Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR -9
Matematik Etrauppgifter för skolår -9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell Utbildning Andra upplagan, första tryckningen Senast reviderad 00-09- ISBN 9-9-0- Sandell Utbildning Sydhamnsvägen 8 SÖDERTÄLJE E-post WWW 0-0- info@sandellutbildning.se www.sandellutbildning.se Licensen ändrad till en Creative Commons licens som ger skolan rätt att GRATIS kopiera upp materialet för användning i undervisningen. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Innehållsförteckning INNEHÅLLSFÖRTECKNING... FÖRORD... DE FYRA RÄKNESÄTTEN... TIOSYSTEMET... UTTRYCK MED FLERA RÄKNESÄTT... NEGATIVA TAL... BRÅKFORM, DECIMALFORM, PROCENTFORM... 8 "Det hela" är 00 procent... 8 RÄKNA MED BRÅK... KLOCKAN... 8 TIDSZONER... 9 GEOMETRISKA BEGREPP... 8 0 VÄG, TID, FART... POTENSER... Stora och små tal i potensform... 8 Grundpotensform... 8 PREFIX STORA OCH SMÅ TAL... 0 ALGEBRA OCH EKVATIONER... Hur löser man en ekvation?... FUNKTIONER... SANNOLIKHET... TRIGONOMETRI... 0 Sinusvärden... Enkel tabell för sinus... Cosinusvärden... Enkel tabell för cosinusvärden... Räkna med sinus och cosinus... FACIT DE FYRA RÄKNESÄTTEN... 8 FACIT TIOSYSTEMET... 9 FACIT UTTRYCK MED FLERA RÄKNESÄTT... 0 FACIT NEGATIVA TAL... Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
FACIT BRÅKFORM, DECIMALFORM, PROCENTFORM FACIT RÄKNA MED BRÅK... FACIT KLOCKAN... FACIT TIDSZONER... FACIT GEOMETRISKA BEGREPP... 8 FACIT VÄG, TID, FART... 8 FACIT POTENSER... 8 FACIT PREFIX, STORA OCH SMÅ TAL... 9 FACIT ALGEBRA OCH EKVATIONER... 9 FACIT FUNKTIONER... 98 FACIT SANNOLIKHET... 99 FACIT TRIGONOMETRI... 00 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Förord Pärmen innehåller etrauppgifter för elever som behöver träna mer på de olika momenten i matematiken. Den spänner över alltifrån rena baskunskaper, såsom våra vanliga räknesätt, procent, bråk etcetera till algebra, funktioner, samt geometri och trigonometri. Materialet gör så att du som lärare kan: Hitta fler uppgifter utöver dem som finns i er aktuella matematikbok. Bra när en elev behöver öva mer på ett visst moment. Dela ut ett material som ger en annan infallsvinkel på områden såsom t.e. algebra. Bra när en elev behöver "ryckas upp" med något annat. Fritt kopiera delar eller hela pärmen för användning på skolan, under pärmens hela livstid. Pärmen levereras alltså med fri kopieringsrätt, obegränsad i tiden! Teori och förklaringar är koncentrerade till de mer "krävande" områdena till eempel algebra och funktioner, så i huvudsak innehåller pärmen övningsuppgifter. Kommentarer och förslag Om ni ser möjligheter till förbättringar tar vi tacksamt emot dessa. Alla förslag beaktas mycket noga. Kontaktvägar finns i början på dokumentet och på webben. Uppdateringar och rättelser Eventuella ändringar och rättelser till materialet kommer att publiceras på webben och införas i den PDF som finns där för nedladdning. Mycket nytta och nöje med detta material! Mikael Sandell Sandell Utbildning Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Etrauppgifter Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
De fyra räknesätten Använd huvudräkning eller ställ upp talen om du behöver. a) + 9 0 + 98 + a) + + 0 + 0 a) + + 08 + a) + 9 + 00 + 8 a) 0 + 80 9 + 8 + a) 0 + 8 0 + 0 + a) 98 9 0 8 a) 890 0 9 9 a) 80 0 9 8 0 a) 99 0 0 0 0 a) 0 0 89 a) 9 9 9 0 a) 0 a) 9 8 a) 8 9 a) 0 9 a) 8 a) 8 8 9 a) 0 8 88 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
0 a) 9 a) 00 a) 8 9 EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 9 0 8 8 8 8 a) a) 0 Vad är kvoten av och? 09 8 00 0 Om kvoten ska bli 0 och täljaren är 0. Vad är då nämnaren? Om kvoten ska bli och nämnaren är. Vad är då täljaren? 8 Vad blir summan av och 8? 9 Om summan är 0 och ena termen är. Vad är då den andra termen? 0 Ena faktorn är och den andra faktorn är. Vad blir resultatet? Om produkten är 0 och ena faktorn är. Vad är då den andra faktorn? Talet subtraheras med. Vad blir resultatet? Vad blir differensen av och 8? Använd uppställningar för att lösa uppgifterna. a), +,, +, a),9 +,0,009 +,8 a), +,8 0,0 + 98, a) 0, +,0 9,00 + 0,8 8 a) 9,0,0 0,9, Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
9 a) 09,0 9,0 8, 9 0 a),,8 9, 9,8 a) 0,,0 9,00 0,8 a),,0,,0, a),,0,, 9, a),9 8, 0,,8 8,8 a),0,,0, 9,, a) 0,08 0,,,,8 9,08 a),0, 8 a) 9 a) 0 a) a),,, 0 09 a) 8 00 0,98 8 99,, 0 08 Använd huvudräkning eller uppställning. 9,9 0 9,9 9, 0,8 0 00 0 Anders köpte liter mjölk för, kronor. a) Vad kostade mjölken per liter? Hur mycket får Anders tillbaka på 00 kr? Färgen kostade 0,0 kronor per burk och det gick åt burkar. Lotta fick en tusenlapp att betala med. a) Hur mycket kostade ommålningen? Hur mycket pengar blev över? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 8
MB RAM till datorn kostade 9 kronor. Helena köpte 08 MB. Vad fick hon betala? David fick löneförhöjning, från 90,0 kr/timme till 9 kr/timme. a) Hur mycket mer tjänade han per dag? Hur mycket mer per vecka? (8 timmar per dag och arbetsdagar per vecka) Addition och subtraktion med fler termer än två. a) 8 0 8 + 8 a) + 0 0 9 a) 9 + + 98 + 0 a) 8 9 + 9 0 + 80 a) 8 + + 0 9 + a) 00 + 0 9 + + 98 Multiplikation med flera faktorer. a) 8 a) 8 0 8 a) 0 0 a) 8 9 Avrunda till hela centimeter. a), cm, cm,8 cm 8 a) 0,8 cm 8, cm 0, cm 9 a), cm 00,90 cm 0, cm 0 a), cm,9 cm 9,0 cm Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 9
Avrunda till decimaler. a),, 9, a),90 0,98, a) 9,8,9, a),,,89 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 0
Tiosystemet Vilket värde har :an i följande tal? a) 9 a) 00,,0 a) 9, 00 0,00 8 a) 800 0, 00,000 Skriv talen som en summa, t.e. 0 000 + 00 + 9 a) 0 80 a) 0 00 8 a) 000 9 900 8 a) 00 9800 Skriv talen som en summa, men skriv nu t.e. 000 istället för 000, för att tydligt markera att talet innehåller tusental. E. 08 000 + 00 + 0 0 + 8, dvs. tusental, hundratal, 0 tiotal och 8 ental. 8 a) 0 8 a) 9 00 8 8 a) 889 9 8 a) 090 009 0 Nu lägger vi till decimaler också. 8 a) 0,, 0,0 88 a) 00,0 0, 00,09 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
89 a) 0, 0,0008 0,0 Multiplikation med 0, 00 och 000 90 a) 0 00 0 9 a) 00,, 0 00 9 a) 00 0, 000 00 9 a) 0, 000 0,0 00, 9 a) 8,0 00 0 000 0,09 0 9 a) 0,00 0 0,90 0, 000 9 a) 8, 00, 00,8 000 Division med 0, 00 och 000 0 9 a) 0 9 98 a) 0 99 a) 00 00 a), 0 0 0 00 00 80 00,9 00 Multiplikation med 0, 0,0 och 0,00 0 00 00 0, 000 89 000 0 a) 00 0, 00 0,0 0 0, 0 a) 0 0,0, 0, 0,0 0 a) 0,0 0, 0,00 0,0 0 a) 0,, 0,00 0,0 0,0, Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
0 a) 8,0 0,0 0 0,00 0,09 0, 0 a) 0,00 0, 0,90 0,, 0,00 0 a) 8, 0,0, 0,0, 0,00 Division med 0, 0,0 och 0,00 08 a) 09 a) 0 a) a) 0 0, 9 0, 0,00, 0, 0 0,0 00 0,0 80 0,0,9 0,00 0, 00 0,0 0, 0,00 89 0,0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Uttryck med flera räknesätt Om ett uttryck innehåller flera olika räknesätt så utförs alltid multiplikation och division före addition och subtraktion. a) + + 0 + a) 8 0 + + a) + + 8 8 + a) 0 + 9 a) + + / a) + 8 / + 0 / / + 9 8 a) 8 / + 0 / 0 + / Hur skriver man om man faktiskt vill att plus eller minus ska gå före multiplikation eller division, t.e. om man först vill slå ihop + och sedan multiplicera resultatet med, dvs. man vill få fram som det totala resultatet. Om man skulle skriva + så skulle man inte få utan, eller hur? Det är nu som parenteser kommer in i matematiken. Låt oss skriva så här istället: ( + ) Med parenteserna markerar vi att :an ska adderas med :an innan man multiplicerar med. När det gäller division så är det i vanliga fall ganska klart vad som ska räknas ut först. Det är bara när divisionstecknet ser ut så här / som parenteser måste användas. Till eempel ger ( + 8) / och + 8 / två olika resultat, eller hur? Men om divisionen skrivs +8 istället, så behövs inga parenteser. 9 a) ( + ) ( ) 0 a) ( + ) ( ) a) ( + ) (0 ) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) ( + ) ( 9 ) a) ( ) ( + ) ( + ) a) / ( ) ( + 8) / a) ( + 0) / / ( ) + 9 a) 8 / ( + ) ( 0) / 0 Egentligen skrivs inte multiplikationstecknet ut om det står bredvid en parentes. ( + ) skrivs alltså egentligen ( + ). Man behöver öva för att bli van vid detta. a) 8( + ) ( + ) 8 a) ( + ) 8( + ) 9 a) ( ) ( ) 0 a) (0 + ) 0( + ) Nu ökar vi storleken på uttrycken lite. a) ( + ) + 8(0 ) + a) (0 ) + ( + ) a) + (8 + ) ( + ) + (8 ) a) ( + ) + ( + 9) + a) 0( ) + 0(0 ) + 0(0 8) + a) ( + ) 0(0 8) 0 ( 0) a) ( + + ) + ( + 9) + Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Negativa tal Mycket tidigt i matematikens historia upptäckte man ett behov av negativa tal. Man var helt enkelt tvungna att införa negativa tal, tal som är mindre än noll. Beräkna. 8 a) 8 9 9 a) 8 0 0 0 a) 0 0 8 00 + 98 + 0 Låt oss nu titta på följande tabeller: 8 + 8 + 8 + 0 8 + 9 8 + 0 8 8 + ( )? Vi förstår att 8 + ( ) 8 8 8 8 8 0 8 8 ( )? På samma sätt förstår vi att 8 ( ) 9 Kom-ihåg-regeln är "lika tecken ger plus, olika tecken ger minus" Beräkna. a) + ( ) + ( ) ( ) a) ( ) ( ) + + ( ) a) ( 9) ( ) + + ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) + ( ) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) Hur blir det med multiplikation med negativa tal? En multiplikation kan ju alltid skrivas som en addition, + + + 8 ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 Men hur kan det tänkas bli om båda faktorerna är minus? Låt oss göra en tabell igen: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )? Tja, om det ska vara någon rim och reson så måste ( ) ( ) bli, eller hur? Även här gäller alltså kom-ihåg-regeln: "Lika tecken ger plus, olika tecken ger minus" Beräkna. a) ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 a) ( ) ( ) 9 a) ( 0) 0 0 Nu ökar vi på med decimaler också. Beräkna. 0 a), (,0), (,) ( 0,), a) (,8) + (,) (,) +, (,) + 0, a) (,) 0,8 (,) +,0 (,) + ( 8,9) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Bråkform, decimalform, procentform a) Vilken del av ett bråk kallas täljare? Vilken del av ett bråk kallas nämnare? a) Vad kallas resultatet av en division? Är ett bråk också en division? Skriv som bråk. a) en halv en fjärdedel a) en tredjedel en femtedel a) två femtedelar tre sjundedelar 8 a) sju fjärdedelar fem åttondelar 9 a) tolv setondelar tre fjärdedelar 0 a) två niondelar en nittondel "Det hela" är 00 procent Procent betyder på hundra. En procent betyder då alltså en på hundra, eller en hundradel. 0 procent 0 hundradelar, dvs. hälften av en hel. 00 procent 00 hundradelar, dvs. det hela, en hel, alltsammans. Skriv dessa vanliga procenttal som bråk. a) 0 % % a) 0 % % a) 00 % 0 % Om du har 00 kr. Hur mycket är då... a) 0 % % % Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 8
a) 00 % 0 % % EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 9 Om du har ett rep som är 8 meter långt. Hur många meter är då... a) % 0 % 00 % a) %, % 0 % Hur långt är % av... 8 a) 0 m 00 m 0 cm 9 a) 00 m mil 800 km Hur många är % av... 0 a) st 00 st 0 st a) 0 st 8 st st Omvandla följande bråk till ett bråk i blandad form. a) fem fjärdedelar fem tredjedelar a) tolv femtedelar tjugo sjättedelar a) fjorton åttondelar nio femtedelar a) tretton tiondelar femton niondelar Skriv i decimalform och i procentform. a) 0 00 a) 8 0 8 a) 000 0 0 0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 9
Skriv i bråkform (använd blandad form om så behövs!), och i procentform. 9 a) 0,0 0,0,0 80 a),0 0, 0,0 8 a) 0, 0,, Skriv i procentform. 8 a) 0,0 0, 0, 8 a) 0, 0 8 a) 0,9 000 Vilket bråk är störst? 8 a) eller 8 a) 8 eller 0 0 8 a) eller 0 Vilket bråk är minst? 88 a) eller 89 eller 8 eller 0 9 eller 0 9 0,00 00 00 eller 8 eller 9 eller 0 Om det du har ökar med 0 %. Hur mycket har du då om du från början har... 90 a) 00 kr 0 kr 0 kr Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 0
9 a) 0 kr 00 kr 00 kr EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 9 Om det du har ökar med %. Hur mycket har du då om du från början har... 9 a) 0 kr 0 kr 0 kr 9 a) kr 80 kr 00 kr Antag att dina pengar har ökat med 0 %. Hur mycket hade du innan ökningen om du nu efter ökningen har... 9 a) 0 kr 00 kr kr 9 a) 0 kr 0 kr 90 kr Antag att dina pengar har ökat med 0 %. Hur mycket hade du innan ökningen om du nu efter ökningen har... 9 a) 0 kr kr kr 9 a) 0 kr kr 8,0 kr Om det du har minskar med 0 %. Hur mycket har du då om du från början har... 98 a) 0 kr 00 kr kr 99 a) 0 kr 0 kr 90 kr Antag att priset på en viss vara har ökat. Med hur många procent har priset ökat om varan från början kostade 0 kr, men nu kostar... 00 a) kr 00 kr kr 0 a) 80 kr,0 kr,0 kr Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
För varje figur nedan, ange hur stor del av figuren är fylld samt hur stor del som inte är fylld. Svaren ska skrivas i a)... bråkform,... procentform och... decimalform 0 0 0 0 0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Räkna med bråk Räkna ut och förenkla om det går. 0 a) + + + 08 a) 09 a) + + 0 0 9 9 + + 0 a) + + 9 Omvandla bråken till decimalform först vid behov. + + 0 a) 0, + + 0, +, a) + + 8 a), + + 0, 8 0 a) +, +,, + 8 a) + 0, +, 0 0 a) + 9 + +, + +, 0 0 8 + 8 0 Om man multiplicerar både täljare och nämnare med samma tal, så förändras inte bråkets värde. Detta kallas att man förlänger ett bråk. 8 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Omvandla bråken genom att använda förlängning om det behövs. Det underlättar uträkningen om bråken har samma nämnare, eller hur? a) 8 a) + + 8 8 + + 0 0 9 a) + 8 0 9 Om man dividerar både täljare och nämnare med samma tal, så förändras inte bråkets värde. Detta kallas att man förkortar ett bråk. / 8 8/ Förkorta med. 0 a) 0 a) 0 0 0 0 Förkorta med. Om det går, så förkorta gärna flera gånger. a) 9 a) 8 Förkorta med så mycket som möjligt. a) 8 a) 0 8 0 0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Klockan Omvandla de utskrivna klockslagen till. (t.e..0). a) halv tio på förmiddagen tjugo över nio på kvällen a) kvart i fyra på morgonen tio i elva på kvällen 8 a) fem över halv åtta på morgonen fem i tolv på förmiddagen 9 a) tjugo i tio på kvällen sju minuter över halv åtta på kvällen 0 a) tre minuter i sju på morgonen kvart över två på eftermiddagen Skriv följande klockslag med ord. a).0 09. 0.0 a) 0.00 0.0. a) 0.. 0. a).0. d) 9. a) 08.0 0. d). a) 0.0.9.9 a) 08.0.. Hur lång tid har det gått mellan dessa klockslag? 8 a) Från.0 till.0 Från 0.0 till.0 9 a) Från.0 till 0. Från 0. till 0. 0 a) Från. till. Från 09.00 till. a) Från.0 till.0 Från 0.0 till 9.0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) Från 0.0 till 0. 08.0 till 8.0 EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 9 Det går 0 sekunder på en minut. Det går 0 minuter på en timme. Det går timmar på ett dygn. Det går dygn på en vecka. Det går dagar på ett år (utom vid skottår då antalet dagar är ) Beräkna hur många hela dygn som gått mellan dessa tidpunkter. a) Från måndag 09.00 till onsdag 0.00 Från tisdag.0 till fredag.0 a) Från söndag.0 till onsdag 0.0 Från fredag.00 till måndag 08.0 Beräkna nu hur många hela timmar som gått mellan dessa tidpunkter. a) Från tisdag.00 till onsdag.0 Från torsdag. till onsdag 9.0 a) Från söndag 0. till tisdag.0 Från måndag 08.0 till fredag.00 Beräkna nu hur många minuter som gått mellan dessa tidpunkter. a) Från måndag.0 till tisdag.0 Från lördag. till onsdag 09.0 8 a) Från söndag 0. till onsdag 9.0 Från onsdag 0.0 till fredag. Beräkna nu hur många sekunder som gått mellan dessa tidpunkter. 9 a) Från tisdag 0.00 till tisdag.00 Från tisdag 0.00 till onsdag 0.00 0 a) Från tisdag 0.00 till torsdag 8.0 Från tisdag 0.00 till måndag 08. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
8 Tidszoner Jorden är ju som bekant uppdelad i olika tidszoner (se t.e. http://www.worldtimezone.com/). Detta betyder t.e. att om klockan är.00 i Stockholm, så är den.00 i Sydney, och.00 i London. Hur mycket är klockan i... London om den är.00 i Stockholm Stockholm om den är.00 i London New York om den är.00 i Moskva Lindas resa startar på Arlanda flygplats utanför Stockholm klockan 0.0 och resmålet är Moskva. Resan tar, timmar. Vad visar klockorna i Moskva när hon landar? Vad skulle pappa Olle svara om hon just då ringde hem och frågade vad klockan är i Stockholm? Hur många timmar har hon "förlorat" under sin flygresa? Lars resa startar också på Arlanda flygplats, fast klockan 0.00 och hans resmål är London. Hur lång tid tar resan om han är framme i London 08:0 lokal tid? 8 Vad är klockan i Stockholm då? Hanna reser med flyg från New York till Helsingfors. Avresan sker klockan. och tar timmar. 9 Hur mycket är klockan lokal tid i Helsingfors när hon landar? 0 Hur mycket får hon ställa fram klockan? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
9 Geometriska begrepp Rita figurer som visar vad vi menar med... a) cm och cm cm och cm Rita två olika figurer som båda har arean 8 cm Rita tre olika figurer som alla har arean cm Rita tre olika rektanglar som alla har arean 8 cm Rita nu dels dm och cm. Hur många cm får det plats på dm? Hur många rader med cm blir det? Hur många kolumner med cm blir det? Rita en rektangel med arean... 8 a) 8 cm cm 0 cm 9 a) cm cm cm 0 Nu kan du beskriva hur man räknar ut arean av en rektangel, eller hur? Skriv ner en liten beskrivning! Beräkna både omkrets och area på dessa rektanglar. Mät med linjal! a) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 8
Beräkna arean och mät omkretsen på dessa trianglar. Mätresultaten ska avrundas till en decimal. a) Rita en triangel med arean... a) cm cm cm a) 0 cm cm 8 cm Beräkna både omkrets och area på dessa cirklar. Mät med linjal, och avrunda svaren till decimaler. (Avrunda π till,) a) Rita en cirkel med arean... a) π cm π cm 9 π cm Rita en cirkel med omkretsen... a) π cm π cm π cm Rita en kvadrat med sidan cm. Rita sedan en cirkel inne i denna kvadrat. Cirkeln ska vara så stor som möjligt. 8 Hur stor area har kvadraten? 9 Hur stor area har cirkeln? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 9
Hur stora är vinklarna? Mät med en gradskiva. 80 a) 8 a) 8 a) Hur många grader är ett helt varv? Hur många grader är ett halvt varv? 8 a) Hur många grader är ett kvarts varv? Hur många grader är varv? Rita vinklar med graderna... 8 a) 8 a) 0 8 9 8 a) 0 Rita två räta (raka) linjer som skär varandra. 8 Hur många vinklar bildas? 88 Mät nu vinklarna och försök klura ut en regel för vinklarnas storlek. När du har kommit på regeln så ritar du två nya linjer som skär varandra, och kollar om du hade rätt. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 0
89 Vilka av trianglarna... a)... har minst en trubbig vinkel... är likbenta... är liksidiga 90 a) Hur stora är vinklarna, y och z? Vad är vinkelsumman + y + z? 9 a) Hur stora är vinklarna, y och z? Vad är vinkelsumman + y + z? 9 Är vinkelsumman alltid samma i alla trianglar? Rita trianglar där av vinklarna är... 9 a) och 0 och a) 0 och 0 När man pratar om trianglar så är det lämpligt att kalla hörnen och vinklarna för något. Väldigt ofta kallas triangelns hörn för A, B och C. (De bör dessutom döpas motsols.) Detta är inget som man måste göra, men det underlättar väldigt mycket både för en själv och för andra om man vänjer sig vid att använda dessa beteckningar. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Som ett eempel på hur bekvämt detta kan vara så kan vi nu till eempel säga till varandra: "Sidan AB ska vara cm lång i den där triangeln", och vi båda skulle då veta vilken sida som vi pratar om, eller hur? Dessutom skulle jag kunna säga: Vinkeln vid A ska vara º, eller skrivet på ett lite kompaktare sätt, A º. Låt oss nu prova på det här "triangelspråket" lite. Tveka inte att rita ut tringlarna. Det underlättar något enormt! 9 Rita följande triangel: AB cm, AC cm, BC cm 9 Vad kallas en sådan triangel? 9 Rita följande triangel: AB cm, AC cm, BC cm 9 Vad kallas en sådan triangel? 98 Rita en triangel där sidan AB cm, sidan AC cm och A 0º. Hur lång blir sidan BC? 99 Rita en triangel där AB cm, BC 8 cm och B º. Hur lång blir sidan AC? 00 Om vinkel A º och B 0º. Hur stor är då vinkeln C? 0 Om vinkel B 90º och C 0º. Hur stor är då vinkeln A? 0 Om vinkel A 90º och sidan AB cm och sidan AC cm. Hur lång är då sidan BC? 0 Vad kallas en triangel där en av vinklarna är 90º? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
0 Väg, tid, fart Om det tar oss timme att köra 0 km, så kan man säga att vi har kört med medelhastigheten 0 km/timme. Självklart körde vi säkert både saktare och fortare än 0 km/timme ibland. Men i medeltal så körde vi i 0 km/timme. Sagt på lite annat sätt: "Om vi skulle ha kört i eakt 0 km/timme i eakt en timme, så skulle vi ha kört eakt 0 km. Vi mäter ofta hastighet i kilometer/timme, t.e. bilen kör i 0 km/h (h hour timme). Men egentligen så är det meter/sekund som är den "rätta" grundenheten för hastighet, så det är dessa enheter vi kommer att använda här. Om Eva kör i 0 km/h (0 kilometer per timme) så hinner hon 0 km på timme, och 00 km på timmar osv. Alltså kan vi säga att: sträckan hastigheten tiden Vanligast är att kalla sträckan för s, tiden för t och hastigheten för v (engelskans velocity). Så vi skulle kunna skriva ovanstående som: s v t Detta samband kan ju skrivas om till s v eller till t s t v Kontrollera att man kan få fram dessa omskrivningar genom att dividera båda sidor med t eller med v., eller hur? Eempel Lars körde km på 0 minuter. Vilken medelhastighet körde han då med? Svar: v s 000 0m s t 0 0 / Beräkna medelhastigheten. 0 Hur fort springer Vera i genomsnitt om hon springer km på 0 minuter? 0 Hur fort kör Åke om han kör 0 km på timmar? 0 Vilket är förhållandet mellan km/h och m/s? (Hur många km/h är m/s?) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
0 Meteorologer säger ibland att det kommer att blåsa upp till t.e. "sekundmeter" ( m/s). Hur många km/h motsvarar detta? 08 Om en bil kör i 0 km/h. Hur många m/s motsvarar det? 09 Vem kör fortast, den som kör i 0 km/h eller den som kör i 0 m/s? 0 Hur lång tid tar det att åka till månen om man kör i 0 km/s? (Avståndet till månen varierar, så leta först reda på vilket medelavstånd månen har till jorden.) Blandade uppgifter. Åke körde först i 00 km/h under timmar. Sedan fortsatte han i 0 km/h under timmar. Hur långt körde Åke? Hur lång tid tar det att köra, km om man kör i 0 km/h? Helena har timmar på sig att köra mil. Hur fort måste hon köra för att hinna? Anders cyklade i km/h i minuter, och Eva gick i km/h i timmar. a) Hur långt färdades Anders och Eva? Vem färdades längst? Hur långt hinner Samuel cykla om han håller en medelhastighet av km/h, under h och 0 min? Hur långt hinner en örn flyga på en kvart, om den flyger med hastigheten 0 km/h? Ett flygplan kan flyga mycket fortare än en örn. Hur fort flyger ett flygplan om det flyger en sträcka på 00 mil på h? 8 Klockan var.0 när Niklas kom fram till golfbanan. Den ligger km från hans hem. När startade han om han körde i 0 km/h? 9 När Maja kom fram räknade hon ut att hon hade åkt i 80 km/h i medeltal. Sträckan hon åkt var mil. Hur lång tid tog det för Maja att åka? 0 Stefan startar klockan 09.00 från sitt hem och kör sedan 00 km med en medelhastighet av km/h. När är han framme? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Potenser kan på ett enklare sätt skrivas som. Detta kallas för en potens, och den består av en bas och en eponent. a) Femman i eemplet är potensens...? Fyran i eemplet är potensens...? Skriv i potensform. a) 9 9 9 9 9 9 a) 0 0 0 a) Beräkna följande potenser. a) a) a) 8 a) 9 a) 0 a) 0 8 0, 0, 0, 0 Nu utökar vi med andra räknesätt också. Beräkna! a) + 0 0, 0, a) + 0 8 Vilket tal saknas? a)? 9? 8? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) 8??? 8 a)? 0000?? 0 Nu går vi vidare till det som i matematiken brukar kallas potensregler. Egentligen är de faktiskt inga matematikregler utan istället bra komihåg-regler. Det går jättebra att räkna utan potensregler, men det går betydligt fortare om man kan dem. Potensregel eller snabbare med en regel, + Vid multiplikation av två potenser med samma bas så kan man addera potensernas eponenter. Potensregel / / / / eller snabbare med en regel, Vid division av två potenser med samma bas så kan man ta differensen mellan eponenten i täljaren och eponenten i nämnaren. Potensregel 0 Detta hade gällt oavsett vilken bas vi hade använt, eller hur? En potens med eponenten 0 är alltid, oavsett vilken bas potensen har. Här är ett eempel där eponenten i nämnaren är större än eponenten i täljaren. Ett perfekt läge för potensregel, eller hur? Skriv följande potenser så enkelt som möjligt. a) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) 8 a) 9 a) 9 9 9 0 0 0 a) 8 8 a) 9 9 0 0 9 a) 8 8 a) 9 a) 0 a) 9 Beräkna. a) 8 0 0 0 0 0 0 8 a) 0 0 8 8 8 a) 9 a) 0 + 8 0 a) 8 + 8 0 0 0 a) 0 9 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Stora och små tal i potensform Stora tal kan enkelt skrivas i potensform med tio som bas: 0000 0 0 0 0 0 Skriv talen som en tiopotens. a) 0 0 0 0 0 0 000 a) 000000 00 000000000 Små tal kan också enkelt skrivas i potensform med tio som bas: 0 0 0 0 0, 00 0 Skriv talen som en tiopotens. a) 0, 0,00 0,000 00 a) 0,0 0,000 0,000 000 00 Grundpotensform I många sammanhang visar det sig vara mycket praktiskt att skriva tal i något som kallas för grundpotensform. Eempel 000 000 0 00, 000, 0, 000, 0 0,0 0,0 0 0,0, 0,0, 0 Talet som står framför tiopotensen måste vara mellan och 0 för att hela talet ska kunna kalla sig ett tal i grundpotensform. Skriv dessa tal på vanligt sätt. a) 0 0 8 0 a), 0, 0,0 0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 8
8 a) 9, 0,8 0,0 0 Skriv dessa tal i grundpotensform. 9 a) 00 0 00 0 a) 0000, 08 a) 0,8 0,0 00 Skriv dessa tal i grundpotensform och avrunda nu till en decimal. a) 00 0000 89 a) 9900 9 90 a) 00000 Eempel på hur man räknar med tal i grundpotensform., 0 0, 0 0, Räkna ut och svara i grundpotensform. Avrunda till en decimal. a) a) 0 0, 0 8 0 0 0 0 0,8 0 a) 0 0 9 0 0 0, 0, 0 8 0 0 8 Avståndet från solen till planeten Pluto är ungefär, 0 m. Ljusets hastighet är ungefär 0 8 m/s. Hur lång tid tar det för ljuset att färdas till Pluto? a) i sekunder i minuter i timmar 0 8, 0 9 a), 0, 0 9, 0 9, 0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 9
Prefi Stora och små tal Ofta är det väldigt praktiskt att kunna säga (skriva) ett stort eller litet tal med hjälp av en beteckning, s.k. prefi. T.e. är det snyggt att kunna skriva 0 MW istället för 0000000 W, när man talar om en viss anläggnings elproduktion, eller att det går åt µg av ett ämne istället för att behöva skriva 0,00000 g. Våra vanligaste prefi är de decimala. I takt med att datorer blivit allt vanligare, har ett behov av en ny typ av prefi uppstått. Det råder fortfarande stor förvirring om 0 kb faktiskt är 0 000 Bytes eller om det är 0 0 Bytes. Beslut är dock taget om att det ska betyda 0 000 Bytes. Decimala prefi: Värde Prefi Namn Betydelse 0 8 E Ea 000 000 000 000 000 000 (en miljon biljoner) 0 P Peta 000 000 000 000 000 (ett tusen biljoner) 0 T Tera 000 000 000 000 (en biljon) 0 9 G Giga 000 000 000 (en miljard) 0 M Mega 000 000 (en miljon) 0 k kilo 000 (ett tusen) 0 h hekto 00 (hundra) 0 da deka 0 (tio) 0 - d deci 0, (en tiondel) 0 - c centi 0,0 (en hundradel) 0 - m milli 0,00 (en tusendel) 0 - µ, my mikro 0,00000 (en miljondel) 0-9 n nano 0,00000000 (en miljarddel) 0 - p piko 0,00000000000 (en biljondel) 0 - f femto 0,00000000000000 (en tusendels biljondel) 0-8 a atto 0,00000000000000000 (en miljondels biljondel) Binära prefi ska användas i datorvärlden. Nu är det tyvärr långt ifrån alltid som dessa används. Från och med 999 ska kbyte betyda precis 000 byte och inte 0. Att kilo tidigare betydde 0 ibland och 000 ibland skapade förvirring. Nu gäller i stället nedanstående. Binära prefi: Faktor Namn Förkortn Symbol Värde 0 Kilobinär Kibi Ki 0 0 Megabinär Mebi Mi 08 0 Gigabinär Gibi Gi 0 8 0 Tetrabinär Tebi Ti 099 0 Petabinär Pebi Pi 899 90 8 0 Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 0
Uttryck följande tal med ett lämpligt prefi. 0 a) 000 m 0000 m a) 0,0 m 0,00 m 000 W (W Watt, elektrisk energi) 00000 V (V Volt, elektrisk spänning) a) 0,00 g 0,00000 g 00000000 (Hz Hertz, svängningar per sekund) 00000000 Hz är en vanlig "hastighet" på processorer i persondatorer. a) 00000000000 W 000 g a) 0,00000000 g 0,00 W 8 a) 000000 Bytes 00 Bytes 9 Antalet sekunder på ett år ( dagar). 80 En enda vattendroppe innehåller 000 triljoner vattenmolekyler. Hur många vattenmolekyler skulle varje människa på jorden få om dessa fördelades lika (räkna med miljarder människor)? 8 Hur långt är medelavståndet från jorden till solen? 8 a) 000 Bytes 0 Bytes 8 a) 0 9 meter 0 millimeter Skriv ut följande tal. 8 a) 0 MW 80 TWh (hhour) 8 a) µm 0 MiB 8 a) 00 deciliter dag 8 a) Pg pg Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Algebra och ekvationer Ibland vill man kunna prata om tal utan att veta vilket specifikt tal man menar. För att ändå kunna prata och räkna med det här talet, och för att veta att det ska vara ett tal på en viss plats så sätter vi ut en bokstav där istället. Enkelt, eller hur? Eempel Om jag skulle vilja prata om att multiplicera talet med något annat tal, vilket tal som helst, så skulle jag kunna skriva. Jag sätter alltså dit ett för att markera att det ska stå ett tal där, men att det ännu inte är bestämt vilket tal det ska vara. Om vi sedan skulle låta vara till eempel talet, ja då skulle multiplikationen bli. Om skulle vara, så skulle den bli. Eempel Jag hittar nu på följande: Hur ser multiplikationen ut om vi väljer att ska vara talet? Jo, så här: Överallt där det står byter vi ut :et mot en :a. Eempel Jag hittar nu på följande: + Hur ser detta ut om vi väljer att ska vara talet? Jo, så här: + Eempel Hur gör man då om man vill markera ett antal platser med olika tal? Ja, då får man helt enkelt använda olika bokstäver. Jag hittar nu på följande: 0 + y Vad blir detta om vi väljer att ska vara talet och y ska vara talet? Jo, så här: 0 + Man kan välja att använda vilka bokstäver som helst, men senare kommer vi att se att det är bra om man gör på samma sätt som alla andra matematiker. Det blir helt enkelt enklare så. Det vi nu har tittat på är det som kallas för algebraiska uttryck. Håll med om att det namnet gör att det låter mycket svårare än vad det faktiskt är, eller hur? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Räkna ut vad följande uttryck blir, om väljs till att vara talet 0. ( Tänk på att och / går före + och ) 88 a) + 89 a) 0 90 a) + 8 + Titta lite på senaste b uppgiften igen, +. Med 0 så blir ju det 0 + 0, eller hur? Om man säger detta med ord så blir det, st 0:or plus st 0:or. Det borde väl bli st 0:or. Alltså 0 Vi kollar om det är samma. 0 + 0 0 + 0 0 0 0 Jajamensan! Men, om 0 + 0 0, så borde ju +, eller hur? Detta syns ännu tydligare när man inte skriver ut multiplikationstecknet mellan siffran och bokstaven. Ja, det är precis som med parenteser. skrivs alltså. Nu tittar vi igen på talet + Visst låter det väldigt naturligt att säga: "Tre plus fyra är sju ". Prova att byta ut mot något mera vardagligt, t.e. tre äpplen plus äpplen är sju äpplen. Öva nu detta genom att slå ihop de termer som går att slå ihop. Att slå ihop de termer "som går att slå ihop" kallas ibland för att "förenkla så långt som möjligt". 9 a) + + 9 + 9 a) + + + 9 a) 0 + 8 + 9 a) + + + + 8 + Som ni märkte i talen ovan så går det alltså inte att slå ihop till eempel +. Varför då? Jo, multiplikation går alltid före addition, Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
och vi vet ju ännu inte vad är! Men, så fort vi vet vad är så går det förstås. Vilket tal måste vara, för att likheten ska stämma? 9 a) 8 + + 0 9 9 a) + + + 9 a) 0 0 + 98 a) + 8 Titta lite etra på t.e. a i sista uppgiften. Går det att kontrollera att du gjort rätt? (Tips, använd multiplikation) Den typen av uppgifter som du nyss löst brukar kallas för ekvationer. Ordet ekvation kommer ifrån det latinska aequo som betyder "göra lika", och det är ju precis vad du har gjort. Du har sett till att ersätta med ett tal som gör så att båda sidor om likhetstecknet är lika. Eller som de gamla grekerna skulle ha sagt: "Du har gjort lika". Detta kallas också för att lösa ekvationen. Innan vi går vidare med ekvationslösning måste vi lära oss lite mer om hur man räknar med bokstäver, och nästa steg är att använda flera bokstäver i samma uttryck. Förenkla så långt som möjligt. 99 a) + y + y + y 00 a) 9 + y y + y 0 a) 8y + y + 0y 0 y + 0 a) z + + 8y + z + z y + z y Nästa steg är att börja använda parenteser i uttrycken också. Du kommer väl ihåg att om det står ett minustecken framför en parentes Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
så innebär det att alla termer i parentesen måste byta tecken när parentesen tas bort. a (b + c d) a b c + d Förenkla. 0 a) ( ) y + (y ) 0 a) (y z) + z 8 ( ) 0 a) ( ) + 8 ( + y) + (y ) 0 a) (8 y) ( + y) 0a (b + 9a) (a 0 8a + b (b + a) + b (a 08 ( + y) + y (y + ) Innan vi går vidare måste vi faktiskt lära oss lite mer om hur multiplikation fungerar tillsammans med parenteser. Låt oss titta på några eempel till att börja med. Eempel En liten uppfriskning av minnet. ( + ) (), eller hur, men + 0 +, eller hur. Men hur gör vi då om något av talen inne i parentesen är en bokstav? Låt oss undersöka parentesen lite mera noggrant. ( + )... vad säger ni om vi skulle prova att se denna parentes med lite andra ögon. Det är ju inte förbjudet, eller hur? + Håller du med om att man faktiskt skulle kunna rita ( + ) så här? Sagt med andra ord: högar med + saker i varje hög. Eller hur? Om man helt enkelt bara räknar antalet prickar så får man det till. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Nu behåller vi samma prickar, men ritar lite annorlunda. högar med i varje hög Håller du med om att denna bilden skulle kunna skrivas +? Sagt med andra ord: högar med i varje hög PLUS högar med i varje hög. Oavsett om vi skriver ( + ) eller om vi skriver + så är det samma antal prickar. Sagt med andra ord: ( + ) +, eller sagt på matematikspråk: multiplicera in :an i parentesen. Eempel Skriv om uttrycket så att parentesen inte behövs: ( + ) Vi multiplicerar helt enkelt bara in :an: ( + ) +, sådär ja, ingen parentes kvar. MEN! Vad är det för mening att göra så där? Det är ju bara att slå ihop :an och :an först, och sedan multiplicera med :an. Varför hålla på och krångla? Svar: se nästa eempel! Eempel Skriv om uttrycket så att parentesen inte behövs: ( + ) NU har vi nytta av det vi nyss lärt oss, för här går det inte att först slå ihop med, för vi vet ännu inte vad är! Vi multiplicerar in :an i parentesen. ( + ) + +, klart!! högar med i varje hög Skriv om uttrycken så att parentesen inte behövs, och räkna ut det som går att räkna ut. 09 a) ( + ) ( + ) ( + ) 0 a) ( + ) ( + ) ( + ) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) (8 + ) 9( + ) 0( + ) Vad kan tänkas bli? Jo,, eller hur? Skriv om uttrycken så att parentesen inte behövs, och räkna ut det som går att räkna ut. a) ( + ) ( + ) ( + ) a) ( + ) ( + ) (8 + ) a) ( + )0 8( + ) ( + ) Du kommer väl ihåg att om du multiplicerar två tal med lika tecken så blir produkten positiv, och om de två talen har olika tecken så blir produkten negativ., och ( ) 0 Skriv om uttrycken så att parentesen inte behövs, och räkna ut det som går att räkna ut. a) ( + ) ( + ) ( + ) a) (0 + ) ( + ) ( 8 + ) a) ( + ) ( 8) 8( ) Vad händer om man multiplicerar två olika bokstäver med varandra? Vad blir t.e. multiplicerat med y? Svaret är: y Som vanligt skrivs inget multiplikationstecken ut, så svaret blir: y Det är inget konstigt med det egentligen. Jag menar, om vi inte vet vilka tal bokstäverna står för så kan vi inte göra mera än att faktiskt bara skriva att bokstäverna ska multipliceras, eller hur? Du har ju redan gjort detta t.e. med, som ju blir. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Från och med nu kallar vi "Skriv om uttrycken så att parentesen inte behövs, och räkna ut det som går att räkna ut" för att förenkla ett uttryck. 8 a) (y + ) (y + ) (y + 8) 9 a) (8 + )y ( + )y y(y + ) 0 a) ( + y) y( 8y) ( y 0) Nu utökar vi med flera bokstäver. Dessutom ökar vi antalet termer inne i parentesen. Hur blir det då? Tja, som man tror faktiskt. Låt oss ge oss på ett eempel: (y + z + k) y + z + k :et multipliceras in i parentesen, precis som vanligt. Det råkar bara vara ytterligare en term. Inget konstigt. Man gör samma sak oavsett hur många termer som är inne i parentesen. Förenkla a) (y + + z) (z y + ) a) y( + + z) y( z) a) (0 + y k)y y( 8y + k) Ok, nu tar vi nästa steg och multiplicerar parenteser med varandra. Hur? Jo, det är inte alls så konstigt som man kanske skulle kunna tro. Alla termer i de båda parenteserna ska multipliceras med varandra. (a + (c + d) ac + ad + bc + bd Eempel ( + )( + y) + y + + y + y + + y Förenkla a) ( + )(y + ) ( + )(y ) a) ( + )( + ) ( + )(y + ) a) ( )( + y) (y )( ) Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 8
Låt oss nu titta på ett specialfall. Hur ser det ut om en parentes multipliceras med en eakt kopia av sig självt, t.e. (a + (a +? Till att börja med kan vi konstatera att (a + (a + skulle kunna skrivas som (a +, eller hur? Alltså kan vi skriva att: (a + (a + (a + aa + ab + ba + bb a + ab + b Detta specialfall dyker upp så ofta att man i alla tider uppmuntrat matematikstudenter att lära sig detta utantill. Regeln för detta specialfall har fått namnet första kvadreringsregeln. När en parentes dyker upp som ser ut som (a + så kan man räkna ut den genom att tänka så här:. Första termen i kvadrat. plus. gånger första termen gånger andra termen. plus. Andra termen i kvadrat Eempel ( + ) + + 9 + + Ofta kan man gå direkt till svaret utan det där mellanledet. Öva! Förenkla. a) ( + ) ( + ) ( + ) 8 a) ( + ) ( + ) ( + ) 9 a) ( + y) ( + y) (k + z) Nu undrar du säkert vad som händer om det står (a. Ja, låt oss titta på hur det blir. (a (a (a aa ab ba + bb a ab + b Tja, det enda som skiljer sig från (a + är att det blir ett minus på termen i mitten, eller hur? Regeln för detta specialfall har fått namnet andra kvadreringsregeln.. Första termen i kvadrat. minus. gånger första termen gånger andra termen. plus. Andra termen i kvadrat Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 9
Eempel ( ) + 9 + Förenkla. 0 a) ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) a) ( y) ( y) (k z) Sen finns det ytterligare ett specialfall som man brukar lära sig utantill. Det är (a + (a. (a + (a aa ab + ab bb a - b Regeln för detta specialfall har fått namnet konjugatregeln.. Första termen i kvadrat. minus. Andra termen i kvadrat Eempel ( + ) ( ) 9 Förenkla. a) ( + ) ( ) ( + ) ( ) a) ( + ) ( ) ( + ) ( ) a) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Allt på en gång nu a) + ( + y) ( y) ( + y) y a) ( y) + ( y) k( + z) + (k + z) (k z) 8 a) (z + y) + zy (k + ) + (k z) Nu när vi har lärt oss lite mer om hur man räknar algebra, så kan vi gå tillbaka till ekvationslösning igen. Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 0
Hur löser man en ekvation? En ekvation är ju ett uttryck med ett likhetstecken. Till eempel + + Det som står till vänster om likhetstecknet " + " kallas för ekvationens vänsterled (förkortas VL), och det som står till höger om likhetstecknet " + " kallas för ekvationens högerled (förkortas HL). Likhetstecknet är heligt! VL måste alltid vara lika med HL. Alltid! Kom ihåg det! Så, hur gör man då? Tja, målet med ekvationslösning är att ta reda på vad den okända delen står för, och i det här fallet är det ju bokstaven som är okänd. Vi vill alltså att det ska stå någonting när vi är klara. För att komma fram dit pillar vi på ekvationen tills den ser ut så. på ena sidan och allt annat på andra sidan. Det finns bara en regel och det är: Du kan göra vad du vill med ena ledet, bara du gör samma sak med andra ledet! Varför då? Jo, båda leden måste vara LIKA. Du vet, det jag tjatade om för en stund sedan. Låt mig visa. Vi har + +, och anta att vi bestämmer oss för att vi vill ha på vänster sida. (Vi kunde lika gärna ha valt höger sida.) Hur får jag bort :t i HL då? Hmmm, bort... dra bort... ja just det... minus heter det. Vi tar och drar bort i HL. Men då måste vi också göra det i VL. Så här: + + Eftersom vi har dragit bort lika mycket på båda sidor så har vi inte förändrat ekvationen, eller hur? Jämför med en vågskål. Vi har tagit bort lika mycket från båda sidor, alltså måste vågen fortfarande väga jämnt. Resultatet av vår bortdragning blir ju: + Aha, det ser bättre ut. Hur får vi nu bort :an från VL? *Host*... *Host*... pssst... minus + Vi tar återigen bort lika mycket på båda sidor. Och resultatet av detta blir ju: Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Nu är vi så nära lösningen att vi faktiskt kan se att måste vara, eller hur? Men, vi fortsätter med vårt sätt att lösa ekvationen på, bara för att se att det går att gå hela vägen fram. Hur får vi bort :an då? Dividera båda sidor med, så här: Klart! Lös nu dessa ekvationer på samma sätt som vi gjorde ovan. 9 a) + 0 a) + 9 + 8 0 a) 8 + 8 9 a) 9 + + + a) a) + a), +,, + 9 Lös dessa problem med hjälp av en ekvation. Om Maja och Stina lägger samman sina pengar så har de kr. Stina har kr mer än vad Maja har. Hur mycket pengar har var och en? Anders har kr mer än vad Lena har, och tillsammans har de kr. Hur mycket pengar har var och en? 8 Helena har gånger så mycket pengar som Samuel, och tillsammans har de 0 kr. Hur mycket pengar har var och en? 9 Summan av två tal är. Det ena talet är större än det andra. Vilka är talen? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Funktioner Vad är en funktion i matematiken? Ja, det lär vi oss lättast genom att titta på några eempel. Eempel Peter har gjort en funktion. Vi har inte fått veta vad funktionen egentligen gör, så vi provar funktionen genom att stoppa in olika tal. Vi börjar med talet. Då kommer talet 0 ut ur funktionen. Sedan provar vi med, och sedan. Peters funktion 0 Peters funktion Peters funktion Nu kanske du kan klura ut vad Peters funktion gör. Den dubblerar det vi stoppar i den, eller hur? Eempel Peter har gjort en funktion till. Vi provar den på samma sätt, genom att stoppa in olika tal. Vi bestämmer oss för att stoppa in samma tal som förra gången. Resultatet blir då så här: Peters andra funktion Peters andra funktion 0 Peters andra funktion Hm, denna verkar vara lite klurigare, eller hur? Den är inte så enkel att den bara dubblar i alla fall. Multiplicerar den med kanske? Ja, kanske, men det saknas i sådant fall, eftersom. Men vänta Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
nu. 8. Där saknas också. Även med saknas. Då gör ju funktionen så att den först multiplicerar värdet som kommer in med, och sedan ökar den resultatet med. Ha-ha-ha, den funktionen var klurig Peter, ha-ha-ha... Nu kommer en intressant fråga. Hur skulle vi kunna skriva följande mening med hjälp av matematikens språk: "Funktionen multiplicerar först värdet som kommer in med. Sedan ökar den resultatet med." Tja. Ett sätt är att kalla det som stoppas in i funktionen för något. Låt oss kalla det för IN. Låt oss sedan kalla det som funktionen "tillverkar" för UT. Då skulle vi ju faktiskt kunna skriva Peters andra funktion så här: IN + UT Peters första funktion skulle bli så här: IN UT 0 Hitta på en funktion. Avslöja inte vad den gör, utan låt en kompis försöka klura ut vilken funktion det är. Försök klura ut vilken funktion som din kompis har hittat på. Stoppa IN talet i nedanstående funktioner och räkna ut vilka värden som kommer UT a) IN + UT IN + 0 UT IN UT a) IN UT IN + UT (multiplikationen går först, eller hur?) IN 0 UT Stoppa nu istället IN talet 0 i nedanstående funktioner. a) IN IN UT + UT Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
a) 0 IN IN UT 00 + UT 0 IN IN a) UT 0 + UT 0 0 Inom matematiken brukar man inte använda beteckningarna IN och UT, utan istället så använder man gärna bokstäverna och y i sådana här sammanhang. Låt oss döpa det vi stoppar IN i funktionen till istället, och det som kommer UT ur funktionen till y. Stoppa in i nedanstående funktioner och räkna ut vilka värden på y som kommer ut. a) + y + 0 y 8 a) 0 y + 0 y Som vanligt så skrivs inte multiplikationstecknet ut om en bokstav eller parentes är inblandad. Stoppa in i nedanstående funktioner och räkna ut vilka värden på y som kommer ut. 9 a) y + y 0 a) 0 y 0 y Låt oss titta lite närmare på en av dessa funktioner, och rita upp en tankebild av hur det skulle kunna se ut. Vi kan t.e. välja funktionen y Antag att vi stoppar in talet i denna funktion. Funktionen tar hand om det inkommande talet och placerar det i "platshållaren". "Platshållaren" har vi valt att kalla. Så här: Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Funktionen utför sedan beräkningen och skickar ut värdet genom att placera det i den utgående platshållaren. Den utgående platshållaren har vi valt att kalla y. Så här: Muntligt skulle man kunna beskriva denna funktions uppgift så här: "Ta talet som kommer in och multiplicera det med. Dra sedan ifrån från det resultatet och skicka ut det." I matematikens värld är det istället mycket mera praktiskt att beskriva funktionen i form av en ekvation, y Snegla på ekvationen y samtidigt som du läser den muntliga beskrivningen högt för dig själv. Visst känns även med den matematiska beskrivningen rätt naturlig. Hittills har vi tänkt oss "ett flöde" från vänster till höger, men det skulle naturligtvis gå lika bra att tänka sig flödet åt andra hållet. Så här: y Funktionen är y +. Räkna ut värdet på y när... a) Funktionen är y. Räkna ut värdet på y när... a), 0 Funktionen är y. Räkna ut värdet på y när... a) 00 Funktionen är y b. Räkna ut värdet på y när... a a) a a b a) ab a ab Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
Sannolikhet Eperiment Ta en vanlig tärning med sidorna. Kasta den hundra gånger på ett plant underlag, och sätt ett streck i tabellen vid varje kast för den tärningssida som kommer upp. Summera sedan ihop strecken för varje tärningssida. Tärningssida Streck Summa Går det att se ett mönster? Om inte, gör hundra kast till. Ser du mönstret nu? När man pratar om sannolikhet så menar man hur stor chans det är att en händelse händer. Till eempel som med tärningen. Hur stor chans är det att man får en :a? Tja, om tärningen är någorlunda välgjord så borde den inte "favorisera" någon sida, utan varje sida borde komma upp lika ofta. Kontrollera i din tabell. Kommer t.e. :an upp lika många gånger som :an? Hur är det med de andra? Med "lika" många gånger menas "ungefär lika" många gånger. Ju fler kast man gör desto bättre resultat får man. Sannolikheten för en viss händelse skrivs som: antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall I eemplet med tärningen är ju antalet möjliga utfall (vi kan få en etta, en tvåa, en trea, en fyra, en femma eller en sea). Om vi är Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se
intresserade av chansen att få en sea, så är antalet gynnsamma utfall. Man säger att sannolikheten för att få en sea är:,% Hur stor är sannolikheten för att få en :a eller en :a? Använd alltid formeln: antalet gynnsamma utfall sannolikhe ten antalet möjliga utfall I detta fallet är antalet gynnsamma utfall (vi vill ju ha en :a eller en :a). Antalet möjliga utfall för en sesidig tärning är ju (,,,, eller ). Svar: Sannolikheten för att få en :a eller en :a är % Eperiment Tillverka en urna genom att leta reda på en burk som inte går att se igenom. Gör sedan lika stora lappar, t.e. vita och röda lappar. Vik lapparna så att det inte går att känna någon skillnad på dem, och lägg dem sedan i urnan. Skaka urnan. Ta sedan (utan att titta!) en lapp ur urnan. Notera vilken färg den har och sätt ett streck på ett papper för den färgen. Lägg tillbaka lappen och skaka urnan igen. Upprepa detta 0 gånger. a) Hur ofta drogs en vit lapp? Hur ofta drogs en röd lapp? Räkna nu ut den matematiska sannolikheten genom att använda formeln. a) Hur stor är sannolikheten att dra en vit lapp? Hur stor är sannolikheten att dra en röd lapp? 8 Stämmer dessa uträkningar någorlunda med resultatet i eperimentet? Ta nu bort av de röda lapparna. Gör om eperimentet. 9 a) Hur ofta drogs en vit lapp? Hur ofta drogs en röd lapp? 0 a) Hur stor är nu sannolikheten att dra en vit lapp? Hur stor är nu sannolikheten att dra en röd lapp? Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 8
Stämmer dessa uträkningar någorlunda med resultatet i eperimentet? Antag att vi har en vanlig kortlek med kort, som är väl blandad. Hur stor är sannolikheten att det översta kortet är ett hjärter? Hur stor är sannolikheten för de övriga färgerna? Hur stor är sannolikheten att det översta kortet är ett Ess? Hur stor är sannolikheten att det översta kortet är ett klätt kort? (Essen räknas inte) Antag nu att vi bara använder 0 kort, t.e. ess,,,..., 0 i färgen spader. Sannolikheten att få esset, när vi drar ett kort, är ju /0 0% ( gynnsamt utfall dividerat med 0 möjliga utfall). Hur stor är då sannolikheten för att inte få ett ess? Tja, frågan är alltid: "hur många gynnsamma utfall finns det", och nu är det alltså gynnsamt att dra allt utom ett ess, dvs. vi har 9 gynnsamma utfall, dividerat med 0 möjliga utfall, dvs. sannolikheten är 9/0 90% Antag att vi nu tar fram resten av korten och återställer vår kortlek till kort. Hur stor är sannolikheten att det översta kortet inte är ett hjärter? Hur stor är sannolikheten att det översta kortet inte är ett klätt kort? 8 Hur stor är sannolikheten att det översta kortet inte är en :a,:a eller :a? 9 Om sannolikheten för att få vinst i ett visst lotteri är 0,8%, hur stor är då sannolikheten för att inte få vinst? När man räknar ut sannolikheten för att en viss händelse inte ska hända så brukar matematiker kalla detta för att räkna ut sannolikheten för komplementhändelsen. Ett lite krångligt ord för ett mycket enkelt begrepp, för det är ju just det som du redan gjort i alla de ovanstående talen. Sannolikheten för att en viss händelse inträffar plus sannolikheten att denna händelse inte inträffar måste vara 00% Creative Commons Licens (GRATIS fri kopiering) av SandellUtbildning.se 9