Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras med den och vi får D((x 2 + 4 5/2 y x(x 2 + 4 2. Integration ger (x 2 + 4 5/2 y (/8(x 2 + 4 + C. Vi ska ha y(0 /9 vilket ger 6 2/9 6 4/8 + C, dvs C 0. Vi löser ut y och får y x 2 + 4/8. Svar: y x 2 + 4/8. (b Den homogena ekvationen har karakteristisk ekvation 0 r 2 6r + 0 (r 2 +, som ger rötterna r ± i. Lösningsformel ger att lösningarna är y e x (A cos x + B sin x, där A och B är godtyckliga konstanter. Vi ska ha y(0 0, vilket ger A 0, så y Be x sin x, som har y Be x ( sin x + cos x. Vi ska ha y (0, vilket ger B. Svar: y(x e x sin x. 2. (a Ansättning för partialbråksuppdelning ger 2x 2 4x + (x 2 2 (x + A x 2 + B (x 2 2 + C x +. Handpåläggning ger B (8 8 + /(2 +, och C (2 + 4 + /( 2. Sätter vi x 0 får vi 4 A 2 + 4 +, vilket ger A. Integration ger 2x 2 4x + ( (x 2 2 (x + dx x 2 + (x 2 2 + dx x + ln((x 2(x + x 2 Svar: ln((x 2(x + /(x 2.
(b Omskrivning med ger I sin 2 t 0 cos t + sin 2t + sin 2 t cos t dt cos t 0 + 2 sin t + sin 2 t dt. Vi sätter u sin t och har du cos t dt, vilket ger du I 0 + 2u + u 2 du 9 + ( + u 2 9 ( + u arctan ( + sin t arctan. cos 2 t 0 cos t + 2 cos t sin t + sin 2 t cos t dt du + ( +u 2 Svar: arctan(( + sin t//.. kända Maclaurinutvecklingar: Detta ger och Detta ger när x 0. sin x x x! + x5 + termer av högre grad 5! arctan x x x + x5 + termer av högre grad 5 e t + t + t 2 /2! + t /! + termer av högre grad ln( + t t t 2 /2 + t / + termer av högre grad x arctan x x sin x (x 2 x 4 / + x 6 /5 + (x 2 x 4 /6 + x 4 /6 + termer av högre grad e x2 ln( + x 2 x 2 ( x 2 + x 4 /2 + (x 2 x 4 /2 + x 2 ( /2x 4 + termer av högre grad. x arctan x x sin x e x2 ln( + x 2 x 2 x4 /6 + termer av högre grad x 4 /2 + termer av högre grad. x4 /6 + termer med x x4 /2 + termer med x 9 9, Svar: /9. 2
4. (a Med har vi a n n2 x n+ (n +! a n+ x n+2 (n + 2 (n +! a n x n+ n 2 (n + 2! x ( + /n 2 n + 2 0 när n. Kvotkriteriet ger att serien är (absolutkonvergent för alla x. Svar Potensserien är konvergent för alla x. (b Med p(x n 2 x n+ /(n +! har vi att den sökta summan är p(2 och att p (x n n 2 (n + x n (n +! nx n (n! x n n nx n (n!. nx n (n! n ( D n x n ( D x (n! n0 x n D(xe x ( + xe x. n! Detta ger p (x x( + xe x. Vi får med partiell integration p(x (x 2 + xe x dx (x 2 + xe x (2x + e x dx (x 2 + xe x (2x + e x + 2e x dx (x 2 x + e x + C. Eftersom p(0 0 är C. Detta ger p(2 e 2. Svar: e 2. 5. Ekvationen 2 8x/(x 2 + blir efter omskrivning x 2 4x + 0, och har därför lösningarna x och x. Om f(x 8x/(x 2 + kan volymen enligt skalformeln beräknas som V 2π V ( 8(x 2 + 24 2π x 2 + [ 2π 8 arctan( x x 2 + 8x ( 8x x x 2 + 2 dx 2x dx 2π ] ( 24 ( + ( x 2 2x + 8 dx 2π(8 ( π 6 π 8 + 6 6π( 6 π Svar: 6π( π/6.
6. Vi låter f(t vara mängden (massan salt (mätt i kg i tanken vid tiden t (mätt i minuter och V (t vara volymen vätska i tanken vid tiden t (mätt i liter. Enligt uppgift har vi V (t 0 6t och att f (t 6 f(t 2 V (t eftersom f(x/v (t är koncentrationen salt i tanken vid tiden t. f(0 0, så funktionen löser begynnelsevärdesproblemet y + 2 0 y 2, y(0 0. 6t 2 0 6t dt 2 ln(0 6t, så (0 6t 2 är en integrerande faktor. Multiplikation med den ger ekvationen som integreras till D((0 6t 2 y 2(0 6t 2, (0 6t 2 y (/(0 6t + C. Eftersom y(0 0 har vi att C (/0. Vi löser ut y och får f(t y(t (0 6t/ 0 (0 6t 2 / (0 6t( 0 (0 6t/ 2 0 t(0 6t 2(t 6 0 t 2. Detta ger f (t 2( 2 0 t, som visar att f(t har sitt maximum när t 0 /2. Den maximala saltmängden i tanken är därför f(0 /2 (/6(0 0 /2 0 /2. Svar: Mängden salt vid tiden t minuter efter start är 2(t 6 0 t 2 kg. Maximala saltmängden är 0 /2 kg och det sker 0 /2 minuter efter start. 7. Sätter vi f(x ln x har vi f (x /x och + f (x 2 + x 2 /x. Formeln för båglängd ger att den sökta längden är + x 2 L dx. x Vi gör variabelbytet x tan t och har dx ( + tan 2 t dt och + x 2 / cos t. Vi får π/ L cos t π/ ( tan x ( + tan2 t dt sin t + sin t cos 2 dt t Vi delar upp kalkylen i två integraler och gör i den första en omskrivning och variabelbytet u cos t: I π/ 2 /2 sin t dt / 2 π/ ( u + + u 2 ln(( 2 2 /2 sin t cos 2 t dt / 2 ( u( + u du du [ ln + u ] /2 2 u / ( /2 2 2 ln /2 2 2 + 4
Den andra integralen ger I 2 π/ sin t [ cos 2 t dt ] π/ 2 2. cos t Summering ger längden 2 2 ln(9 6 2/2. Svar: 2 2 ln(9 6 2/2. 5