tid

Kapitel 2 Dynamiska system 2. Enkla systemtyper och deras stegsvar F r att knna konstrera reglatorer f r dynamiska system b r systemens egenskaper vara k nda. Innan vi g r vidare till att behandla modeller f r dynamiska system skall vi ge en kortfattad kvalitativ beskrivning av de viktigaste systemtyperna som man b r k nna till. F r att ge en kvalitativ inblick i de olika systemtyperna kommer vi att betrakta deras stegsvar, dvs tsignalen yètè efter en stegf r ndring i insignalen ètè. F rsta ordningens system. Stegsvaret hos ett system av f rsta ordningen har getts i exempel.3, çgr.5. Karakteristisk f r ett system av denna typ r att sderivatan dy= r olikt noll omedelbart efter stegf r ndringen. Exemplen i kapitel illstrerar hr system av denna typ kan f s genom fysikalisk modellering. System med tv skonstanter. Genom att ha tv system av f rsta ordningen i serie f s ett system med tv skonstanter. Stegsvaret karakteriseras av en l ngsammare respons i b rjan, med dy= =vid t =, jmf çgr 2.. System av denna typ f s i praktiken p samma s tt som f rsta ordningens system. Ett system med tv skonstanter f s t.ex. genom att modellera motorn i exempel. som ett f rsta ordningens system. System med versv ng. Figr 2.2 visar stegsvaret hos ett system med versv ng. Detta r typiskt f r system mekaniska system med fj drande element. N gra exempel r en kran med en h ngande last, en pendel, fj dringen i en bil eller varvtalet hos en motor med çexibel koppling. Systemets tendens till sv ngningar g r det sv rare att reglera. En viktig ppgift f r regleringen r att d mpa sv ngningarna. F r att knna g ra detta b r man ha en tillr ckligt god modell av systemet. System med d d. D d eller sf rdr jning èe. dead time, time delay; ç. kollt aika, aikaviiveè inneb r att det tar en L innan en f r ndring i insignalen syns i tsignalen. Stegsvaret hos ett system 9

y 2 2 4 6 8 2 4 6 Figr 2.: Responsen hos ett system med tv skonstanter. av f rsta ordningen med d d illstreras i çgr 2.3. Eftersom styrsignalen inverkan syns f rst efter en r system med d d sv ra att reglera. F r att knna via korrekt regler tg rd p basen av m tningen yètè vid en t b r reglatorn knna f rtse hr systemet kommer att bete sig mellan en t och t + L, d regler tg rdens inverkan p tsignalen kan observeras. D der f rorsakas i praktiken vanligen av olika typer av transporter, s som vid f rçyttning av material eller vid v tske- eller gasç den. System med d d r d rf r mycket vanliga i processindstrin. System med integration. Om tsignalen best ms av integralen hos insignalen, enligt Z t yètè =k èèçè, èdç è2.è çnns det endast ett v rde p insignalen f r vilket tsignalen y h lls konstant. Varje avvikelse fr n f r y antingen att st ndigt ka eller st ndigt minska. Se çgr 2.4. Typiska exempel p system med integration r m ngden av material y som man har i ett lager med konstant tstr mning. M ngden y h lls konstant endast om inç det till lagret r exakt lika stort som tstr mmen. F r é kar y med konstant hastighet och f r é minskar y med konstant hastighet till lagret r tomt. Ett konkret exempel r v tskeinneh llet y i en beh llare med konstant tç de och inç det. Ett annat viktigt exempel p ett system med integration r servomotorer som anv nds vid positionsreglering. Positionen y styrs med sp nningen till motorn. R relsehastigheten r proportionell mot sp nningen, dvs dy= = k. En avvikelse fr n =ger d rf r pphov till en ih llande f r ndring i positionen. System med inverssvar. Figr 2.5 visar stegsvaret hos en process med inverssvar. K nnetecknande f r dessa system r att svaret startar t motsatta h llet innan det n rmar sig det station ra v rdet. Behovet 2

.5 y.5 2 2 3 4 5 6 7 8 Figr 2.2: Responsen hos ett system med versv ng. att beakta den initiala motsatta verkan av en regler tg rd g r att system med inverssvar r mycket sv ra att reglera. System med inverssvar ppst r t.ex. d tv delprocesser i ett system verkar t motsatt h ll. Om en av processerna har ett snabbt svar och den andra har ett l ngsamt svar, kommer den snabba processen till en b rjan att f tsignalen att g mot ett h ll innan den l ngsamma processen hinner p verka tsignalen. Ett exempel p denna typs system r vid f rbr nning av fasta br nslen ès som çisè. En kning av br nslem ngden f r temperatren i eldh rden f rst att minska eftersom det inkommande br nslet har en l gre temperatr. Efter att f rbr nningen av det tillf rda br nslet kommit i g ng kar temperatren. Andra exempel p system med inverssvar çnns t.ex. vid reglering av vissa çygplan. Inom ekonomiska system r inverssvar vanliga: t.ex. en skattes nkning s nker till en b rjan skatteinkomsterna pga den l gre skatten, men kan senare resltera i en st rre skatteint kt tack vare kad ekonomisk aktivitet. Instabila system. Instabila system karakteriseras av att de divergerar fr n sitt begynnelsetillst nd om de l mnas t sig sj lva. Ett enkelt exempel p ett instabilt system r en inverterad pendel, som faller om den inte kontinerligt balanseras. Det enda s ttet att h lla ett instabilt system vid ett b rv rde r genom att anv nda terkoppling. Vissa çygplan r instabila och beh ver d rf r st ndiga regler tg rder f r att h lla krsen. Exempel p instabila system inom processindstrin r vissa reaktorer med exoterma reaktioner, som b r kylas tillr ckligt f r att h lla reaktionen nder kontroll. Ett annat exempel p instabilitet r att backa ett fordon med sl p. Systemet r instabilt eftersom den minsta avvikelse i krsen f r sl pet att driva t sidan. Det enda s ttet att h lla krsen r att st ndigt kompensera krsavvikelserna med styrningen. En reglator som stabiliserar systemet kan backa ett fordon med sl p tan sv righet. 2

y 2 2 4 6 8 Figr 2.3: Responsen hos ett system av f rsta ordningen med d d èl =è. 2.2 Linj ra system I kapitel har vi sett att dynamiska system beskrivs av diçerentialekvationer. Vi skall i detta kapitel n rmare introdcera modeller av de vanligaste typerna av dynamiska system. Generellt kan ett linj rt dynamiskt system G med insignalen och tsignalen y beskrivas med den linj ra diçerentialekvationen d n yètè n + a d n, yètè dyètè d m ètè n, + æææ+a n, + a n yètè =b m + æææ+b dètè m, + b m ètè è2.2è d r n r systemet ordning. Vanligtvis g ller mén. Systemekvationen è2.2è kan skrivas i en bekv mare form genom att introdcear beteckningen f r diçerentialoperatorn. Eftersom d 2 2 y = d p = d ç d è2.3è y ç = p 2 y è2.4è f ljer generellt att d k k y = pk y Ekvation è2.2è kan s ledes skrivas i formen p n y + a p n, y + æææ+a n,py + a n y = b p m + b p m, + æææ+b m,p + b m è2.5è è2.6è eller Aèpèy = Bèpè è2.7è 22

6 5 4 y 3 2 2 2 4 6 8 Figr 2.4: Responsen hos ett system med integration. d r vi introdcerat polynomen Aèpè = p n + a p n, + æææ+a n,p+a n Bèpè = b p m + b p m, + æææ+b m,p+b m è2.8è è2.9è L ser vi t y r ekvation è2.7è f s eller yètè = Bèpè Aèpè ètè yètè =Gèpèètè è2.è è2.è d r vi deçnierat Gèpè = Bèpè Aèpè è2.2è Fnktionen Gèpè kallas systemets verf ringsfnktion èe. transfer fnction; ç. siirtofnktioè. Anm rkning 2. Begreppet verf ringsfnktion kan deçneras mera rigor st via Laplace-transformen som en operator som verkar p signalernas Laplace-transformer. Denna metod r mera generell n den som anv nds h r, men f r rena diçerentialekvationer av formen è2.2è tan d d f r verf ringsfnktionen en form som r ekvivalent med è2.2è. Laplace-transformen kommer att behandlas i senare krser. System som beskrivs av linj ra diçerentialekvationer av typen è2.2è har ett antal viktiga egenskaper, vilka g r deras behandling speciellt enkel. Egenskaperna f ljer direkt r diçerentialoperatorns egenskaper. 23

.5 y.5.5 2 2 3 4 5 6 7 8 Figr 2.5: Responsen hos ett system med inverssvar. æ Sperpositionsprincipen: om insignalen till systemet G ger tsignalen y = G, och insignalen 2 ger tsignalen y 2 = G 2, g ller att insignalen + 2 ger tsignalen y + y 2, dvs y = Gè + 2 è=g + G 2 = y + y 2 è2.3è æ Parallellkoppling av tv system med verf ringsfnktionerna G och G 2 r ekvivalent med ett system med verf ringsfnktionen G +G 2,ty tsignalen fr n parallellkopplade system ges av y = G + G 2 =èg +G 2 è è2.4è æ Seriekoppling av tv system med verf ringsfnktionerna G och G 2 r ekvivalent med ett system med verf ringsfnktionen G G 2 = G 2 G, ty tsignalen fr n seriekopplade system ges av y = G èg 2 è=g G 2 =G 2 G è2.5è Observera speciellt att tsignalen blir densamma oberoende av systemens ordningsf ljd. Problem 2. Betrakta tv f rsta ordningenens system G och G 2, d r G deçnieras av diçerentialekvationen dy ètè + y ètè = ètè è2.6è och G 2 deçnieras av diçerentialekvationen dy 2 ètè +2y 2 ètè=3 2 ètè è2.7è - Best m systemens verf ringsfnktioner. - H rled diçerentialekvationen som beskriver en parallellkoppling av G och G 2. Veriçera att verf ringsfnktionen hos det parallellkopplade systemet ges av è2.4è. 24

8 6 y 4 2 2 2 3 4 5 Figr 2.6: Responsen hos ett instabilt system. - H rled diçerentialekvationen som beskriver en seriekoppling av G och G 2. Veriçera att verf ringsfnktionen hos det seriekopplade systemet ges av è2.5è. Sambandet è2.è s ger att tsignalen y kan ttryckas genom att mltiplicera insignalen med verf ringsfnktionen Gèpè. Att detta kan g ras f ljer r diçerentialoperatorns linj ritet. Det faktm att diçerentialekvationssambandet kan ttryckas i form av enmltiplikation g r det m jligt att h rleda diçerentialekvationer f r kopplade system genom rent algebraiska maniplationer, best ende av endast mltiplikationer och additioner. Betrakta t.ex. den terkopplade reglerkretsen i çgr 2.7. Genom att ttrycka signalsambanden med hj lp av verf ringsfnktionerna G p èpè och G c èpè och eliminera signalerna e och med hj lp av algebraiska maniplationer f r vi att sambandet mellan signalen r och tsignalen y beskrivs av verf ringsfnktionen yètè =Gèpèrètè è2.8è d r G pèpèg c èpè Gèpè = +G p èpèg c èpè è2.9è Motsvarande diçerentialekvation kan sedan best mmas genom att tnyttja sambandet è2.2è mellan verf ringsfnktionen och diçerentialekvationen. Problem 2.2 H rled sambandet è2.8è, è2.9è mellan r och y. Problem 2.3 Betrakta det terkopplade systemet i çgr 2.7, och antag att systemet G p beskrivs av diçerentialekvationen dyètè + yètè =ètè è2.2è 25

r +, - e - - -y 6 e G c G p Figr 2.7: terkopplad krets. och reglatorn G c beskrivs av diçerentialekvationen dètè +2ètè=2eètè è2.2è Best m diçerentialfnktionen som beskriver sambandet mellan signalerna r och y. 26