MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Relevanta dokument
MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Tillämpad Matematik II Övning 2

Tillämpad Matematik II Övning 1

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

SF1624 Algebra och geometri

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tillämpad Matematik II Övning 2

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

1 Vektorer i koordinatsystem

October 9, Innehållsregister

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

LYCKA TILL! kl 8 13

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

= ( 1) ( 1) = 4 0.

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lite Linjär Algebra 2017

Preliminärt lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

14. Minsta kvadratmetoden

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Preliminärt lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Vektorgeometri för gymnasister

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

Preliminärt lösningsförslag

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

===================================================

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

Transkript:

MA004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 09-06-07 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil. Beräkna. (p) Låt vektorerna,,,, 0, 4 och,,. Del A 5 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica. Lösningsförslag: Sådan subtraktion är inte definierad! a, 5, 9 b 0, 0, 8 c 4,, d 6, 0, 8 e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e. Låt vara en enhetsvektor med samma riktning som och bestäm dess projektion på. (p) Lösningsförslag: Först enhetsvektorn. 5,0, 4 5 Sedan den önskade projektionen.. 6 5, 5, 9 5 a 7,, b,, c 9 4,, d,, e Inget av a till d. 5. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive. Sök avståndet mellan mittpunkterna på OA och AB. (p) Lösningsförslag: Vi söker tydligen längden av vektorn Norm 5 a 6 b Norm c 7 d Norm e Inget av a till d. 4. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot z-axeln. (p) Lösningsförslag: Vi vet att s s0, 0, 0, så Solve s.0, 0, 0 s 4 a b 5 c d 4 e Inget av a till d. 5. Beräkna om, och. (p)

Lösningsförslag: Vi får 6 0 0 9. a 7 b 8 c 9 d 0 e Inget av a till d. 6. Kraften N flyttar en låda från en lagerplats med ortsvektorn m till en annan lagerplats med ortsvektorn m. Sök det uträttade arbetet. (p) Lösningsförslag: Här är såväl kraft som förflyttning givna på "ren" vektorform så vi får direkt A. Nm Nm a Nm b Nm c 6Nm d 8 Nm e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: a 7. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor är m. Bestäm momentet kring origo. (p) Lösningsförslag: Även i denna uppgift är såväl kraft som ortsvektor givna på "ren" vektorform så vi får direkt momentet kring koordinataxlarna. Nm 4Nm,5 Nm, Nm a 4, 5, Nm b 4, 5, Nm c 4, 5, Nm d 4, 5, Nm e Inget av a till d. 8. Låt. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Räkna på!. 5 a 5 b 5 c 5 d 5 e Inget av a till d. 9. Låt c d. Bestäm talen c och d så att. (p) Lösningsförslag: Räkna på! Likhet för matriser ger sedan c och d.. c d c Solve d 0 0 c d dcc d c 0 0 c 6, d a c, d b c, d c c 5, d d c 6, d e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e 0. Sök en matris så att 5 a a 5 a a a a a a. (p) a a Lösningsförslag: Förmultiplikation med permutationsmatris för att göra linjärkombinationer av rader. Med lite känsla för matrismultiplikation och lite provande har vi ;-)

5 0. a a a a 5 a a 5 a a a a a a a a Rätt svarsalternativ: a a 5 0 b 5 c Finns ej d 5 0 e Inget av a till d.. Låt r r r vara given. För vilka r existerar inte? (p) Lösningsförslag: Inversen existerar om 0, dvs ej singulär. Med utveckling längs exempelvis första raden har vi r rr rrrrr rr r. Det r r r r r Factor Solve 0 r, r, r Så existerar inte när r eller r. a r, b r, c r, 0 d r, e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: a. Låt 5. Bestäm. (p) Lösningsförslag: Vi har a b c d d b c a, om ad bc 0. Det 5 5, Inverse 7, 7 7 5 7 7 a 7 5 b 7 5 c ej inverterbar d Inv e Inget av a till d.. Lös matrisekvationen då. (p) Lösningsförslag: Enklast är nog att ansätta. Likhet ger sedan ett enkelt ekvationssystem att lösa. x x x x ;. Solve First. 0 0 x x x x x x x x x x x x Eller med invers

0,, 5 Rätt svarsalternativ: a Inverse 0 0. 0 0 a 0 4 b 0 c d e Inget av a till d. 4. Bestäm alla egenvärden till 4 4. (p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen Λ 0. sekekv Det 4 4 Λ 0 0 0 Λ 8 Λ7 0 SolvesekEkv Λ, Λ 7 a SolveDet 4 Λ0 b, 4 c, 7 d, e Inget av a till d. 4 5. Bestäm en egenvektor till det minsta egenvärdet till matrisen i föregående uppgift. (p) Lösningsförslag: Egenvektor till Λ; Avslutningsvis hela sagan utom tävlan. 4 4 x y x y x y 0 x y 0. Ok, parallella! Så exempelvis e,. Eigensystem 4 4 7,, a, b, c, d, e Inget av a till d. Del B 5 poäng med fokus på modellering och Mathematica. 60. Ortsvektorerna och pekar ut två punkter på en rät linje. Sök avståndet från denna till punkten P,,. 6. Bestäm ortsvektorn 0 för en punkt på linjen. (p) Lösningsförslag: Meka ihop en passande 0 a 0 b 0 c 0 d 0,, e Inget av a till d. 7. Bestäm en riktningsvektor längs linjen. (p) Lösningsförslag: Meka ihop en passande 6,, a b c d e Inget av a till d. 4

8. Bestäm vektorn från 0 till P. (p) Lösningsförslag: Visst, OP 0.,, 0, 5, 9 a 0,, b,, 0 c,, 0 d,, 0 e Inget av a till d. 9. Bestäm projektionen av på. (p) Lösningsförslag: Standard beräkningsmolekyl i vår värld!.. 66,, Rätt svarsalternativ: a a.... b c d e Inget av a till d..... 0. Bestäm slutligen det sökta avståndet. (p) Lösningsförslag: Sätt in aktuellt t i linjens ekvation! Norm 78 46 a b c Norm d Norm 0 e Inget av a till d.. Bestäm ortsvektorn för en punkt i planet x y z 5 0. (p) Lösningsförslag: Ortsvektor P0 för punkt i planet, exempelvis genom att prova x P0,, får vi x, y, z. Solvex y z 5 0, x. y, z First 4,, a x,,. Solvex y z 5 0, x First b x, y, z. y, z. Solvex y z 5 0, x First c x, y, z. Solvex y z 5 0, x. y, z First d x, y, z. Solvex y z 5 0, y, z. y, z First e Inget av a till d. 5. Ett flygplan håller alltid farten 50 ms. En dag blåser det 0 ms i riktning mot sydost. Vilken riktning ska flygplanet nu välja för att resan ska gå rakt österut och vad blir den resulterande farten?. Låt x axeln peka österut och y axeln norrut. Använd vinkeln Θ i förhållande till positiva x axeln och teckna flygplanets sökta enhetsriktning. (p) Lösningsförslag: Det är bara att följa receptet. CosΘ, SinΘ; 5

a CosΘ, SinΘ b CosΘ, SinΘ c SinΘ, CosΘ d, Θ e Inget av a till d.. Teckna flygplanets hastighet. (p) Lösningsförslag: Med vanlig nedbrytning av en vektor i sina två atomer har vi flygplanets hastighet u. 50 50 cosθ, 50 sinθ a 50 b 50 CosΘ c 50 d 50 e Inget av a till d. 4. Teckna vindhastigheten. (p) Lösningsförslag: På samma sätt vindens hastighet v. 0 Cos45, Sin45 0,0 a 0 Cos45, Sin45 b 0 Cos45, Sin45 c 0 Cos0, Sin0 d 0 Cos5, Sin5 e Inget av a till d. 5. Formulera frågeställningen som en vektorekvation där även planets resulterande fart w österut ingår. Lös ut Θ och w. (p) Lösningsförslag: Rita en figur så inser vi att w, 0. y Θ x Solve w, 0, 0Θ Π w 0 0 6, Θ sin 5 Rätt svarsalternativ: a a Solve w, 0, 0Θ Π b Solve w, 0 Θ Π c Solve w, 0, 0Θ Π d Solve w 0,, 0Θ Π e Inget av a till d. 69. Anpassa y ax bx med (MKM) till mätvärdena x 0 y. 6. Ange i det överbestämda ekvationssystemet a b. (p) Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet a b för de sökta konstanterna a och b, där, 0 ;, 0 0 4 6

a 0 b 0 c 0 d 0 0 4 e Inget av a till d. 7. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet a b. (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet a b med transponatet till, alltså...a, b. 5 a 9 b,9a 7 b 8, 4 a a b b.. a b. c..a, b. d..a, b. e Inget av a till d. 8. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (p) Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt). I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tydligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade. aåb NSolve..a, b. a.5, b 0.5 Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)! Ordningen i spelar ingen roll. Fit 0, x, x,x.5 x 0.5 x a Fit 0, x, x,x b Minimize 0, x,, x c Minimize 0, x, x,x d Fit 0, x,x, x e Inget av a till d. 9. Antag att a och b är sparade som regler i aåb. Rita modellen med mätpunkterna markerade. Välj färger, pynta axlarna osv! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp. Plota x bx. aåb, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 y.0.5.0.5.0 0.5 0.5.0.5.0 x 7

a b c d PlotaÅb. axb x, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 PlotaÅb. axb x, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 Plota xb x. aåb, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 Plota xb x. aåb, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 e Inget av a till d. 0. Tomten håller kor och får. En ko behöver LE ladugårdsenheter och ett får LE på grund av frigång inomhus. Tomten förfogar över 0 LE. En ko äter HE höenheter medan ett får nöjer sig med HE. Totalt finns 0 HE tillgängliga. Slutligen finns även en begränsning på VE vattenenheter där en ko såväl som ett får förbrukar VE. Hur ska han hålla djur om han vill maximera sin vinst då vinsten för en ko är Pengar och 4 P för ett får? Formulera och lös LPproblemet som besvarar Tomtens funderingar. p Lösningsförslag: Vi får direkt (Icke-neagitivetskraven på djuren är överflödiga i detta fall) Maximize kor 4 får, Vinst kor får 0, LE kor får 0, HE kor får, VE kor 0, får 0, kor, får 44, kor 4, får 8 a Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får b Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får c Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får d Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e 8