STUDIEAVSNITT EKVATIONER I de vsni sk vi i på den enklse fomen v ekvione de linjä. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden nä mn löse ekvione v fös gden, llså ekvione som innehålle -eme men ej eme v pen,,... ä hel iden densmm:. Ufö penesmuliplikion.. Sml -emen på en sidn v likmedeckne och konsnen (/siffon) på den nd.. Gö fi på en sidn. Nä mn fl öve en em fån en sidn ill den nd i ekvionen måse mn komm ihåg b ecken. EXEMPEL Lös ekvionen: = (, ) * * * = (, ) =.,. Ufö penesmuliplikion = 8 8 = - Sml -emen på en sidn = - / - = Gö fi - =
78 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER Hä få vi llså sve = -. De gå lä konolle de ä ä. Vi sopp hel enkel in - isälle fö i de uspunglig ucke och konolle de ge esule. Konoll: (, -) =. (, + ) =. 8, = OK! EXEMPEL Lös ekvionen: ( ) ( ) = * * * ( ) ( ) = + 8 = 0 = 0 = + 0 = = /0 =, Konoll: (, ) (.,) = (0,) (0) = OK! ÖVNINGAR Lös följnde ekvione 0 ) = b) 0 = / 8 = d), =, 0 ) 8 b),7 0, 0, d) 0 8 0 ) 8 + = -8 b), = 0
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 7 = - d) - = - + 8 0 ) = - b) = - = d) = - 0 0 ) + = 0 b) 80 + = 0 0, = 8 d) 00 0, =, 0 ) b) 7, d) 0 07 ) + ( + ) = + b) ( + )( + ) = ( + ) + = + d) 7 = + 08 ) ( + ) ( ) = ( ) b) ( )( + ) ( ) = - = ( + )( ) ( ) d) 8 + ( 8) = ( 0,) 0 ) ( ) = b) ( + ) ( + ) = 7 ( ) ( + ) ( )( + ) = d) ( + )( ) ( ) = 0 ) 7 b) ( + ) + ( + ) =
80 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER ( + )( + ) = ( + )( + ) d) ( ) ( + ) ( 0) = 0 PROBLEMLÖSNING MED EKVATIONER Om en siff i e poblem ä okänd kn mn beeckn den med boksven och fösök äkn som om mn visse vd hde fö väde. På så vis kn mn få en ekvion som i bäs fll enkel kn löss. E eempel illuse. EXEMPEL Hu mcke ven sk illsäs hg v en 0%-ig sllösning fö slhlen sk bli %? * * * Ang hg ven sk illsäs. Mängd sl: 0 % v hg = 0,0. hg = 0, hg Tol vik efe hg ven illss: + Genom divide viken sl med olviken sk % = 0, fås. Vi få llså ekvionen: 0, 0, 0, 0, ( ) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Sv: Genom illsä hg ven bli blndningen %-ig.
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 8 ÖVNINGAR Säll upp ekvione fö lös följnde poblem. Kusen på en kie h unde e å ök med % ill 0 k. ) Vd bli ändingsfkon i eemple? b) Om konosällningen föe ökning beeckns med, vilken ekvion kn då sälls upp? Vd ge ekvionen fö lösning, vilken v kusen föe ökningen?. En ekngelfomd pov ulgd i skogen ä m. Längden på en sidn ä mee. Beäkn längden v den nd sidn.. Du sk lägg u en cikulä pov i skogen med en 00 m. Vilken die sk du välj?. Du sk lägg u en cikulä pov i skogen som h lik so e som en kvd med sidn m. Vilken die sk du välj?. Du sk lägg u en cikulä pov i skogen som h lik so omkes som en kvd med sidn m. Vilken die sk du välj?. En peson få bel % i sk och få efe sk u 00 k neo vje månd. Vilken ä hennes buolön? Lös pobleme genom säll upp en ekvion dä beeckn buolönen. 7. I skogen nvänds olik sä äkn kubikmee. Om mn h volmen unde bk kn mn fö ll få volmen på bk (inklusive bk) genom lägg på %. Ang vi h 00 m ll på bk, hu mcke mosv de unde bk? Sä upp en ekvion dä beeckn volmen ll unde bk. Hu mång m unde bk bli de? 8. E skogsbesånd som innehålle 0 000 m dels upp i vå delbesånd A och B dä B ä e gånge så so som A. Ugå fån vikesföåde ä jämn födel öve elen. Hu mång m hmn i A och hu mång i B? Lös pobleme genom en ekvion dä beeckn nle kubikmee i del A.
8 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER. Hu mcke ven sk illsäs kg v en 0%-ig sllösning fö blndningen sk bli %-ig? Lå beeckn nle kg ven som illsäs. Säll upp och lös en ekvion fö pobleme. PYTHAGORAS SATS Fö ävinklig ingl gälle Phgos ss. Om du.e. e ändsicko så kn du ine bild en ävinklig ingel med hjälp v dess. Om du lägge vå sicko så de bild en ä vinkel så äcke ine den edje sickn ill fö få konk med de båd nd. Annolund uck besämme längden på keen (sidon som bild ä vinkel med vnd) hu lång hpoenusn sk v. De uppäcke den gekiske filosofen och memiken Phgos c 0 f.k. I ll ävinklig ingl med keen och b och hpoenusn c så gälle Phgos ss: + b = c c Vid pkisk äkning ä de vikig håll ed på vilk sido som ä kee ( och b i figuen ovn) och vilken sid som ä hpoenus (c i figuen). Den lill fknen i nede väns höne mke vinkeln melln sidon och b ä ä (0 ). b
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 8 EXEMPEL I en ävinklig ingel ä keen espekive cm lång. Besäm längden på hpoenusn. * * * Ang hpoenusn ä cm lång. Phgos ss ge följnde ekvion: [cm] Sv: Sidn mked med ä cm lång. EXEMPEL Hu lång ä säckn mked med i figuen nedn? 80 [m] 00 * * * Nu ä de ine hpoenusn un keen som ä okänd. Phgos ss ge: 80 00 00 0000 0000 00 00 00 80 00 [m] 0 Sv: Sidn mked med ä 0 mee.
8 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER ÖVNINGAR Använd ekvione fö lös nednsående poblem. 0. Besäm längden på sidn mked med i nednsående vå figue. Sv vund ill nämse hell. 0 0. E äd h buis v enlig figuen nedn så de bild en ingel mo mkplne. Uppsk hu hög de uspungligen v. Sv i mee vund ill en deciml.,0,. Beäkn den edje sidn i en ävinklig ingel dä hpoenusn ä 8 mm och en ke 0 mm. Sv i hel mm.. Beäkn längden på digonlen i en ekngel vs en sid ä 0 m och nd 7 m. Sv vund ill hel mee.. Beäkn ingelns e genom fös besämm höjden mo bsen. Enheen på säckon ä i m. Sv vund ill hel hek.
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 8 7 8 0 FÖRLÄNGA OCH FÖRKORTA I e spåk kn mn of uck smm sk på fle olik sä. På smm sä kn mn i memiken uck e l elle en memisk funkion på fle olik sä. T.e. båke ½.... 0 0 En hlv imm ä ju desmm som kv (v ol f) elle desmm som e iominuespeiode (v ol se) och 0 minue (v ol seio). I mång smmnhng vill mn uck e båk på e så enkel sä som möjlig. Fomen / ä e enkle sä än 0/0. Om vi.e. sk föenkl båke 0/0 få vi: 0 0 0 0 Efesom vi h muliplikion med 0 både öve och unde divisionssecke så kn denn fko fökos bo. På mosvnde vis kn nin fökos bo sene. På smm sä kn e uck med boksäve föenkls genom mn föko bo gemensmm fkoe öve och unde båksecke. Hä nedn unj vi 0 kn skivs om som. och som.. 0 Mossen ill föko e båk ä föläng de. Nä vi gå fån / ill 0/0 kn mn säg vi föläng båke med 0. Vi h ju då muliplice både äljen och nämnen med denn fko. På mosvnde vis kn mn föläng e uck med bok-
8 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER säve. I eemple nedn h jg föläng med 8, d.v.s. muliplice med 8 både ovnfö och unde de lång båksecke. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 A de hä sis sämme kn vi konolle m.h.. äkneeglen fö båk (invee båke unde de lång båksecke): 8 8 8 8 8 I viss lägen kn llså l föenkls genom mn fös fölänge dem. ÖVNINGAR. Föläng följnde kvoe så du få en kvo med nämne 8 ) b) 7 e) d) f). B u boksven u följnde uck och föko sedn. ) b) d)
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 87 7. Föenkl fös äljen. B däefe u och föko. ) ( ) b) ( )( ) ( )( ) d) ( )( ) ( ) 8. Föenkl följnde genom fös föläng med i uppgif ) och med i uppgif b). ) b) LÖSA UT VARIABLER UR UTTRYCK En nnn hneing som vi komme h n v unde den hä kusen ä kunn lös u en vibel (boksv) u en fomel. Ang.e. vi vill lös u boksven s u fomeln: s v Fö få s ensm på höge sid måse vi bli v med. Genom muliplice med på båd sido få vi: s v s v v s Allså ä: s =. v. Abesgången ä llså ek densmm som nä vi löse följnde enkl ekvion (om mn hä låe mosv de som v s ovn).
88 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER Elle hu? Vi kn llså nvänd smm eknik som nä vi löse ekvione fö lös u en vibel u en fomel. Jg sk någ vnlig eempel ill. På vänse sid i eempelun löse jg fös en ekvion v smm p så du kn se pllellen. Däefe löse jg u boksven i höge del v eempelun. EXEMPEL Lös ekvionen Lös u u fomeln s v * * * * * * T u MGN. Hä bli MGN = MGN = Muliplice ll eme med MGN: Muliplice: v s s v s v s v
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 8 EXEMPEL 7 Lös ekvionen 8 0, 8 0, 0, 0, 8 0, Lös u u fomeln v * * * * * * v v v EXEMPEL 8 s Lös ekvionen 8 Lös u u fomeln * * * * * * T u MGN. Hä bli MGN = MGN = Muliplice ll eme med MGN: Muliplice: s 8 s 8 8 s 8 s s s
0 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER EXEMPEL Lös ekvionen nedn. Lös u u nednsående fomel. * * * * * * 8 8 ) ( ) ( B u på höge sid: ) ( EXEMPEL 0 Skiv funkionen dä ä ulös, ill höge i eempel, på en end d med så få penese som möjlig. * * * E lång båkseck innebä vi behöve en e penes. I de hä flle ä dock de som så ovnfö båksecke,, edn kl så vi behöve ingen penes dä. Sv: = / ( ) ÖVNINGAR. Lös u u följnde fomle. ) b) d)
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 0. Lös u u följnde fomle. ) 0 b) 0 0 7 d) 7. Lös u u följnde fomle. ) b) d). Lös u u följnde fomle. ) ( b) ( )( ) b) 0 7( ) d). Lös u den boksv som så innnfö penes efe följnde fomle. ) s = v. () b) m d (V) V v v 0 () d) f kr (f). Skiv fomlen fö de ulös viblen i uppgif på en end d, med så få penese som möjlig.
STUDIEAVSNITT FACIT OCH KOMMENTARER 0 ) - = - = = - b) 0 = = /0 = 0, /8 = + = 8. 8 = d) =,, = 0, = 0, / 0, 0 ) /8 = - /8 = = 8 b) /0, +,7 = -0, /0, = -0,,7 = 0,. - = -0,8 / = 8 =. 8 = d) 0/ = 8 + 0 =. 0 0 = 0 = 0/0 = 0 ) 8 = -8-8 = - 0 = -8/0 = -,8 b) = 0/, = 000 + = 0 = 0 = 0/ = 0 d) - - 8 = - + - = = -, 0 ) + = 7 = = /7 b) = - = = 7 + = + 8 = 8 = d) + 0 = - + = - = -
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 0 ) = - = - b) = 0-80 = -0 = - 0-8 = 0, 8 = 0, = 8/0, = d) 00 =, + 0, 00 =,8 = 0,08 0 ) /7 = - /7 = 0 = 70 = b) / = = = 0,7 - =, -0, =, = - d) 0 - = - + = - 07 ) + + = + 7 - = - = 8 = b) ² + + + 0 = ² + ² - ² + 7 - = -0 = -0 = -, - = - = = d) 7 - = + = = 08 ) + - + = - - + 8 = - 8 + = + = 0 = b) ² + - - - (² - - + ) = ² - - ² + - = - = = 7 =,7 - = ² - + - - (² - - + ) - = - + - 8 = + 8 = =8/ = / d) 8 + - + 8 = - - + + 7 = - = = 0 ) - + = = = - = -/ b) + - - 8 = 7 - + + = - + = - = - = - 8
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER (² + + + ) - ( + ² - - ) = ² + 8 + - - ² + + = + = = - = 0 = d) ² - + - - (² - - + ) = ² + - - ² + - = 8 - = 8 - = = = 0 ) Obs: ( - )/ = / - / =, - 0, -, + 0, = 7, =,7 =,7/, =, b) ² + + - ² - = ² = 0 = 0 ² + + + 0 = ² + + + 8 7 - = 8-0 - = 8 = - d) - - - - + 0 = 0 - = 0 = ) % ökning gö föändingsfkon bli,0. b) Ekvion:,0. = 0, 0 0 0, 0, Sv: Cik k. Lå den okänd sidn i ekngeln h längden. Ekvion: Sv: Den nd sidn h längden mee.
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER. Lå cikeln h die mee. Ekvion: 00 00 00 7, 788 Sv: Cikelns die sk v c 7,8 m.. Lå cikeln h die mee. Aen fö kvden ä m. Ekv:, 00 Sv: Cikelns die sk v,0 m.. Kvdens omkes ä. m = 0 mee. Lå cikeln h dimee. Ekv: 0 0 70, 08 Sv: Rdien ä c,0 m.. Ang buolönen ä k. % minskning ge en ändingsfko på: 0, = 0,7. Ekvion: 0, 7 00 00 0, 7, 87 Sv: Pesonen jän ungefä 00 k/mån buo.
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 7 7. Ang vi h m unde bk. Vi få då ekvionen, 00 00,, 8 Sv: Cik 0 m unde bk. 8. Ang de hmn m i A då bode de hmn e gånge så mcke llså. m i B. Ekvion: 0000 0000 0000 00 Sv: De hmn ungefä 00 m i del A och 7 00 m i del B.. Ang vi sk illsä kg ven. Då bli olviken + kg. Slviken ä: 0 % v kg = 0,0. = 0, kg. Divide mn slviken med den ol viken sk de bli % = 0,0. Ekvion: 0, 0, 0 0, 0, 0 ( ) 0, 0, 0 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0 0, 0, 0 Sv: kg ven sk illsäs. 0 ) Phgos ss ge: + 0 = + 00 = = = 8
8 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER b) Phgos ss ge: + = 0 + = 00 = 00 = = = 8. Phgos ss ge: ² +,² = ² = 8, 7, m Tädes uspunglig höjd: 7, m +,0 =, m. Angnde enlig figu. 0 + = 8 00 + = 7 = 7 00 = = 7 0 8 Sv: Den edje sidn i ingeln ä 7 mm.. Angnde enlig figu. 7 + 0 = + 00 = 8 = = 8 7 0 Sv: Digonlen i ekngeln ä c m.. Angnde enlig figu. Beäkn fös och sedn med hjälp v de väde på. 7 8 U den väns ingeln fås: 0 + = 7 0 + = = 0 = 00 = 0 U den hög ingeln fås: 0
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 0 + = 8 00 + = 70 = 70 00 = Aen = ( + 0). 0 / = 88 0 m h Sv: Omådes e ä c h. ) 8 b) 7 7 8 8 d) 8 8 8 8 e) 8 f) 8 8 8 ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 7 ) ( ) ( ) ( ) b) ( )( )
00 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER ) ( ) ( ) )( ( d) ) ( ) ( ) ( ) )( ( 8 ) 7 7 b) ) ( ) ( ), 0, b)
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 0,, d),, 0 ) 0 b), 0,7 0 7 7 7 7 7 0 d), 7 7 =, ) b) ) (
0 STUDIEAVSNITT : EKVATIONER ) ( ) ( d) 8 8 8 ) b b b b b b b ) ( ) )( ( ) ( b) 0 ) 7( 0 ) ( ) ( d) ) ( ) ( ) v s v s v s b) d m V m d V V m d
STUDIEAVSNITT : EKVATIONER 0 v v v v v v 0 0 0 kr f f f kr kr ) = s / v b) V = m / d = (v v 0 ) / d) f = ( / (kr) )