Böjning ÖVNING 1 Bestäm M Rd Betong C30/37 XC3 vct ekv = 0,50 L100 Stenmax = 12 mm 4ϕ16 A s = 4 201 = 804 mm 2 Täckskikt: ϕ16 C nom = c min +Δc dev, Δc dev = 10 mm C min = max (c min,b, c min,dur, 10 mm) C min,b = 16 XC3 C min,dur = vct ekv =0,5 20 C nom = 20+10 = 30 Byglar ϕ10 C nom = 20+10 = 30 u = 30+10+16/2 = 48 d = h u = 550 48 = 502 mm f cd = f ck /γ 0 = 30/1,5 = 20 MPa f yd = f yk /γ s = 500/1,15 = 435 MPa ω = A s f yd /b d f cd ω = 804 435/350 502 20 = 0,0995 ω < ω bal = 0,493 M Rd = A s d(1 ω/2) f yd M Rd = 304 502 (1 0,0995/2) 435 10 6 = 167 knm Svar: M Rd = 167 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 1
ÖVNING 2 Bestäm M Rd 2ϕ12 A s = 226 mm 2 Betong C30/37 XC3 vct ekv = 0,50 L100 Stenmax = 12 mm 12+10 = 22 mm ϕ12: c nom 20+10 = 30 mm 10+10 = 20 mm Bygel: c nom 20+10 = 30 mm u = 30+10+12/2 = 46 mm d = 340 46 = 294 f cd = 20 MPa, f yd = 435 MPa A s = 2ϕ12 = 2 113 = 226 mm 2 ω = A s f yd /b d f cd ω = 226 435/190 294 20 = 0,088 < ω bal m = ω(1 ω/2) = 0,088 (1 0,088)/2 > m = 0,084 m =M/b d 2 f cd M Rd = m b d 2 f cd M Rd = 0,084 190 294 2 20 10 6 = 27,6 knm Svar: M Rd = 27,6 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 2
ÖVNING 3 Bestäm M Rd Betong C35/45 XD3 vct ekv = 0,40 L100 Stenmax = 12 mm 3ϕ25 25+10 = 35 mm ϕ25: c nom 45+10 = 55 mm 10+10 = 20 mm Bygel: c nom 45+10 = 55 mm u = 55+10+25/2 = 78 mm d = 600 78 = 522 mm A s = 3ϕ25 = 3 491 = 1473 mm 2 F cd = 35/1,5 = 23,3 MPa, f yd = 435 MPa ω = A s f yd /b d f cd ω = 1473 435/400 522 23,3 ω = 0,132 ω bal = 0,493 M Rd = A s (1 ω/2) d f yd M Rd = 1473 (1 0,132/2) 522 435 10 6 M Rd = 312 knm Svar: M Rd = 312 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 3
ÖVNING 4 Bestäm q Betong c25/30 ϕ10 s120 h = 190 XC1 Vct ekv = 0,60 L100 Stenmax = 12 mm f cd = 16,7 MPa, f yd = 435 MPa Plattor utförs utan byglar 10+10 = 20 mm c nom 10+10 = 20 mm u = 20+10 =25 mm d = 190 25 = 165 mm A s = 78,5/0,12 = 654 mm 2 /m Räknar på bredden 100 mm ω = 654 435/1000 165 16,7 = 0,103 < ω bal M Rd = 654 (1 0,103/2) 165 435 10 6 M Rd = 44,5 knm/m M Rd = q L 2 /8 L = 3,0+2 0,20/2 = 3,20 m Man räknar L till centrum på upplag q = M Rd 8/L 2 q = 44,5 8/3,2 2 = 34,8 kn/m 2 Svar: q = 34,8 kn/m 2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 4
ÖVNING 5 Bestäm avståndet mellan byglarna, s ϕ12 L = 5,4 m q = 10,3 kn/m 2 d = 180 mm Betong C30/37 M Rd = ql 2 /8 = 10,3 5,4 2 /8 = 37,5 knm/m f cd = 20 MPa, f yd = 435 MPa m = M/b d 2 f cd m = 37,5 10 6 /10 3 180 2 20 = 0,0579 < mbal ω = 1 1 2m = 1 1 2 0,0579 ω = 0,0596 A s = ω b d f cd /f yd A s = 0,0596 1000 180 20/435 A s = 494 mm 2 /m 1ϕ12: A s = π6 2 = 113 mm 2 Antal ϕ12 per meter: n = 494/113 = 4,37 st/m s = 1000/4,37 = 229 mm Eller s = A ϕ12 1000/A s s = 113 1000/494 = 229 mm Svar: Välj ϕ12 s220 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 5
ÖVNING 6 Bestäm M Rd Betong C30/37 4+4 ϕ16 XC3 vct ekv = 0,50 L50 Stenmax = 15 mm 16+10 = 26 mm ϕ16: c nom 15+10 = 25 mm 10+10 = 20 mm Byglar: c nom 15+10 = 25 mm u = 25+10+16/2 = 43 mm Avstånd mellan stänger: max (ϕ, stenmax+5, 20) =20 mm σ = 20+16 = 36 mm 4+4 ϕ16 α = σ/2 = 36/2 = 18 mm d = h u α = 530 43 18 =469 mm A s = 8 h 8 2 = 1608 mm 2 ω = A s f yd /b d f cd ω = 1608 435/290 469 20 = 0,257 ω < ω bal = 0,493 M Rd = A s d (1 ω/2) f yd M Rd = 1608 469 (1 0,257/2) 435 10 6 M Rd = 286 knm Svar: M Rd = 286 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 6
ÖVNING 7 Bestäm M Rd Betong C35/45 4+2 ϕ16 XD2 vct ekv = 0,40 L100 Stenmax = 20 mm 16+10 = 26 mm ϕ16: c nom 35+10 = 45 mm 10+10 = 20 mm Bygel: c nom 35+10 = 45 mm u = 45+10+16/2 = 63 mm Avstånd mellan stänger: max (R 1 ϕ, dg+r 2, 20) R 1 = 1 mm, R 2 = 5 mm, ϕ = 16 mm Max (1 16, 20+5, 20) = 25 mm σ = 25+16 = 41 mm Moment kring undre lagret 6 a = 2 σ a = 2 41/6 =14 mm d = h u a = 630 63 14 = 553 mm A s = 6 π 8 2 = 6 201 = 1206 mm 2 ω = A s f yd /b d f cd ω = 1206 435/360 553 23,3 = 0,113 < ω bal M Rd = A s d (1 ω/2) f yd M Rd = 1206 553 (1 0,113/2) 435 10 6 M Rd = 274 knm Svar: M Rd = 274 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 7
ÖVNING 8 Bestäm M Rd Betong C50/60 4+2+2 ϕ20 XD3 Vct ekv = 0,40 L100 Stenmax = 18 mm f cd = 33,3 MPa, f yd = 435 MPa 20+10 = 30 mm ϕ20: c nom 45+10 = 55 mm 10+10 = 20 mm Byglar: c nom 45+10 = 55 mm u = 55+20/2 = 65 Avstånd mellan stänger: Max (1 20, 18+5, 20) = 23 mm σ = 23+20 = 43 mm 8a = 2 43+2 86 a = 32 mm d = h u a = 740 65 32 = 643 mm A s = 8 314 = 2512 mm 2 ω = A s f yd /b d f cd ω = 2512 435/310 643 (1 0,165/2) 435 10 6 M Rd = 645 knm Svar: M Rd = 645 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 8
ÖVNING 9 Bestäm längden, L Betong c30/37 Täckskikt för byglarna = 45 mm b = 350 mm h = 740 mm 5ϕ16 i överkant d = 740 45 10 16/2 = 677 mm A s = 5 201 = 1005 mm 2 ω = 1005 435/350 677 20 = 0,0923 < ω bal M Rd = 1005 (1 0,0923/2) 677 435 10 6 M Rd = 282 knm M Rd = P L q L 2 /2 M Rd = 50L 90L 2 /2 = 50L 45L 2 50L 45L 2 = 282 L 2 +1,11L 6,27 = 0 L = 0,56 ± 0,56 2 +6,27 L = 2,0 m Svar: L = 2,0 m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 9
ÖVNING 10 Bestäm armering ϕ16 b = 250 mm h = 850 mm M Rd = 290 knm Betong C30/37 XC3 vct ekv = 0,55 L100 Stenmax = 12 mm f cd = 20 MPa, f yd = 435 MPa 16+10 = 26 mm ϕ16: c nom 25+10 = 35 mm 10+10 = 20 mm Byglar: c nom 25+10 = 35 mm u = 35+10+16/2 = 53 mm Avstånd mellan stänger: Max (1 16, 12+5, 20) = 20 mm σ = 20+16 = 36 mm d = (antar ett lager armering) d = 850 53 = 797 mm m = 290 10 6 /250 797 2 20 = 0,0913 mbal ω = 1 1 2m = 1 1 2 0,0913 = 0,1959 A s = ω b d f cd /f yd = 0,0959 250 797 20/435 = 879 mm 2 5ϕ16 Kontroll av bredd: b 245+5 16+4 20 = 250 mm Svar: Välj 5ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 10
ÖVNING 11 Bestäm armering ϕ32 b h = 600 1200 L = 9 m q = 105 knm/m Betong C30/37 XC2 vct ekv = 0,60 L=100 Stenmax = 18 mm f cd 20 MPa, f yd = 435 MPa 32+10 = 42 mm ϕ32: c nom 25+10 = 35 mm 10+10 = 20 mm Byglar: c nom 25+10 = 35 mm u = 35+10+32/2 = 61 mm Avstånd mellan stänger: Max (1 32, 18+5, 20) = 32 mm σ = 32+32 = 64 mm M Rd = q L 2 /8 = 105 9 2 /8 = 1063 knm Antar ett lager armering d = 1200 61 = 1139 mm m = 1063 10 6 /600 1139 2 20 = 0,0683 mbal ω = 1 1 2 0,0663 = 0,0708 A s = 0,0708 600 1139 20/435 = 2224 mm 2 1ϕ32 A s = 804 mm 2 3ϕ32 b erf = 2 45+3 32+2 32 = 250 mm < 600 mm Svar: Välj 3ϕ32 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 11
ÖVNING 12 Beräkna avståndet mellan byglarna, s ϕ12 h = 190 mm L = 6,20 m Bostadsbjälklag Betong: C30/37 XC1 vct ekv = 0,60 L100 Stenmax = 15 mm F cd = 20 MPa, f yd = 435 MPa Bostadsbjälklag; q k = 2,0 kn/m 2, Ψ 0 = 0,7 B1a: q Ed = 1,35 0,19 25+1,5 0,7 2 = 8,5 kn/m 2 B2a: q Ed = 1,20 0,19 25+1,5 2 = 8,7 kn/m 2 M Ed = q L 2 /8 = 8,7 6,2 2 /8 = 41,8 knm/m 12+10 = 22 mm c nom 10+10 = 20 mm d = 190 22 12/2 = 162 mm m = 41,8 10 6 /10 3 162 2 20 = 0,0796 < mbal ω = 1 1 2m = 1 1 2 0,0796 = 0,0831 A s = 0,0831 1000 162 20/435 A s = 619 mm 2 /m n = 619/113 = 5,48 st/m s = 1000/5,48 = 182 Svar: Välj ϕ12 s180 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 12
ÖVNING 13 Dimensionera antalet armeringsstänger, ϕ12 b h = 200 400 Betong C25/30 XC1 Vct ekv = 0,60 L100 Stenmax = 12 mm M Ed = 100kNm F cd = 16,7 MPa, f yd = 435 MPa 12+10 = 22 mm ϕ12: c nom 10+10 = 20 mm 10+10 = 20 mm Byglar: c nom 10+10 = 20 mm u = 20+10+12/2 = 36 mm Avstånd mellan stänger: Max (1 12, 12+5, 20) = 20 σ = 20+12 = 32 mm Antar ett lager armering d = 400 36 = 364 m = 100 10 6 /200 364 2 16,7 = 0,226 < mbal ω = 1 1 2 0,226 = 0,260 A s = 0,26 200 362 16,7/435 = 723 mm 2 7ϕ12 Antal ϕ12 som får plats på bredden: 200 = 2 30+n 12+(n 1) 20 n = 5 st; provar 5+2 ϕ12 a = 2 32/7 = 9 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 13
d = 400 36 9 = 355 mm m = 100 10 6 /200 355 2 16,7 = 0,238 ω = 1 1 2 0,238 = 0,276 A s = 0,276 200 355 16,7/435 = 752 mm 2 7ϕ12 A s = 791> 752 Ok Svar: Välj 5+2 ϕ12 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 14
ÖVNING 14 Beräkna antal armeringsstänger ϕ32 Betong C35/45 XC4 vct ekv = 0,50 L100 Stenmax = 22 mm Konsol: L = 1,8 m q = 130 kn/m P = 370 kn f cd = 23,3 MPa f yd = 435 MPa M Rd = 130 1,8 2 /2+370 1,8 = 877 knm 32+10 = 42 ϕ32: c nom 20+10 = 30 10+10 = 20 Byglar ϕ10: c nom 20+10 = 30 u = 42+32/2 = 58 mm Avstånd mellan stänger: Max (1 32, 22+5, 20) = 32 mm σ = 32+32 = 64 mm Balk: b h = 300 900 Antar ett lager armering d = 900 58 = 842 mm m = 877 10 6 /300 842 2 23,3 = 0,177 mbal ω = 1 1 0,177 = 0,196 A s = 0,196 300 842 23,3/435 = 2652 mm 2 4ϕ32 Antal ϕ32 som får plats på bredden: 300 = 242+n 32+(n 1) 32 n=3 3+1 a = 1 64/4 = 16 mm d = 900 58 16 = 826 m = 877 10 6 /300 826 2 23,3 = 0,184 < mbal ω = 1 1 2 0,184 = 0,205 A s = 0,205 300 826 23,3/435 = 2719 mm 2 4ϕ32 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 15
Svar: Välj 3+1 ϕ32 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 16
ÖVNING 15 Bestäm antalet armeringsstänger ϕ16 b h = 250 800 Betong C35/45 XC3 vct ekv = 0,50 L100 Sk2 Stenmax = 18 mm f cd = 23,3 MPa, f yd = 435 MPa g k = 15+0,25 0,8 25 = 20 kn/m 6,10a; q d = 0,91 1,35 20 = 24,6 kn/m P d = 0,91 1,5 0,7 40 = 38,2 kn M Ed = 21,8 10 2 /8+38,2 10/4 = 403 knm 6,10b; q d = 0,91 1,2 20 = 21,8 kn/m P d = 0,91 1,5 40 = 54,6 kn M Ed = 21,8 10 2 /8+54,6 10/4 = 409 knm 16+10 = 26 ϕ16: c nom 20+10 = 30 10+10 = 20 Byglar: c nom 20+10 = 30 u = 30+10+16/2 = 48 mm Max (16, 18+5, 20) = 23 mm σ = 23+16 = 39 mm Ett lager armering d = 800 48 = 752 mm m = 409 10 6 /250 752 2 23,3 = 0,124 < mbal ω = 0,133 A s = 1339 mm 2 7ϕ16 Antal stänger som får plats på bredden: 250 = 2 40+n 16+(n 1) 23 n = 5 st 5+2 ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 17
a = 2 39/7 = 11 d = 752 11 = 741 mm mbal = 409 10 6 /250 741 2 23,3 = 0,128 ω = 0,137 A s = 1362 mm 2 7ϕ16 Ok Svar: Välj 5+2 ϕ16 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 18
ÖVNING 16 Beräkna balkhöjd och armering Betong C35/45 Täckskikt för byglar 40 mm Stenmax = 18 mm b = 340 mm f cd = 23,3 MPa f yd = 435 MPa Antar balk 340 500 g balk = 0,34 0,5 25 = 4,25 kn/m B1a: q Ed = 1,35 (40+4,25)+1,5 0,7 25 = 86 kn/m B2a: q Ed = 1,20 (40+4,25)+1,5 25+1,5 25 = 90,6 kn/m Stödmoment, full last på konsol: M s = 90,6 3/2 = 408 knm Fältmoment fås för minimilast på konsol: 53,1 3 2 /2 90,6 7 2 /2+R A 7 = 0 R A = 283 kn M AB = R A 2/2q = 283 2 /2 90,6 = 442 knm Fältmomentet är dimensionerande Fält: mbal = 0,372, ω bal = 0,493 d = M/mbal b f cd = 442 10 6 /0,372 340 23,3 = 387 mm A s = ω bal b d f cd /f yd A s = 0,493340 387 23,3/435 = 3475 mm 2 18ϕ16 Avstånd mellan stängerna: Max (16, 18+5, 20) = 23 mm σ = 23+16 = 39 mm Antal armeringsstänger som får plats på bredden 340 mm: FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 19
3 40 = 2 50+n 16+(n 1) 23 n = (340 100+23)/39 n = 6 st Vibrationslucka > 100 mm x = 340 2 50 4 16 2 23 x = 130 mm > 100 mm a = 4 (39+2 39+3 39)/18 = 52 mm h = d+u+a = 387+58+52 = 497 mm Välj h = 500 mm Stöd: Antar 18ϕ16 d = h u a a = [4 (39+2 39)+3 39)+2 (4 39)]/18 = 69 mm d = 500 58 69 = 373 m = 408 10 6 /340 373 2 23,3 = 0,37 < mbal ω = 0,490 A s = 0,490 340 373 23,3/435 = 3329 mm 2 17ϕ16 a = (4 6 39+4 39)/17 = 64 mm d = 500 58 64 = 377 m = 0,362, ω = 0,475 A s = 3259 mm 2 17ϕ16 Svar: Välj höjd = 500 mm. I fält 18ϕ16 (6+4+4+4 ϕ16) I stöd 17ϕ16 (4+4+4+4+1 ϕ16) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 20
ÖVNING 17 Beräkna q och avstånd mellan armeringsstänger, s. ϕ16 Platta: h = 200 mm Balanserad armering Spännvidd 6,7 m Betong C30/37 Täckskikt 35 mm Sk 3 Stenmax = 18 mm F cd = 20 MPa, f yd = 435 MPa d = 200 35 16/2 = 157 mm mbal = 0,372 mm, ω bal = 0,493 M Rd = mbal d b 2 f cd M Rd = 0,372 1000 157 2 23,3 10 6 M Rd = 214 knm/m M Rd = ql 2 /8 q = 214 8/6,7 2 = 38,1 knm/m A s = ω bal b d f cd /f yd A s = 0,493 1000 157 23,3/435 A s = 4146 mm 2 /m ϕ16 s48 Svar: q d = 38,1 knm/m Armering ϕ16 s48 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 21
ÖVNING 18 Beräkna max spännvidd b h = 250 690 mm 2 Betong c35/45 Balanserad armering ϕ32 Laster: Egentyngd balk, g k & q k = 70 kn/m Ψ 0 = 0, 7 XC3 L100 vct ekv = 0,50 Stenmax:= 22 mm Sk3 f cd = 23,3 MPa f yd = 435 MPa B1a: q Ed = 1,35 0,25 0,69 25+1,5 0,7 70 = 79,3 kn/m B2a: q Ed = 1,2 1,35 0,25 0,69 25+1,5 70 = 110,2 kn/m Täckskikt: 32+10 = 42 ϕ32: c nom 20+10 = 30 10+10 = 20 Byglar: c nom 20+10 = 30 u = 42+32/2 = 58 mm Avstånd mellan stänger: (32, 22+5, 20) = 32 mm σ = 32+32 = 64 mm Antar d = 606 mm A s = 0,493 250 606 23,3/435 = 4001 mm 2 5ϕ32 3+2 ϕ32 Bredd för 3ϕ32: 2 42+3 32+2 32 = 244 mm < 250 mm Ok a = 2 64/5 = 26 mm d = 690 58 26 = 606 Ok (lika med antaget d) M Rd = 0,372 250 606 2 23,3 10 6 = 796 knm M Rd = ql 2 /8 L = 796 8/110,2 = 7,6 m Svar: L = 7,6 m Armering 3+2 ϕ32 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 22
ÖVNING 19 Beräkna höjd och armering ϕ32 om balken utförs med balanserad armering. g k = 30 kn/m q k = 12 kn/m Ψ 0 = 0,5 F gk = 80 kn F Qk = 60 kn b = 450 mm Betong C30/37 XC2 vct ekv = 0,5 L100 Sk3 Stenmax = 22 mm f cd = 20 MPa f yd = 435 MPa Laster: Antar balk g k = 9 kn/m LF1 B1a: q Ed =1,35 (9+30)+1,5 0,5 12=61,7 kn/m F Ed =1,35 80+1,5 0,5 60=153 kn q k är huvudlast. LF2 B2a: q Ed =1,2 (9+30)+1,5 12=64,8 kn/m F Ed =1,2 80+1,5 0,5 60=141 kn q k är huvudlast. LF3 B2a: q Ed =1,2 (9+30)+1,5 0,5 12=55,8 kn/m F Ed =1,2 80+1,5 60=186 kn F k är huvudlast. LF1: R B = 61,7 5+153 4/10 = 369,7 kn Tvärkraften växlar tecken vid punktlasten M f = 369,7 6 61,7 6 2 /2 = 1108 knm LF2: R B = 64,8 5+141 4/10 = 380,4 kn M f =380,4 2 /2 64,8 = 1117 knm (dimensionerande) LF3: R B = 55,8 5+186 4/10 = 353,4 kn Tvärkraften växlar tecken vid punktlasten FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 23
M f = 353,4 6 55,8 6 2 /2 = 1116 knm Täckskikt ϕ32: c nom 32+10 = 42 15+10 = 25 10+10 = 20 Byglar: c nom 15+10 = 25 u = 42+32/2 = 58 mm Avstånd mellan stänger: Max (32, 22+5, 20) = 32 mm σ = 32+32 = 64 mm Antal stänger som får plats på bredden: 450 = 2 42+n 32+(n 1) 32 n = 6 st Balanserad armering d = 1117 10 6 /0,372 450 20 d = 578 mm A s = 0,493 450 578 20/435 = 5896 mm 2 8ϕ32 6+2 ϕ32 a = 264/8 = 16 mm h = 578+58+16 = 650 mm g balk = 0,45 0,65 25 = 7,3 kn/m (antaget värde 9 kn/m) Svar: Höjd = 650 mm Armering 6+2 ϕ32 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 24
ÖVNING 20 f cd = 20 MPa f yd = 435 MPa Betong C30/37 XC2 vct ekv = 0,50 Stenmax = 19 mm Täckskikt: ϕ20: c nom 20+10 = 30 15+10 = 25 10+10 = 20 Byglar: c nom 15+10 = 25 u = 25+10+20/2 = 45 mm Avstånd mellan stänger: max (20, 19+5, 20) = 24 mm σ = 24+20 = 44 mm d = 500 45 4 44/12 = 440 mm ω = 12 314 435/400 440 20 = 0,4656 < ω bal M Rd = 12 314 440 (1 0,4656/2) 435 10 6 = 553 knm a) 8+8 = 16 mm d = 500 45 44/2 = 433 ω = 16 314 435/400 433 20 = 0,631 > ω bal ω s = 16 314 σ s /400 433 20 = 0,00145 < s σ s = E s ε s = 200000 3,5 10 3 ((0,8/ω s ) 1) σ s = 700 (0,8/0,00145 σ s 1) Beräkna σ s ur andragradsekvationen: σ s 2+700σ s 386207 = 0 σ s = 350 ± 350 2 +386207 σ s = 363 MPa ω = 0,00145 363 = 0,526 M Rd = 16 314 433 (1 0,526/2) 363 10 6 M Rd = 582 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 25
b) d = 45 mm d = 500 45 6 44/14 = 436 mm A s = 2314 = 628 mm 2 = A 2 s M 2 = A s2 f yd (d d ) M 2 = 628 435 (436 45) 10 6 = 106,8 knm A s1 = 12 314 = 3768 mm 2 ω = 3768 435/400 436 20 = 0,47 < ω bal Kontroll tryckarmeringsspänning: σ s = E s ε cu (1 0,8 d /d ω) σ s = 577 > 435 Ok M 1 = 12 314 436 (1 0,47/2) 435 10 6 M 1 = 547 knm M Rd = M 1 +M 2 = 547+107 = 654 knm Svar: M Rd = 553 knm a) M Rd = 582 knm b) M Rd = 654 knm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 26
ÖVNING 21 Betong c30/37 a) Formelsamling kap 8.6.6 n d = N d /Δ c f cd = 960 10 3 /240 500 20 = 0,40 m d = M d /h Δ c f cd M d = 960(0,09+0,50/2) = 326 knm M d = 326 10 6 /500 500 240 20 = 0,272 Diagram ger ω = 0,39 A s = (ω Δ c f cd /f yd ) 0,5 A s = (0,39 240 500 20/435) 0,5 = 1076 mm 2 Tryckarmering = dragarmering = 1076 mm 2 b) M s = 960 (0,09+0,45) = 518 knm M 1 = mbal b d 2 f cd där mbal = 0,372 M 1 = 0,372 240 450 2 20 10 6 = 362 knm A s1 = ω bal b d f cd /f yd där ω bal = 0,493 A s1 = 0,493 240 450 20/435 = 2448 mm 2 M 2 = M s M 1 = 518 362 = 156 knm A s2 = A s = M 2 /(d d ) f yd A s2 = A s = 156 10 6 /(450 50) 435 = 897 mm 2 Kontroll av stukning av tryckarmering: σ s = E s ε s (1 0,8d /ω bal d) σ s = 2 10 5 3,5 10 3 (1 0,8 50/0,493 450) σ s = 573 > 435 Ok A s = A s1 +A s2 N/f yd A s = 2448+897 960 10 3 /435 = 1138 mm 2 A s = 897 mm 2 c) F c + F s = F s + N d FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 27
Antar att armeringen flyter och att A s = A s α f cd b x+a s σ s = A s σ s +N d α f cd b x = N d x = N d /d b f cd = 960 10 3 /0,8 240 20 = 250 mm Kontrollera antagandet att stålet flyter: σ s = E s ε s =E s ε cu (x d )/x σ s = 2 10 5 3,5 10 3 (250 50)/250 = 560 > 435 Kontroll dragarmering: σ s = E s ε s = E s ε cu (d x)/x σ s = 2 10 5 3,5 10 3 (450 250)/250 = 560 > 435 Ok Ok Momentekvation kring dragarmering: (momentet räknat medsols) F s (d d )+F c (d βx) N d (d+0,09) = 0 A s f yd (d d )+α f cd b x (d βx) N d (d+0,09) = 0 A s = (α f cd b x (d β x) N d (d+0,09))/(f yd (d d )) A s = ( 0,8 20 240 250 (450 0,4 250) + 960 10 3 (450+90)) /(435 (450 50)) = 1048 mm 2 A s = 1048 mm 2 Svar: a) A s = A s = 1076 mm 2 b) A s = 897 mm 2, A s = 1138 mm 2 c) A s = A s = 1048 mm 2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 28
Tvärkraft ÖVNING 22 Klarar plattan lasten, och behövs tvärkraftarmering? Betong C30/37 ϕ12s130 d = 250 mm f cd = 20 MPa f ctd = 2,0/1,5 = 1,33 MPa Kontroll av livtryckbrott: Kontrollen görs för max tvärkraft V Ed = 15 6,5/2 = 48,8 kn V d 0,5 b d ν f cd ν = 0,6 (1 f ck /250) = 0,6 (1 30/250) = 0,528 V Ed 0,5 1000 250 0,528 20 10 3 = 1320 kn Behövs tvärkraftarmering? Kontrollen görs i ett snitt 0,9d från upplagskanten. Ok x = 0,10 + 0,9 250 = 0,325 V Ed (x) = 48,8 0,325 15 = 43,9 kn Inverkan av last nära upplag: V Ed,red (x) = V Ed (x) ((2d x) 2 /4d) q d V Ed,red (x) = 43,9 ((2 0,25 0,325) 2 /4 0,25) 15 = 43,4 kn/m Tvärkraftskapaciteten, V Rd,c V Rd,c [C Rd,c k (100 l f ck ) 1/3 ] b d min b d C Rd,c = 0,18/γ c = 0,18/1,5 = 0,12 k = 1+ 200/d = 1+ 200/250= 1,89 < 2,0 ρ l = A si /b d = 113/(0,13 1000 250) = 0,0035 < 0,02 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 29
V Rdc 0,12 1,89(100 0,0035 30) 1/3 250 V Rdc = 124 kn/m > 43,4 kn/m ν min = 0,035 k 3/2 f ck 1/2 = 0,035 1,89 3/2 30 1/2 = 0,498 V Rdc 0,498 250 = 125 kn/m > 43,4 kn/m Svar: Tvärkraftarmering behövs ej FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 30
ÖVNING 23 Bestäm q d Från exempel 22 fås: V Rdc = 124 kn/m V Ed,red (x) = q d 6,5/2 0,325 q d ((2 0,25 0,325) 2 /4 0,25) q d V Ed,red (x) = 2,89q d V Ed,red (x) = V Rdc 2,89q d = 125 q d = 43,2 kn/m 2 Svar: q d = 43,2 kn/m 2 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 31
ÖVNING 24 V Ed = P d 3,5/5,5+20 5,5/2 = 0,636 P l +55 Livtryckbrott f cd = 16,7 MPa ν = 0,6 (1 25/250) = 0,54 V d = 0,5 b d ν f cd = 0,5 220 0,54 16,7 = 992 kn P d < (992 55)/0,636 = 1473 kn (ej dimensionerande) Kontroll 0,9d från upplag: x = 0,09+0,9 0,22=0,288m V Ed,red (0,288) = 0,636P d +55 0,288 20 ((2 0,22 0,288) 2 /4 0,22) 20 V Ed,red (0,288) =0,636P d +48,7 Beräkning av V Rdc : k = 1+ 200+220 = 1,95 < 2,0 ρ l = 2150/1000 220 = 0,0098 < 0,02 ν min = 0,035 k 1,5 f 0,5 ck ν min = 0,035 1,95 1,5 25 0,5 = 0,477 0,12 1,95 (100 0,0098 25) V Rd,c 1/3 220 = 150 kn/m 0,477 220 = 105 kn/m 0,636P d +55 = 150 kn/m P d = (150 55)/0,636 = 149 kn/m Svar: P d = 149 kn/m FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 32
ÖVNING 25 Beräkna skjuvarmering Betong C30/37 Byglar ϕ10 A sl = 1884 mm 2 R A = R B = 100 6/2 = 300 kn f cd = 20 MPa f ywd = 435 MPa Kontroll av livtryckbrott: Kontrollen görs för maximal tvärkraft V d = 300 kn V d = 0,5 b d ν f cd ν = 0,6 (1 f ck /250) = 0,6 (1 30/250) = 0,528 300 < 0,5 400 650 0,528 20 10 3 = 1373 kn Ok Behövs tvärkraftarmering? Kontrollen görs vid 0,9d från upplag x = 0,2/2+0,9 0,65=0,69 m V Ed,red (0,69) = 300 0,69 100 ((2 0,65 0,69) 2 /4 0,65) 100 V Ed,red (0,69) = 217 kn Tvärkraftkapacitet, V Rdc V Rd,c C Rd,c k (100 l f ck ) 1/3 b d min b d C Rd,c = 0,18/1,5 = 0,12 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 33
k = 1+ 200/d = 1+ 200/650= 1,55 < 2,0 Ok ρ l = A sl /b d = 1884/400 650 = 0,0072 < 2,0 Ok ν min = 0,035 k 3/2 f 1/2 ck = 0,035 1,55 3/2 30 1/2 = 0,37 0,12 1,55 (100 0,0072 30) V Rd,c 1/3 400 650 10 3 = 135 kn 0,37 400 650 10 3 = 96 kn V Ed,red (x) > V Rd,c 217 kn > 135 kn Tvärkraftarmering krävs Trycksträvans lutning θ = 45 x = 0,69 m V Krossning i sned trycksträva V Rd,max = b z ν f cd /(cotθ+tanθ) V Rd,max = 400 0,9 650 0,528 20 10 3 /2 = 1235 kn 1235 > 300 Ok (kontroll för max tvärkraft) Dimensionering av byglar: V Rds = (A sw /s) z f yd cotθ = 157 0,9 650 435 10 3 V Rds 39,95 10 3 /s V Rds V Ed,red (x) 39,95 10 3 /s > 217 s 184 mm Kontroll av minimibyglar: ρ w = A sw /s b min = 157/180 400=0,00218 ρ w,min = 0,08 f ck /f yk = 0,08 30/500 = 0,000876 Ok s < s l,max = 0,75 d (1+cotα) = 487 mm > 180 mm Ok Svar: Välj byglar ϕ10 s180 FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 34
ÖVNING 26 Beräkna skjuvarmering R A = 100 3/5+80 2,5 = 260 kn R B = 100 2/5+80 2,5 = 240 kn f cd = 16,7 MPa f ywd = 435 MPa Kontroll av livtryckbrott: V d < 0,5 b d ν f cd ν = 0,6 (1 25/250) = 0,54 260 < 0,5 300 550 0,54 16,7 10 3 = 743 kn Ok Behövs tvärkraftsarmering? Kontrollen görs 0,9d från upplag. x = 0,30 (2+0,9 0,59) = 0,65 m V Ed,redA (0,65) = 260 0,65 80 ((2 0,55 0,65)/4 0,55) 80 = kn V Ed,redB (0,65) = 201 20 = 181 kn Tvärkraftskapacitet, V Rdc k = 1+ 200/550= 1,60 < 2,0 ρ l = 1809/300 550 = 0,011 < 0,02 ν min = 0,035 1,6 3/2 25 1/2 = 0,354 0,12 1,6 (100 0,011 25) V Rd,c 1/3 300 590 10 3 = 96 kn 0,354 300 550 10 3 = 58 kn Tvärkraftsarmering krävs vid både stöd A och B. Krossning sned trycksträva V Rd,max = 300 0,9 550 0,54 16,7 10 3 /2 = 670 kn > R A Ok Dimensionering av byglar: V Rds = 157 0,9 550 435 10 3 /s = 33,8 10 3 /s Stöd A: s < 33,8 10 3 /201 = 168 mm Stöd B: s < 33,8 10 3 /181 = 186 mm ρ w = 157/ 180 300 = 0,0029 ρ w,min = 0,08 25/500 = 0,008 Ok s < 0,75 550 = 410 mm Ok Svar: Byglar ϕ10; stöd A: s = 160 mm, stöd B: s =180 mm FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR 35