Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 4 poäng från uppgifterna 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 9 minst 50% ( poäng) från uppgift 0 3, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Detta tentamenstillfälle tillhör inget kurstillfälle, därför kan inga tidigare duggaresultat tillgodoräknas. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 4 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9.. Låt f(x) = 3 + x (a) Bestäm ett uttryck för f (x), där f är den inversa funktionen till f. (b) Vilken är definitionsmängden för f, som inversfunktion till f? Svar räcker. Lösningsförslag: En funktion f (x) är invers till f(x) om y = f (x) entydigt löser f(y) = x. Observera at x = f(y) = 3 + y bara är definierad för y och har värden x 3. För sådana värden på x och y har vi att f(y) = x 3 + y = x y x 3 y = (x 3) y = + (x 3). Alltså är (a) f (x) = + (x 3) för (b) x 3. (Obs: uttrycket + (x 3) är ju definierat för alla tal x men ger bara invers till f för x 3.)
. Låt f(x) = sin x 3x (x ). Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Ett gränsvärde kan vara ett tal, + eller. Korrekt värde räcker. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange detta. (Tips: Se formelbladet för gränsvärden som kan behövas.) (a) f(x) x 0 (b) f(x) x + (c) f(x) x + Lösningsförslag: (a) (b) f(x) = = x 0 x 0 x 0 sin x f(x) = x + x + 3x sin x 3 x x = 3 x 0 x = sin 6 eftersom sin > 0 och x + då x +. (c) Observera att sin x så f(x) Därmed är också, på grund av instängning, 0 då x. 3x (x ) f(x) = 0. x + sin x x = 3 = 6. x + x = +, 3
3. Ekvationen y 3 + x 3 y = 0 definierar en kurva i xy-planet och innehåller punkten (x, y) = (, ). Bestäm kurvans tangentlutning i denna punkt. Lösningsförslag: Vi löser ut ur ekvationen y3 +x 3 y = 0 medelst implicit derivering. y 3 + x 3 y = 0 d ( = y 3 + x 3 y ) = d x 0 ( ) d d = y3 y + x3 y + x 3 = 0 = 3y + 3x y + x 3 = 0 ( = 3y + x 3) = 3x y = Särskilt har vi, för (x, y) = (, ) (x,y)=(,) = 6 3. = 3x y 3y + x 3. Kurvans tangentlutning i (x, y) = (, ) är alltså 6/3. 4
4. Betrakta funktionen f(x) = 4x x 3 (definierad för alla reella tal x). (a) Bestäm eventuella lokala extremvärden till f(x), för vilka x de antas och om de är lokala minima eller maxima. (b) Utred ifall f(x) har något absolut maximum eller minimum på intervallet 0 x 3, dvs ett största och/eller minsta värde på det intervallet, och vad dessa i så fall är. Lösningsförslag: För att hitta lokala extremvärden till funktionen f(x) = 4x x 3 studerar vi teckenväxlingen hos dess derivata f (x) = 4 6x = 6(x 4) = 6(x + )(x ). Vi noterar att f (x) = 0 då och bara då x = ± och att teckenväxlingen och därmed växande/avtagande hos f(x) är enligt tabellen x < x = < x < x = x > f (x) 0 + 0 f(x) lok. min. lok. max. (a) Från det kan vi alltså sluta oss till att f(x) har ett lokalt minimum f( ) = 3 då x = och ett lokalt maximum f() = 3 då x =. (b) Inom intervallet 0 x 3 är f(x) växande från 0 till och avtagande från till 3. f är en kontinuerlig funktion på hela intervallet, så största värdet måste därför vara f() = 3 och det minsta antingen f(0) eller f(3). Eftersom f(0) = 0 och f(3) = 8 så är det minsta värdet på intervallet f(0) = 0. Alltså: Det största värdet f(x) tar på intervallet 0 x 3 är f() = 3 och det minsta är f(0) = 0. 5. Bestäm värdet av integralen π 0 x sin x. Lösningsförslag: För den här integralen gör vi lämpligen variabelsubstitutionen u = x och har då att du = du = x. Då gäller π π [ ] x sin x u=π. = sin u du. = 0 0 cos u = ( cos π + cos 0) =. u=0 6. Utveckla den obestämda integralen xe x. Lösningsförslag: Denna integral utvecklas lämpligen genom partiell integration xe x. = där C är en allmän konstant. x d ex = [x e x ] ex = [x e x ] e x = xe x e x + C, 5
7. Bestäm en lösning y = f(x) till differentialekvationen som uppfyller villkoret f(0) = 0. = 6x e y Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel, så = 6x e y e y = 6x e y = x 3 + C y = ln(x 3 + C), för x > 3 C/ där C är en allmän konstant. Villkoret f(0) = 0 bestämmer C =, så vår sökta lösning är för x > 3 /. y = ln(x 3 + ) 8. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen för x > 0. Lösningsförslag: + x y = + x. Differentialekvationen är linjär av första ordningen. Vi kan skriva om differentialekvationen genom att multiplicera med en integererande faktor e G (x), där G (x) = x för x > 0, tex G(x) = ln x. Integrerande faktorn blir då eln x = x. + x y = + x x + y = x + x d (xy) = x + x xy = (x + x ) xy = x + 3 x3 + C y = x + 3 x + C x Den allmänna lösningen till differentialekvationen, för x > 0, är alltså y = x + 3 x + C x där C är en allmän konstant. 6
9. (a) [p] Bestäm den allmänna lösningen y = y(x) till den homogena differentialekvationen y + 4y + 3y = 0. (b) [p] Bestäm lösningen y = y(x) till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 3y = x, y(0) = 0, y (0) = 0. Lösningsförslag: (a) Den karakteristiska ekvationen till den homogena linjära differetialekvationen y + 4y + 3y = 0 är r + 4r + 3 = 0, med rötterna r = ±, så den allmänna lösningen till y + 4y + 3y = 0 är y = C e x + C e 3x. (b) den allmänna lösningen till y + 4y + 3y = x (*) får vi genom att till en partikulärlösning addera den allmänna lösningen till den homogena ekvationen i (a). För att bestämma en partikulärlösning kan vi ansätta y p = ax + b och bestämma konstanter a och b så att y = y p löser (*). Vi har att y p = ax + b = y p = a = y p = 0 = y p + 4y p + 3y = 4a + 3(ax + b) = 3ax + 4a + 3b. y p är då en partikulärlösning till (*) om 3a =, 4a + 3b =, Den allmänna lösningen till (*) är alltså a = 3, b = 4a 3 = 9. y = 3 x + 9 + C e x + C e 3x. Vi behöver nu bestämma konstanterna C och C så att y(0) = 0, konstaterar först att y (0) = 0. Vi y = 3 x + 9 + C e x + C e 3x = y = 3 C e x 3C e 3x. Alltså har vi att y(0) = 0 y (0) = 0 9 + C + C = 0 3 C 3C = 0 C + C = 9 C + 3C = 3 C = 3 C = 5 8. Den sökta lösningen är alltså y = 3 x + 9 3 e x + 5 8 e 3x. 7
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms. 0. Låt funktionen f definieras av f(x) = x(x 3). Vad är den maximala definitionsmängden för f bland de reella talen? Skissa grafen till funktionen så att relevanta delar kommer med. Ange särskilt asymptoter och lokala extrempunkter, med motivering och relevanta beräkningar. Lösningsförslag: (Lösningsförslag saknas). Låt kurvan y = x+a, (a > 0) i xy-planet rotera kring x-axeln. Ytan som kurvan sveper mellan x = 0 och x = L innesluter då en rotationskropp. (a) Vad blir volymen av rotationskroppen, mellan x = 0 och x = L, uttryckt i koordinatsystemets volymenheter? (b) Har volymen ett gränsvärde då L, och hur stort är det i så fall? (c) För ett fixt L, har volymen ett gränsvärde då a 0 +, och vad är det i så fall? Lösningsförslag: (a) Volymen av kroppen som bildas då y = x+a mellan x = 0 och x = L (för a > 0) är, enligt skivmetoden L 0 ( ) L π = π (x + a) = [ π (x + a) ] x=l x + a 0 x=0 = π (L + a) + πa = π roterar kring x-axeln ( a ) L + a (b) Vi har att ( π a ) π L + a a så volymens gränsvärde då L är då x, 0 ( ) π = π x + a a. (c) Om a 0 + så a, medan L+a L, så volymen divergerar mot då a 0+.. Bestäm en lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoren d y + = e x y = och = 0. x x=0 Tips: Se standardgränsvärden i formelsamlingen för gränsvärdesvillkoret. Lösningsförslag: Låt z =. Då är ekvationen d y + = e x () 8
ekvivalent med dz + z = e x, () en linjär första ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Med integrerande faktor e x har vi att () d (ex z) = e x e x z = e x e x z = e x + C z = e x ( e x + C) = e x + Ce x Villkoret ger att C =, så vi har alltså att = 0 x=0 = e x + e x Vi integrerar och får då y = ( e x + e x) = e x e x + D. För att bestämma konstanten D så att villkoret x y = gäller konstaterar vi att ( ) y = x x e x e x + D = D, så vi får vår sökta lösning med D =. Slutsats: Den sökta lösningen är y = e x e x +. (Alternativt kan man integrera båda led i den ursprungliga ekvationen så man får ekvationen och lösa för y ur denna differentialekvation.) + y = e x + C, 3. (a) Bestäm en lösning y = y(x) till differentialekvationen som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) = 0. = y + 4 x 4 (b) På vilket intervall blir denna funktion definierad (så att den är kontinuerlig i hela intervallet)? 9
(c) Bestäm en lösning till samma differentialekvation som istället uppfyller begynnelsevillkoret y(0) =. Lösningsförslag: Differentialekvationen = y + 4 x 4 (3) är separabel. Vi har, = y + 4 x 4 y + 4 = (4) x 4. (5) Vi utvecklar integralerna var för sig. För vänsterledet har vi att y + 4 y=u = du 4u + 4 = du u + = [ ] arctan u = [ arctan y ] För högerledet behöver vi göra en partialbråksuppdelning av den rationella integranden Vi ansätter x 4 = (x )(x + ). (x )(x + ) = a x + b x +. Vi kan bestämma a och b genom handpåläggning. efter multiplikation med (x ) har vi att Med x = ger det att a + b (x ) x + a = 4 = x +. Motsvarande procedur med multiplikation med (x + ) följt av att sätta x = ger b = 4. Alltså har vi att ( /4 x 4 = x /4 ) [ = x + 4 ln x ] ln x +. 4 Sätter vi samman har vi att = y + 4 x (6) 4 arctan y = 4 ln x ln x + + C (7) ( 4 y = tan ln x ) ln x + + C (8) ( y = tan ln x ) ln x + + C (9) ( ) x y = tan ln c, (0) x + 0
där c = e 4C är en allmän positiv konstant. Med begynnelsevillkoret y(0) = 0 har vi från ekvation (7) att C = 0, så den sökta lösningen är ( y = tan ln x ) ( ) x ln x + = tan ln. x + (b) Observera singulariteter (funktionen odefinierad) i x = och x =. Den kontinuerliga lösningens definitionsmängd är alltså intervallet (, ). (c) Om vi istället har begynnelsevillkoret y(0) = ger ekvation (7) att C = arctan = π 8 och lösningen ( y = tan ln x ln x + + π ) ( ) x = tan ln eπ/ 4 x + SK, 3 januari 08
Formelsamling för matematisk analys Trigonometriska identiteter sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β ( ) ( ) sin α + sin β = sin α+β cos α β ( ) ( ) cos α + cos β = cos α+β cos α β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β ( ) ( ) sin α sin β = cos α+β sin α β ( ) ( ) cos α cos β = sin α+β sin α β sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)) cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)) sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)) sin α = sin α cos α cos α + sin α = cos α = cos α sin α = cos α = sin α ) = +cos α sin ( α ) = cos α cos ( α Eulers formel: e iθ = cos θ + i sin θ cos θ = (eiθ + e iθ ), sin θ = i (eiθ e iθ ) Standardgränsvärden x ± x ( + x) x = e x ± x p a x = 0 om a > xp (ln x) q = 0 om p > 0 x 0 + sin x x 0 x = x 0 ( + t x) x = e t x x x = x xp e qx = 0 om q > 0 m a m m! a x x Elementära derivator och integraler f(x) f (x) = 0 för heltal m x (ln x) p x q = 0 om q > 0 ln( + x) = ln a om a > 0 = x 0 x f(x) x a ax a a+ xa+ + C om a /x /x ln x + C e x e x e x + C ln x /x x ln x x + C sin x cos x cos x + C cos x sin x sin x + C tan x cos x = + tan x arcsin x x arccos x x ln cos x + C x arcsin x + x + C x arccos x x + C arctan x +x x arctan x ln( + x ) + C a x a x ln a ln a ax + C log a x x ln a a +x a x a+x cos x sin x Derivering och integrering x ln x x ln a + C a arctan ( ) x a + C arcsin ( ) x a + C ln x + a + x + C tan x + C cot x + C d (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), d (f(x)/g(x)) = f (x)g(x) f(x)g (x) d, (g(x)) (f(g(x)) = f (g(x))g (x) f(x)g (x) = [f(x)g(x)] f (x)g(x), f(g(x))g (x) = f(u)du