Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer e x och e y som har längden och som pekar till höger resp. uppåt ja. Men, omt.ex.e x pekar uppåt och e y till vänster, så v (2, ). Med ett annat val av basvektorer kan v få koord. (, ) ja, koordinatvektorn kan se ut hur som helst! Precis som saker och ting heteer olika på olika språk, har vektorer olika koordinater beroende på valet av bas. Kom ihåg: v (5, 2) är ett förkortat skrivsätt för v 5e x +2e y, där e x, e y är någon underförstådd bas Icke-geometriska vektorer (talmultiplar) kan också betraktas som koordinater relativt ett koord.- system av någon koordinatsystemoberoende storhet. Säg att vi utför en sociologisk undersökning och för olika grupper av människor antecknar antalet män resp. antalet kvinnor som ingår. Då har vi för varje grupp v ett par av tal (v x,v y ): v x antalet män i v, v y antalet kvinnor i v. Inga pilar syns på långa vägar ändå kan vi tänka oss att (v x,v y ) är koordinater m.a.p. en viss bas: I stället för antal män/kvinnor kunde vi antecknat t.ex. (vi hade då haft precis lika mycket information!) bv x v x + v y totala antalet människor bv y v x v y överskottet av män På matrisform kan detta skrivas µ µ b bv y µ v y och motsvarar bv S V i högerspalten. Wahde använder termen komponenter, men koordinater går också bra. Samband mellan koordinater relativt olika baser Ibland vill man byta från en gammal bas e x, e y till en ny bas be x, be y. Vad är sambandet mellan de olika koordinaterna av v, (v x,v y ) resp. (bv x, bv y )? Alltså: v v x e x + v y e y v bv x be x + bv y be y Låt oss uttrycka alla vektorer med koordinater med avseende på e x, e y och skriva dem som kolonnmatriser. Då är v v x e x + v y e y µ µ v v x + v y µ v y v bv x be x + bv y be y µ µ # % v bv x + bv # y % µ µ # % b # % bv y varvid # och % symboliserar be x :sresp. be y :skoordinater med avseende på den gamla basen. Alltså µ µ µ # % b v y # % bv y µ # % eller kortare V ScV med S # % Den s.k. transformationsmatrisen 2 (basbytesmatrisen) S har som kolonner koordinaterna av de nya basvektorerna med avseende på de gamla. Vill vi ha de nya koordinaterna som funktioner av de gamla i stället får vi multiplicera med S : bv S V (Inversen måste finnas, annars skulle be x, be y vara parallella och inte utgöra någon bas!) Ett viktigt specialfall: när båda baserna är ortonormerade, är S ortogonal, d.v.s. S T S I SS T vilket är ekvivalent med S S T. Övertyga dig om att S T S I Kolonnerna i S bildar ON-system SS T I Raderna i S bildar ON-system 2 I Wahde, kap.5, heter denna matris P. 9

Linjära avbildningar: Avbildningsmatrisen beror på basvalet! Precis som vektorernas koordinater, är matrisrepresentationen av en linjär avbildninig avhängig av basvalet. Ex. Matrisen för spegling i planet med ekvationen ger x + Projektionsformeln, d.v.s att ortogonala projektionen av en vektor u på en vektor n är u n n 2 n y y 2 y 3 x 2... 3 x 2 2 2 2 2 2 2 +( ) 2 + 2 x En helt annan (och betydligt enklare!) matris hade vi fått, om vi valt koordinatsystemet så att det speglande planet sammanfaller med, säg, xy-planet! Då hade nämligen avbildningsmatrisen varit (2) (Vi kan antingen skriva upp sambanden mellan bildens och urbildens koordinater direkt: y x y 2 y 3 eller resonera så här: Spegling är en linjär avbildning. Det räcker då att bestämma bilderna av basvektorerna och sätta ihop dessa som kolonner i en matris. De två första basvektorerna (,, ) och (,, ) liggerkvarpå sin plats medan den tredje (,, ) avbildas på (,, ). Ger samma matris som ovan!) Hur avbildningsmatrisen transformeras vid basbyten Om man gör ett basbyte, vad blir sambandet mellan den gamla avbildningsmatrisen A och den nya A? (Vi inskränker oss här till avbildningar mellan ett och samma rum, och därmed kvadratiska avbildningsmatriser.) Låt S beteckna transformationsmatrisen som ovan. Vi har då Y AX, X S bx, Y SY b och söker ba sådan att by ba bx En rättfram räkning ger by S Y S AX S AS bx således A b S AS Ex.: Speglingsmatrisen 2 2 2 2 3 2 2 (3) kunde vi fått med följande räkning (inte enklare dock!): Gör ett basbyte, så att de två första basvektorerna är parallella med speglingsplanet och den tredje är vinkelrät mot det, t.ex. alltså S be 3 (,, ) / 3 be (,, ) / 2 be 2 be 3 be (,, 2) / 6 / 2 / 6 / 3 / 2 / 6 / 3 2/ 6 / 3 Med avseende på denna nya bas ges avbildningsmatrisen av (2), d.v.s. S AS och därmed A S S som ger (3) (S är ortogonal till följd av konstruktionen, så S S T ).

Diagonalmatriser lättast att analysera Ovan har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader): Givet en matris, lista ut vad avbildningen, som den motsvarar, gör! Då vore det ju bra om vi kunde göra ett basbyte så att avbildningsmatrisen blir så enkel som möjligt en diagonalmatris (tänk hur enkelt det är att multiplicera diagonalmatriser!). Säg att en avbildning har, relativt en viss bas e, e 2, e 3, matrisen λ λ 2 λ 3 Detta innebär att avbildas på avbildas på λ λ 2 e λ e 2 λ 2 λ e λ 2 e 2 Egenvärden och egenvektorer Vektorer som avbildas (av en linjär avbildning) på sig själva, så när som på multiplikation med en konstant Av λv, v 6 kallas egenvektorer till avbildningen och motsvarande λ kallas egenvärden. (Utesluter fallet v, som ointressant.) Diagonalisering Att göra ett basbyte så att en given avbildning blir representerad av en diagonalmatris, kallas att diagonalisera avbildningen. Tyvärr kan inte alla avbildningar diagonaliseras egenvektorerna räcker inte alltid till för att bilda en bas. Men det finns en stor och viktig klass av avbildningar som alltid går att diagonalisera de symmetriska, d.v.s. de som representeras av symmetriska matriser. Avbildningar kontra matriser I och med att linjära avbildningar representeras med matriser, brukar man tala om egenvektorer/egenvärden/diagonalisering till/av en matris, men det är bättre att tänka i termer av avbildningar egenvektorer och egenvärden är något som alltid finns, men hur tydligt de syns beror på vårt val av bas. etc. D.v.s. avbildningen kan på sin höjd sträcka ut (λ > ), pressa ihop ( λ < ) och ev. kasta om riktningen på en basvektor (λ < ), men inte vrida den, vilket förenklar analysen betydligt! Allmänt råd för matrisproblem Ofta är svårigheten den att matrisens element utanför diagonalen är 6, vilket gör att variabler är kopplade till varandra. Undersök om man inte kan genomföra ett basbyte/variabelbyte så att den urspr. matrisen ersätts av en diagonalmatris!

Analys av en linjär avbildning Vad gör den linjära avbildningen y y 2 2 3 2 y 3 3 2 x? Försök att diagonalisera! Mankanräknafram skasenaresehur att i) Alla vektorer av typen t (,, ),t6, 3 är egenvektorer med egenvärdet. (Innebörden av detta är att 2 3 2 3 2 vilket lätt kontrolleras stämma.) ii) Alla vektorer 6, som är vinkelräta mot (, 3, ) 4, är egenvektorer med egenvärdet, t.ex. är (3, 2, 3) (, 3, ) och 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 Vi kan då bilda en bas av egenvektorer: be (,, ) be 2 (,, ) be 3 (3,, ) (Jag tar som be 2 och be 3 två icke-parallella vektorer, vars skalärprodukt med (, 3, ) är.) I denna nya bas har avbildningen matrisen Men detta är ju ingenting annat än en sned projektion: på det plan som spänns upp av be 2, och be 3 (d.v.s. x 3y + z ), parallellt med be. (Projektioner behöver inte alltid vara vinkelräta!) System av linjära differentialekvationer Vi klarar av differentialekvationer av typen y (t) ky(t), Alla lösningar är av formen k given konstant, y(t) obekant funktion y(t) Ce kt, C konstant ( y ()) Ofta ställs man inför ett system av sådana: y (t) y (t)+y 2 (t) y 2(t) 3y (t) y 2 (t) Om man nu dels tar 3 ekv.()+ekv.(2), dels subtraherar ekvationerna, så fås 3y + y 2 2(3y + y 2 ) y y2 2(y y 2 ) Om vi alltså gör variabelbytet ½ by 3y + y 2 by 2 y y 2 (4) så får vi två frikopplade ekvationer som löses snabbt: by 2by by 2 2by 2 by C e 2t by 2 C 2 e 2t Sedan är det bara att lösa ut y (t) och y 2 (t) ur (4): y 4 (by + by 2 ) C e 2t + C 2 e 2t 4 y 2 4 (by 3by 2 ) C e 2t 3C 2 e 2t 4 C och C 2 godtyckliga konstanter Men hur komma på radoperationerna ovan? 3 D.v.s. alla vektorer 6, som är parallella med (,, ), vilket jag ibland förkortar med k (,, ) 4 Förkortas: (, 3, ) 2

Variabelbyte är detsamma som basbyte! Våra ekvationer kan på matrisform skrivas: µ Y AY, A 3 Försök med variabelbyte Y S by, då blir Y S by Y AY SY b ASY b by S AS by Att ekvationerna by S AS by blir frikopplade som ovan är ekvivalent med att S AS är diagonal. Försök därför att hitta en bas av egenvektorer till A! Man kan räkna fram att i) egenvärden är 2 och 2 (Koefficienterna i de frikopplade ekvationerna!) ii) Motsv. egenvektorer är t (, ) resp. t (, 3),t6. S µ 3, by S Y 4 µ 3 Y System av linjära differensekvationer (linjära rekursionsekvationer) som y (n +)y (n)+y 2 (n) y 2 (n +)3y (n) y 2 (n),n,, 2,... kan behandlas på samma sätt. I och med att en enkel rekursionsekvation som y(n +)ky(n), k given konstant har den allmänna lösningen y(n) Ck n,ckonstant ( y ()) så blir den enda skillnaden jämfört med behandlingen av differentialekvationerna att e λt ersätts av λ n vilket är detsamma som ovan bortsett från den konstanta faktorn 4. Till slut går vi tillbaka till µ y (t) Y S by y 2 (t) µ µ C e 2t 3 C 2 e 2t µ µ C e 2t + C 2 3 e 2t vilket är precis det vi fick förut! Här kan vi se en anledning till varför egenvärdena ensamma kan vara viktiga. Det är mycket stor skillnad om vi har en term e 2t eller e 2t det förstnämnda, den andra växer explosionsartat! (Vad konstanterna C och C 2 är, brukar, däremot, vara av underordnad betydelse.) Antag att våra ekvationer och funktionerna y (t) och y 2 (t) skall beskriva något fysikaliskt förlopp. Skulle något egenvärde vara >, har vi en katastrof att vänta!). Linjära system av differential ekvationer går också att klara av med Laplacetransformation. Testapåsystemetovan! Det är något bökigare att Laplacetransformera, om man inte har fixa begynnelsevärden, så testa för specialfallet då y () 3, y 2 (), vilket svarar mot C 2,C 2. 2. Linjära system av differensekvationer går också att klara av med z-transformation. Testa på systemet ovan, förslagsvis i spec.fallet y () 3, y 2 (). 3