Exempelsamling :: Diagonalisering Mikael Forsberg :: 8 oktober Uppgifter om diagonalisering. Hitta en matris som diagonaliserar matrisen A = ( Vad blir diagonalmatrisen D? Vad betder D geometriskt? Vad betder A geometriskt?. Avgör vilka av följande matriser som är diagonaliserbara: 4 A = B = C =. Vilka av följande tre matriser är diagonaliserbara? 4 A = 4 6 B = C = 4. Är följande matris diagonaliserbar A = Uppgifter om ortogonal diagonalisering. Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar matrisen 4 A = 6 4 6. Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar matrisen 8 A = 4 4
c Mikael Forsberg 8 oktober Uppgifter om Kvadratiska former 7. Hitta en rotation, skalning och translation som sätter följande kvadratiska ekvation på standardform: 7x 48x 7 + x + + 7 =. Vilken sorts kurva är det frågan om? 8. Rotera koordinaterna och utför translation så att följande kvadratiska ekvation är given på så enkel form som möjligt. Vilken kägelsnittskurva definierar ekvationen? x 4x 4x 8 = 4. (8 poäng 9. Hitta en rotation som diagonaliserar följande kvadratiska form: q(x, = x 6x +
Exempelsamling :: Diagonalisering :: Svar ::. Egenvärdena blir ±, egenvektorer blir (, som hör ihop med och (, som hör ihop med. Se lösningen för övriga svar!. B=ja A=nej C är smmetrisk och därför diagonaliserbar (t.o.m ortogonalt diagonaliserbar. egenvärden=, 4, med tillhörande egenvektorer (,,, (,, respektive (,,. A är ej diagonaliserbar, de övriga är diagonaliserbara. 4. Matrisen A är inte diagonaliserbar.. P = 4 6. P = 4 7. Standardformen blir x =. Kurvan är en hperbel. 8. Den ortogonala matrisen blir / / / / Den kvadratiska ekvationen blir 9 x + =. ( 9. Rotationen blir: P =,
Exempelsamling :: Diagonalisering :: Lösningar. Uppgift : > A:=matrix(,,/,sqrt(/,sqrt(/,-/; / / A := / / > eigenvals(a;, > eigenvects(a;,, {, },,, {, / } > P:=matrix(,,,,-sqrt(,sqrt(/; P := / > Pinv:=inverse(P; /4 /4 Pinv := /4 /4 > PinvA:=multipl(Pinv,A; /4 /4 PinvA := /4 /4 > PinvAP:=multipl(PinvA,P; PinvAP := I detta fall är diagonalmatrisen en spegling i -axeln. Om jag bter plats på egenvektorerna när jag bildar den diagonaliserande matrisen så bter egenvärdena plats och då blir diagonalmatrisen en spegling i x-axeln. Geometrin för A: Kolonnvektorerna talar om för oss vad som händer med standardbasvektorerna. Med lite eftertanke ser vi att A är spegling i x-axeln följt av en vridning kring origo med 6. Eller så är det en spegling i -axeln följt av en vridning med -... För matrisen A så gäller att den har egenvärdena λ =, som har algebraisk multiplicitet och λ = som har multiplicitet. Det visar sig dock att det första egenvärdet har en geometrisk multiplicitet som är lika med ett. Eftersom algebraisk och geometrisk multipliciteterna skiljer sig åt så är matrisen ej diagonaliserbar. (karakteristikt polnom: c A (λ = λ + λ 4. Gissa på heltal som delar 4. Matrisen B är smmetrisk och en sådan matris är t.o.m ortogonalt diagonaliserbar. Matrisen C har egenvärdena λ =, λ = + och. Vi har tre olika egenvärden och då är C diagonaliserbar. Karakteristiskt polnom blir här c C (λ = x x +. Nollstället λ = kan man gissa sig fram till medan de två övriga blir irrationella, och hittas via polnomdivision med λ. 4. Vi beräknar först egenvärdena mha den karakteristiska ekvationen λ det A λi = det λ = ( λ( λ, λ
c Mikael Forsberg 8 oktober från vilket vi får att egenvärdena blir λ = med multiplicitet och λ = med algebraisk multiplicitet. Vi beräknar nu egenrummen. Det kritiska egenvärdet är λ = eftersom diagonaliserbarhet kräver att detta egenrum måste ha dimension för att matrisen ska vara diagonaliserbar (se sid 66 Thm 4. Vi löser därför matrisekvationen A λix = och får att den geometriska multipliciteten, dvs dimensionen för lösningsrummet blir. Dett ger alltså att den algebraiska multipliciteten inte är lika med den geometriska multipliciteten och matrisen är därför inte diagonaliserbar!. Vi börjar med egenvärdena; det karakteristiska polnomet blir λ + λ λ 98. Detta har nolltällena λ = 7, dubbelt egenvärde, λ =, enkelt egenvärde. Egenvektorerna till λ = 7 blir. v = och v = Vi använder Gram-Schmidt för att göra om denna bas till en ON-bas: e = e = 4 Normaliserad egenvektor för egenvärdet λ = blir e = Tillsammans ger våra ortonormala egenvektorer den ortogonala matrisen P : P = 4 6. Vi börjar med att beräkna egenvärdena, den karakteristiska ekvationen blir: = λ 8λ + 8λ = λ(λ 8λ + 8 = λ(λ 9 Dess lösningar är alltså λ = 9, dubbelt egenvärde och λ =, enkelt egenvärde. Egenvektorer till vårt dubbla egenvärde blir (,, och (,,. Använder vi Gram- Schmidts ortogonaliseringsmetod på dessa så får vi följande vektorer: e = (,, ( e = (, 4, ( Normerad egenvektor för egenvärdet λ = blir e = (,,. En matris som ortogonalt diagonaliserar A blir: P = 4
c Mikael Forsberg 8 oktober 7. Vi börjar med att skriva ekvationen på matrisform: ( ( ( 7 4 x x + ( ( x 4 7 Vi hittar rotationen genom att diagonalisera den smmetriska matrisen ( 7 4 A = 4 7 + 7 = Dess karakteristiska polnom blir c A (λ = λ 6. Egenvärdena är nollställena till detta polnom och dessa blir λ = och λ =. Egenvektorerna har olika tecken och detta betder att kurvan är en hperbel. Egenvärdenas normerade egenvektorer blir e λ = (, 4 och e λ = ( 4,. Dessa egenvektorer bildar den ortogonala matrisen. Vi måste bara se till att determinanten blir + vilket garanterar att matrisen är en rotation. Vi får P = ( 4 4 Nu utför vi variabelbtet ( x = P ( ξ η som ger oss följande ekvation: ξ η + 9ξ + η + 7 = Vi gör nu en skalning: x = ξ = η, vilket ger oss ekvationen Nu kvadratkompletterar vi: x + 8x + 4 + 8 = (x + 9 8 ( + 4 + 7 = (x + 9 ( = En translation: x = x + 9, = och vi är klara: x = 8. Den kvadratiska formens blir, när vi skriver den på matrisform x x 4 8 x = 4 ( Den blandade termen 4x kommer att försvinna om vi finner den rotation vi får när vi diagonaliserar matrisen Dess egenvärden blir:: λ = och λ =. Egenvektorer blir λ = :: λ = :: Normerar vi dessa och sätter in i en matris får vi en ortogonal matris. / / / / 6
c Mikael Forsberg 8 oktober P ger oss nu vårt koordinatbte (som blir en rotation eftersom det P = Vi sätter x, t = P x, t Så blir ( x, Detta ger oss den kvadratiska formen Kvadratkomplettera m.a.p x : x / x x + / x = 4 = 4 x + / x = (x + x / = (x + / / = (x +. Ersätter vi x + med x och med så får vi x + = 9 eller, om vi dividerar båda led med 9 9 x + = som den enklaste form vi kan beskriva vårt kägelsnitt som är en hperbel (vilket man direkt kan se från det faktum att egenvärdena har olika tecken. 9. Vi skriver den kvadratiska formen på matrisform: q(x, = ( x ( ( x = x T Ax Vi beräknar nu matrisens egenvärden; det karakteristiska polnomet blir c A (λ = det(a λi = λ λ 8 och har nollställena λ = och λ = 4. Normaliserade egenvektorer till dem blir λ = : e = ( λ = 4 : e = ( Dessa två enhetsvektorer ställer vi upp som kolonner i en matris och är noggranna så att determinanten blir +. Vi får P = (, som alltså är den rotation som diagonaliserar den kvadratiska formen! 7