Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än 1, som inte kan skrivas som produkten av två heltal, båda större än 1. Exempel 1. Här har vi de 10 första primtalen. Vilka är de 10:e och 11:e primtalen? Svar: 9 och 31., 3, 5, 7, 11,13,17 19, 3 Exempel. Primtalsfaktorisera talen 0 och 900. Svar: 0 = 3 5 7 900 = 3 3 5 5 Exempel 3. 71, 93, 133. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket? Svar: 71 är primtal. 93 = 3 31 och 133 = 7 19 När man ska ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner av primtal över n. Till exempel [ kan man komma fram till att 51 är ett primtal genom att ingen av 51 ] divisionerna med primtal < = 3 går jämnt upp. Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar (oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är en produkt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmer termens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer. Några exempel på polynom x +3x+7 x 10 1 3 x 3 +x x Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Ett polynom kan innehålla flera variabler. ab 3 + b 3a är ett polynom i två variabler a och b. Dess gradtal är, som bestäms av termen ab 3 genom 1+3 = Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra. Exempel. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom (3x+)+(1+x) 7x+3 (x 3x) (3x 3x) x (3a+1)(+a) 6a+1a ++a 1a +10a+ Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat! Håkan Strömberg 1 KTH STH
Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a+b) = a +ab+b (a b) = a ab+b (a+b)(a b) = a b Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln Konjugatregeln Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x+) = 9x +1x+ eller (x+)(x ) = x. Ibland måste man också kunna gå bakvägen. Man faktoriserar polynomet x +1x+9 till (x+3)(x+3) (x+3). Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet x +8x = x(x+) blir faktoriserat genom att bryta ut x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut och få (x +x) eller enbart x och få x(x+8). En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för att den fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare. Exempel 5. Förenkla uttrycket (a b )+(a+b) +(a b) a b +a +b +ab+a +b ab 3a +b Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a +b än med det ursprungliga uttrycket. Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en ( + ) 9x +xy +16y Först ser vi att 9x (3x) och sedan 16y (y ). När vi sedan ser att 3x y = xy förstår vi att 9x +xy +16y (3x+y ) Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel Just detta uttryck kan man inte förenkla. 3x +y +x+y Exempel 7. Förenkla 1x+15 3(x+5) x+5 3 3 Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck Exempel 8. Förenkla Exempel 9. Förenkla 3x +6x 3x 3x(x+) 3x x+ a+8b a+b (a+b) a+b När vi bryter ut i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnaren och vi kan förkorta Exempel 10. Förenkla (a+b)(b a) (a b) b a ab a +b ab (a ab+b ) b a 3ab 3a b a 3a(b a) b a 3a Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a Håkan Strömberg KTH STH
Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annan bokstav. Ersätter man variabeln x med talet i uttrycket x x + får man uttryckets värde för x =. Normalt skriver man för p(x) = x x+, p() = + och får att p() =. Exempel 11. Bestäm p(x) = 3x +x 10 för x = 1 p(1) = 3 1 + 1 10 p(1) = 3 Exempel 1. Bestäm f() f(0) då f(x) = 3x +5 f() f(0) (3 +5) (3 0 +5) = 1 Exempel 13. Givet polynomet f(x) = x 3 +x +x+1. Bestäm f(3) f() Först bestämmer vi f(3) = 3 3 +3 +3+1 som ger f(3) = 0, sedan f() = 3 + ++1 som ger f() = 15. Vi får 0 15 5 8 5 3 = 8 3 Problem 1. Beräkna 3( )+(3 )(+1)+100(3 ( 1))+( )( ) Svar: 1 3( )+(3 )(+1)+100(3 ( 1))+( )( ) 3 ( )+( 1) 3+100(3 3)+8 6 3+8 1 Problem. Bestäm exakt 3 + 3 + 5 6 + 7 1 För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensamma nämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt). Den som är van ser direkt att den MGN= 1. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här. När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar MGN. Vi får Vi kan nu skriva summan som 3 + 3 3 3 + 5 6 + 7 1 1 1 8+9+10+7 1 3 1 17 6 Problem 3. Bestäm exakt 1 36 + 1 5 + 1 8 + 1 30 Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minsta gemensamma nämnaren 36 5 8 30 = 388800, men här ska vi verkligen försöka hitta MGN. Håkan Strömberg 3 KTH STH
Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna 36 = 3 3 5 = 3 3 5 8 = 30 = 3 5 Endast tre faktorer förekommer:, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finns i den faktorisering som innehåller flest. Detta ger 3 3 5 = 360 MGN=360, betydligt mindre än 388800. När vi nu ska förlänga de fyra bråken håller vi över De faktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi så bråket med 1 5 36 5 + 1 5 + 1 3 3 5 8 3 3 5 + 1 3 30 3 10+8+5+1 75 360 360 5 Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi 75 = 3 5 5 och fick 3 5 5 3 3 5 = 5 3 = 5 Problem. Bestäm 36 1 5 Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man det a b c d a d b c Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får 36 1 5 36 5 1 36 5 1 3 5 1 5 8 Problem 5. Bestäm exakt 3 + 3 3 + 3 Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren. 3 + 3 3 3 3 3 3 + 3 +9 6 9+8 1 13 6 17 1 13 1 6 17 6 17 Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck 1 x+1 + 1 x 1 Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + 1)(x 1) Precis som i aritmetiken fortsätter vi: 1(x 1) (x+1)(x 1) + 1(x+1) (x+1)(x 1) x 1+x+1 (x+1)(x 1) = x x 1 Håkan Strömberg KTH STH
Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom. Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan 3 +5 och 5+3? Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 17. Observera att det finns dåliga räknedosor som inte klarar detta. Problem 8. a) Man tänker multiplicera 1 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? b) Man tänker multiplicera 15 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0. Problem 9. Givet polynomet f(x) = 10x 3 1x +5x+101 Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p(1) och p(). Du får välja vilket som helst. Vad väljer du (om du är lite lat)? Svar: Den som är latast väljer p(0) = 101. Den som inte är riktigt så lat väljer p(1) = 10 1 + 5 + 101 = 10. Den som gillar att räkna kanske väljer p() = 10 3 1 +5 +101 = 13. Problem 10. Vad ska det stå istället för för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadreringsregel? x +8x+ Svar: = Problem 11. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) x 6x+9 b) 16x +8x+1 a) Här måste det handla om andra kvadreringsregeln x 6x+9 (x 3) Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är att två av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedan om den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andra kvadreringsregeln. b) 16x +8x+1 = (x+1) Problem 1. Utveckla Lösning: (x+1) 3 (x+1) 3 (x+1)(x+1) (x+1)(x +x+1) x 3 +3x +x+x +x+1 x 3 +3x +3x+1 Håkan Strömberg 5 KTH STH
Problem 13. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet. Hur kan man förenkla 38 Lösning: 38 (0 )(0+) 0 1600 1596 Problem 1. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma 5 Lösning: 5 (50+) 50 + 50+ 500+00+ 70 Problem 15. Förenkla 5t(t t 1) t (t 3)+t 3 Lösning: 5t(t t 1) t (t 3)+t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t )+t 3 5t 3 10t 5t t 3 +3t +t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av! Problem 16. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln y(x) =.15+.1x 0.1x där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(.5) y(.0) Lösning: Givet y(x) =.15+.1x 0.1x Vi har fått i uppgift att bestämma y(.5) y(.0). y(.5) =.15+.1.5 0.1.5 =.8375 y() = +.1 0.1 =.71 y(.5) y() =.8375.56 = 0.175 Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive.5 och och låt räknedosan göra resten. Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x -term. Figur 1: Håkan Strömberg 6 KTH STH
Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x =.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.175 vi fått som svar anger hur mycket bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x =. Problem 17. En 79 meter lång väg ska var färdig efter 10 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 man och hinner med 135 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli bli färdig i rätt tid? Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 mandagar. Detta betyder att 1 man klarar 135 30 = 9 meter/dag. Eftersom det återstår 79 135 = 1 meter kommer det att behövas 9 (10 6) (x+5) = 1 som ger x = 3. Svar: Det behövs 3 extra arbetare. Problem 18. Förenkla ( ) p+1 ( p 1 ) Lösning: ( p+1 ) ( ) p 1 (p+1) (p 1) (p +p+1) (p p+1) p +p+1 p +p 1 p p Problem 19. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från 1.% till 15.5%. Hur stor var ökningen i a) procentenheter b) procent Lösning: a) Antalet procentenheter är 15.5 1. = 3.1 b) Antag att det såldes 1000 bilar ena året. Då var 1000 15 100 = 1 stycken av vårt märke. Nästa år såldes det åter 1000 bilaroch då var 1000 155 100 = 155 av vårt märke. Antag att tillväxtfaktorn är x. x 1 = 155, som ger x = 1.5, vilket betyder att andelen steg med 5%. Svar: 3.1% respektive 5%. Men du behöver mer träning... Läxa 1. Förenkla så långt möjligt (x+h) 7(x+h) (x 7x ) Håkan Strömberg 7 KTH STH
Läxa. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) 50a +0a+8 b) x 1xy+36y Läxa 3. Lös ekvationen 5x (x+1)(x 3) = 3(x+)(x ) Läxa. Beräkna exakt 3 + 9 5 1 + 5 16 Läxa 5. Förenkla så långt möjligt 5x+15 5 + x 3x x Läxa 6. Förenkla så långt möjligt (3x+3y) 9 (x y) (x+y) Läxa Lösning 1. (x+h) 7(x+h) (x 7x ) (x+h) 7(x +h +hx) (x 7x ) x+h (7x +7h +1hx) x+7x x+h 7x 7h 1hx x+7x h 7h 1hx Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt att ordna dem i bokstavsordning skriv hellre hx än xh. Läxa Lösning. a) Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges. 50a +0a+8 (5a +0a+) (5a+) Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna direkt. Men om vi bryter ut ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer till användning här. b) x 1xy+36y x 1xy+(6y) (x 6y) Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln. Håkan Strömberg 8 KTH STH
Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det! 5x (x+1)(x 3) = 3(x+)(x ) 5x (x 6x+x 3) = 3(x x+x 16) 5x x +5x+3 = 3x 8 5x x 3x +5x = 8 3 x = 51 5 Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu alla x och x -termer på vänster sida. Vilken tur att x -termerna försvann vi har ju inte talat om andragradsekvationer ännu! Resultatet 51/5 är lika med 10.. Läxa Lösning. 3 + 9 5 1 + 5 16 Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på MGN. 3 = 3 9 = 3 3 1 = 3 16 = MGN= 3 3 = 1 Nu är det dags att förlänga I nästa steg får vi Svar: Summan är 133 1 Läxa Lösning 5. Läxa Lösning 6. 8 3 8 + 16 9 16 5 1 1 1 + 5 9 16 9 96+3 60+5 1 133 1 5x+15 + x 3x 5 x 5(x+3) + x(x 3) 5 x (x+3)+(x 3) x (3x+3y) 9 (x y) (x+y) 9x +18xy+9y 9 x 8xy+y (x +xy+y ) 9(x +xy+y ) 9 (x xy+y ) x xy y x +xy+y (x xy+y ) x xy y x +xy+y x +xy y x xy y x +xy y (x xy+y ) (x y) Håkan Strömberg 9 KTH STH
I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande av uttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin. Problem 0. Förenkla Svar: x 3 x +3x Problem 1. Förenkla Svar: 3x 3y+z Problem. Förenkla Svar: x 7x+1 3x x +5x+3x +x 3 +x 6x x 3 3x x+y+3z+(x y z) (y 3x+x) (x+3y x) (x+1)(x+3) (x+)(x+3)+(x )(x 1) Problem 3. Förenkla (x 3 +x) (x 3 x) +(x 3 +x)(x 3 x) Svar: x 6 +x x Håkan Strömberg 10 KTH STH