Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter av normalvektor till planet För att bestämma normalvektor n tar vi några två vektorer i planet och räknar deras kryssprodukt Den första vektor i planet är t ex linjens riktningsvektor v = (, 0, Den andra är t ex vektor mellan punkterna (,, 0 och punkten på linjen som svarar till t = 0 d v s punkten (,, Vi får då den andra vektor v = (, 5, Deras kryssprodukt blir v v = e x e y e z 0 5 = 5e x 0e z = 5(, 0, Vi väljer n = (, 0, och vi får planets ekvation (x + z = 0 eller x + z = Matrisen till systemet är 0 a + a 4 6 Två första radoperationer: den första raden adderas till den andra samt den första gånger ( adderas till den tredje Nya matrisen blir 0 a 0 a 4 Nästa radoperationen: den andra raden gånger ( a adderas till den tredje Nya matrisen blir 0 a 0 0 a 4 a Den sista ekvationen är (a 4z = a Om a 4 0 d v s a ± då har den entydig lösning och två andra ekvationer i systemet lösas också entydigt Alltså, för a ± systemet har en lösning Om a =, den sista akvationen blir 0 = 0 och två andra ekvationer ger oändligt många lösningar till systemet Om a =, den sista ekvationen blir 0 = 4 som saknar lösning Då saknar systemet lösningar också Enligt metoden, skriver vi först matrisen 0 4 0 0 0 0 0 0 0
och tillämpar därefter radoperationer för att återföra den vänstra kvadrat till en enhetsmatris I höger kvadrat då får man den inversa matrisen Den första radoperationen som behövs för att köra Gausselimination är omkastning av två första raderna Nya matrisen blir 0 4 0 0 0 0 0 0 0 Därefter kör man Gausselimination på ett vanligt sätt och man får svar A = 4 6 5 8 4 4 Enligt standardforlmel för andragradsekvationer, rötterna är z, = + i ± ( i ( 4i = + i ± i Nu skall vi bestämma i d v s lösa ekvation w = i Vi söker w i form w = x + iy med reella x och y Då varav i = (x + iy = x y + ixy, x y = 0 och xy = Den första ekvationen ger oss y = ±x I fallet y = x insättningen till den andra ekvationen ger x = d v s x = = y eller x = = y I fallet y = x insättningen till den andra ekvation ger oss x = och den ekvationen saknar reella lösningar (och man söker endast reella x och y Alltså, får vi i = ±( + i och insättningen till den första formel ger oss z = i och z = 5 Bas av induktion d v s fallet n = gäller självklart Antar nu att formel stämmer för något heltal n Vi skall visa att samma formel stämmer också för nästa heltal n + Vi har då A n+ = A A n = [ enligt induktionsantagandet ] = ( ( ( 0 0 0 A = = [ matrismultiplikation ] ( 0 = n n n + vilket skulle bevisas 6 Avbildningen skickar varje vektor u i rummet till en vektor v där v = u P l u, där P l u är projektoin av vektor u på linjen l vinkelrät mot planet Om n är
notmalvektor till planet som har längden, då projektionen ges av formel P l u = (u nn och vi får v = u (u nn Ur planets ekvation får vi n = + ( + = / / / Om u = (x, y, z t, då u n = x/ y/ + z/ Detta ger oss v = x y z (x/ y/ + z/ / / / = x (x/ y/ + z/ y + 4 (x/ y/ + z/ = z 4 (x/ y/ + z/ 7x/9 + 4y/9 4z/9 4x/9 + y/9 + 8z/9 4x/9 + 8y/9 + z/9 Matris av avbildningen blir 7/9 4/9 4/9 4/9 /9 8/9 4/9 8/9 /9 7 Antar att c v +c v +c v = 0 Då talen c, c och c är lösningar till homogena systemet med matris 0 0 0 a Efter standarda radoperationer matrisen blir 0 0 0 0 a + / 0 0 0 Vi ser att motsvarande system har endast triviala lösningen c = c = c = 0 om a / Då är vektorerna linjärt oberoende I fallet a = / systemet har oändligt många lösningar och vektorerna är linjärt beroende 8 Överföringsmatris är P = ( / / / / och den fungerar så att de gamla koordinaterna (x, y uttrycks genom de nya (x, y enligt formel ( ( x x = P y y
d v s x = x + y och y = x + y Insättningen av dessa uttryck till ursprungliga kurvans ekvation ger oss efter förenkling Det är ekvation av en parabel y = x / + / 9 Vi söker först egenvärdena till matrisen Den karakteristiska ekvationen är 0 = det(a λi = λ λ = λ λ 6 Den har rötter λ =, λ = Den första egenvektor v som hör till λ = är lösningen till homogena system med matrisen ( A I = 4 Vi får vektor i allmän form och efter normaliseringen får vi v = ( t t ( / 5 / 5 Den andra egenvektor v som hör till λ = är lösningen till homogena system med matrisen ( 4 A + I = Vi får vektor i allmän form ( t t och efter normaliseringen får vi v = ( / 5 / 5 Alltså, diagonalmatrisen D och ortogonalmatrisen P är ( ( 0 / 5 / 5 D = och P = 0 / 5 / 5 0 Vi antar att det finns något reelt egenvärde λ och motsvarande egenvektor v 0 Då det gäller att Av = λv och A v = λ v
vilket ger oss Eftersom v 0, det är möjligt endast om 0 = (A + A + Iv = (λ + λ + v λ + λ + = 0 Men denna andragradsekvation saknar reella lösningar (lätt att kolla! och vi får motsäjelse Alltså vårt antagande om existens av reella egenvärdena var fel