System av Autonoma Agenter

Relevanta dokument
gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form

Metriska rum, R och p-adiska tal

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Stokastiska processer och simulering I 24 maj

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

SF1625 Envariabelanalys

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Modul 4 Tillämpningar av derivata

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

Grundläggande matematisk statistik

Jeep-problemet. Kjell Elfström

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

TMV225 Kapitel 3. Övning 3.1

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

Matematiska uppgifter

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

Mer om reella tal och kontinuitet

Matematiska uppgifter

Patologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

Föreläsning 2 5/6/08. Reguljära uttryck 1. Reguljära uttryck. Konkatenering och Kleene star. Några operationer på språk

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Shannon-Fano-Elias-kodning

Mängder och kardinalitet

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Stokastiska processer med diskret tid

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

Faltning steg för steg

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

Lipschitz-kontinuitet

Euklides algoritm för polynom

Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH

Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

Om konvergens av serier

Kontinuitet och gränsvärden

Inledning. Kapitel Bakgrund. 1.2 Syfte

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

2 Matematisk grammatik

Grundläggande matematisk statistik

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14

Simulering. Introduktion. Exempel: Antag att någon kastar tärning

Introduktion till statistik för statsvetare

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

Om ordinaltal och kardinaltal

1 Att läsa matematik.

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Grundläggande matematisk statistik

FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE

Mer om slumpvariabler

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen

Föreläsning 1: Introduktion

1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Laboration 3: Hierarkiska binomialmodeller i R

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning euklidisk geometri

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

LÖSNINGAR TILL P(A) = P(B) = P(C) = 1 3. (a) Satsen om total sannolikhet ger P(A M) 3. (b) Bayes formel ger

ANDREAS REJBRAND Matematik Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april /29

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Vektorgeometri för gymnasister

Räta linjens ekvation.

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Betingning och LOTS/LOTV

Matematisk statistik, Föreläsning 5

2 Dataanalys och beskrivande statistik

Explorativ övning Geometri

Under min praktik som lärarstuderande

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

Skolår 1 3. Skriftligt omdöme ÄMNE Namn: År: Termin: Undervisande lärare: Kunskapsutveckling. Kommentar till kunskapsbedömningen.

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

Trigonometriska formler Integraler och skalärprodukter Fourierserier Andra ortogonala system. Fourierserier. Fourierserier

Flerdimensionell analys i bildbehandling

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Transkript:

System av Autonoma Agenter Edvin Wedin GU March 31, 2014 Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 1 / 30

Autonoma agenter Lokala regler: Varje agent påverkas enbart av de andra agenter som är tillräckligt nära. Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 2 / 30

Två infallsvinklar: 1 Givet ett mål, konstruera regler som uppfyller det (Sammanstrålningsproblem) 2 Givet regler, studera vad som kommer ur dem. Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 3 / 30

Hegselmann-Krause-modellen Modell i opinionsdynamik: N stycken agenter som vid tid t har åsikterna x t (1), x t (2),..., x t (N). I diskret tid uppdateras åsikterna enligt x t+1 (i) = 1 N t (i) där N t (i) = {j : x t (j) x t (i) 1}. j N t(i) x t (j), (1) Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 4 / 30

Exempel Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 5 / 30

Exempel Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 6 / 30

Exempel Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 7 / 30

Varför studera detta? Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 8 / 30

Varför studera detta? Tillämpningar! Robotik Biologi (både micro- och macro-) Opinionsdynamik Datoranimation För att vi kan! Flera problem verkar gå att angripa matematiskt Vissa framgångar har nåtts Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 9 / 30

Varför studera detta? Enkla tydliga regler leder till oväntade fenomen! Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 10 / 30

Varför studera detta? Enkla tydliga regler leder till oväntade fenomen! Många grundläggande teoretiska frågor är olösta Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 10 / 30

Varför studera detta? Enkla tydliga regler leder till oväntade fenomen! Många grundläggande teoretiska frågor är olösta Simuleringar visar på fenomen vi inte kan förklara Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 10 / 30

Datorsimulering 10 agenter, likformigt fördelade: 4.5 4 3.5 3 2.5 Åsikter 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Tid Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 11 / 30

Datorsimulering 1000 agenter, likformigt fördelade: 4 3.5 3 2.5 Åsikter 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tid Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 12 / 30

Datorsimulering 1000 agenter, likformigt fördelade: 6 5 4 Åsikter 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tid Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 13 / 30

Datorsimulering 1000 agenter, likformigt fördelade: 5 4 3 Åsikter 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Tid Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 14 / 30

Vad händer då antalet agenter går mot oändligheten? Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 15 / 30

Vad händer då antalet agenter går mot oändligheten? Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 15 / 30

Kontinuerlig version 2007 generaliserades modellen av Hendrickx et al. så att agenterna indexeras med ett reellt intervall istället för ändligt många heltal: Låt en agent α [0, M] R ha åsikten x t (α) vid tiden t. Åsikterna uppdateras enligt 1 x t+1 (α) = x t (β) dβ, (2) µ(n t (α)) N t(α) där N t (α) = {β : x t (β) x t (α) 1} Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 16 / 30

Kontinuerlig version 2007 generaliserades modellen av Hendrickx et al. så att agenterna indexeras med ett reellt intervall istället för ändligt många heltal: Låt en agent α [0, M] R ha åsikten x t (α) vid tiden t. Åsikterna uppdateras enligt 1 x t+1 (α) = x t (β) dβ, (2) µ(n t (α)) N t(α) där N t (α) = {β : x t (β) x t (α) 1} ( Ursprunglig formel: x t+1 (i) = 1 N t (i) j N t(i) x t (j) ) Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 16 / 30

Kontinuerlig version HK-operator Faltning Skev faltning Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 17 / 30

Exempel Åsikter Agenter Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 18 / 30

Exempel Åsikter Åsikter Agenter Agenter Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 19 / 30

Exempel Åsikter Åsikter?? Agenter Agenter Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 20 / 30

Förmodan Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 21 / 30

Datorsimulering Kom ihåg det diskreta fallet: 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 En agent räcker! Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 22 / 30

Min konstruktion Åsikter 1 Agenter Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 23 / 30

Min konstruktion Densitet Åsikter Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 24 / 30

Lemma Bara de agenter som ser platån i mitten och delar av ett ackt område hamnar i ett brant område efter uppdatering. Lemma De acka områdena rör sig mot mitten i en takt proportionell mot bredden av de branta områdena. Lemma Derivatan bland dessa agenter måste öka, så de branta områdena måste bli smalare. Minskningen i de branta områdenas bredd är tillräckligt snabb för att de acka områdenas läge ska konvergera. Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 25 / 30

Lemma Bara de agenter som ser några populära åsikter på en kant och de populära i mitten får en åsikt med låg densitet i nästa steg. Lemma Topparna på sidorna rör sig mot mitten i en takt som är proportionell mot densiteten i de mellanliggande områdena. Lemma Densiteten för åsikter med låg densitet måste minska. Minskningen är tillräckligt snabb för att topparnas läge ska konvergera. Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 26 / 30

Andra spår Simuleringar 10 9 8 7 6 5 4 10 0 10 1 10 2 Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 27 / 30

Andra spår Åsikter på en cirkel Avståndet till nästa agent ofta mer relevant än läget! Åsikter på en cirkel: 0.8 0.3 0.7 0.6 0.6 0.6 Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 28 / 30

Andra spår Värsta fallet? Är detta värsta fallet? 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 (Åsikter i aritmetisk progression) Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 29 / 30

Sammanfattning Agenter med lokala regler Liknande beteende oavsett antal Konsensus inte garanterad ens för överuppräknerligt många agenter Simuleringar Åsikter på cirkel Värsta fallet Edvin Wedin (GU) System av Autonoma Agenter March 31, 2014 30 / 30