motivera varför. a) sin 30 är lika med sin 0 b) cos 70 är lika med cos 90 c) tan 70 är ej definierat sin 550 d) är lika med tan 0 cos 550 3 08 sin 60 och cos 60 Beräkna eakt värdet av a) sin 60 + sin 60 b) sin ( 60 ) cos 30 c) sin 60 sin 60 + cos 60 cos 60 d) tan 600 09 I figuren har P koordinaterna (a, b). Q P (a, b) O 5 (, 0) O (, 0) S Bestäm med hjälp av figuren a) sin 5 e) sin 55 b) sin ( 5 ) f) cos 05 c) cos 5 g) sin (90 5 ) d) cos ( 5 ) h) cos 65 a) Bestäm koordinaterna för Q och S. b) Visa att tan ( v) tan (80 v). 0 Visa sambanden med hjälp av enhetscirkeln. a) sin v cos (v + 70 ) b) cos v sin (v + 70 ) 4. Trigonometriska formler

Trigonometriska identiteter En cirkel med radie r och medelpunkt i (a, b) har ekvationen cirkelns ekvation r ( a) + ( b) P (cos v, sin v ) v O (0, 0) Enhetscirkeln, som har medelpunkten i origo, har ekvationen (OP) (cos v 0) + (sin v 0) Eftersom OP är får vi att (cos v) + (sin v) Istället för (cos v) och (sin v) brukar man skriva cos v och sin v som uttalas cosinuskvadrat v och sinuskvadrat v. Vi får en formel som gäller för alla vinklar v: Trigonometriska ettan sin v + cos v Sambandet, som brukar kallas den trigonometriska ettan, kan också skrivas sin v cos v cos v sin v identitet Den trigonometriska ettan är ett eempel på en identitet, dvs det är en ekvation eller formel som gäller för alla värden på variabeln. Trigonometriska ettan kan användas för att bestämma cos v om sin v är givet bestämma sin v om cos v är givet visa na identiteter (formler). Trigonometriska formler 5

Figuren visar en vinkel i tredje kvadranten. Bestäm värdet av sin v om cos v 4 5 Trigonometriska ettan på formen sin v cos v ger sin v 4 49 5 65 v (, 0) sin v ± 49 65 ± 49 65 ± 7 5 I tredje kvadranten är sin v < 0. Vi väljer därför det negativa värdet. Svar: sin v 7 5 * för denna tp av visa att -uppgifter används ofta avslutningsteten V.S.V. (vilket skulle visas) för att visa att uppgiften är klar. Vi har tidigare infört förkortningen V.S.B. (vilket skulle bevisas) som också kan användas eftersom vi använder bevistekniker. 3 Visa att cos v + tan v Bevisteknik: Förenkla det ena ledet så att det blir lika med det andra ledet. Börja med det led som ser mest komplicerat ut. Ersätt tan v med sin v Trigonometriska ettan cos v Högra ledet (HL) + tan v + sin v cos v cos v + sin v cos v cos v vänstra ledet (VL) V.S.V. (vilket skulle visas)* Visa att (sin cos ) (sin + cos ) Här kan det vara lämpligt att förenkla VL och HL var för sig tills vi ser att de är lika. VL (sin cos ) (sin sin cos + cos ) ( sin cos ) sin cos Trigonometriska ettan HL (sin + cos ) sin + sin cos + cos + sin cos sin cos VL HL V.S.V. 6. Trigonometriska formler

4 Beräkna de möjliga värdena för sin v om cos v 4/5. 5 Vi vet att sin v 6/0 och att 0 < v < 90. Bestäm det eakta värdet av cos v med hjälp av a) Pthagoras sats och figuren 0 6 v b) trigonometriska ettan. 6 Beräkna det eakta värdet av cos v om 5 a) sin v 3 och v ligger i första kvadranten b) sin v 9 4 och v ligger i fjärde kvadranten. 7 Visa att sin sin 8 Visa att sin cos cos v (tan v + ) 9 Kan både sin v och cos v ha positiva värden om v är en trubbig vinkel? 0 Beräkna det eakta värdet av sin v och tan v om cos v /3 och 90 < v < 80. Förenkla uttrcken a) sin cos b) sin + cos sin c) cos tan sin d) + cos a) Beräkna för 0 och 30 värdet på uttrcken sin + tan och cos. b) Kan sin + tan förenklas till cos? Motivera. 3 Har de räknat rätt? a) M fick: sin + cos sin och rätt svar angavs till sin b) Steve fick: cos (sin + tan ) cos + och rätt svar angavs till cos. 4 Skriv om uttrcket så det bara innehåller cos. a) cos sin b) cos + sin tan 5 Visa att a) tan sin v v sin v b) ( sin A)( + tan A). Trigonometriska formler 7

6 Visa att tan + cos +sin sin Vi börjar med VL, som ser mest komplicerat ut: VL tan + sin cos cos + sin + cos cos ( + sin ) sin ( + sin ) cos ( + sin ) ( + sin ) ( sin ) + sin HL V.S.V. sin Trigonometriska ettan Konjugatregeln Förkorta med ( + sin ) Tips! Att lösa visa att -uppgifter kan kräva olika strategier beroende på hur uppgiften ser ut, och övning ger färdighet. Ofta är det enklast att först förenkla det led som ser krångligast ut. Ibland är det enklast att skriva om båda leden och sedan visa det na sambandet. Som i all problemlösning är det viktigt att kunna stanna upp och utvärdera om man är på rätt väg. Visa att följande samband gäller. cos 7 sin + sin 8 (3 + cos )(3 cos ) 8 + sin + tan 9 sin + cos cos 3 33 34 sin cos cos sin tan cos tan tan cos + cos sin tan sin + cos 30 cos sin cos + sin tan 35 sin v + + sin v cos v 3 sin cos cos + sin 36 tan sin sin 3 cos + cos 8. Trigonometriska formler

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus När vi i nästa kapitel ska härleda derivator för trigonometriska funktioner behöver vi formler för sin (u + v) och cos (u + v). Eempel Kan sin (u + v) vara lika med sin u + sin v? Sätter vi u 60 och v 30 ser vi direkt att vi inte har likhet: sin (u + v) sin (60 + 30 ) sin 90 sin u + sin v sin 60 + sin 30 3 +,37 Vi behöver formler för sin (u ± v) och cos (u ± v). Formlerna kallas additions- och subtraktionsformlerna och vi ger ett bevis för dem på nästa sida. Additions- och subtraktionsformlerna sin (u + v ) sin u cos v + cos u sin v sin (u v ) sin u cos v cos u sin v cos (u + v ) cos u cos v sin u sin v cos (u v ) cos u cos v + sin u sin v Med additions- och subtraktionsformlerna kan vi bestämma eakta sinus- och cosinusvärden härleda na samband. Vi kan då använda formlerna tillsammans med följande eakta värden för sinus och cosinus. v sin v cos v 0 0 30 45 60 3 3 90 0. Trigonometriska formler 9

Härledning av formeln för cos (u v ) I figuren låter vi radien OP i enhetscirkeln vrida sig vinkeln v i positiv riktning och radien OQ vinkeln u, också i positiv riktning. Q (cos u, sin u) P (cos v, sin v) u v u v O (, 0) Vinkeln mellan OP och OQ blir då u v. Vi kan uttrcka ( PQ ) på två olika sätt. Avståndsformeln: d ( ) + ( ) ger (PQ) (cos u cos v) + (sin u sin v) Cosinussatsen: a b + c bc cos A ger (PQ) + cos (u v) Uttrcken för ( PQ ) sätts lika. (cos u cos v) + (sin u sin v) + cos (u v) 3 I vänstra ledet utvecklar vi kvadraterna. cos u cos u cos v + cos v + sin u sin u sin v + sin v cos (u v) 4 Vi utnttjar trigonometriska ettan. cos u cos v + sin u sin v cos (u v) cos (u v) cos u cos v + sin u sin v 5 Formeln kan skrivas cos (u v) cos u cos v + sin u sin v De övriga formlerna för cos (u + v) och sin (u ± v) kan härledas med hjälp av subtraktionsformeln för cosinus och sambanden nedan som vi visat tidigare. sin ( v) sin v sin v cos (90 v) cos ( v) cos v cos v sin (90 v) Vi lämnar härledningarna för de övriga formlerna som övningar. 0. Trigonometriska formler

37 Visa sambandet cos ( + 70 ) sin med additionsformeln för cosinus. cos ( u + v) cos u cos v sin u sin v cos ( + 70 ) cos cos 70 sin sin 70 Enhetscirkeln ger cos 70 0 och sin 70 cos ( + 70 ) cos 0 sin ( ) sin 70 P (0, ) (, 0) 38 Förenkla sin ( + 45 ) sin ( 45 ) Svara eakt. sin (u + v) sin u cos v + cos u sin v och sin (u v) sin u cos v cos u sin v sin ( + 45 ) sin ( 45 ) sin cos 45 + cos sin 45 (sin cos 45 cos sin 45 ) cos sin 45 cos cos Tabell ger sin 45 (eller ) Allmänt om formler Inom trigonometrin finns en mängd olika samband, satser och formler som du behöver lära dig att använda och hitta. I sammanfattningen sist i kapitlet (s. 43) finns de samlade. Några av de vanligaste formlerna kan vara bra att kunna utantill. Formlerna är alltid lättare att komma ihåg om man förstår varifrån de kommer och hur de hänger ihop. Läs därför gärna igenom motiveringar och härledningar en etra gång. Använd också formelbladet till det nationella provet när du övar så du lär dig hitta i det.

39 Vad ska det stå i stället för A och B? a) sin ( + 5 ) A cos 5 + B cos b) cos (35 + ) cos 35 A sin B 45 Visa med hjälp av subtraktionssatserna a) cos (70 v) sin v b) sin (360 ) sin 40 46 Använd formeln för cos (u v) för att visa cos ( v) cos v. 47 Bestäm det eakta värdet av cos 35 med hjälp av omskrivningen cos 35 cos (360 45 ). a) Motivera med hjälp av enhetscirkeln att sin 80 0. b) Visa med additionsformeln för sinus att sin (90 + 90 ) 0. 4 Förenkla och svara med två decimaler. a) sin cos + sin cos b) a + cos sin 4 (a cos sin 4 ) 4 Förenkla med hjälp av additionsoch subtraktionsformlerna. Svara med två decimaler. a) sin ( + 50 ) sin ( 50 ) b) sin (43 + ) + sin (43 ) c) cos ( + 79 ) + cos ( 79 ) 43 Förenkla a) sin (u + v) + sin (u v) b) sin (u + v) sin (u v) c) cos (u + v) + cos (u v) d) cos (u + v) cos (u v) 44 Visa att cos (60 + ) + cos (60 ) cos 48 Bestäm det eakta värdet av a) sin 35 b) sin 75 49 Beräkna cos ( ) med hjälp av subtraktionsformeln. Förklara ditt resultat. 50 Bestäm det eakta värdet av sin (A + B) om sin A 3 5, 90 < A < 80 och sin B 5, 80 < B < 70 3 5 Härled formeln för cos (u + v) genom att bta v mot v i formeln för cos (u v). 5 Visa att sin( + h) sin ( ) h kan skrivas sin cos h h + cos sin h h 53 a) Härled formeln för sin (u + v) genom att i cos (u v) ersätta u med 90 u. b) Hur får du sedan formeln för sin (u v)?. Trigonometriska formler

Aktivitet Undersök Eakta trigonometriska värden Halv kvadrat Halv liksidig triangel 45 30 3 45 halv kvadrat Enhetscirkeln 0,5 0,5 0,5 0,5 60 Formler halv liksidig triangel cos (80 v ) cos v sin (80 v ) sin v sin (v + 80 ) sin v cos (v + 80 ) cos v sin ( v ) sin v cos v sin (90 v ) cos ( v ) cos v sin v cos (90 v ) sin (u + v ) sin (u v ) cos (u + v ) cos (u v ) sin u cos v + cos u sin v sin u cos v cos u sin v cos u cos v sin u sin v cos u cos v + sin u sin v Arbeta i par eller grupp Hjälpmedel: Trianglarna, enhetscirkeln och formlerna ovan. Gör en tabell, lik den nedan, med v, sin v, cos v och tan v. Låt värdet på vinkeln öka med 5 i taget från 0 till 360. Använd figurerna, enhetscirkeln och dess smmetrier samt formlerna och försök flla i hela tabellen med eakta värden. 3 Jämför med en annan grupp. Har ni samma värden? Diskutera och motivera. vinkel, v 0 5 30 45 35 330 345 360 sin v cos v tan v. Trigonometriska formler 3

Formler för dubbla vinkeln Om vi i additionsformlerna låter de två vinklarna vara lika stora, får vi några na formler. sin (u + u) sin u cos u + cos u sin u cos (u + u) cos u cos u sin u sin u Efter förenkling får vi Formler för dubbla vinkeln sin u sin u cos u cos u cos u sin u Trigonometriska ettan sin u + cos u kan skrivas cos u sin u och sin u cos u Använder vi detta kan vi skriva formeln för cos u på två andra sätt: cos u cos u ( cos u) cos u cos u sin u sin u sin u 54 Bestäm det eakta värdet av sin v om cos v 3 5 och v ligger i andra kvadranten. sin v sin v cos v Vi vet cos v och kan då beräkna sin v med trigonometriska ettan. sin v cos v 3 6 5 5 sin v ± 4 5 Vi väljer det positiva värdet eftersom sin v > 0 i andra kvadranten. sin v sin v cos v 4 5 3 5 4 5 4. Trigonometriska formler

55 För en vinkel gäller sin 0,6 och cos 0,8 Bestäm följande värden utan att först bestämma. a) sin c) tan b) cos d) tan 56 a) Bestäm med trigonometriska ettan möjliga värden på sin v om cos v 0,5. b) Bestäm möjliga värden på sin v om cos v 0,5. 57 Vi vet att sin v och v ligger 3 i fjärde kvadranten. a) Bestäm cos v. b) Bestäm sin v. 58 Bestäm cos om a) cos 0,5 b) sin 3 sin 6 Visa att tan + cos genom att använda a) formler b) figuren nedan. A 63 Visa att sin sin O cos cos B (l.e.) cos 64 Uttrck sin 3 i sin, dvs skriv om sin 3 så det bara innehåller sin. 65 Visa att sin 4 + sin 8 sin cos 3 59 Fördubblas värdet på sinus om vinkeln fördubblas? Motivera. 66 Visa att a) cos tan + tan 60 Punkten P på enhetscirkeln har -koordinaten 0 9 P Bestäm eakt a) cos v b) sin v v b) sin c) tan tan + tan tan tan 6 Beskriv sambandet mellan additionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln.. Trigonometriska formler 5

.3 Bevis och bevismetoder Direkta bevis bevis logik Ett bevis är ett logiskt resonemang som sftar till att visa att ett påstående är sant. I det här avsnittet ska vi titta närmare på några olika bevismetoder. Matematisk argumentation bgger på logik. Logik, som är ett annat ord för slutledningskonst, är en gren både inom filosofi och matematik. Du har tidigare mött de två logiska smbolerna och. De kan användas mellan två påståenden P och Q. implikation P Q P medför Q (men inte nödvändigtvis tvärtom) t e 3 9 ( 9 ger även 3) ekvivalens P Q P är ekvivalent med Q ( P medför Q och Q medför P ) t e 3 + 7 0 direkt bevis Den vanligaste formen av bevis kallas direkt bevis och utgår från ett antagande P och kommer fram till en slutsats Q via ett logiskt resonemang i ett eller flera steg. Eempel Vi ska bevisa att kvadraten på ett jämnt tal är delbar med 4. Vårt antagande är påstående P : är ett jämnt tal Vår slutsats är påstående Q: är delbart med 4 Vi ska visa att vår slutsats är sann, d v s att P Q Bevis Ett jämnt tal kan skrivas n där n är ett heltal kan då skrivas (n) 4n vilket är delbart med 4 är ett jämnt tal är delbart med 4 V.S.B. allmänt om bevis Inom matematiken har bevis en viktig roll. En sats som är bevisad gäller så länge inte förutsättningarna ändras. Till eempel så vet vi att alla möjliga trianglar i planet har vinkelsumman 80, eftersom den satsen är bevisad. När en sats är bevisad kan den användas för att bevisa na satser och på så vis föra matematiken framåt. Det finns fortfarande många gamla och na påståenden som ännu inte är bevisade och matematikernas uppgift är bl a att finna bevis för dessa. 6.3 Bevis och bevismetoder

30 Ska det vara en implikationspil ( ) eller en ekvivalenspil ( ) i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar. a) 4 6 b) +3 9 3 a) 4 6 4 medför att 6 men omvändningen gäller inte eftersom 6 medför att 4 och 4 b) + 3 9 3 + 3 9 medför att 3 och 3 medför att + 3 9 30 Sats: Ett jämnt tal och ett udda tal har en produkt som är ett jämnt tal. a) Undersök satsen med några eempel. b) Bevisa satsen med ett direkt bevis. c) Gäller satsens omvändning? a) T e 3 6 eller 6 5 90 b) Ett jämnt tal kan skrivas n där n är ett heltal Ett udda tal kan skrivas k + där k är ett heltal Produkten kan då skrivas n (k + ) n (k + ) vilket är ett jämnt tal eftersom n (k + ) är ett heltal. V.S.B. c) Satsens omvändning blir: Om produkten av två heltal är ett jämnt tal så är faktorerna ett jämnt tal och ett udda tal. För att visa att satsens omvändning inte gäller räcker det med att hitta ett moteempel, t e 8 4. Omvändningen gäller inte, vi har inte en ekvivalens..3 Bevis och bevismetoder 7

303 Ska det vara en implikationspil ( ) eller en ekvivalenspil ( ) i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar. a) > 0 > 0 b) n är udda n k +, k heltal c) + d) lg 00 304 P: 3 + 7 + Q: 3 a) Bevisa att P Q b) Bevisa att Q P c) Gäller ekvivalensen P Q? 305 Bevisa att a) summan av ett udda tal och ett jämnt tal är udda b) produkten av två udda heltal är udda. 306 Avgör om påståendet är sant och bevisa ditt svar. Tre på varandra följande heltal har en summa som är delbar med a) 3 b) 6. 307 Sant eller falskt? Om P Q och Q R så innebär det att P R. 308 Visa att sin (A + B) C A B 309 Pthagoras sats lder: Om en triangel är rätvinklig så är summan av kateternas kvadrater lika med hpotenusans kvadrat. Låt A vara den räta vinkeln och bevisa med hjälp av cosinussatsen a b + c bc cos A a) Pthagoras sats b) omvändningen till Pthagoras sats. 30 Triangeltalen är, 3, 6, 0, 5, 3 6 0 Kvadrattalen är, 4, 9, 6, 5, 4 9 6 a) Skriv ett uttrck för det n:te triangeltalet och ett för det n:te kvadrattalet. b) Undersök summan av två på varandra följande triangeltal. Formulera en slutsats. c) Bevisa din slutsats. 3 Bevisa att två på varandra följande jämna tal har en produkt som är delbar med 8. 3 Nedan följer ett bevis för att 4 3. Kan du hitta felet? Anta att a + b c. Detta ger: 4a 3a + 4b 3b 4c 3c 4a + 4b 4c 3a + 3b 3c 4(a + b c) 3(a + b c) 4 3 33 Bevisa att n 3 n är delbart med 3 för alla positiva heltal 0. 8.3 Bevis och bevismetoder

Indirekta bevis Många gånger kan ett direkt bevis vara svårt att genomföra. Därför kan vi också behöva andra bevismetoder. indirekt bevis I ett indirekt bevis utgår man från att det som ska bevisas är falskt och visar med hjälp av ett logiskt resonemang att antagandet då också måste vara falskt. I indirekta bevis är det ofta praktiskt att använda motsatsen till ett påstående P vilket betecknas P och utläses icke P. Att P är falskt motsvaras då av att P är sant. Man kan med grundläggande logiska regler visa att P Q Q P Eempel Anta att följande är sant: P: Det regnar Q: Jag är inne. Regeln ovan ger oss då att detta motsvarar: Q: Jag är ute P: Det regnar inte. Istället för att direkt bevisa att P medför Q kan vi visa att Q medför P. 34 Bevisa med hjälp av ett indirekt bevis satsen: Om n är ett jämnt tal, så är n ett jämnt tal. Antagandet är P: n är jämnt. Slutsatsen är Q: n är jämnt. Vi bevisar P Q genom att visa att Q P, dvs vi ska visa att Q: n är ett udda tal medför P: n är udda. n udda ger: n k + (k heltal) n (k + ) 4k + 4k + (k + k) + m + vilket är udda då m är ett heltal. m V.S.B..3 Bevis och bevismetoder 9

motsägelsebevis Eempel När man ska bevisa en ekvivalens eller ett påstående används ibland en annan tp av bevis som liknar det indirekta beviset och kallas motsägelsebevis. Man utgår då från att påståendet eller satsen är falsk och visar att detta leder till en motsägelse. Sats: Antalet primtal är oändligt många. Bevisidé: Utgå ifrån att satsen är falsk och visa att det ger en motsägelse. Bevis: Anta att antalet primtal är ändligt många: p, p,, p n Bilda talet N p p... p n +. Dividerar vi N med p ger det p p p 3... p n + p p p 3... p n + p vilket inte är ett heltal! På samma sätt kan vi se att inget av våra primtal är delare till N. Om talet N inte är delbart med något primtal så måste N vara ett primtal. Detta ger en motsägelse mot att p, p,..., p n är alla primtal. Vårt antagande är felaktigt, antalet primtal är oändligt många. V.S.B. 35 a, b och c är tre reella tal så att abc 0. Visa med ett motsägelsebevis att minst ett av talen a, b eller c måste vara negativt. Motsatsen till att minst ett av talen är negativt är att inget av talen är negativt. Om vi antar att alla talen är positiva ger det abc 0 vilket motsäger att abc 0. Vi får motsägelse varför vårt antagande att alla talen är positiva är felaktigt. Minst ett av talen är negativt. V.S.B. Sammanfattning Direkt bevis: Indirekt bevis: Visa direkt att antagandet ger slutsatsen. P Q Visa att om slutsatsen är falsk så är också antagandet falskt. Q P P Q Motsägelsebevis: Antag att påståendet/satsen är falsk och visa att det leder till en motsägelse. 30.3 Bevis och bevismetoder

36 Vad är motsatsen, P, till påståendet a) P: n är jämnt b) P: + 4 c) P: d) P: minst ett barn är en flicka e) P: alla kor kan flga? 37 Antag att P: Det är sommar Q: Vi spelar fotboll. Formulera Q P med ord. 38 P: 0,5 + 6 Q: 8 a) Formulera med matematiska smboler Q P. b) Bevisa indirekt Q P genom att bevisa att Q P. 39 Om produkten av två positiva reella tal är större än 00 medför det att minst en av faktorerna är större än 0. Satsen ovan är skriven på formen P Q. a) Formulera med ord satsen Q P b) Formulera med matematiska smboler Q och P c) Bevisa med ett indirekt bevis att P Q. 30 Bevisa med ett indirekt bevis att om 3n + är udda så är n udda. 3 Bevisa med ett motsägelsebevis att om a) godisbitar fördelas i 7 påsar så är det minst en påse som innehåller 4 godisbitar eller fler. a) ab < 0 så är a eller b negativ. 33 Visa med motsägelsebevis att om är lösning till ekvationen 3 + 3 + 7 + 0 så är < 0. 34 Pthagoras sats lder: Om en triangel är rätvinklig så är summan av kateternas kvadrater lika med hpotenusans kvadrat. Låt A vara den räta vinkeln och använd cosinussatsen a b + c bc cos A för att bevisa Pthagoras sats med ett indirekt bevis. 35 Bevisa att om a a + 7 är ett jämnt tal så är a ett udda tal. 36 är ett irrationellt tal, dvs kan inte skrivas som ett rationellt tal a b. (a, b heltal, b 0) Beviset är ett klassiskt motsägelsebevis. Anta att a b där a är heltal och b förkortat så långt det går. Kvadrering av uttrcket ger: a b, vilket ger b a dvs a och a är delbara med. Sätter vi a k ger det b 4k vilket kan skrivas b k, dvs också b måste vara delbart med. Vi får en motsägelse mot vårt antagande, måste vara irrationellt. a) Förklara varför både a och a är delbart med om b a (a, b heltal). b) Varför får vi en motsägelse? 37 a och b är heltal. Bevisa att a 4b. 3 Beskriv skillnaden mellan ett direkt och ett indirekt bevis..3 Bevis och bevismetoder 3

Historik Från Euklides till Gödel Grekerna införde beviset i matematiken Thales från Miletos (ca 600 f Kr) är en av de första matematikerna i historien som vi vet namnet på. Han inte bara noterade matematiska fakta, som att basvinklarna i en likbent triangel är lika stora, han bevisade det också. Thales metoder utvecklades av Euklides på 300-talet f Kr. Euklides berömda bok, Elementa, sammanfattade sin tids matematiska vetande. Med några självklara grundsatser (aiom) som utgångspunkt, ger Euklides bevis för ett stort antal satser, bl a Pthagoras sats och att antalet primtal är oändligt. Euklides aiom gällande parallella linjer har genom historien varit omdiskuterat och väckt nfikenhet. Genom att bta ut parallellaiomet skapade man på 800-talet na geometriska sstem med andra regler. Ett av dessa visade sig lite oväntat bilda ramen för Einsteins relativitetsteori i början av 900-talet. Logikens gränser Euklides metod, med några få aiom och en handfull logiska regler som alla satser kan härledas från, är tilltalande enkel. Metoden har i årtusenden varit en modell för matematiker inom olika områden. Kan all matematik härledas från en samling aiom? Svaret kom som en chock när den 5-årige österrikiske mate matikern Kurt Gödel 93 visade att svaret är nej. Han visade att varje aiomsstem är ofullständigt, dvs innehåller påståenden vars sanningshalt inte går att avgöra inom sstemet. För det krävs en mänsklig hjärna som kan gå utanför sstemet och välja na utgångspunkter. Den första svenska översättningen av Elementa gavs ut 744. Kurt Gödel (906 978) var en av 900-talets stora matematiker. Om vi ändrar på förutsättningarna så förändras också satserna. Gör följande tankeeperiment: Gå från en punkt på ekvatorn rakt norrut till nordpolen. På nordpolen vrider du dig 90 och går rakt ner till ekvatorn och sedan rakt tillbaka till den punkt du startade. a) Vilken figur beskriver din vandring? b) Vilken vinkelsumma har din figur? 3.3 Bevis och bevismetoder

.4 Trigonometriska ekvationer Grundekvationer Med hjälp av enhetscirkeln har vi tidigare visat att de trigonometriska funktionerna kan ha samma värde för flera olika vinklar. Det måste vi ta hänsn till när vi löser trigonometriska ekvationer. Eempel Vi undersöker ekvationen sin 0,7 I enhetscirkeln finner vi i intervallet 0 < 360 två lösningar, och. Med hjälp av räknare får vi. sin (0,7) 46, Sambandet sin (80 v) sin v ger oss sedan. 80 46, 33,9 Q O P 0,7 (, 0) För båda radierna OP och OQ gäller att de hamnar i samma läge om vi vrider dem ett godtckligt antal hela varv i positiv eller negativ riktning. Har vi inga begränsningar för vinklarnas storlek får ekvationen därför ett obegränsat antal lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen sin 0,7 kan skrivas: 46, + n 360 eller 33,9 + n 360, n är ett heltal. Eempel Vi undersöker ekvationen cos 0,659 Räknaren ger cos (0,659) 48,8 Sambandet cos ( v) cos v ger 48,8 De två lösningarna är markerade i enhetscirkeln intill. Lägger vi till eller drar ifrån ett godtckligt antal hela varv får vi alla lösningar: 48,8 + n 360 eller 48,8 + n 360 Kortare skrivsätt: ± 48,8 + n 360 0,659 48,8 48,8 (, 0).4 Trigonometriska ekvationer 33

Allmänt gäller: Eempel sin k, k sin 0,7 Grundekvation för sinus Låt v vara en lösning. Räknaren ger en lösning v 46,. Då kan samtliga lösningar skrivas Samtliga lösningar är v + n 360 46, + n 360 eller eller 80 v + n 360, n heltal 33,9 + n 360, n heltal Allmänt gäller: Eempel cos k, k cos 0,659 Grundekvation för cosinus Låt v vara en lösning. Räknaren ger en lösning v 48,8 Då kan samtliga lösningar skrivas Samtliga lösningar är ± v + n 360 ± 48,8 + n 360 n heltal n heltal Ekvationen tan k behandlas i nästa kapitel. När vi löser trigonometriska ekvationer är det naturligt att använda räknare och t e sin k för att hitta en vinkel. De flesta räknare har också olika solve-funktioner, och kraftfulla smbolhanterande räknare kan t o m lösa trigonometriska ekvationer fullständigt. Använd gärna sådana funktioner för att kontrollera svaret eller komma vidare om du kör fast, men träna på lösningsmetoderna och försök förstå dem, så att du kan lösa ekvationerna utan hjälpmedel. 34.4 Trigonometriska ekvationer

40 Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationer a) sin 0,93 b) sin 0,33 a) sin 0,93 Vi får två fall. Fall : Räknaren ger sin (0,93) 7,037... 7,0 7,0 + n 360 Fall : 80 7,0 + n 360 63,0 + n 360 Svar: 7,0 + n 360 eller 63,0 + n 360 b) sin 0,33 Fall : sin ( 0,33) 9,3 9,3 + n 360 Fall : 80 ( 9,3 ) + n 360 99,3 + n 360 Svar: 9,3 + n 360 eller 99,3 + n 360 Om vi i det första fallet vill svara med en positiv vinkel så kan vi lägga till en period. 9,3 + 360 340,7 99,3 9,3 340,7 (, 0) 40 Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationer a) cos 0,369 b) cos 0,369 a) cos 0,369 b) cos 0,369 cos (0,369) 68,3 cos ( 0,369),7 Vi får två fall. ± 68,3 + n 360 ±,7 + n 360 Svar: a) ± 68,3 + n 360 b) ±,7 + n 360.4 Trigonometriska ekvationer 35

403 Undersök om ekvationen sin 0,4 har några lösningar i intervallet 70 < < 900. Arbeta med hela grader. sin 0,4 ger 5 + n 360 eller 55 + n 360 För att hitta eventuella lösningar i intervallet 70 < < 900 kan vi välja olika värden på n bland heltalen:... 3,,, 0,,, 3,... Här prövar vi med n,, 3,... 5 + n 360 ger då vinklarna 385, 745, 05,... 55 + n 360 ger då vinklarna 55, 875, 35,... Svar: Inom intervallet 70 < < 900 finns lösningarna 745 och 875. 404 Lös ekvationerna och svara med en decimal. a) sin 0,50 b) cos (3 4, ) 0,36 a) sin 0,50 Använd räknarens samtliga decimaler eller minst en etra jämfört med noggrannheten i svaret. Fall Fall 3,33 + n 360 6,66 + n 70,33 + n 360 4,66 + n 70 Svar: 6,7 + n 70 eller 4,7 + n 70 Båda leden (även perioden) multipliceras med. b) cos (3 4, ) 0,36 ger 3 4, ± 7,58 + n 360 Fall Fall 3 4, 7,58 + n 360 3,78 + n 360 37,6 + n 0 3 4, 7,58 + n 360 3 30,38 + n 360 0, + n 0 Båda leden (även perioden) divideras med 3. Svar: 37,6 + n 0 eller 0, + n 0 36.4 Trigonometriska ekvationer

405 39 0,66 4 4 0,75 44 Lös ekvationen fullständigt. Svara med en decimal. a) sin ( 5,0 ) 0,700 b) cos ( + 5,0 ) 0,700 c) sin (5 7,3 ) 0,370 d) cos (0,5 + 33,3 ) 0,740 Undersök om ekvationen har någon lösning i det angivna intervallet. Arbeta med hela grader. Använd figuren och ange två olika vinklar som ger att a) sin 0,66 b) cos 0,75 Ange samtliga lösningar till ekvationen c) sin 0,66 d) cos 0,75 Ange med en decimal samtliga lösningar till ekvationen. 406 a) sin 0,789 b) sin 0,34 407 a) cos 0,439 b) cos 0,780 408 a) cos 0,35 c) sin 0,44 b) sin 0,35 d) 0,5 cos 0,3 409 a) cos 3 0,40 b) sin 0,60 40 a) cos 3 0,8 b) sin 4 Motivera med hjälp av enhetscirkeln varför ekvationerna sin,4 och sin saknar lösningar. 4 Jonna löser ekvationen cos 0,5 och glömmer två saker. Vilka? 45 a) cos 0,80 70 < < 360 b) sin 0,70 0 < < 70 46 a) sin 0,85 600 < < 70 b) + cos 0,8 600 < < 480 47 Ange en ekvation som har a) en lösning 760 b) samtliga lösningar ±30 + n 80. 48 Har sin 4 0,5 fra gånger så många lösningar som sin 0,5 i intervallet 0 < 360? Motivera. 49 Bestäm ekvationens lösning i det angivna intervallet. Svara i hela grader. a) sin 0,6 450 900 b) cos (4 + ) 0,4 90 90 c) 4 cos,38 360 70 40 Undersök för vilka vinklar som a) sin sin 70 b) sin sin 3 c) cos cos ( 30 ) cos 0,5 60 + n 360 30 + n 360 43 Ekvationen cos har lösningen 0 + n 360. Ange alla lösningar i intervallet 0 000..4 Trigonometriska ekvationer 37

Ekvationer som omformas med formler 4 Lös ekvationerna med nollproduktmetoden, d v s genom faktorisering. a) 4 0 b) 5 cos cos 0 Faktorisera! a) 4 0 b) 5 cos cos 0 (4 ) 0 cos (5 cos ) 0 Nollproduktmetoden: Om a b 0, så är a 0 eller b 0. 0 eller 4 0 cos 0 eller 5 cos 0 /4 cos /5 ± 90 + n 360 som kan skrivas 90 + n 80 eller ±78,5 + n 360 Svar: a) 0 eller /4 b) 90 + n 80 eller ± 78,5 + n 360 4 Lös ekvationen sin sin. sin sin Använd formeln sin sin cos i VL. sin cos sin 4 sin cos sin 0 Faktorisera VL. sin (4 cos ) 0 sin 0 eller 4 cos 0 90 0 + n 360 eller cos 4 80 + n 360 ± 75,5 + n 360 80 0 Lösningarna till sin 0 kan sammanfattas med n 80 (se figur) 70 90 Svar: n 80 eller ± 75,5 + n 360. 38.4 Trigonometriska ekvationer

43 Lös ekvationen cos 3 sin 3. cos 3 sin 3 sin 3 sin 3 sin + 3 sin 4 0 t + 3t 4 0 Använd formeln cos sin i VL. Sätt sin t t 3 ± 9 4 + 4 t eller t 4 sin sin 4 90 + n 360 Saknar lösning, då sin. Svar: 90 + n 360. 44 För vilka är a) sin 0 b) cos 0 c) sin cos 0? Lös ekvationen, svara med en decimal. 45 a) sin (sin 0,3) 0 b),5 cos (0,5 cos ) 0 c) 4 cos ( sin 5) 0 46 a) 4 sin 3 sin 0 b) cos 5 cos Välj lösningsmetod och lös ekvationen. 49 3 cos sin + 430 5 sin 4 3 sin 43 5 cos + 3 sin 4 0 43 cos + cos + 0 433 + cos + cos sin 434 Bestäm triangelns vinklar. 4a 3a 47 Skriv om vänsterledet i ekvationen sin cos och förklara varför ekvationen saknar lösningar. 48 Lös ekvationen a) sin sin b) sin + sin 0 435 I triangeln ABC är AB 5 cm, BC 6 cm och AC 4 cm. a) Beräkna vinklarna A och B med fra decimaler. b) Resultatet i a) antder ett samband mellan vinklarna A och B. Formulera och bevisa detta..4 Trigonometriska ekvationer 39

.5 Tillämpningar och problemlösning När vi möter na tillämpningar och problem är det etra viktigt med en god problemlösningsstrategi. Vi påminner med ett eempel om en strategi med fra steg som du tidigare mött. 50 En vinkels storlek kan bero av tiden, t e vid rotation. Radien OP med längden 3 l.e. vrider sig moturs med hastigheten 0 per sekund, se figur. a) Ställ upp en formel för hur -koordinaten för punkten P varierar med tiden t sekunder. b) Hur lång tid under ett varv är -koordinaten för punkten P?. Förstå problemet a) När radien OP vrider sig. Gör upp en plan kommer -koordinaten för punkten P att variera P (3 cos v, 3 sin v ) mellan 3 och 3. Vi ritar 3 en figur för att lättare se hur vinkeln och -koordinaten beror av tiden. O v 3. Genomför planen 4. Värdera För en godtcklig vinkel v är koordinaterna för punkten P: (3 cos v, 3 sin v) Efter t sekunder är vinkeln v 0t v ökar med 0 /s -koordinaten för punkten P är då: 3 sin 0t Formeln ger att varierar mellan 3 och 3 då sin 0t varierar mellan och. b) ger ekvationen 3 sin 0t sin 0t /3 ger (0t) 4 + n 360 eller (0t) 38 + n 360 t, + n 8 eller t 6,9 + n 8 Tolkning: Under det första varvet är vid t, s och t 6,9 s, dvs under 4,8 s. Detta upprepas varje varv, dvs var 8:e sekund. Svar: a) 3sin 0t b) 4,8 s. O (0,0) (3,0) P 40.5 Tillämpningar och problemlösning

50 Ett vattenhjul med radie 3 m snurrar 0 varv per minut. a) Hur många grader/s vrider sig hjulet? Hur lång tid tar det för hjulet att vrida sig så att punkten A förflttas till b) B c) C? B 507 Bestäm största och minsta värde för uttrcket a) 3 + sin 00 b),5,75 cos 508 Finns det någon vinkel v som har samma tangensvärde som sinusvärde?,5 m C A 509 Finn alla värden på a för vilka ekvationen cos a 3 5 har någon lösning. 50 Beräkna summan utan hjälpmedel. sin (0 ) + sin (0 ) + sin (30 ) +... + + sin (90 ) 503 För vilka vinklar i intervallet 0 v 360 är a) cos v < 0,5 b) 0 sin v < 0,5? 504 Ekvationen 4 sin (k + ) + 5 har en lösning. Vilket värde har k? 505 Peter påstår att n ( n) 0 för alla heltal n. Har han rätt? 506 Ett pariserhjul med radien 30 meter snurrar ett varv på 3 minuter. En person kliver på hjulet i dess nedersta läge vid marken. Hjulet snurrar sedan i 5 minuter innan det stannar. Hur högt över marken är personen då? 5 Visa att om A är en vinkel med 0 < A < 90 så är + sin A + cos A > 5 (Skolornas Matematiktävling) 5 Definition: En vinkel A är snäll om både sin A och cos A är ett rationellt tal, dvs kan skrivas som ett bråk. Bevisa eller motbevisa påståendet: a) Om A är snäll, så är supplementvinkeln snäll. b) Om A är snäll, så är A/ snäll.

Aktivitet Diskutera Sant eller falskt? Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret. Ekvationen cos v 0,4 har två lösningar i intervallet 0 v 80. Vinklarna 8, 5 och 388 har alla samma sinusvärde. 3 Om cos 0 så är sin. 4 Om cos v har värdet a så har cos ( v) också värdet a. 5 För alla vinklar i andra kvadranten är sin v > cos v. 6 tan ( v) kan skrivas tan v. 7 sin (u + v) + sin (u v) kan utvecklas och förenklas till sin u. 8 För alla värden på n < så är (n + ) < 9 9 I ett indirekt bevis utnttjar vi att P Q är logiskt ekvivalent med P Q. 0 Lösningarna till ekvationen sin 0,5 är också lösningar till ekvationen sin 0,5. Ekvationen a sin 4 saknar lösning då a < 3. Om cos 4 så är cos 7 8 3 cos sin + sin kan förenklas till sin 4 Ekvationen cos 3 cos har lösningen n 90. 4 Trigonometri och formler

Sammanfattning Enhetscirkeln Om radien OP har vridits en vinkel v i positiv (moturs) eller negativ riktning (medurs), så gäller Formler för dubbla vinkeln sin u sin u cos u cos u cos u sin u cos u sin u Bevis och bevismetoder Direkt bevis: Visa direkt att antagandet ger slutsatsen. v O (, 0) O Indirekt v (, bevis: 0) Visa att om slutsatsen är falsk så är också P (cos v, sin v) antagandet falskt. P (cos v, sin v) Motsägelsebevis: sin v -koordinaten för P Antag att påståendet/satsen är falsk och visa att det leder till en motsägelse. cos v -koordinaten för P tan v sin v Trigonometriska ekvationer, v 90 + n 80 cos v Grundekvationerna De trigonometriska funktionerna är periodiska. sin k ( k ) sin (v + n 360 ) sin v, n heltal, perioden 360 En lösning ges av v sin (k) cos (v + n 360 ) cos v, n heltal, perioden 360 Samtliga lösningar ges av tan (v + n 80 ) tan v, n heltal, perioden 80 v + n 360 eller Trigonometriska formler sin (80 v) sin v (cos v, sin v ) 80 v + n 360 cos (80 v) cos v 80 v cos k ( k ) sin ( v) sin v En lösning ges av v cos cos ( v) cos v (k) v Samtliga lösningar ges av sin (90 v) cos v v (, 0) ± v + n 360 cos (90 v) sin v Trigonometriska ettan Tillämpningar och problemlösning sin u + cos u Allmän problemlösningsstrategi Additions- och subtraktionsformlerna Förstå problemet sin (u + v) sin u cos v + cos u sin v Gör upp en plan sin (u v) sin u cos v cos u sin v cos (u + v) cos u cos v sin u sin v 3 Genomför planen cos (u v) cos u cos v + sin u sin v 4 Värdera resultatet Trigonometri och formler 43

Kan du det här? Moment Begrepp som du ska kunna använda och beskriva Du ska ha strategier för att kunna Trigonometri och trianglar Enhetscirkeln sin v, cos v, tan v sin v, cos v, tan v använda enhetscirkeln för vinklar i intervallet 0 v 80 bestämma trigonometriska funktioners värden, eakt och med räknare bestämma vinklar. Trigonometriska formler Period (sin v, cos v, tan v) Trigonometriska identiteter Trigonometriska ettan Additions- och subtraktionsformler Formler för dubbla vinkeln använda enhetscirkeln för positiva och negativa vinklar visa samband med hjälp av enhetscirkeln beräkna trigonometriska värden och vinklar med hjälp av formler använda formler för att visa likheter. Bevis och bevismetoder Direkt bevis Indirekt bevis Motsägelsebevis genomföra bevis med olika metoder. Trigonometriska ekvationer Trigonometriska ekvationer lösa trigonometriska ekvationer och bestämma fullständiga lösningar finna lösningar i ett givet intervall lösa ekvationer som kan omformas med formler. Tillämpningar och problemlösning lösa olika matematiska problem och tillämpningar. 44 Trigonometri och formler

Diagnos Trigonometri och trianglar a) Ange två olika vinklar som har samma sinusvärde. b) Har vinklarna i a) samma tangensvärde? Punkten P har koordinaterna (a, a). P a) Bestäm vinkeln v. b) Bestäm a. v (, 0) Trigonometriska formler 3 Bestäm med hjälp av enhetscirkeln a) cos 900 b) sin ( 70 ) 4 I vilka kvadranter i enhetscirkeln kan två vinklar ha samma a) cosinusvärde b) tangensvärde? 5 Bestäm sin v om cos v 0,40. 6 I figuren har punkten P koordinaterna (a, b). a) Vilka koordinater har punkten Q? b) Visa att sin v cos (70 v). 70 v Q v P (a, b) 7 Varje uttrck i kolumn A kan förenklas till ett uttrck i kolumn B. Vilka uttrck hör ihop? Nr A B sin + sin cos cos (tan + ) cos 3 + tan 4 cos sin cos 5 (cos + sin ) 0 6 tan cos + sin ( ) cos Bevis och bevismetoder 8 Anta att P: Det är soligt Q: Vi äter glass. Formulera med ord Q P. 9 + 3 9 Visa med ett motsägelsebevis att 3. Trigonometriska ekvationer 0 Lös ekvationen fullständigt a) cos 0,5 d) cos b) sin 0,4 e) cos ( 30 ) 0, c) sin sin 3 f) sin 3 3 Finns det någon vinkel v så att sin v 0, och 600 < v < 700? Lös ekvationen a) sin cos b) 3 cos cos 0 Tillämpningar och problemlösning 3 Vilket är största respektive minsta värdet för sin v i intervallet 70 v 70? 4 För vilka värden på v är cos v väande? Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan. Trigonometri och formler 45

Blandade övningar A Del I Utan räknare Bestäm sin cos då a) 70 b) 540 Ekvationen sin 0,6 har enligt räknaren en lösning 5. Vilka lösningar har ekvationen i intervallet 0 < < 70? 8 Ordna följande tal i storleksordning: a sin 4, b cos 460 och c sin 885 Motivera ditt svar. 9 Visa hur sambandet cos A cos A kan fås ur likheterna cos (u + v) cos u cos v sin u sin v och sin u + cos u. (NP) 0 Formulera med ord Q P om P Q motsvaras av Om ingen klarar provet blir ingen godkänd. Bestäm cos v då sin v 3 och 90 < v < 80. 3 Lös ekvationen + cos. 4 Vad blir sin (sin 0,)? Motivera. 5 Vad är P om P är a) 3 b) sin 0,5? 6 P : och Q : + 3 7 a) Skriv P och Q med smboler. b) Bevisa med ett indirekt bevis att P Q Bestäm cos om cos 4 3 Visa att cos sin sin sin 3 4 Bevisa att sin v + cos v för alla vinklar v. 5 Visa att cos cos cos tan cos sin 7 Förenkla cos ( 90 ) cos ( + 80 ). 46 Trigonometri och formler

Del II Med räknare 6 Lös ekvationen fullständigt. Svara med en decimal. 5 Anders påstår att det inte finns någon vinkel som har den egenskapen att sinusvärdet fördubblas om vinkeln fördubblas. Har Anders rätt? a) sin 0,83 b) cos 0, 7 Ange en ekvation som har en lösning a) b) 98 8 Bevisa med ett direkt bevis att differensen mellan två udda tal är ett jämnt tal. 9 Vid en förenkling får Diana svaret tan men facit säger cos sin Har Diana fått fel svar? Motivera. 0 Förenkla cos (a + b) + cos (a b) och skriv sedan produkten cos 75 cos 0 som en summa. Punkten P har koordinaterna (a, b). v P (a, b) (, 0) Uttrck med hjälp av koordinaterna för punkten P a) sin (v + 80 ) b) cos (v + 70 ) Har ekvationen cos (0,4 + 0 ) 0,4 någon lösning i intervallet 800 < < 000? Motivera. 3 Har tan v något största värde? Motivera. 4 Bevisa att om n 3 är ett udda heltal så är n ett udda heltal. 6 Lös ekvationen a) sin 5 sin 4 b) cos sin + Utredande uppgifter Den här tpen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier: vilka matematiska kunskaper du har visat hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar. sin 85 + sin 95 7 a) Beräkna cos 5 b) Beräkna värdet av uttrcket sin( 90 ) + sin ( 90 + ) cos då 0 och då 4. Vad upptäcker du? c) Undersök om uttrcket sin( 90 ) + sin ( 90 + ) cos har värdet för alla värden på vinkeln. 8 Undersök antalet lösningar till ekvationen a sin 5 då värdet på konstanten a varierar och 0 360. Trigonometri och formler 47

Blandade övningar B Del I Utan räknare Ekvationen cos 0,64 har enligt räknaren en lösning 50. Vilka lösningar har ekvationen i intervallet 360 < < 360? Ange samtliga lösningar till ekvationen sin 0,5. 7 Vilket av följande uttrck A F kan förenklas till? A (sin + cos ) B (sin cos ) C (sin + cos )(sin cos ) D cos (tan sin + cos ) sin E cos + cos sin F (sin + cos ) (NP) 3 (cm) 8 Bestäm ett närmevärde till sin 0 om du vet att sin 0 0,34 och cos 0 0,94. 5 3 9 Bestäm värdet av sin v om v är en vinkel i tredje v Bestäm 4 a) sin v c) sin (90 v) b) cos v d) sin v 4 Bevisa att 3 ger 6 ( + ) 4 med ett a) direkt bevis b) indirekt bevis. 5 Anta att du vet att cos 40 0,77. Bestäm då a) cos 30 b) sin 50 6 Förenkla sin ( + 90 ) + cos ( 80 ). kvadranten och cos v 3 0 Visa med ett motsägelsebevis att för alla värden på. Visa att sin sin 3 sin cos + Ge eempel på en trigonometrisk ekvation som har lösningen n 0. 3 (cm) v För vinkeln v i figuren gäller att sin v + cos v sin v cos v Bestäm talet k. k 5 48 Trigonometri och formler

Del II Med räknare 4 Bestäm samtliga lösningar i intervallet 0 < 360 till ekvationen cos 0,8. 5 För vilka v i intervallet 0 v 360 är a) sin v 0,5 b) sin v 0,5? Utredande uppgifter Den här tpen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier: vilka matematiska kunskaper du har visat hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar. 5 C 0,5 b a 6 Ekvationen sin A 0, har en lösning 0. Vilket tal är A? Ge ett eempel. 7 Anta att a + b c. Kan a, b och c alla vara udda heltal? 8 Lös ekvationen fullständigt. a) sin cos 0 b) sin (4 3 ) 0,8 9 Beskriv ett samband mellan enhetscirkeln och trigonometriska ettan. 0 För vilka värden på a saknar ekvationen cos 3 3a lösningar? Bevisa att cos u sin u + 3 4 Härled en formel för sin 4, kvadrupla vinkeln för sinus. Anta att vi vet sin och/eller cos. 3 Lös ekvationen sin cos 4 Bevisa att om 4 är en delare till (a ) så är 4 en delare också till a +3. A c a) En triangel har sidorna 6,0 cm, 7,0 cm och 8,0 cm. Bestäm triangelns minsta vinkel med cosinussatsen a b + c bc cos A b) På en internetsajt med matematikinnehåll finner Susanna formeln a ( b c ) + 4 b c sin A Visa att formeln ger samma resultat som i a). c) Bevisa formeln i uppgift b) 6 Undersök lösningar till ekvationen sin a. Vad är största möjliga differens, i grader, mellan två intilliggande lösningar? 7 Bilda en enhetscirkel med radien. a) Vilka koordinater har en punkt på denna cirkel för en godtcklig vinkel v? b) Härled trigonometriska ettan med hjälp av en godtcklig vinkel v och koordinaterna för tillhörande punkt P. B Trigonometri och formler 49

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Svaren står med svart tet. Ledtrådar och lösningar med blå tet. 03 a) sin v 0,89, cos v 0,559 tan v 0,89/0,559,48 b) sin v 0,94, cos v 0,34 tan v,8 04 a) 34 och 46 sin (0,56) och sin (80 ) sin b) 83 c) Ingen lösning i intervallet. d) 53 05 h 6 m h tan 37 9 +,5 06 a) Ca 40 cm b) 38 cm Använd areasatsen två gånger. c) 9, cm Använd cosinussatsen. 07 Sant. Trianglars vinklar ligger i intervallet 0 < v < 80. I detta intervall finns två olika vinklar som har samma sinusvärde men bara en vinkel till varje cosinusvärde. 08 a) 0 cm sin 56,4 h/4 b) 80 cm c) 63 cm Kommentar: Sidan BC beräknas med cosinussatsen. 09 a) v 56 och v 34 sin v sin (80 v) b) v 40 cos v cos (80 v) c) Ingen lösning i intervallet. sin v > 0 i hela intervallet. 0 a) ( b, a) b) sin (v + 90 ) cos v cos (v + 90 ) sin v En punkt på enhetscirkeln har för vinkeln v koordinaterna (cos v, sin v) v P (, 0) För en vinkel i första kvadranten ger Pthagoras sats direkt: (sin v) + (cos v) I andra kvadranten kan vi utnttja att sin v sin (80 v) cos v cos (80 v) vilket ger (sin (80 v)) + (cos (80 v)) (sin v) + ( cos v) (sin v) + (cos v) dvs sambandet gäller för alla vinklar i intervallet. Kommentar: Vi kan även använda cirkelns ekvation eller avståndsformeln för att visa att sambandet gäller för alla vinklar. 0 a) b) c) d) 0 03 Sinusfunktionen är periodisk med period 360 vilket ger att sin 50 sin (50 + 360 ) sin 40 04 Om perioden är 80 innebär det att varje tangensvärde återkommer med ett intervall på 80, t e tan 0 tan 90 tan 370 05 a) 0,5 Lösning: sin 750 sin (750 360 ) sin 30 b) 0,53 Lösning: cos ( 30 ) cos ( 30 + 360 ) cos 58 c) 0,84 Lösning: tan 400 tan (400 80 ) tan 0 06 a) 0,4 b) 0,4 c) 0,9 d) 0,9 e) 0,4 sin (80 v) sin v f) 0,9 cos (v + 80 ) cos v g) 0,9 h) 0,4 5 Svar, ledtrådar och lösningar