Tentamen i Matematik, HF90 Torsdag augusti Skrivtid: 4:00-8:00 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 0 av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 0 poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift (p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) x = 0 x + y + z = x + y + z = Uppgift (p) Bestäm arean av triangeln ABC där A=(,,), B=(,,4), C=(4,,) Uppgift (p) Bestäm volymen av parallellepipeden som späns upp av vektorerna u = (,,), v = (,, ), w = (4,,5) Uppgift 4 (p) Bestäm avståndet från punkten P=(,, ) till planet som går genom punkterna A = (,,0), B = (5,, ) och C=(4,0,0) Uppgift 5 (4p) För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) x = 4 x a y + z = ax + y + z = A) en entydig lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning Var god vänd
Uppgift 6 (4p) 0 Låt A =, B =, C = 0 0 Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (p) XA + XB = C b) (p) A X + XB = C Uppgift 7 (p) Plan sluttande mark kan beskrivas med ekvationen x 5 z = 0, där z-axeln är vertikal En kabel spänns upp från punkten (0,, ) i det sluttande markplanet, i riktningen (,,) Kabeln är 0 längdenheter lång Bestäm avståndet från kabelns slutpunkt, P, till det sluttande markplanet Här nedan är en skiss av kabeln och markplanet (y-axeln är riktad inåt) Kabeln går snett inåt z kabel P x markplan Uppgift 8 (p) En kropp K består av två homogena kuber K och K vars kanter är parallella med axlarna i ett koordinat system Den större kuben K har ett hörn i origo O=(0, 0, 0) och varje kant har längden a=4 dm Den mindre kuben K är placerat på den större kuben så att ett hörn ligger i punkten (0,0,4) (se figuren) Varje kant i den mindre kuben har längden b= dm Kuben K är gjord av ett homogent material med densiteten r = r kg / dm Kuben K är gjorda av ett homogent material med densiteten ρ = s kg / dm Bestäm masscentrum till kroppen K Tips: Låt T och T vara tyngdpunkterna för delkroppar K och K med motsvarande massor m och m Om O betecknar origo och T masscentrum så gäller OT = ( m OT + m OT ) där m = m + m m Lycka till!
Facit: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) x = 0 x + y + z = x + y + z = Vi använder Gausselimination: Metod (Vi skriver ekvivalenta ekvationssystem): x = 0 x = 0 x = 0 x + y + z = E+ E y z = y z = x + y + z = E+ E y z = E + E 0 = 0 Systemet är lösbart med två ledande variabler x och y Variabeln z varierar fritt Sätt z = t Från andra ekv får vi y = + t och från första ekv har vi x = y z = t Metod (Totalmatris) Det givna ekvationssystemet ger följande totalmatris där vi tillämpar Gausselimination () 0 ( ) = () ( ) 0 () ( ) = () () ( ) 0 () ( ) = () () ( ) 0 ( ) 0 ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 Sätt zz = tt så ger ( ) att yy = + tt och ( ) att xx = tt ( ) 0 0 0 0 Svar: Systemet har oändligt många lösningar: xx x = t, y = + t, z = t eller yy = + tt zz 0 x = 0 0 Korrekt till y z = eller till 0 ger p 0 = 0 0 0 0 0 Allt korrekt=p Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Bestäm arean av triangeln ABC där A=(,,), B=(,,4), C=(4,,) Metod Arean av triangeln ABC är lika med AB AC
Först AB = (,, ) och AC = (,, ) i j k Vektorprodukten AB AC = = i j + k = i + j k = (,, ) Slutligen: Arean= AB AC = + 9 + = Svar: ae p för korrekt AB AC = (,, ) p om allt är korrekt Metod Vi bestämmer längden (i kvadrat) på triangelns sidor med avståndsformeln (AAAA) = ( ) + ( ) + (4 ) = 6, (BBBB) = (4 ) + ( ) + ( 4) = (AAAA) = (4 ) + ( ) + ( ) = 6 Cosinussatsen (BBBB) = (AAAA) + (AAAA) (AAAA)(AAAA) cos AA ger = 6 + 6 6 6 cos AA cos AA = = 5 (trigonometriska ettan) 6 sin AA = 5 6 = och areasatsen ger 6 AAAAAAaa AAAAAA = Svar: ae AAAA AAAA sin AA = 6 6 6 = ae Rättningsmall p för korrekt cos AA = 5 p om allt är korrekt 6 Uppgift (p) Bestäm volymen av parallellepipeden som späns upp av vektorerna u = (,,), v = (,, ), w = (4,,5) V = 4 = =4 5 Uppgift 4 (p) Bestäm avståndet från punkten P=(,, ) till planet som går genom punkterna A = (,,0), B = (5,, ) och C=(4,0,0) För att få en normalvektor till planet plockar vi ut riktningsvektorer mellan punkterna AAAA = (,0,), AAAA = (,,0),
NN = AAAA AAAA = ıı ȷȷ kk 0 = (,, ) 0 Planets ekvation är då xx + yy zz = dd där insättning av tex CC = (4, 0, 0) ger dd = 4 Planets ekvation: xx + yy zz 4 = 0 (Alternativ: Förenkla (xx 4) + (yy 0) (zz 0) = 0 ) Avståndet mellan punkten P och planet kan vi bestämma på flera sätt: ax + by + cz + d Metod (Formeln: avståndet = ) a + b + c Avståndet från punkten P = ( x, y, z) = (,, ) till planet ax + by + cz + d = 0 dvs xx + yy zz 4 = 0 får vi med hjälp av formeln (se formelblad) ax + by + cz + d + ( ) 4 4 avståndet = = = le a + b + c + 4 + 9 4 4 4 4 4 4 = = = 4 4 4 7 Svar: 4 4 le (= le) 4 7 Metod Linjen genom punkten PP = (,, ) ortogonal mot planet har följande ekvation xx yy = + tt zz Skärningspunkten Q mellan linjen och planet får vi genom att lösa: ( + tt) + ( + tt) ( tt) = 4 Alltså är + tt + 4 + 4tt + + 9tt = 4 4tt = 4 tt = 7 Därmed PPPP = Avståndet från P planet dvs från P till Q är 7 PPPP = 7 + + ( ) = 4 4 = le 7 7 le Svar: 4 7 Metod Tar ut en vektor från en punkt i planet, här CC, till PP som CCCC = (,, )
Avståndet från P till planet är lika med längden av dess projektion på NN = (,, ) PPPPPPPP NN CCCC = (se formelblad) = CP N N = + 4 + = 4 4 4 le Svar: 4 4 le (= le) 4 7 p för korrekt planets normalvektor +p (totalt p) för korrekt planets ekvation för p om allt är korrekt
Uppgift 5 (4p) För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) x = 4 x a y + z = ax + y + z = A) en entydig lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning Determinanten för det givna ekvationssystemet aa = ( aa ) ( aa) + ( + aa ) = aa aa = aa(aa ) är 0 då aa aa 0 och aa Då har ekvationssystemet en entydig lösning För fallet aa = 0 erhålls följande totalmatris () 4 ( ) = () ( ) 4 () 0 ( ) = () () ( ) 0 () 0 ( ) = () ( ) 0 ( ) 4 ( ) 0 där antalet lösningar är oändligt ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 För fallet aa = erhålls följande totalmatris () 4 ( ) = () ( ) 4 () ( ) = () () ( ) 0 () ( ) = () () ( ) 0 5 ( ) 4 ( ) 0 som saknar lösning då 0 = är falsk ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Svar: A) aa 0 och aa B) Då aa = 0 C) Då aa = p för korrekt determinant, DD = aa aa planets normalvektor +p för korrekt A, +p för korrekt B, +p för korrekt C Uppgift 6 (4p) 0 Låt A =, B =, C = 0 0 Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (p) XA + XB = C b) (p) A X + XB = C a) XXXX + XXXX = CC XXXX + XX BB = CC XX(AA + BB) = CC XX(AA + BB)(AA + BB) = CC(AA + BB) XX = CC(AA + BB) AA + BB = + 0 + = 0 + 0 + 0 5 (AA + BB) = 5 5 0 XX = CC(AA + BB) = 5 5 0 = 5 + 0 ( ) + 5 5 + 0 ( ) + = 0 5 0
aa bb 0 bb bb b) Sätt XX = så att AAXX + XXXX = CC aa + aa = cc dd 0 cc dd cc dd 0 aa + aa = 0 = aa bb aa + bb + aa = aa + bb bb = aa + bb = går ej att lösa cc dd cc cc + dd cc + cc = cc = dd + cc + dd = cc + dd = Svar: a) XX = 0 b) Saknar lösning 5 0 a)p för korrekt invers matris (AA + BB) = 5 5 0 p om allt är korrekt 0 = b) p för korrekt systemet aa + bb = cc = cc + dd = p om allt är korrekt Uppgift 7 (p) Plan sluttande mark kan beskrivas med ekvationen x 5 z = 0, där z-axeln är vertikal En kabel spänns upp från punkten (0,, ) i det sluttande markplanet, i riktningen (,,) Kabeln är 0 längdenheter lång Bestäm avståndet från kabelns slutpunkt, P, till det sluttande markplanet Här nedan är en skiss av kabeln och markplanet (y-axeln är riktad inåt) Kabeln går snett inåt z kabel P x markplan Kabelns startpunkt: Q = (0,, ) Kabelns slutpunkt P befinner sig 0 längdenheter från Q i riktningen (,,) (,,) Enhetsvektor i kabelns riktning: r = (,,) QP = 0 r = 0 = (0,0,0) OP = OQ+ QP = (0,, ) + (0,0,0) = (0,,) Alltså P= ( 0,,) Markplanet har ekvationen x + 0 y + 5 z = 0, med normalvektorn (-,0,5) Avståndet från punkten P till markplanet kan bestämmas med formel från formelbladet:
d = Ax + By A + B + Cz + C + D ( ) 0 + 0 + 5 + 0 80 80 Siffror insatta: d = = = 5,7 l e ( ) + 0 + 5 6 6 80 Svar: d= 6 p för korrekt QP =(0,0,0) +p för korrekt P= ( 0,,), p om allt är korrekt Uppgift 8 (p) En kropp K består av två homogena kuber K och K vars kanter är parallella med axlarna i ett koordinat system Den större kuben K har ett hörn i origo O=(0, 0, 0) och varje kant har längden a=4 dm Den mindre kuben K är placerat på den större kuben så att ett hörn ligger i punkten (0,0,4) (se figuren) Varje kant i den mindre kuben har längden b= dm Kuben K är gjord av ett homogent material med densiteten r = r kg / dm Kuben K är gjorda av ett homogent material med densiteten ρ = s kg / dm Bestäm masscentrum till kroppen K Tips: Låt T och T vara tyngdpunkterna för delkroppar K och K med motsvarande massor m och m Om O betecknar origo och T masscentrum så gäller OT = ( m OT + m OT ) där m = m + m m Låt enhetsvektorernas längd i det givna koordinatsystemet vara dm mm = ρρ VV = rraa = 4 rr = 64rr och mm = ρρ VV = ssbb = 8ss TT mitt i KK och TT mitt i KK så att OOOO = ( ) och OOOO = ( 5) OOOO = mm mm OOOO + mm OOOO = [64rr(,,) + 8ss(,,5)] = 8 64rr+8ss 64rr+8ss [8rr(,,) + ss(,,5)] = 8rr+ss Svar: TT = 8rr+ss (6rr + ss, 6rr + ss, 6rr + 5ss) +p för korrekta OOOO och OOOO +p för m=64rr + 8ss p om allt är korrekt (6rr + ss, 6rr + ss, 6rr + 5ss)