Subtraktion räkning eller relationer?

Subtraktion räkning eller relationer? En fenomenografisk studie av hur några elever uppfattar subtraktion Carina Persson Institutionen för didaktik och pedagogiskt arbete Examensarbete 15 hp Didaktik Magisterexamen i didaktik med inriktning mot skolutveckling (60 hp) Vårterminen 2010 Examinator: Inge Johansson

Subtraktion räkning eller relationer? En fenomenografisk studie av hur några elever uppfattar subtraktion Carina Persson Sammanfattning Syftet med studien är att undersöka hur några elever erfar begreppet subtraktion. Avsikten är att öka kunskapen om hur eleverna resonerar kring begreppet subtraktion och vilka aspekter av subtraktion som eleverna uppfattar och/eller missuppfattar och hur detta påverkar deras förmåga i subtraktion. Materialinsamlingen har skett genom halvstrukturerade intervjuer där frågorna belyste olika aspekter av subtraktion. Analysen gjordes enligt den fenomenografiska analysmetoden utifrån tankarna om att elevers lösningsmönster kan spegla om deras kunskap har procedurell eller konceptuell struktur. Om en elev löser mer eller mindre samtliga uppgifter antas detta visa på att eleven har ett kunskapsnät av de strukturer och samband som kännetecknar subtraktion. Konceptuell kunskap antas ge en högre grad av förmåga än procedurell kunskap. Elevernas förståelse kan beskrivas utifrån fyra kvalitativt olika kategorier som kan placeras in i det kontinuum mellan begreppsförståelse och procedurförståelse. Dessutom framkom två kategorier med missuppfattningar. De framkomna kategorierna kan ses beskriva hur eleverna erfar subtraktion och kan ses som förgivettaganden som påverkar elevernas inlärning i och med att de kan utgöra hinder för dem att utveckla djupare begreppsförståelse. Utifrån dessa kategorier kan individuella profiler tas fram baserade på elevernas exponerade uttalande. När dessa profiler jämförs med elevernas räknefärdigheter visar resultatet på ett positivt samband mellan en djupare begreppsförståelse och goda räknefärdigheter i så motto att djupare begreppsförståelse samexisterar med goda räknefärdigheter. Däremot verkar det inte som om goda räknefärdigheter behöver innebära att en djupare begreppsförståelse utvecklas. Utifrån detta argumenteras för att undervisningen inte enbart bör vara inriktad på räkning utan även de underliggande strukturerna i subtraktion samt även stödja eleverna att utveckla metakognitiva färdigheter. Nyckelord Aritmetik, begrepp, fenomenografi, procedurer, subtraktion.

Förord Först och främst vill jag tacka er elever som delat med er av era tankar och funderingar om subtraktion. Utan er hade uppsatsen inte varit möjlig att skriva. Jag vill också tacka mina båda handledare: Lars Naeslund för dina tankar vid inledningen och Lena Geijer för att du delat med dig av din kunskap i diskussioner och genom konstruktiv kritik men också gett uppmuntran under slutdelen av uppsatsen. Carina Persson Stockholm, juni 2010 3

Kapitel 1 Bakgrund... 2 Inledning... 2 Syfte... 4 Kapitel 2 Teoretisk utgångspunkt... 5 Val av teoriram... 5 Tidigare forskning... 6 Begrepp och procedurer... 6 Aritmetik och algebra... 7 Forskning om elevers matematiska förståelse... 8 Centrala begrepp... 9 Kapitel 3 Metod... 10 Urval... 11 De intervjuade eleverna... 11 Uppläggning och genomförande... 12 Intervjuguiden... 12 Genomförande av intervjuerna... 12 Materialbearbetning... 13 Tillförlitlighetsfrågor... 14 Etiska aspekter... 15 Kapitel 4 Resultat... 16 Beskrivning av data/empiri... 16 Hur förstår eleverna subtraktion... 16 Vilka aspekter av subtraktion uppfattar eleverna och vilka missuppfattar de.. 18 Hur påverkar detta elevernas förmåga i subtraktion... 20 Analys av data/empiri... 20 Hur förstår eleverna subtraktion... 21 Vilka aspekter av subtraktion uppfattar eleverna och vilka missuppfattar de.. 25 Hur påverkar detta elevernas förtrogenhet i subtraktion... 25 Sammanfattning... 27 Kapitel 5 Diskussion... 28 Hur förstår eleverna subtraktion... 28 Vilka aspekter av subtraktion uppfattar de och vilka missuppfattar de... 29 Hur påverkar detta elevernas förmåga i subtraktion... 30

Hur erfar eleverna begreppet subtraktion... 31 Slutsatser... 31 Betydelse... 32 Reflektion över forskningsprocessen... 32 Nya frågor/vidare forskning... 33 Referenser... 35 Bilagor... 38 Bilaga 1 Litteratursökning... 38 Bilaga 2 Aspekter av subtraktion... 39 Bilaga 3 Intervjuguide... 40 Bilaga 4 Brev för föräldragodkännande... 41 Bilaga 5 Gruppering av beräkningar... 42 Bilaga 6 Utdrag ur första analysen för hur förstår eleverna subtraktion... 43 Bilaga 7 Sammanställning av elevernas förståelse av respektive samband/struktur... 46 Bilaga 8 Sammanställning av elevernas beräkningsstrategier... 47 Bilaga 9 Sammanställning av elevernas enkodning av problemsituationer i subtraktion... 48 Bilaga 10 - Utförligare resultatredovisning... 49 1

Kapitel 1 Bakgrund Inledning Skolmatematiken är ett återkommande diskussionsämne. I Skolverkets nyhetsbrev 9/2008 meddelas att svenska elever presterar under EU/OECD-genomsnittet och att resultatet för Sverige dessutom har försämrats sedan TIMSS 2003 för årskurs 8. I TIMSS-undersökningen för årskurs 4 var det första gången Sverige deltog och även här placerade sig Sverige under genomsnittet i EU/OECD. På de nationella proven i matematik i årskurs 3 var det 27 % av eleverna som inte klarade kravnivån för aritmetiken enligt Skolverkets pressmeddelande 21/10 2009. Skolmatematiken diskuteras inte bara inom skolan utan även i media t.ex. DN 2009-12-10, 2009-10-12; SvD 2009-12-23, 2009-06-17. När barn börjar lära sig matematik har de en bättre matematisk förståelse än vad deras förmåga att använda det matematiska språket visar (NCM-rapport 2002:2). Under skoltiden förväntas eleverna utveckla sin förståelse i matematik och det matematiska språket, både symbolspråket och begrepp. Detta sker i samverkan med att eleverna lär sig lösningsprocedurer. I Skolverkets analysrapport till 323 (2008a) står att procedurer byggs upp med utgångspunkt i för individen tidigare kända procedurer, och att dessa utgör delprocedurer. Procedurerna är ofta stegvisa och kan ta sin grund i delprocesser, förståelse av talfakta (automatiserad taluppfattning) och begreppsförståelse. Vidare i rapporten står att procedurer kan tillämpas både korrekt och inkorrekt och att även den inkorrekta proceduren är av intresse då den kan avslöja hur individen kan ha uppfattat både proceduren och dess involverade begrepp. Ett vanligt undervisningssätt idag är att eleverna arbetar självständigt i läromedlet med få lärarledda genomgångar och diskussioner (Skolverket, rapport 221). Det innebär att eleverna ofta är hänvisade till att på egen hand upptäcka och utveckla en förståelse för hur procedurer och begrepp hör samman, t.ex. varför man i additionen 29+13 kan tänka 30+12, men i subtraktionen 29-13 så blir det istället 30-14, och likheter och skillnader mellan olika begrepp t.ex. att den kommutativa lagen gäller för addition (2+8=8+2) men inte för subtraktion (8-2 2-8). Läromedlen utgår ofta från lösningsprocedurer med få förklaringar om hur dessa är relaterade till olika begrepp eller i vilka kontexter som procedurerna kan tillämpas (Skolverket, 2008a). Vidare i Skolverkets rapport (2008a) står att begreppen i skolmatematiken är förenklade begreppsmodeller och ju tidigare skolår desto mer förenklade är de. Det innebär t.ex. att i de tidiga skolåren är det vanligt att man inte belyser minustecknets olika betydelser utan låter det endast ha dess operativa funktion och att negativa tal inte tas upp i undervisningen. I nuvarande kursplan för matematik står att elever i årskurs 3 ska kunna uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av grundläggande matematiska begrepp och symboler och i målen för årskurs 5 står att eleverna ska förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division. I Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan, Skola2011, står att eleverna ska i undervisningen ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder samt deras användbarhet. I det centrala innehållet för årskurs 1-3 finns de fyra räknesättens egenskaper och deras samband med varandra och centrala metoder för beräkningar med naturliga tal. För årskurs 4-6 är talområdet utvidgat till att även gälla enkla tal i decimalform. 2

I Skolverkets analys av TIMMS 2007 (Skolverket, 2008b) står att i en procedurellt inriktad undervisning fokuseras beräkningar utan begreppslig förankring och utan att belysa hur olika moment i matematiken förståelsemässigt bygger på varandra. I en konceptuellt inriktad undervisning har begreppsförståelse en central roll och detta stödjer uppbyggnaden av den hierarkiska kunskapsstrukturen. I Sverige är undervisningen i huvudsak procedurellt inriktad och varje procedur är strikt kopplad till en specifik kontext och kontexten varieras mycket lite. Detta leder till att eleverna får svårt att transferera sina kunskaper till nya sammanhang (Skolverket, 2008b). I analysen av TIMMS (Skolverket, 2008a & 2008b) visar det sig att svenska elever gör systematiska fel i användandet av beräkningsprocedurer på grund av att deras förståelse av begrepp inte har utvecklats tillräckligt. Vidare (Skolverket, 2008b) står att vid en analys av läromedlen visade det sig att en vanlig metod i läroböcker är att presentera samma områden eller moment återkommande år efter år. Denna metod innebär att det matematiska innehållet inte fördjupas. I analyserna framträder en bild av elevernas kunskaper som visar att dessa inte primärt innehåller slumpmässiga räknefel eller brist på förkunskaper eller pusselbitar som saknas i en hierarkisk kunskapsstruktur. Eleverna har kunskaper, men dessa behöver utvecklas och förädlas ytterligare. Eleverna behärskar en rad beräkningsstrategier men problemet är att dessa inte tillämpas i korrekt kontext. I analysrapporten står även att det verkar som om ett tillräckligt villkor för att talfakta ska utvecklas är att beräkningsprocedurerna alltid leder till korrekt resultat. Benämnda problem (textuppgifter) klarar inte elever av att lösa då de inte känner igen problemsituationerna. I analyserna av TIMSS 2007 framkommer att förutom talbegreppet låg de största problemen inom aritmetiken där subtraktion är ett område som många elever har svårigheter i (Skolverket, 2008a & 2008b). I mitt arbete som lärare har jag undervisat i matematik från årskurs 4 till årskurs 9. I varje klass har jag mött elever som är vilsna, i så motto att de inte kan urskilja när de olika lösningsprocedurerna fungerar och när de inte gör det. Många av dessa elever upplever inte själva att de är vilsna utan tycker att de lärt sig hur de ska göra och att det bara är otur om inte svaret blir rätt. Under våren 2009 läste jag kursen Stockholm Learning Studies och deltog där i en studie om hur en lektion kan utformas för att eleverna ska få en djupare förståelse av begreppet skillnad. Idag används oftast ordet skillnad istället för differens för resultatet av en subtraktion. Under denna studie fördjupades min nyfikenhet på hur elever uppfattar matematiska begrepp, om de utvecklar kunskap om vilka matematiska lagar som gäller, samband mellan begrepp samt samband mellan procedur och begrepp. Hur kan lärare veta vad eleven egentligen förstått och fått en förtrogenhet i inte bara vilka fakta de tillägnat sig och vilka färdigheter de utvecklat? Vad innebär det att utveckla begreppsförståelse? Finns det vissa aspekter av ett begrepp som det är vanligare att elever har svårigheter med och finns det aspekter som så gott som alla elever utvecklar kunskap om? Under mina år som lärare har min insikt vuxit om hur viktigt det är att ha kunskap om de matematiska begreppen, men även att ha insikt i hur elever uppfattar/förstår begreppen, för att kunna forma en undervisning som utgår från elevernas förförståelse och som inte skapar föreställningar hos eleverna som ställer till hinder i deras framtida kunskapsutveckling. 3

Syfte Syftet med studien är att undersöka hur några elever erfar begreppet subtraktion. Avsikten är att öka kunskapen om hur eleverna resonerar kring begreppet subtraktion och vilka aspekter av subtraktion som eleverna uppfattar och/eller missuppfattar och hur detta påverkar deras förmåga i subtraktion. Forskningsfrågor 1. Hur förstår eleverna subtraktion? 2. Vilka aspekter av subtraktion uppfattar eleverna och vilka missuppfattar de? 3. Hur påverkar detta elevernas förmåga i subtraktion? 4

Kapitel 2 Teoretisk utgångspunkt Val av teoriram I och med att syftet är att undersöka hur några elever erfar begreppet subtraktion så måste valet av den teoretiska ramen ge möjlighet till analys av detta. Fenomenologin syftar till att beskriva hur livsvärlden framträder för subjektet (Hyldgaard, 2006). Det är en filosofisk teori om det riktade och meningsskapande medvetandet, skapad av Husserl (Szklarski i Fejes & Thornberg, 2009). Fenomenet, det som visar sig för subjektet, är inte en sak eller ting i vår värld utan finns i vårt medvetande (Alexandersson, 1994). I fenomenologin är det viktigt att forskaren sätter tidigare kunskap inom parentes (Szklarski i Fejes & Thornberg, 2009) för att kunna träda in i subjektets livsvärld. Huvudsyftet är att hitta essensen, likheten i subjektens uppfattning om ett fenomen. Eftersom det i den här studien inte är likheterna utan skillnaderna i hur eleverna erfar subtraktion som är av intresse, så blir inte valet fenomenologi utan fenomenografi. Vissa likheter finns mellan dessa ansatser bl.a. att de båda har människans upplevelser av ett fenomen i fokus, men medan man i fenomenologin studerar uppfattningar om ett fenomen - vardagsföreställningar - så studerar man i fenomenografin uppfattningar av ett fenomen - en djupare föreställning. I fenomenologin finns en viktig skiljelinje mellan oreflekterad erfarenhet och begreppsligt tänkande men denna åtskillnad finns inte i fenomenografin (Marton & Booth, 1997a). Fenomenografins ontologiska utgångspunkt är en delad verklighet som är icke dualistisk och som erfars (Bentley, 2008). Det finns en värld, men vi människor upplever denna värld på olika sätt. Fenomen i verkligheten erfars (uppfattas, upplevs, urskiljs, begrips, förstås, varseblivs). Dessa olika sätt att erfara ett fenomen kan fördelas på ett begränsat antal kvalitativt olika men logiskt sammanbundna kategorier (Marton, 1994). Det innebär att det epistemologiska antagandet är att de olika sätten att erfara ett fenomen kan fördelas i kategorier. I en fenomenografisk studie vill man hitta olikheter i strukturen av erfarandet och den tillhörande förståelsen av fenomenet, men inte i ordval, utan i betydelse. Lärandet konstitueras i relationen mellan människan och världen (Marton & Booth 1997b). Inlärning ses som kvalitativa förändringar i förståelsen av ett fenomen och inte kvantitativa (Larsson, 1986). En fenomenografisk studie försöker bidra till en fördjupad förståelse både av det mänskliga lärandet och av de sätt att förstå omvärlden som är ett reslutat av lärande (Dahlgren & Johansson, i Fejes & Thornberg, 2009). En utveckling av fenomenografin är variationsteorin (Marton & Pang, 1999). Ett fenomen har flera olika aspekter. Att erfara ett fenomen är ett sätt att avgränsa objektet från kontexten och relatera det till samma eller andra kontexter och att avgränsa delar av fenomenet och relatera dessa till varandra och till helheten. Urskiljning, variation och simultanitet är viktiga begrepp. För att kunna urskilja en aspekt av ett fenomen måste det finnas en variation som gör att den aspekten framträder. Pong (1999) uppger att det i flera studier rapporterats att kontexten eller situationen påverkar begreppsbildningen. När en individuell student fokuserade på en speciell 5

aspekt av en situation, så följde en viss begreppsförståelse. Kvalitativt olika sätt att erfara något kan utifrån detta förstås i olika strukturer eller organisationer av medvetenhet i en specifik situation. Detta har också setts i intra-kontextuella växlingar som visat hur individer, utan att notera det själva, byter från en begreppsförståelse till en annan när deras fokus ändras. Intressant är att notera att för det mesta innebar en växling av fokus till en ändring av betydelse. Marton och Pang (1999) menar att för att erfara ett fenomen mer komplext behöver vi simultant fokusera flera aspekter av fenomenet. Bentley (2008) menar att eftersom vissa begrepp får sin mening av kontexten är det inte meningsfullt att se antalet aspekter som simultant urskiljs som ett kvalitetskriterium. Istället bör det antal sätt som en person visar att denne förstår ett fenomen bestämma den kvalitativa nivån på förståelsen av fenomenet. Dessutom påverkas kvaliteten på förståelsen om andra kategorier (med lägre kvalitet) och/eller kategorier av felaktiga föreställningar, inkluderas i förståelsen av en viss kategori. Bentley skriver också att barn inte stadigt kan behålla fokus på en kritisk aspekt av ett fenomen och därmed kan det inte heller simultant urskilja olika aspekter. Barnet hoppar mellan olika aspekter och har heller inte förmåga att sammanföra de olika aspekterna till en meningsfull helhet. Utifrån detta menar Bentley att variationsteorin baserar sig på en teoretisk modell av vuxnas begreppsbildning och detta behövs tas hänsyn till när den tillämpas på barn. Tidigare forskning Vid sökning av tidigare forskning hittades ingen som studerade hur elever förstår subtraktion utifrån flertalet av de aspekter som elever förväntas utveckla förståelse för under skolåren. Den forskning som hittades studerade delaspekter av subtraktion. Se bilaga 1 för information om hur litteratur har sökts inför studien. Begrepp och procedurer Rittle-Johnson och Wagner Alibali (1999) har i en studie undersökt hur och om begreppsförståelse och procedurförståelse i matematik leder till varandra. De skriver att för att elever ska utveckla sin matematiska kompetens behövs att de både utvecklar sin kunskap om begrepp och procedurer och att de kan koppla samman dessa kunskaper. Dessa forskare definierar begreppsförståelse som explicit eller implicit förståelse av de principer som gäller för begreppet och relationen dem emellan. Procedurer definierar de som sekvenser av aktiviteter vid problemlösning. De ser att dessa två kunskapsrepresentationer befinner sig i ett kontinuum och inte alltid kan separeras, men att de två ytterlägena representerar två olika representationer av kunskap. I sin undersökning såg de att begreppsbaserad undervisning ledde till en ökad begreppsförståelse och till förmåga att generalisera och transferera korrekta procedurer till nya kontexter. Procedurbaserad undervisning ledde till en ökad begreppsförståelse men endast till begränsad förmåga att transferera de procedurer som undervisats om till nya kontexter. Förklaringen till denna skillnad menar de var att en elev med begreppsförståelse hade en form av facit som de kunde stämma av mot, för att se om de modifierade eller nya procedurerna var korrekta. Slutsatsen som Rittle-Johnson och Wagner Alibali kommer fram till är att detta visar på sambandet mellan begreppsförståelse och procedurförståelse och att studien visar på att begreppsförståelse torde ha en större påverkan på procedurförståelse än vice versa. 6

Enligt Bentley (2008) kan ett begrepp anses ha förståtts när tillräckligt med kunskap har tillägnats om begreppsattributen och andra relaterade begrepp samt relationen dem emellan. Fullständig begreppsförståelse skriver Bentley (2008) innebär att begreppet kan enkodas, d.v.s. en matematisk modell kan skapas, i alla kontexter. För att kunna uppfatta hur ett nytt begrepp särskiljer sig från tidigare inlärda begrepp är det viktigt att urskilja begreppsattribut som skiljer sig åt från de redan inlärda begreppen (ibid.). Wu (1999), i American Educator, argumenterar för att färdigheter och förståelse är sammanflätade inom matematik. Han menar att för det mesta är precision och flyt i färdigheten nödvändig för att begreppsförståelse ska utvecklas, t.ex. kan automatisering av en basfärdighet krävas för att en progression i det matematiska lärande ska kunna komma till stånd. Detta eftersom en automatisering gör det möjligt att frigöra minne som kan användas till mer krävande problem. Vidare menar han att om färdigheterna får stå tillbaka för begreppsförståelse så leder detta till ytligare förståelse. Utifrån detta argumenterar han för att djupare matematisk förståelse finns inom färdigheterna och att undervisningen i färdigheter därför bör kombineras med undervisning i begreppsförståelse. Aritmetik och algebra Carpenter, Levi och Farnsworth (2000) har kommit fram till att yngre elever kan lära sig att förstå och bevisa de underliggande strukturerna och egenskaperna i aritmetik som är basen för mycket av algebra. Vidare skriver de att lärare och forskare länge har sett att övergången mellan aritmetiken och algebra är en av de största stötestenarna för elever i sitt matematiklärande. I deras forskningsprojekt framkommer att elever har implicit förståelse av de grundläggande egenskaperna i aritmetik. Ett exempel är att barn redan tidigt lär sig att de kan räkna upp från det största talet i en addition; att de kan byta plats på talen utan att resultatet ändras. Dock är många elever osäkra om detta gäller inom alla talområden eller vid bråk. Dessutom övergeneralisera vissa elever strukturen genom att tillämpa detta även i subtraktion. I sin forskning har de undersökt och funnit att elever medan de lär sig aritmetik, kan göras medvetna om de underliggande strukturerna och egenskaperna i aritmetik och fås att förstå dem, så att de får en bättre grund för att lära sig algebra. Kessel (2000) argumenterar för att innebörden av aritmetik måste ändras från att betyda mekanisk räkning, med regler utan koppling till underliggande strukturer, till aritmetik med förståelse av regler och strukturer. Denna form av aritmetik innebär att skapa samband mellan olika aspekter och att skapa mening i regler likväl som färdighet att kunna tillämpa dem. Hon menar att konsekvensen av att enbart se aritmetik som räkning är att den blir väsensskilt från algebra. Det innebär att det är svårt att se att algebra är en generalisering och symbolisering av aritmetik. Ketterlin-Geller, Jungjohann, Chard och Baker (2007), i Educational Leadership, skriver om förhållandet mellan aritmetik och algebra. De menar att mycket av svårigheterna som elever stöter på vid övergången mellan aritmetik och algebra har sitt ursprung i deras tidiga lärande och förståelse av aritmetik. Detta beror på att eleverna allt för ofta introduceras för sanningar och enbart lär sig om naturliga tal och procedurer för att lösa additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisionsproblem. De får inte stöd att utveckla djupare begreppsförståelse. När eleverna senare introduceras till negativa tal och rationella tal så kan dessa sanningar om tal och operationer inte generaliseras till dessa nya talområden. När eleverna senare börjar lära sig algebra har många elever börjat uppfatta matematiska principer som subjektiva och nyckfylla och litar på memorering istället för begreppsförståelse. Vidare skriver de att grundläggande algebra 7

utvidgar elevers förståelse av aritmetik och ger dem möjlighet att uttrycka generell aritmetisk förståelse. Algebraiskt resonerande fördjupar elevernas förståelse av tal och deras relationer. Forskning om elevers matematiska förståelse Engström (2000) skriver att man kan skilja mellan två olika slags fel som en elev gör: förbiseendefel och tankefel. Förbiseendefel beror på tillfällig ouppmärksamhet, tidspress eller slarv medan tankefel beror på att eleven har en felaktig tankegång. Engström hänvisar i artikeln till en undersökning av Röhrig där denna visar att de flesta räknefel som eleverna gör är tankefel och att dessa fel är systematiska och frekventa. Eleven tror sig använda en fungerande lösningsprocedur, men denna lösningsprocedur är inte tillämpbar i den aktuella situationen. Om läraren uppfattar att eleven inte är säker på hur en viss uppgift ska lösas är det vanligt att eleven får träna mer på denna typ av uppgift. Om orsaken till elevens fel är tankefel kan detta, enligt Engström, innebära att den felaktiga strategin förstärks. Ett tankefel som nämns är att eleverna uppfattar att subtraktion innebär att man drar ifrån ett mindre tal från ett större. Övrig tidigare forskning som är av intresse är studier av delaspekter av subtraktion. Canobi (2005) har undersökt individuella skillnader i hur elever i de yngre skolåren förstår det inversa förhållandet mellan addition och subtraktion (5+2=7; 7-2=5; 7-5=2). Studierna visar på individuella skillnader i de koncept som barn förstår och var relaterade till användandet av effektiva procedurer. Utifrån resultatet föreslås att en nyckel till fördjupning av barns begreppsförståelse är, att sambandet i subtraktion om hur delar kan adderas till en hel, införlivas i deras förståelse av subtraktion. Robinson och Dubé (2009) har undersökt hur väl elever i de tidiga skolåren förstår och kan använda att addition och subtraktion är inversa operationer (23+6-6) samt den associativa lagen (3+27-23=27-23+3) och kommit fram till att eleverna hade bättre begreppslig förståelse av inversion än av den associativa lagen. Blöte, Klein och Beishuizen (2000) har undersökt elevers strategiska flexibilitet vid huvudräkning i intervallet upp till 100. Resultatet visade att elevernas värdering av lösningsprocedurer baserades på karaktären av problemets talvärden. Detta menar de indikerar att eleverna har en bra begreppslig förståelse av tal och procedurer. Däremot var deras faktiska användning av dessa procedurer något begränsad. En annan upptäckt var att eleverna visade på ett mer flexibelt användande av strategier vid kontextuella problem än vid numeriskt uttryckta problem. Bryant, Christie och Rendu (1999) har studerat om unga barn förstår det inversa förhållandet mellan addition och subtraktion. Enligt dem behöver de förstå detta förhållande för att helt förstå addition och subtraktion. De har dels studerat om barn i åldern 5-6 år ser att addition och subtraktion tar ut varandra (5+3-3) dels om barn i åldern 6-8 år kan använda inversion i kombination med dekomposition i uppgifter som 5+3-4 [5+3-(3+1)=5+3-3-1]. Slutsatsen är att unga barn förstår detta förhållande och att denna förståelse kanske inte baseras på deras förmåga att utföra beräkningar. Foxman och Beishuizen (2002) har gjort en analys av 11-åriga elevers huvudräkningsstrategier utifrån strategier som framkommit i internationell forskning under det senaste årtiondet. Följande strategiklasser (enl. Beishuizens benämningar) har använts för att analysera elevernas strategier: 8

Tabell 1 Räkneprocedurer Benämning Exempel N10 64-26 [64-20=44; 44-6=38] N10C 64-26 [64-30=34; 34+4=38] A10 64-26 [26+4=30; 30+30=60; 60+4=46; 4+30+4=38] 10S 64-26 [60-20=40; 40+4=44; 44-6=38] inkorrekt: [60-20=40; 40-4=36; 36-6=30] 1010 64-26 [60-20=40; 4-6, låna från 40, 14-6=8; 40-10+8=38] inkorrekt: [60-20=40;6-4=2; 40+2=42] I Sverige brukar vi benämna A10 som bakifrån med plus och 1010 som talsorterna för sig. De starkaste eleverna föredrog oftast att använda metoderna N10 och N10C (jump methods) medan de svagaste eleverna föredrog att använda 1010, talsorterna för sig, som innebär att de delar upp de sammanhållna talen och utför beräkningarna separat på de erhållna ensiffriga talen. Mellangruppen valde oftast att använda standardalgoritmen även vid huvudräkning. De metoder som fungerade bäst i alla tre grupperna var de där sammanhållna tal användes följt av standardalgoritmen. Centrala begrepp Förståelse har sin grund i inlärning, där inlärning ses som en kvalitativ förändring och inte en kvantitativ. Med förstå menas att kunna använda och förklara samband och strukturer mellan attribut, delaspekter och andra relaterade begrepp. Med strukturer menas även matematiska lagar. Med färdighet menas att kunna använda procedurer. Med förmåga menas hur eleven använder och förklarar sin förståelse och deras färdighet att använda sina valda procedurer. Med begreppsförståelse, konceptuell förståelse, menas den kunskap som eleven har av begreppets olika attribut och av andra relaterade begrepp och sambandet dem emellan. Med procedurer menas de sekvenser av tänkande, och i vissa fall av skrivande, som eleven gör för att lösa en beräkning, d.v.s. hur de räknar. Procedur används synonymt med algoritm, strategi och metod. I aspekter av begrepp inkluderas de olika begreppsattributen och de andra relaterade begreppen samt procedurer som är kopplade till begreppet. Elevers lösningsmönster antas kunna spegla om deras kunskap har procedurell eller konceptuell struktur. Om eleven löser mer eller mindre samtliga uppgifter antas det att kunskapen är konceptuellt strukturerad, men om eleven endast löser ett fåtal uppgifter, här och var, antas att kunskapen är procedurellt strukturerad. Detta baseras på att begreppsförståelse innebär att relationen mellan begreppsattribut och strukturer för begreppet kopplas samman i ett kunskapsnät, ett nät som inte utvecklats om eleven kunskap framförallt har en procedurell struktur (Bentley, 2008; Rittle-Johnson & Wagner Alibali, 1999). Utifrån det Bentley (2008) skriver om att barn inte stadigt kan behålla fokus på en kritisk aspekt av ett fenomen och därmed inte heller simultant kan urskilja olika aspekter och att detta leder till att barnet inte kan sammanföra olika aspekterna till en meningsfull helhet, kommer elevernas förmåga i subtraktion, att analysera utifrån hur många av delaspekterna i intervjun som eleverna uppvisar förståelse av, deras färdighet att använda procedurer samt utifrån vad de uttrycker om samband och principer. Konceptuell kunskap antas ge djupare förståelse än procedurell kunskap, utifrån Rittle-Johnson & Wagner Alibali (1999) forskningsresultat att konceptuell kunskap i högre grad leder till generalisering och transferering av korrekta procedurer till nya kontexter. 9

Kapitel 3 Metod Studien har en kvalitativ, abduktiv ansats. Kvalitativ, eftersom studiens syfte är att undersöka hur ett litet antal elever erfar begreppet subtraktion ur ett djupare perspektiv och vilka variationer det finns i deras olika sätt att erfara subtraktion. Abduktiv, eftersom de kategorier som är resultatet, vaskas fram från det empiriska materialet, men där tolkningarna i analysen är teoriförankrade (Szklarski i Fejes & Thornberg, 2009) utifrån ett antagande att elevernas begreppskunskap kan beskrivas utifrån ett kontinuum från begreppsförståelse till procedurförståelse samt att elevernas lösningsmönster kan spegla om deras kunskap har procedurell eller konceptuell struktur (Bentley, 2008; Rittle-Johnson & Wagner Alibali, 1999). Det vanligaste kunskapsobjektet i en fenomenografisk studie är intervjuer. Esaiasson, Gilljam, Oscarsson och Wängnerud (2007) skriver att vid samtalsundersökningar är det synliggörandet av hur ett fenomen gestaltar sig som är i fokus. Samtalet ger möjlighet att ställa uppföljande och klargörande frågor till den intervjuade och ger därmed god möjlighet att fånga in dennes tankevärld (ibid.). Eftersom det är hur eleverna uppfattar och förstår subtraktion som studien vill belysa görs insamlingen av de empiriska data, som utgör kunskapsobjektet, genom intervjuer. Utifrån Kvale och Brinkmann (2009) och Esaiasson et al. (2007) beslutades att genomföra halvstrukturerade intervjuer med några förberedda frågor, men att vara beredd att ställa följdfrågor för att klargöra och få fram andra aspekter som inte omedelbart fanns i den intervjuades tankar. Kvale och Brinkmann (2009) skriver att om intervjuaren vet vad de ställer frågor om och varför de ställer frågorna kommer de att under intervjun försöka klargöra innebörder som är relevanta. Larsson (1986) skriver att det är viktigt att forskaren skaffar sig förtrogenhet med det som ska analyseras eftersom den som gör en kvalitativ analys inte är fördomsfri utan snarare söker utnyttja alla de perspektiv som denne har tillgång till. Utifrån detta gjordes en litteraturstudie av tidigare forskning om hur barn förstår subtraktion (se Kap. 2) samt en genomgång av didaktisk litteratur med inriktning mot barns lärande av subtraktion (Johansson & Wirth, 2007; Löwing & Kilborn, 2003; Kilborn, 2002; McIntosh, 2009; NCM-rapport, 2002:2) innan intervjuguiden arbetades fram. De aspekter av subtraktion som eleverna förväntas utveckla en förståelse för under de fem första skolåren, som framkom av litteraturstudien, finns sammanställda i bilaga 2. I en studie om matematiklärares begreppsförståelse och begreppsmodeller utgick Bentley (2008) från en fenomenografisk teoriram. Data samlades in genom semistrukturerade intervjuer som utgick från ett matematiskt problem där lärarna fick beskriva hur de förstod eller löste problemet med uppföljande frågor om hur de intervjuade tänkte eller resonerade. Den här studien är inspirerad av Bentleys studie på följande sätt: data insamlas genom intervjuer, intervjufrågorna utgår från beräkningar och strukturer inom subtraktion. I Bentleys studie fick de intervjuade ett matematiskt problem som var valt för att ge de intervjuade möjlighet att uttrycka alla sedan tidigare kända uppfattningar om problemet. I den här studien är valet att använda fler frågeställningar som ordnas i olika teman (Dahlgren & Johansson, i Fejes & Thornberg, 2009), vilka speglar olika aspekter av subtraktion. Detta eftersom de intervjuade är barn och dessa kan ha svårigheter med att konstanthålla aspekter och simultant fokusera flera aspekter. I stället kommer strukturen 10

på elevernas kunskap och deras förmåga i subtraktion att bedömas utifrån hur många av de i studien belysta aspekterna som eleverna kan lösa uppgifterna inom samt hur de förstår sambandet mellan dessa aspekter. Urval Talområdet som studien omfattar är begränsat till heltalen, framförallt de positiva heltalen (naturliga talen). I de första årskurserna är en stor del av undervisningen inriktad på aritmetik och i årskurs två arbetar man intensivt med addition och subtraktion. I årskurs sex förväntas eleverna ha utvecklat tillräcklig förståelse av subtraktion med positiva heltal för att kunna gå vidare och tillämpa detta på decimaltal, bråk och beräkningar med negativa tal men även som grund för att förstå algebra. I urvalet av elever vill maximal variation uppnås (Esaiasson et al., 2007). Det innebär att eleverna som ska intervjuas ska komma från flera årskurser, vara ungefär lika fördelade mellan pojkar och flickor och ha en spridning i kunskapsnivån. Utifrån ovanstående beslutades att intervjua elever i årskurs 2, 4 och 6. Eleverna valdes ut av lärarna som undervisade i matematik och som i samtliga fall även var deras klasslärare. Lärarna ombads att välja en pojke och en flicka som de ansåg hade god förmåga i matematik och en pojke och en flicka som de ansåg hade en mindre god förmåga. Förutsättningen för valet var att eleverna själva ville bli intervjuade samt att deras föräldrar skriftligen godkände deras deltagande. Alla tolv elever gick på samma skola i en förortskommun till Stockholm. De intervjuade eleverna De elever som valdes ut av lärarna var följande: Tabell 2 Översikt över de intervjuade eleverna Namn (fingerat) Klass Lärarens uppfattning om elevens förmåga Enok 2 Mindre god matematisk förmåga Elna 2 Mindre god matematisk förmåga Eddie 2 God matematisk förmåga Elvira 2 God matematisk förmåga Edgar 4 Mindre god matematisk förmåga Ester 4 Mindre god matematisk förmåga Elmer 4 God matematisk förmåga Eva 4 God matematisk förmåga Eyvind 6 Mindre god matematisk förmåga Elsie 6 Mindre god matematisk förmåga Emmot 6 God matematisk förmåga Ethel 6 God matematisk förmåga 11

Uppläggning och genomförande Intervjuguiden Utifrån sammanställningen av de aspekter av subtraktion som eleverna förväntas utveckla förståelse för utformades en intervjuguide (bilaga 3) med sex stycken huvudfrågor. För att ge eleverna möjlighet att exponera sin förståelse valdes att utgå från konkreta beräkningar och problemsituationer och med följdfrågor som var inriktade mot hur eleven tänkte och om denne kunde tänka på ytterligare något sätt. En viktig aspekt av aritmetik är hur god taluppfattning som eleven har. Eftersom detta inte var det primära i denna studie gjordes valet att anpassa värdet på de ingående termerna till hur god elevens taluppfattning var utifrån intervjuarens uppfattning efter de inledande uppgifterna. De flesta beräkningar och benämnda tal presenterades för eleverna muntligt och skriftligt. För intervjufråga 2 (skillnaden mellan 12 och 9) och fråga 5 (skillnaden mellan 21 och 19) fick eleven först höra frågeställningen muntligt. Men dessa var de enda beräkningar där eleverna fick höra subtraktionen muntligt innan de fick se den skriven. Det innebär att denna studie inte undersöker om eleverna skulle välja andra strategier för att utföra beräkningarna om uppgifterna först hade presenterats muntligt och därefter skriftligt och inte heller om de vid muntlig huvudräkning ges möjlighet att uttrycka en annan eller ytterligare förståelse av subtraktion än när uppgifterna presenteras skriftligt. Innan intervjuerna testades intervjuguiden på en elev i årskurs 1, 4 och 5. Alla dessa elever har god matematisk förmåga. Utifrån dessa testintervjuer fattades beslutet att anpassa talområdet till elevens taluppfattning i intervjufråga 3 och 4. Däremot valdes att i uppgift 6 behålla talområdet eftersom kontexten i de benämnda uppgifterna hjälpte testeleverna att förhålla sig till talområdet. Utifrån eleven i årskurs 1, som visserligen är en elev med god matematisk förmåga men som ännu inte har arbetat så mycket med subtraktion, bedömdes att intervjufrågorna skulle kunna användas i intervjuerna med eleverna i årskurs 2 med mindre god förmåga i matematik. Genomförande av intervjuerna Alla intervjuer genomfördes i grupprum i samma del av skolan som elevens klassrum var belägen, förutom intervjun med Ethel som gjordes i ett grupprum i den centrala delen av skolan. I de flesta fall genomfördes intervjuerna utan störning, men vid några av intervjuerna (Enok, Eyvind, Emmot och Elsie) kom det in personal eller elev i grupprummet. Vid dessa tillfällen är dock intrycket att eleverna kunde behålla sin fokus på intervjun. Intervjuerna spelades in via en mobiltelefons inspelningsfunktion. Vid de första intervjuerna spelades dessutom intervjuerna in via en dator. Eftersom kvaliteten på inspelningen via mobiltelefonen hade betydligt bättre kvalitet så gjordes valet att endast spela in på denna vid de efterföljande tillfällena. Detta fungerade utmärkt förutom vid ett tillfälle när intervjuaren glömde att stänga av telefonmodulen och ett inkommande samtal bröt inspelningsfunktionen. Detta upptäcktes i slutet av intervjun. Eleven, Elna, som intervjuades vid detta tillfälle, samtyckte till att intervjun togs om. I och med att detta gjordes direkt så hade intervjuaren elevens tidigare svar i färskt minne och kunde bedöma att innehållet i det som eleven sa kom fram även vid den upprepade intervjun. Eftersom eleverna ofta pekade på tal och använde uttryck som den här och den där så upprepade intervjuaren det eleven sa men ersatte dessa uttryck med de tal eleven pekade på. 12

Under den inledande fasen av intervjuerna informerades eleverna om att det var deras tankar som var av intresse, inte svaret på beräkningarna. Eleverna gavs under intervjun möjlighet att både berätta hur de tänkte och visa hur de löste uppgifterna för att ge dem olika verktyg att uttrycka sin uppfattning/förståelse med. Utifrån den inledande frågan (tankekartan) fick intervjuaren en idé om elevens matematiska språk. Utifrån detta valde intervjuaren att anpassa sitt språk till elevens eftersom det inte är hur eleverna uttrycker sig, utan vad de uttrycker, som är intressant i denna studie. Intervjuaren hade inte fått information om vilka elever som lärarna uppfattade ha mindre god respektive god matematisk förståelse innan intervjutillfällena. Vid intervjutillfällena framgick det av elevernas kroppsspråk, förutom deras svar, när de inte kom på något mer att säga. Intervjuaren valde vid dessa tillfällen att inte ställa fler följdfrågor. Detta bedöms inte påverka resultatet av denna studie. Materialbearbetning Vid transkriberingen har följande avvägande gjorts för att det ska bli lättare att läsa texterna: konventionell stavning har använts, hela ord har skrivits ut, de skriftspråkliga satsreglerna har i huvudsak tillämpats, när samma person upprepat ord eller ordsekvenser har detta utelämnats, likaså har intervjuarens hummanden etc. för att visa intresse och lyssnande utelämnats men längre pauser där eleven har tänkt har angivits. Några få korta passager som är helt utanför intervjuområdet har utelämnats. Det är inte angivet i utskrifterna när intervjuaren valde att inte pressa eleverna att utveckla sina tankar mer eftersom detta inte bedöms relevant för studien. De transkriberade intervjuerna lästes igenom några gånger för att materialet skulle bli bekant. Vid genomläsningen framgick att intervjuaren använt probing för att få eleverna att utveckla sina svar (Dahlgren & Johansson, i Fejes & Thornberg, 2009) som hur ser du det?, hur har du räknat?, kan du göra på något annat sätt? ; hummat eller suttit tyst samt bekräftat det eleverna sagt genom upprepning. Där behov funnits, har intervjuaren sammanfattat det eleven sagt och frågat om detta var det som eleven menade. Efter att intervjuerna skrivits ut har det som inte var omedelbart relevant sållats bort. Sedan samlades alla elevernas uttalanden under respektive intervjufråga/-beräkning och en resultatsammanställning i tabellform gjordes för beräkningsstrategierna respektive problemsituationerna (bilaga 8 och 9). Som grund för analysen antas att elevers lösningsmönster kan spegla om deras kunskap har procedurell eller konceptuell struktur. Om en elev löser mer eller mindre samtliga uppgifter antas detta visa på att eleven har ett kunskapsnät av de strukturer och samband som kännetecknar subtraktion. Om eleven endast löser att fåtal uppgifter, här och var, antas att kunskapen är procedurellt strukturerad (Bentley, 2008; Rittle-Johnson & Wagner Alibali, 1999). Konceptuell förståelse antas ge en högre grad av förmåga än procedurell kunskap, utifrån Rittle-Johnson och Wagner Alibali (1999) forskningsresultat att konceptuell kunskap i högre grad leder till generalisering och förmåga att korrekt transferera procedurer till nya kontexter. För den första frågan för studien, hur förstår eleverna subtraktion, användes en fenomenografisk analysmetod för att vaska fram beskrivningskategorier utifrån elevsvaren i intervjufråga 4 och 5 samt beräkningen a+b-a (7+13-7). Först sammanställdes beräkningarna i dessa intervjufrågor i följande grupper: samband hel-del; subtraktionsstrukturer och additionsstrukturer (bilaga 5). Elevernas uttalanden under varje kategori jämfördes för att identifiera när två olika utsagor hade 13

samma betydelse och när två utsagor betydde två olika saker. I detta skede sågs de olika utsagorna både i förhållande till högen av utsagor om subtraktion som kom från alla eleverna och i förhållande till individens övriga utsagor (Marton, 1994). Efter denna första omgång (bilaga 6) framträdde ett första mönster av olika kategorier för att beskriva hur elever förstår subtraktion. Därefter gjordes ytterligare en jämförelse, men denna gång utifrån de likheter och skillnader mellan de kategorier som framkommit i den första omgången med fokus på relationen mellan kategorierna. Utifrån detta framkom de slutliga kategorierna. Dessa kategorier är på gruppnivå. När kategorierna fastställts placerades varje individ in i en eller flera kategorier. Den andra frågan, vilka aspekter av subtraktion uppfattar eleverna och vilka missuppfattar de, har analyserats genom att elevernas exponerade förståelse av de olika sambanden och strukturerna (bilaga 7), sammanställningen av beräkningsstrategier (bilaga 8) samt enkodning av problemsituationer (bilaga 9) jämförts för att på gruppnivå beskriva de aspekter av subtraktion som eleverna har svårast att förstå. De framkomna resultaten användes sedan till att analysera hur kvaliteten på elevernas förståelse av begreppet subtraktion påverkas. Denna analys har som grundtanke att barn inte simultant kan konstanthålla flera aspekter av ett fenomen utan att deras förmåga kan baseras på den samlade bilden av deras förståelse av samband och strukturer samt färdighet att använda procedurer (Bentley, 2008). Tillförlitlighetsfrågor I en kvalitativ studie är det viktigt för tillförlitligheten att noggrannheten i alla delar kan bedömas (Kvale & Brinkmann, 2009). För att göra studien tillförlitligt har forskningsprocessen i alla delar försökt beskrivas så transparant som möjligt. Datainsamlingen har skett via intervjuer. Intervjuerna har skett i en avslappnad situation och präglats av en öppenhet och vilja från eleverna att framföra sina tankar om de olika frågorna, utan att intervjuaren för den skull uppfattade att de sökte efter ledtrådar om förväntade svar. Vid genomlyssningen av intervjuerna i efterhand kan noteras att intervjuaren i stort hållit sig neutral och använt probing för att få eleverna att utveckla sina tankar. Utifrån denna genomlyssning är uppfattningen att frågorna i huvudsak inte varit vägledande och att intervjuaren inte gett bekräftande responser till eleverna (Bentley, 2008). Men de intervjuade eleverna är barn och den som intervjuade är vuxen och till sin profession lärare. Detta är ett maktförhållande som bör tas i beaktande och som kan ha påverkat svaren, även om ingen av eleverna mött intervjuaren i dennes roll som lärare. I och med att intervjuaren som person påverkar hur frågorna ställs till eleverna, hur orden betonas, vilken ytterligare information som ges etc. är det möjligt att resultatet blivit annorlunda om någon annan intervjuat. Även hur intervjuaren i intervjusituationen bedömer att denne förstår elevernas framförda tankar eller tolkar hur de visar hur de löser de olika uppgifterna är också något som en annan intervjuare skulle kunnat förhålla sig annorlunda till och detta skulle kunna leda till att en annan intervjuare valt att ställa ytterligare eller andra följdfrågor än vad som gjordes. Fejes och Thornberg (2009) skriver att forskaren beskriver en tolkning av verkligheten där dennes bakgrund och kunskap blir ett aktivt redskap i tolkningsprocessen. Forskaren har försökt ha ett reflexivt förhållningssätt under intervjuerna, vid genomlyssning av intervjuerna och i analysarbetet för att i möjligast mån säkra att resultatet inte snedvrids utan att dennes bakgrund och kunskap blir ett adekvat redskap. 14

En fråga att ta i beaktande är om intervjufrågorna har gett eleverna möjlighet att uttrycka sin förståelse. Förutom avsaknaden av uppgifter som enbart presenterades muntligt är bedömningen att intervjuguiden tar upp de aspekter av subtraktion som eleverna förväntas utveckla under de fem första skolåren. Däremot är det möjligt att eleverna inte har uttryckt förståelse som inte har aktualiserats i närtid i undervisningen t.ex. i fråga om lösningsprocedurer. Detta antas dock inte påverka resultatet i denna studie utifrån antagandet att dessa procedurer fallit i glömska p.g.a. att eleven endast kunnat utföra dem mekaniskt och att procedurerna inte haft någon förankring i förståelsen av begreppet subtraktion. En annan aspekt är om de elever som var lydiga och inte räknade på intervjufråga 4 hade kunnat förklara samband och strukturer på ett annat sätt om de hade räknat först. Enligt Johansson (2009) är utgångspunkten att de framkomna beskrivningskategorierna bör ses som konstruktioner i ett visst kontextuellt sammanhang och forskaren bör ses som en del i detta sammanhang. Vidare, att en fenomenografisk forskningsprocess innebär att relationen mellan forskaren och det som undersöks ändras eftersom forskarens kunskap om fenomenet ändras. Detta stämmer i den här studien. De framkomna kategorierna bedöms spegla hur eleverna erfar subtraktion och är både nya och bekanta för forskaren. Resultaten som visar elevernas individuella profiler kan vara påverkade av att alla elever inte fick beräkningar att jämföra för alla samband och strukturer som testades. Detta berodde på att alla beräkningar i intervjuguiden inte hade anpassats till olika talområden i förväg. Kategorierna och elevens profil speglar endast exponerad förståelse. Studien gör inte anspråk på statistisk generaliserbarhet. Etiska aspekter I undersökningen har tagits hänsyn till Vetenskapsrådets Forskningsetiska principer. Innan intervjuerna genomfördes informerades hemmen genom ett brev (bilaga 4). På detta brev fick föräldrarna godkänna eller inte godkänna att deras barn intervjuades. Av brevet framgick att deltagandet var frivilligt, att intervjuerna skulle spelas in och att deltagarna garanterades anonymitet. Samtliga tillfrågade elever och deras föräldrar valde att delta. Även skolledningen informerades. Varken i ljudfilerna eller i utskrifterna finns elevernas namn nämnde. Skolans namn nämns inte heller i denna uppsats. Eleverna har försetts med andra namn som börjar på e. För att kunna analysera och jämföra kön och ålder har informationen om detta inte ändrats. Detta kan göra det möjligt att känna igen eleverna för de som vet vilka elever som intervjuades. I och med att intervjuerna handlade om elevernas förståelse av subtraktion, som är ett kunskapsområde som ska bedömas i skolan av dem som valt ut eleverna och därmed kan ha möjlighet att identifiera dem, och inte om något personligt eller privata ämne, har valet gjorts att låta denna information framgå i denna uppsats. Vid intervjuerna togs hänsyn till om eleverna med sitt kroppsspråk uttryckte misströstan/obehag över följdfrågorna genom att intervjuaren vid dessa tillfällen valde att övergå till nästa fråga i intervjuguiden. Det var endast de elever som av intervjuaren uppfattades ha mindre god matematisk förståelse som uppvisade misströstan/obehag. För att inte riskera att dessa skulle uppleva intervjusituationen som ett misslyckande gjordes valet att inte pressa dessa elever med ytterligare följdfrågor. 15

Kapitel 4 Resultat Beskrivning av data/empiri Som tidigare har angetts har insamlandet av kunskapsobjektet skett genom halvstrukturerade intervjuer utifrån en intervjuguide (se bilaga 3). Hur förstår eleverna subtraktion Här redovisas en mindre del av empirin för den första forskningsfrågan. En mer utförlig redovisning finns i bilaga 10 där varje samband/struktur redovisas för sig. Som data används svaren på intervjufråga 4 och 5 samt beräkningen a+b-a i fråga 3. I intervjufråga 4 ombads eleverna att jämföra olika beräkningar, en i taget, med a-b=c och utifrån denna mallberäkning svara på om den andra beräkningen (jämförelseberäkningen) är korrekt eller inte och om hur de tänker för att komma fram till sitt svar. Beräkningarna har valts utifrån olika samband och strukturer i subtraktion (bilaga 2 och 5). I citaten har förklarande text kursiverats och centrala ord som visar på förståelse hos eleverna strukits under. I rubriken anges vilken grupp (bilaga 5) uttalandet kommer från. Samband hel-del I den här gruppen ingår strukturer där samband hel-del och addition-subtraktion (inversion) testas. Sambandet som alla elever ser är att de ingående talen är de samma. Ester: Ja, alla de här är ju kvar och då är alla de här också kvar (pekar på motsvarade tal i de olika uträkningarna) så jag tror det är rätt. I jämförelseberäkningen där differensen och subtrahenden (andra termen) bytt plats kan man ana en förståelse hos Elvira. Elvira: Ja. Man har 27 och 16, det finns på båda (uträkningarna). Vänta jag måste tänka. (tystnad) Kolla, de två är ju likadana (16 och 27) /.../ och 43. /.../ om man har 43-27 så blir det 16. Om man har 43-16 så blir det 27. Därför att (tystnad, kommer inte på hur hon ska förklara). (Om a-b=c så är a-c=b) Emmot uttrycker först en önskan om att räkna men förklarar sedan att jämförelseberäkningen är korrekt utifrån att 11 har flyttats mellan subtrahenden och differensen. Detta visar på en förståelse av relationen mellan tal men en svagare förståelse av sambandet hel-del. Emmot: Ja det är rätt. Jag skulle bara ha tagit bort 16 från 43, men jag vet inte. /.../ Ja, det är ju 11 mer än det där, 27. Egentligen, om man skulle räkna ut det här, så är det bara att lägga på 11 där. (Om a-b=c så är a-c=b) Eyvind uttrycker att han upplever att varken mallberäkningen eller jämförelseberäkningen är korrekta. Eyvind: Det känns som om något av dem inte är särskilt rätt. (Om a-b=c så är a-c=b) När han blir ombedd att förklara hur han tänker svarar han att han inte brukar tänka utan räkna; han har förståelse för talens relation och räkneförmåga. 16