Formelsamling i Automationsteknik FK

Formelsamling i Automationsteknik FK Z-transformation Antag att f(k),k = 0,,2, är en tidsdiskret signal Z-transformen av f(k) definieras av Slutvärdesteoremet F(z) = Z(f(k)) = lim k f(k)z k k=0 f(k) = lim(z )F(z) z under förutsättning att (z )F(z) inte har några poler i z Begynnelsevärdesteoremet lim f(k) = lim F(z) k 0 z under förutsättning att gränsvärdet i högerledet existerar Tabell över Z-transformer f(k) Z[f(k)] = F(z) Kommentarer p e (k) Enhetspuls ( om k = 0, 0 annars) p e (k d) z d Fördröjd enhetspuls ( om k = d, 0 annars) s e (k) z z Enhetssteg (0 om k < 0 och om k 0) s e (k d) z d z z Fördröjt enhetssteg (0 om k < d och om k d) ks e (k) z (z ) 2 Enhetsramp a k s e (k) z z a ka k s e (k) az (z a) 2 a k sinbks e (k) zasinb z 2 2a(cosb)z +a 2 a k cosbks e (k) z(z acosb) z 2 2a(cosb)z +a 2

Räkneregler för Z-transformer f(k) Z[f(k)] = F(z) Kommentarer c f (k)+c 2 f 2 (k) c F (z)+c 2 F 2 (z) Linjäritet f(k d) z d F(z) Fördröjning ( ) z a k f(k) F Dämpning a kf(k) z df dz Allmän formel för stegsvarsinvariant (ZOH) diskretisering H(z) = z ( ( ) ) G(s) Z L z s t=kh Allmän formel för rampsvarsinvariant diskretisering H(z) = ( ( ) ) (z )2 G(s) Z L zh s 2 t=kh Tabell för stegsvarsinvariant (ZOH) diskretisering G(s) H(z) Kommentarer s h z s 2 h 2 (z +) 2(z ) 2 b s+a b e ah az e ah a 2 ( cosah)(z +) c s 2 +a 2 c z 2 2zcosah+ c a 2 (s+a) 2 b s+a e Ls, L = mh c ( (+ah)e ah )z +e ah (e ah +ah) (z e ah ) 2 e ah z mb az e ah m heltal 2

Approximativ diskretisering Approximation av tidskontinuerlig( analog ) regulator med tidsdiskret( digital ) regulator: H R (z) G R (s ) där s för respektive diskretiseringsmetod ges av Euler-framåt: Euler-bakåt: Tustin: s = s = z h s = z hz 2(z ) h(z +) Stabilitetskriterier För att ett tidsdiskret system med överföringsfunktion H(z) skall vara stabilt krävs att samtliga poler till H(z) befinner sig innanför enhetscirkeln ( z < ) Schur-Cohn-Jury s metod Karakteristiska ekvationen är Tabell: där a 0 z n +a z n +a 2 z n 2 + +a n z +a n = 0 a 0 a a n a n a n a n a a 0 b 0 b b n b n b n 2 b 0 c 0 c c n 2 c n 3 b 0 = a 0 a 0 a n a n, b = a a 0 a n a n, och c 0 = b 0 b 0 b n b n, c = b b 0 b n 2 b n, osv Systemet är stabilt precis då inga teckenväxlingar förekommer bland de koefficienter som har index 0 (a 0, b 0, c 0 etc) 3

Möbius-Routh s metod Denna metod går ut på att först transformera problemet från z-planet till s-planet (här kallat w-planet istället) och sen använda Routh s test där Rötterna till polynomet A(z) = a 0 z n +a z n +a 2 z n 2 + +a n z +a n ligger innanför enhetscirkeln ( z < ) om och endast om polynomet ( ) +w ( w) n A = a 0 (+w) n +a (+w) n ( w)+ +a n (+w)( w) n +a n ( w) n w har alla rötter i vänstra halvplanet (Re w < 0) Därmed kan stabilitetstestet överföras på Routh s kriterium i w-planet Specialfall: Andra ordningens system Andragradspolynomet A(z) = z 2 +a z +a 2 har alla rötter i z < om Rouths metod Karakteristisk ekvation Rouths tabell: där osv a 0 a 2 a 4 a a 3 a 5 c 0 c c 2 d 0 d d 2 a 2 < a 2 > a a 2 > a a 0 s n +a s n +a 2 s n 2 + +a n s+a n = 0 c 0 = a a 2 a 0 a 3 a, c = a a 4 a 0 a 5 a, d 0 = c 0a 3 a c c 0, Antalet teckenväxlingar hos talen i den första kolumnen (längs till vänster) är lika med antalet rötter till den karakteristiska ekvationen som har positiv realdel (Re s > 0) Systemet är stabilt precis då detta antal är 0 (inga teckenväxlingar i första kolumnen) 4

Polplacering Problem: Givet en process med överföringsfunktionen H(z) = B(z) A(z) = b z +b 2 z 2 + +b nb z nb +a z +a 2 z 2 + +a na z n A dimensionera en regulator av typen T(z) D(z) U(z) = K r R(z) C(z) C(z) Y(z) där C (z) = +c z + +c nc z n C D(z) = d 0 +d z + +d nd z n D T(z) = +t z + +t nt z n T så att slutna systemets karakteristiska polynom blir P(z) = + p z + + p np z n P Här är C(z) = ( z ) n IC (z) där n I = om regulatorn skall ha integralverkan och n I = 0 annars Utan bortförkortning av processnollställen blir algoritmen följande: Välj gradtal på C och D enligt { n C = n B +n I n D = n A +n I Observera att med integralverkan (n I = ) blir n C = n C = n B och att det då gäller att C(z) = ( z )C (z) 2 Välj gradtalet hos P till n P = n A +n C och inkludera T(z) som faktor i P dvs sätt P(z) = P (z)t(z) 3 Lös polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) = P(z) dvs A(z)( z ) n I C (z)+b(z)d(z) = P(z) med avseende på C (z) och D(z) och sätt C(z) = ( z ) n IC (z) 4 Börvärdesfaktorn väljes enligt K r = P() B()T() Om polynomet T(z) inte är specificerat så gäller att T(z) = (konstant) 5

Tillståndsmodeller Ett system på tillståndsform { ẋ = Ax+Bu har överföringsfunktionen y = Cx+Du G(s) = C(sI A) B +D Omvänt kan ett system representerat med överföringsfunktionen G(s) = b s n +b 2 s n 2 + +b n s+b n s n +a s n +a 2 s n 2 + +a n s+a n realiseras på olika sätt på tillståndsform (x är tillståndsvektorn) De mest kända typerna av realiseringar är följande tre Styrbar kanonisk form: a a 2 a n a n 0 0 0 0 ẋ = 0 0 0 x+ 0 u 0 0 0 0 y = ( b b 2 b n b n ) x Observerbar kanonisk form: a 0 0 b a 2 0 0 b 2 ẋ = x+ u a n 0 0 b n a n 0 0 0 b n y = ( 0 0 0 ) x Diagonalform: Om överföringsfunktionen G(s) enbart har enkla poler kan den uppdelas i partialbråk enligt G(s) = β s+α + β 2 s+α 2 + + β n s+α n + β n s+α n 6

Diagonalformen ges då av α 0 0 0 0 α 2 0 0 ẋ = x+ 0 0 α n 0 0 0 0 α n y = ( ) x β β 2 β n β n u Styrbarhet och tillståndsåterkoppling För systemet ẋ = Ax+Bu där A är en n n-matris och B är en n -matris definieras styrbarhetsmatrisen W s som W s = (B AB A n B) Om detw s 0 så sägs systemet vara styrbart Med tillståndsåterkoppling u(t) = l r r(t) Lx(t), L = (l l 2 l n ) kan då polerna hos det slutna systemet placeras på fritt valda ställen i s- planet Polerna hos det slutna systemet sammanfaller då med egenvärdena till matrisen A BL dvs lösningarna till ekvationen det(si (A BL)) = 0 Diskretisering av system på tillståndsform Det tidskontinuerliga systemet ẋ = Ax+Bu diskretiseras med samplingsperioden h och styckvis konstant styrsignal Resultatet blir x(k +) = Φx(k)+Γu(k) med Φ = e Ah Γ = h 0 e At Bdt där matrisexponentialfunktionen kan beräknas enligt e At = L ( (si A) ) 7

Identifiering av tidsdiskreta system med minsta-kvadrat-metoden (MK) Givet en modell på följande form y(k)+a y(k )+a 2 y(k 2)+ +a n y(k n+)+a n y(k n) = b u(k )+b 2 u(k 2)+ +b n u(k n+)+b n u(k n) där in- och utsignaler (u(k) och y(k)) uppmätts för tidpunkterna k = 0,,2,,N MK-skattning av parametrarna a,a 2,,a n,b,b 2,,b n kan då utföras genom minimering av en kvadratisk förlustfunktion Introducera först a y(k ) ϕ T (n) y(n) y(k n) ϕ T (n+) y(n+) a n θ = b b n ϕ(k) = u(k ) u(k n) Φ = ϕ T (N) Y = Minimering av förlustfunktionen N V(θ) = (y(k) ϕ T (k)θ) 2 = (Y Φθ) T (Y Φθ) ger lösningen k=n förutsatt att Φ T Φ är inverterbar Sannolikhetsteori Bayes regel: Diskreta fördelningar θ = ˆθ = (Φ T Φ) Φ T Y P(B A) = P(A B)P(B) P(A) y(n) ( ) n X Bin(n,p) p X (x) = p x ( p) n x, x = 0,,2,,n x ( )( ) d N d x n x X Hyp(N,n,d) p X (x) = ( ), x = 0,,2,,n N n X Po(λ) p X (x) = e λλx x!, x = 0,,2, 8

Laplacetransformation Tabell över laplacetransformer f(t) L(f) = F(s) Kommentarer δ(t) Impuls ( Diracfunktionen ) θ(t) tθ(t) e at θ(t) te at θ(t) sinbtθ(t) cosbtθ(t) e at sinbtθ(t) e at cosbtθ(t) s s 2 s+a (s+a) 2 b s 2 +b 2 s s 2 +b 2 b (s+a) 2 +b 2 s+a (s+a) 2 +b 2 Enhetssteg (0 om t < 0 och om t 0) Enhetsramp Räkneregler för laplacetransformer f(t) L(f) = F(s) Kommentarer af(t) + bg(t) af(s) + bg(s) Linjäritet f(at) ( ) s a F a Skalning f(t t 0 )θ(t t 0 ) e t 0s F(s) Fördröjning e at f(t) F(s+a) Dämpning tf(t) df ds df dt sf(s) f(0 ) Derivering d 2 f dt 2 s 2 F(s) df dt (0 ) sf(0 ) t 0 f(τ)dτ s F(s) Integrering 9