732G70 Statstk A Föreläsnngsunderlag skapad av Karl Wahln Föreläsnngssldes uppdaterade av Bertl Wegmann Insttutonen för datavetenskap (IDA) Lnköpngs unverstet vt 2016
Kaptel 2 Populatoner, stckprov och varabler Sd 11-46
Populaton Den samlng enheter (exempelvs ndvder) som v vll dra slutsatser om. Populatonen defneras på logsk väg med utgångspunkt från den frågeställnng v vll besvara. - Studerande vd Lnköpngs unverstet, Campus Valla - Röstberättgade Sverge Antalet enheter populatonen betecknas med N.
Ändlga och oändlga populatoner Inom statstken är det vanlgt att man talar om ändlga respektve oändlga populatoner. En oändlg populaton förenklar räknearbetet, eftersom de enheter som väljs ut ur stckprovet då kan betraktas som oberoende. V har en skål med 5 kulor, vlken v betraktar som en populaton. Ur populatonen vll v dra ett urval om 3 kulor. Sannolkheten för en specfk kula att bl utvald som den första är 1/5. Nu fnns det bara fyra kulor kvar skålen. Sannolkheten för en specfk kula av de fyra som är kvar att bl utvald som den andra är 1/4. Sannolkheten för en specfk kula av de tre resterande att bl den ssta kulan är 1/3. V ser att sannolkheterna förändras mellan varje dragnng med statstskt språkbruk säger v att det råder ett beroende mellan dragnngarna. Om skålen stället hade nnehållt 10000 kulor och v skulle välja 3 hade sannolkheten för en specfk kula att bl utvald som den första vart 1/10000, som den andra 1/9999 och som den tredje 1/9998. Den praktska skllnaden sannolkhet mellan varje dragnng är så lten att den kan betraktas som försumbar, och v kan betrakta dragnngarna som oberoende. Ett vanlgt sätt att betrakta oändlga respektve ändlga populatoner är genom dragnng med eller utan återläggnng. Ett exempel på dragnng med återläggnng är tärnngskast: sannolkheten för sexa vd tärnngskast förändras nte oavsett hur många gånger v kastar tärnngen. En vanlg tumregel är att populatonen ur statstskt perspektv kan betraktas som oändlg om urvalet utgör mndre än 10% av populatonsstorleken. 4
Stckprov (Slumpmässgt) urval av enheter ur populatonen. Det fnns många olka metoder för att dra stckprov (detta behandlas senare kursen) men gemensamt för dem är att stckprovet ska vara så representatvt för populatonen som möjlgt. Antalet enheter stckprovet betecknas med n.
Varabel Varabel = resultatet av upprepade mätnngar eller observatoner av ett fenomen Kvaltatva varabler: varabler som ej mäts numerskt ( sfferform) Natonaltet Kvanttatva varabler: varabler som drekt mäts numerskt Dskreta kvanttatva varabler: kvanttatva varabler som endast antar heltalsvärden Kontnuerlga kvanttatva varabler: kvanttatva varabler som kan mätas med många decmalers noggrannhet Antal anställda vd ett företag (dskret kvanttatv varabel) En persons längd (kontnuerlg kvanttatv varabel) En varabel betecknas (oftast) med X (stort X), och de värden som observeras för varabeln betecknas x 1, x 2, (små x)
Nomnalskala Hos kvaltatva varabler. När varabelns möjlga värden bara kan betraktas som ckenumerska grupper utan nbördes ordnng Bedömer Du att generalndex kommer att stga under aprl månad? Varabeln ( )Ja ( )Nej Varabelns möjlga värden
Ordnalskala Hos kvaltatva eller kvanttatva varabler. När varabelns möjlga värden kan betraktas som grupper, antngen numerska eller ej, som kan rangordnas. Exempel kvaltatv varabel på ordnalskala: Hur bedömer Du Dn närmaste chefs ledaregenskaper? ( ) Mycket goda ( ) Ganska goda ( ) Varken bra eller dålga ( ) Ganska dålga ( ) Mycket dålga Exempel kvanttatv varabel på ordnalskala: Hur många anställda har Ert företag? ( )0-5 ( )6-15 ( )16-50 ( )51-
Intervallskala Hos kvanttatva varabler. Varabeln mäts numerska värden och avstånden är desamma mellan varabelns värden. Den daglga försäljnngen en butk... 2011-10-19 16530 kr 2011-10-20 21465 kr 2011-10-21 8972 kr.. Uppdaterad av Bertl Wegmann
En varabels fördelnng En varabels fördelnng är en sammanställnng över vlka värden varabeln kan anta och hur ofta respektve värde antas. Fördelnngar beskrvs oftast dagramform. Olka angreppssätt används för att beskrva fördelnngar för Kvaltatva varabler Kvanttatva dskreta varabler Kvanttatva kontnuerlga varabler
Exempel Företagshälsovården vd ett företag sänder ut en enkät där de anställda bland annat får svara på frågan Hur bedömer Du Dn närmaste chefs ledaregenskaper? ( ) Mycket goda ( ) Ganska goda ( ) Varken bra eller dålga ( ) Ganska dålga ( ) Mycket dålga Resultaten sammanställs följande tabell Åskt (x) Antal (f) Mycket goda 42 Ganska goda 61 Varken bra eller dålga 84 Ganska dålga 23 Mycket dålga 10 Totalt 220
Att åskådlggöra fördelnngen för en kvaltatv varabel: stapeldagram 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Mycket goda Ganska goda Varken bra eller dålga Ganska dålga Mycket dålga
Alternatv metodk för att åskådlggöra fördelnngen för en kvaltatv varabel: crkeldagram Mycket goda Varken bra eller dålga Mycket dålga Ganska goda Ganska dålga 5% 10% 19% 38% 28%
Exempel En annan fråga på enkäten löd Hur många dagar veckan motonerar Du? ( ) Ingen ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 Resultaten sammanställs enlgt Antal dagar (x) Antal (f) Andel (%) 0 84 38 1 41 19 2 51 23 3 22 10 4 8 4 5 6 3 6 5 2 7 3 1 Totalt 220 100%
Att åskådlggöra fördelnngen för en dskret kvanttatv varabel: stolpdagram 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 Antal motonsdagar per vecka Stolpdagrammet är lkt stapeldagrammet, men rtas med smalare staplar
Exempel Dygnsmedeltemperatur (grader Celsus) centrala Lnköpng under jul månad 2011. Dag 1 2 3 4 5 6 7 Temp 20.9 20.7 19.1 16.6 18.7 19.8 19.1 Dag 8 9 10 11 12 13 14 Temp 19.2 18.6 18.4 17.3 17.8 16.0 14.7 Dag 15 16 17 18 19 20 21 Temp 16.1 16.7 18.2 15.6 18.7 19.0 18.6 Dag 22 23 24 25 26 27 28 Temp 19.7 20.1 17.0 19.1 18.4 18.4 20.8 Dag 29 30 31 Temp 20.1 19.0 19.9
Att åskådlggöra fördelnngen för en kontnuerlg kvanttatv varabel: hstogram 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% -15.9 16.0-16.9 17.0-17.9 18.0-18.9 19.0-19.9 20.0- Dygnsmedeltemperatur (grader Celsus)
Stam- och bladdagram V har samlat n nformaton om antalet tmmar to tmanställda vd ett företag arbetat under en vss vecka. 15 19 21 25 28 32 34 37 41 49 Åskådlggör fördelnngen för antalet tmmar de tmanställda arbetade vd företaget den aktuella veckan. 1 5 9 2 1 5 8 3 2 4 7 4 1 9 Stam Blad 18
Beskrvande mått Stckprovsmedelvärde beräknat på rådata x 1 n n 1 x Populatonsmedelvärde beräknat på rådata 1 N N 1 x V har noterat längden ( cm) på ett slumpmässgt urval om fem personer ur en populaton. 165 188 159 170 198 x 1 5 5 1 1 x 176 5 165 188 159 170 198 cm
Beskrvande mått Stckprovsmedelvärde beräknat på frekvenstabell (vägt medeltal) x g 1 f n x Populatonsmedelvärde beräknat på frekvenstabell g 1 f N x där g är antalet klasser frekvenstabellen V betraktar återgen dygnsmedeltemperaturen jul månad 2011. Beräkna genomsnttstemperaturen jul 2011! Klass -15.9 2 16.0-16.9 4 17.0-17.9 3 18.0-18.9 8 19.0-19.9 9 20.0-5 Antal (f)
Beskrvande mått Stckprovsstandardavvkelse beräknat på rådata s 1 n 1 x x 1 Populatonsstandardavvkelse beräknat på rådata 1 V har noterat längden ( cm) på ett slumpmässgt urval om fem personer ur en populaton. 165 188 159 170 198 s 5 1 N n x N 1 2 2 1 5 1 I populatonsstandardavvkelsen dvderar v med N stället för n 1. Det kommer sg av att populatonsmedelvärdet är en konstant och nte en varabel såsom stckprovsmedelvärdet 16. 4 5 1 2 1 2 2 2 x x 165 176 188 176... 198 176
Beskrvande mått Stckprovsstandardavvkelse beräknat på frekvenstabell: Populatonsstandardavvkelse beräknat på frekvenstabell: 1 1 1 1 2 1 2 1 2 n n x f x f x x f n s g g g N N x f x f x f N g g g 1 2 1 2 1 2 1 V betraktar återgen dygnsmedeltemperaturen jul månad 2011. Klass Antal (f) -15.9 2 16.0-16.9 4 17.0-17.9 3 18.0-18.9 8 19.0-19.9 9 20.0-5
Beskrvande mått Stckprovsandel: p antal enheter stckprovet med studerad stckprovsstorlek egenskap Populatonsandel: antal enheter populatonen med studerad populatonsstorlek egenskap Företagshälsovården vd ett företag gör en undersöknng om rökvanor. För ett stckprov om 550 anställda uppgav 187 att de röker. Stckprovsandelen rökare är p = 187/550 = 0.34 Andelar uttrycks ofta procent, och v drar därför slutsatsen att 34% av de anställda som besvarade enkäten är rökare.
Beskrvande mått Medan beräknat på rådata: Om antalet observatoner fördelnngen är udda, så letar v upp det mttersta värdet det storleksordnade materalet Om antalet observatoner fördelnngen är jämnt, så måste v räkna ut medanen som medelvärdet av de två mttersta värdena det storleksordnade materalet Medanen lgger alltd på poston ett storleksordnat datamateral V har noterat längden ( cm) på ett stckprov om fem personer som dragts slumpmässgt ur en populaton. 159 165 170 188 198 (värdena har storleksordnats) V har vägt fyra personer: 53 62 70 85 n 1 2
Beskrvande mått Medan beräknat på frekvenstabell: M U M n 2 F f M M 1 B M n = stckprovsstorlek U M = undre klassgräns för medanklassen F M-1 = kumulatv frekvens klassen före medanklassen f M = frekvens för medanklassen B M = klassbredd (övre undre gräns) för medanklassen Följande tabell redovsar åldrarna på de 80 medlemmarna en drottsförenng. Ålder (år) Antal personer -19 15 20-24 13 25-29 24 30-39 14 40-14 Bestäm medanåldern drottsförenngen!
Beskrvande mått Kvartler första kvartl (Q1) = mttersta värdet första halvan av det storleksordnade materalet tredje kvartl (Q3) = mttersta värdet andra halvan av det storleksordnade materalet V har noterat längden ( cm) på ett stckprov om fem personer som dragts slumpmässgt ur en populaton. 159 165 170 188 198 (värdena har storleksordnats) Typvärde det vanlgast förekommande värdet en fördelnng V studerar valet av andraspåk bland ett urval gymnasster: Franska Spanska Spanska Tyska
När bör v använda vlka beskrvande mått? Kvaltatv varabel Dskret kvanttatv varabel Typvärde Medan Medelvärde Kontnuerlg kvanttatv varabel Medan Kvartler Standardavvkelse Kvartler Andelar Medelvärde Standardavvkelse Andelar
Standardvägnng Ett fackförbund önskar jämföra medellönen vd två företag nom samma verksamhetsområde. Följande nformaton samlas n. Bolag A Bolag B Befattnng Antal personer Medellön (tkr) Antal personer Medellön (tkr) Mellanchef/chef 6 36.6 15 34.5 Tjänstemän 77 20.4 34 19.8 Admnstratv personal 89 17.2 21 17.1 Jämför medellönen vd de två bolagen! Standardvägnng: metod för att kompensera för att fördelnngen av enheter är olka över kategorerna de grupper som undersöks. Räkna som med vägda medeltal men välj vkter enlgt totalantalet personer respektve radkategor. 28
Kaptel 3 Sannolkhetsteor Sd 47-80 Uppdaterad av Bertl Wegmann
Mängdlära Inom statstken använt som en metod för att hantera och åskådlggöra sannolkheter, men ur ett bredare perspektv en vktg byggsten nom matematk och logk. S = utfallsrum = samtlga möjlga utfall vd ett experment. När v kastar en tärnng fnns det 6 möjlga utfall: v defnerar utfallsrummet S som S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Varje beståndsdel utfallsrummet kallas för ett element. Låt A = händelsen udda antal ögon upp vd tärnngskast B = händelsen högst 3 ögon upp vd tärnngskast Om mängden A ngår S säger v att A är en delmängd av S och tecknar detta som A S. 30
Sntt och unon Låt A och B vara två delmängder av S. Sntt Snttet ger de element som tllhör både A och B: tecknas A B Unon Unonen ger de element som tllhör A eller B (eller båda): tecknas A B 6 4 S 6 4 S B A AᴖB 2 1 3 5 B A 2 1 3 5 Sntt av A och B Unon av A och B 31
Dsjunkta (oförenlga) händelser Händelser som nte har någon gemensam mängd V drar ett kort ur en kortlek. Låt A = händelsen att kortet är ett hjärter B = händelsen att kortet är ett spader S Dsjunkta händelser framträder Venndagrammet som områden som nte har någon överlappande yta 32
Oberoende händelser Att händelser är oberoende nnebär att sannolkheten för att en händelse ska nträffa nte påverkas av att en annan händelse redan nträffat eller nte nträffat. Att händelser är oberoende kan man nte se Venndagrammet, utan här får v göra ett teoretskt övervägande (senare ska v dock studera matematska metoder) för att bestämma om händelserna är oberoende eller ej. Kasta tärnng två gånger och defnera händelserna A = händelsen att första kastet ger 6 ögon upp B = händelsen att andra kastet ger 6 ögon upp Då är händelserna A och B oberoende, eftersom de två tärnngskasten nte kan påverka varandra. Om händelserna A och B är dsjunkta så är de nte oberoende! Detta stämmer därför att när A nträffat så vet v att B nte kan nträffa. Alltså påverkar de varandra, och följaktlgen är de nte oberoende. 33
Kombnatork Kombnatork är en gren nom matematk som handlar om att beräkna på hur många sätt ett gvet antal element kan ordnas mängder. Multplkatonsprncpen Kombnatoner utan återläggnng Kombnatoner med återläggnng Permutatoner utan återläggnng Permutatoner med återläggnng Permutatoner utan återläggnng när vssa element är lka Uppdaterad av Bertl Wegmann
Multplkatonsprncpen Antag att en blfabrkant låter kunderna välja på röd, svart, blå eller grön lack, svart, grå eller bege nrednng och stora eller små fälgar. På hur många sätt kan en blspekulant komponera sn bl? Multplkatonsprncpen används när v tur och ordnng ska utföra k operatoner, och vll veta på hur många sätt operatonerna totalt kan utföras på. n 1 n 2 n k Multplkatonsprncpen åskådlggörs ofta träddagram. Kombnatonen grön lack och bege nrednng tllverkas nte. På hur många sätt kan en blspekulant komponera sn bl? Uppdaterad av Bertl Wegmann
Kombnatoner utan återläggnng En skål nnehåller 4 alfapetbrckor, med bokstäverna A D O S V drar slumpmässgt och utan återläggnng 2 brckor ur skålen. Hur många kombnatoner av två bokstäver kan v få? När v utan hänsyn tll ordnngen bland totalt n element väljer ut en delmängd om k element. Varje element kan bara väljas ut en gång. Antalet kombnatoner utan återläggnng när k element väljs ut bland n är n k = n! k! n k! Uppdaterad av Bertl Wegmann
Kombnatoner med återläggnng V tar tre skopor glass och för varje skopa kan v välja mellan 5 olka smaker. På hur många sätt kan en glass konstrueras? En kombnaton med återläggnng gäller när v utan hänsyn tll ordnngen bland totalt n element väljer ut en delmängd om k element och där varje element kan väljas ut mer än en gång. Antalet kombnatoner med återläggnng när k element väljs ut bland n är n + k 1 k = n + k 1! k! n 1! Uppdaterad av Bertl Wegmann
Permutatoner utan/med återläggnng I en urna fnns det 4 spelkulor olka färger: en röd, en gul, en blå och en grön. V väljer utan/med återläggnng ut 2 kulor. På hur många sätt kan det göras, om ordnngen på de utvalda kulorna har betydelse? En permutaton fås när v med hänsyn tll ordnngen väljer ut en delmängd om k element bland totalt n element. Antalet permutatoner utan återläggnng när k element väljs ut bland n är n! n k! Antalet permutatoner med återläggnng när k element väljs ut bland n är n k Uppdaterad av Bertl Wegmann
Permutatoner utan återläggnng när vssa element är lka I en urna fnns det 4 spelkulor olka färger: en gul, en blå och två röda. V väljer utan återläggnng ut alla 4 kulorna. På hur många sätt kan det göras, om ordnngen på de utvalda kulorna har betydelse? Antalet permutatoner av n element när k 1 är av en typ, k 2 är av en annan typ, osv, är n! k 1! k 2! Uppdaterad av Bertl Wegmann
Introdukton tll sannolkhetslära Sannolkhetslära: område nom statstken där v studerar experment vars utfall beror av slumpen Sannolkhet: numerskt värde (mellan 0 och 1) som talar om för oss hur trolgt det är att händelsen v studerar ska nträffa Regler för sannolkheter: 1. En sannolkhet lgger alltd mellan 0 och 1 2. Sannolkheten för alla dsjunkta händelser som ngår utfallsrummet kommer tllsammans att summera tll 1 3. Om v vet att sannolkheten för händelsen A är Pr(A), så är sannolkheten för att A nte ska nträffa 1 Pr(A) 40
Relatv frekvens Relatv frekvens 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Tärnngskast 1 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9001 41
Addtonssatsen för dsjunkta händelser För två händelser A och B som är dsjunkta, så gäller att sannolkheten för att A eller B ska nträffa är Pr( A B) Låt A = händelsen att enheten tllhör gruppen för stora B = händelsen att enheten tllhör gruppen för små Pr(A) = 0.05 Pr(B) = 0.15 Pr( A) Pr( B) Bland enheterna som produceras vd ett löpande band klassfceras 5 procent som för stora, 80 procent som lagom och 15 procent som för små. Slumpmässgt väljs en enhet ur produktonen. Bestäm sannolkheten för att den utvalda enheten är för stor eller för lten. Pr( A B) Pr( A) Pr( B) 0.05 0.15 0.20 42
Addtonssatsen för cke dsjunkta händelser För två händelser A och B som nte är dsjunkta, så gäller att sannolkheten för att A eller B ska nträffa är Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) En person har noterat att när man befnner sg offentlg mljö så hör man 40 procent av tden hundskall och 50 procent av tden skrkande barn. 20 procent av tden hör man både hundskall och skrkande barn. Vad är sannolkheten för att man vd ett vsst tllfälle offentlg mljö hör antngen hundskall eller skrkande barn? 43
Multplkatonssatsen för oberoende händelser Vad är sannolkheten att både händelserna A och B ska nträffa? Gvet att A och B är oberoende gäller att Pr( A B) V defnerar A = händelsen att första kastet ger krona B = händelsen att andra kastet ger krona Pr(A) = Pr(B) = 0.5 Pr( A) Pr( B) V snglar slant två gånger. Vad är sannolkheten för två krona rad? Pr( A B) Pr( A) Pr( B) 0.50.5 0.25 44
Betngad sannolkhet Sannolkheten för att händelsen A ska nträffa gvet att händelsen B redan nträffat beräknas Pr( A B ) Pr( A B ) Pr( B ) Man drar ett slumpmässgt urval av medlemmar ur en stor poltskt oberoende organsaton, och frågar dels om kön, dels om poltsk tllhörghet (vänster eller höger). Kön Vänster Höger Totalt Kvnna 98 141 239 Man 67 59 126 Totalt 165 200 365 Vad är sannolkheten för att en slumpmässgt vald person är kvnna, om v vet att personen sympatserar med högerblocket? Om Pr(A B) = Pr(A) eller Pr(B A) = Pr(B) så är händelserna A och B oberoende 45
Multplkatonssatsen för beroende händelser Vad är sannolkheten att både händelserna A och B ska nträffa? Om A och B är beroende gäller att Pr Låt A B PrA PrB A PrB PrA B PrB A En skål nnehåller 10 röda och 5 blå kulor. V väljer slumpmässgt och utan återläggnng 2 kulor. Vad är sannolkheten för att bägge är blå? A = händelsen att den första utvalda kulan är blå B = händelsen att den andra utvalda kulan är blå Pr Pr 5 15 A PrB A 4 14 5 15 4 14 A B PrA PrB A 0. 10 Sannolkheten för att den andra utvalda kulan är blå, gvet att den första var blå 46
Exempel Efter stängnng en börsdag på den svenska börsen kan generalndex ha stgt, vart oförändrat eller sjunkt. Det fnns ett starkt samband med NASDAQ-börsens generalndex: om den samma dag (men NASDAQ-börsen stänger tdgare) har stgt, vart oförändrad eller sjunkt så är chansen stor att samma sak händer på den svenska börsen. Man studerar börskurserna under en längre td och beräknar då följande. Stgt 0.6 Oförändrat 0.2 Sjunkt 0.2 Andel dagar NASDAQ:s generalndex Man kartlägger även sannolkheten för att svenska generalndex ska stga gvet hur det gått på NASDAQ samma dag, och sammanställer följande. NASDAQ stgt 0.75 NASDAQ oförändrat 0.15 NASDAQ sjunkt 0.10 Sannolkhet för att svenskt generalndex stgt gvet att V studerar en slumpmässgt vald dag. Vad är sannolkheten för att det svenska generalndex stgt den dagen? 47
Satsen om total sannolkhet Om A 1,, A g är g parvs dsjunkta händelser, vars unon bldar hela utfallsrummet, är sannolkheten för händelsen B Pr g B PrA PrB 1 A 48
Bayes sats Exempel (fortsättnng): En vss dag har det svenska generalndex stgt. Vad är sannolkheten för att NASDAQ:s generalndex stgt samma dag? Om A 1,, A g är g parvs dsjunkta händelser vars unon bldar hela utfallsrummet gäller att sannolkheten för händelsen A j gvet att händelsen B nträffat är Pr A j B g Pr 1 A PrB A Pr j A PrB A j 49