MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer Mikael Hindgren 10 september 2019

Differensekvationer Exempel 1 En talföljd y n} uppfyller yn+1 2y n 0 y 0 3 Bestäm en formel för y n. y n+1 2y n y n} y 0 y 1 y 2...} 3 6 12 24...} 3 1 3 2 3 2 2 3 2 3...} y n 3 2 n Allmänt: Differensekvationen y n+1 + ay n 0 har den allmänna lösningen y n y 0 ( a) n Anm: Differensekvationer kallas också rekurrensekvationer. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 2 / 20

Differensekvationer Exempel 2 (Komplexitet för binär sökning) N n Antal element i en ordnad lista som kan genomsökas med högst n tester Nn+1 2N n N 1 1 Nn+1 2N n 0 N 1 1 N n C 2 n N 1 C 2 1 C 1 2 N n 2 n 1 n 1 log 2 N n n log 2 (N n) + 1 Komplexiteten för binär sökning O(log N) Telefonkatalog med 1 miljon namn n 19.93... + 1 högst 21 tester krävs! Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 3 / 20

Differensekvationer Exempel 3 En talföljd y n} uppfyller yn+1 2 y n y 0 1 y n? Mathematica: y n 4 1 2 n y n} 1 2 2 2 2 2 3/4 2 2 7/8 2 2 15/16 2 2 31/32 2 2 63/64 2 2 127/128...} Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 4 / 20

Linjära differensekvationer Definition 1 En differensekvation är linjär om den kan skrivas på formen L(x n) h n (1) där L är en operator på talföljden x n} med egenskapen L(ax n + by n) al(x n) + bl(y n) a b konstanter (1) kallas homogen om h n 0 annars inhomogen. Av satsen följer: Om x n och y n är två lösningar till en linjär differensekvation så är också ax n + by n en lösning för alla tal a och b. Ex 1: y n+1 2y n är linjär. Ex 3: y n+1 2 y n är ickelinjär. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 5 / 20

Linjära differensekvationer Exempel 4 x n+1 + 2nx n 2 n 1:a ordn linjär och inhomogen x n+2 + n 2 x n+1 3x n 0 2:a ord linjär homogen x n+3 + 3x n+2 + 4x n+1 2x n 3 n + 2n 3:dje ordn linjär inhomogen x n+2 + xn+1 2 3x n 0 2:a ordn ickelinjär Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 6 / 20

Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 5 Lös differensekvationen yn+2 4y n+1 + 4y n 0 y 0 1 y 1 0. Vi söker alla lösningar dvs den allmänna lösningen till differensekvationen: y n+2 + py n+1 + qy n 0 p q godtyckliga konstanter (2) Motsvarande 1:a ordningens ekvation y n+1 + ay n 0 hade den allmänna lösningen y n C( a) n Vi testar därför om y n Cr n är en lösning till (2) Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 7 / 20

Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Insättning av y n Cr n i (2): y n+2 + py n+1 + qy n Cr n+2 + pcr n+1 + qcr n Cr n (r 2 + pr + q) 0 y n Cr n 0 C 0 eller r 2 + pr + q 0 Karakteristisk ekvation Anm: En linjär homogen differensekvation har alltid en trivial lösning y n 0. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 8 / 20

Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Man kan visa: Sats 1 Den homogena differensekvationen y n+2 + py n+1 + qy n 0 har den allmänna lösningen y n C1 r n 1 + C 2 r n 2 r 1 r 2 (C 1 n + C 2 )r n 1 r 1 r 2 där r 1 och r 2 är rötter till den karaktäristiska ekvationen r 2 + pr + q 0 och C 1 och C 2 godtyckliga konstanter. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 9 / 20

Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 1 (forts) yn+2 4y n+1 + 4y n 0 y 0 1 y 1 0. Karaktäristisk ekvation: r 2 4r + 4 (r 2) 2 0 r 1 r 2 2 Allmän lösning enligt Sats 1: y n (C 1 n + C 2 )2 n y 0 1 (C 1 0 + C 2 )2 0 1 C 2 1 y 1 0 (C 1 1 + C 2 )2 1 0 C 1 1 Den sökta lösningen är y n (1 n)2 n. Sats 1 y n C 1 r1 n + C 2r2 n r 1 r 2 (C 1 n + C 2 )r1 n r 1 r 2 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 10 / 20

Homogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 2 Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n 0 y 0 0 y 1 1 Karaktäristisk ekvation: r 2 3r + 2 0 r 1 1 r 2 2 Allmän lösning enligt Sats 1: y n C 1 1 n + C 2 2 n C 1 + C 2 2 n Sats 1 y n C 1 r1 n + C 2r2 n r 1 r 2 (C 1 n + C 2 )r1 n r 1 r 2 y 0 0 C 1 + C 2 2 0 C 1 + C 2 0 C 1 C 2 y 1 1 C 1 + C 2 2 1 C 2 + 2C 2 C 2 1 Den sökta lösningen är y n 2 n 1. Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 11 / 20

Mer om linjära differensekvationer Sats 2 L(x n) h n och L(y n) g n L(x n + y n) h n + g n Sats 3 Om y pn är en lösning till L(y n) h n (3) (partikulärlösning) så ges den allmänna lösningen till (3) av y n y hn + y pn där y hn är den allmänna lösningen till L(y n) 0. Exempel 3 Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n x n y 0 1 y 1 0 (4) då a) x n 2 3 n b) x n 2 2 n Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 12 / 20

Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 3 (a) 1 y hn C 1 + C 2 2 n enligt Ex 2 2 Ansats: y pn A3 n. Insättning i (4): y n+2 3y n+1 + 2y n A3 n+2 3A3 n+1 + 2A3 n A3 n (9 9 + 2) y pn 3 n. 2A3 n 2 3 n A 1. 3 Allmän lösning enligt Sats 2: y n y hn + y pn C 1 + C 2 2 n + 3 n 4 y 0 C 1 + C 2 2 0 + 3 0 C 1 + C 2 + 1 1 C 1 C 2 y 1 C 1 + C 2 2 1 + 3 1 C 1 + 2C 2 + 3 C 2 + 2C 2 + 3 C 2 + 3 0 C 1 3 C 2 3 Den sökta lösningen är y n 3 3 2 n + 3 n Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 13 / 20

Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 3 (b) Samma metod som i (a) men ansatsen y pn A2 n ingår nu i y hn (är lösning till homogena ekvationen) och fungerar inte. Ny ansats: y pn An2 n. Insättning i (4): y n+2 3y n+1 + 2y n A(n + 2)2 n+2 3A(n + 1)2 n+1 + 2An2 n y pn n2 n. A2 n ((4 6 + 2)n + 8 6) 2A2 n 2 2 n A 1. Allmän lösning enligt Sats 2: y n y hn + y pn C 1 + C 2 2 n + n2 n y 0 C 1 + C 2 2 0 + 0 2 0 C 1 + C 2 1 C 1 1 C 2 y 1 C 1 + C 2 2 1 + 1 2 1 C 1 + 2C 2 + 3 1 C 2 + 2C 2 + 2 C 2 + 3 0 C 1 4 C 2 3 Den sökta lösningen är y n 4 + (n 3)2 n Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 14 / 20

Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 4 Lös differensekvationen yn+2 5y n+1 + 6y n 2n + 1 Svar: y n n + 2 2 n y 0 1 y 1 1 Exempel 5 Lös differensekvationen yn+2 4y n+1 + 3y n 4n + 4 Svar: y n 3 n n 2 2n y 0 1 y 1 0 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 15 / 20

Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Exempel 6 Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n 2 3 n 2n y 0 0 y 1 1 Enligt Sats 2 är y n y hn + y p1 n + y p2 n allmän lösning till L(y n) y n+2 3y n+1 + 2y n 2 3 n 2n där y p1 n och y p2 n är partikulärlösningar till L(y n) 2 3 n resp. L(y n) 2n Enligt Ex 3 är y hn C 1 + C 2 2 n och y p1 n 3 n Eftersom y hn innehåller konstantterm (C 1 ) fungerar inte ansatsen y p2 n an + b. Ansatsen y p2 n n(an + b) an 2 + bn ger efter insättning i L(y n) 2n konstanterna a b 1 Bestämning av C 1 och C 2 med hjälp av givna värden på y 0 och y 1 ger den sökta lösningen y n 2 3 2 n + 3 n + n 2 + n + 2 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 16 / 20

Inhomogena linjära differensekvationer med konstanta koefficienter Sammanfattning Partikulärlösning y pn till y n+2 + py n+1 + qy n h n 1 h n Ca n : y pn Aa n om inte y hn innehåller sådan term y pn Ana n om y hn C 1 a n + C 2 b n y pn An 2 a n om y hn (C 1 n + C 2 )a n 2 h n polynom: y pn polynom p(n) av samma grad som h n om inte y hn innehåller konst. term C y pn np(n) om y hn innehåller konstantterm C men inte Cn y pn n 2 p(n) om y hn C 1 n + C 2 3 h n f n + g n: Använd sats 2 Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 17 / 20

Exempel: Rekursiv algoritm för sortering Exempel 7 (Bubble sort) Bestäm effektiviteten # jämförelser (y n) som krävs för att sortera en lista t 1 t 2 t 3... t n} (Ex: 3 5 1 6 4} n 5) av n st reella tal i storleksordning mha Bubble sort. Rekursiv metod: Jfr t 1 med t 2 : t 1 > t 2 byt plats t 1 < t 2 gör inget Jfr (ev nya) t 2 med t 3 : t 2 > t 3 byt plats t 2 < t 3 gör inget. Resultat: Totalt n 1 jämförelser Största talet längst till höger. Börja om med listan t 1 t 2 t 3... t n 1 } nya värden. Ex: 3 5 1 6 4}. En runda ger 3 1 5 4 6}. Börja om med 3 1 5 4} Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 18 / 20

Exempel: Rekursiv algoritm för sortering Exempel 7 (Bubble sort forts) Rekursionsformel: yn y n 1 + n 1 y 1 0 yn y n 1 n 1 y 1 0 y hn C 1 n C enligt tidigare Partikulärlösning: Ansats y pn an 2 + bn eftersom y hn innehåller C Allmän lösning: y n y hn + y pn C + n2 n. Villkoret y 2 2 1 0 ger C 0. n(n 1) y n 2 Anm: Totala antalet jämförelser: y n 1 + 2 + 3 + 4 +... + n 1 Aritmetisk summa} n(n 1) 2 Stämmer! Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 19 / 20

Differensekvationer i Mathematica Lös differensekvationen yn+2 3y n+1 + 2y n 2 3 n y 0 0 y 1 1 Lösning till homogena ekv: RSolve[y[n+2]3y[n+1]+2y[n]0y[n]n] Allmän lösning: RSolve[y[n+2]3y[n+1]+2y[n]2*3^ny[n]n] Sökt lösning: RSolve[y[n+2]3y[n+1]+2y[n]2*3^ny[0]0y[1]1}y[n]n] Akademin för Informationsteknologi ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om differensekvationer 20 / 20

. '. ypn. '. Yau 3A EX 4) LS diffenensehutibnen 3) Aum. lsg : 2h et Ynez Yu yhntypn 5Yuqt6Yu Yo I 121 Yi 941 www.ehur?5r y q.zoeez.zotozc.es I 160 Y L 3 't C 2 't 1+234424+3 1) Yun : r 3 re 2 3 ( C 1) t 2ft 3 Cz I C 5ccz.in ii " :*.is/::::::i...acnt2)tb5(acneiltb)t6(antb)n(a5at6a ) t Zatb 5A 5bt6b I 2am Za 2 & saez 93 " 1424 ht 2 n 12 125 Ent

. acute n' Yan ha ehu 4 8h Yb ' Ok 11g 2. n' n' 31 EXT ) Los ditennsehutione.ir 31 Allan. Yuta Yo Yyue t3yu Yueh Yu : yhntypn C tears " 2h Cft 140 + o o %c Gee ca ' ' Y Karch t : r? her t 30 Y Yhnr C c I I cis Gt3 Cz Et 343. r I r3 2C 20 C O q I " " C Int Yuu Lz g.so 3. 3 Cz sont boy : "! Yu 3 2n Standard 2) thou : auiabr.ypnantboifnnhcr.me ( h auth an 't bn ) Finns inte '!. Yun Ins : Yuen Lyne t3yu ) I b Lutz ) ( aches ) 't bluet ) ) +3 Can 't by 13 nz( a) a tu Yat ( b 136 ) that 2b Ya 43 On ' 2b Until I # 91 Eia. I I Ypn 2h