Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
|
|
|
- Hans Henriksson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen Lars Engebretsen
2 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner i polynomisk tid. Kanske kan vi lösa svårare problem med kvantmekanik? Vi behöver en vettig modell som dessutom går att implementera. Modellen bör kunna lösa svårare problem än turingmaskiner klarar av. Lars Engebretsen
3 Modell översikt Informationslagring: Vågfunktionen, en linjärkombination av tillstånd. Programsteg: Lokala unitära transformationer av vågfunktionen. Mätning: Vi frågar systemet vilket tillstånd det är i. Svaret beror på vågfunktionen. En mätning förstör nästan all information som finns i vågfunktionen. Lars Engebretsen
4 Modell kvantbiten En kvantbit beskrivs av två bastillstånd: 0 och 1. Kvantbiten kan vara i tillstånd α α 1 1 så snart α 0 + α 1 = 1. ( ) α0 Ibland skriver vi α α 1 1 som. α 1 Lars Engebretsen
5 Modell kvantbiten En kvantbit beskrivs av två bastillstånd: 0 och 1. Kvantbiten kan vara i tillstånd α α 1 1 så snart α 0 + α 1 = 1. ( ) α0 Ibland skriver vi α α 1 1 som. α 1 Mätning: Vi frågar kvantbiten vilket tillstånd den är i. Sannolikheten att vi får svaret i är α i. Efter mätningen kollapsar kvantbiten till det tillstånd vi såg vid mätningen. Lars Engebretsen
6 Modell programsteg Minsta byggstenen: Unitära operatorer. Lars Engebretsen
7 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 Lars Engebretsen
8 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) Lars Engebretsen
9 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 α0 1 0 α0 avbildar på 0 1 α α 1 Lars Engebretsen
10 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 α0 1 0 α0 α0 avbildar på =. 0 1 α α 1 α 1 Lars Engebretsen
11 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) 1 0 avbildar varje tillstånd på sig själv 0 1 Lars Engebretsen
12 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) 1 0 avbildar varje tillstånd på sig själv 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 α0 0 1 α0 α1 avbildar på =. 1 0 α α 1 α 0 Lars Engebretsen
13 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) 1 0 avbildar varje tillstånd på sig själv 0 1 ( ) 0 1 definierar α α 1 1 α α 0 1. Lars Engebretsen
14 Modell programsteg Minsta byggstenen: -matriser sådana att A = A 1. ( ) ( ) α0 α0 En matris A avbildar tillståndet på A. α 1 α 1 ( ) 1 0 avbildar varje tillstånd på sig själv 0 1 ( ) 0 1 definierar α α 1 1 α α 0 1. ( ) definierar Lars Engebretsen
15 Modell ett exempel Systemet startar i tillstånd 0. Lägg på operatorn A = 1 ( ) 1 + i 1 i. 1 i 1 + i Lars Engebretsen
16 Modell ett exempel Systemet startar i tillstånd 0. Lägg på operatorn A = 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i) 0 Systemet byter tillstånd till 1 = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i ). ( 1 + i 1 i ). Lars Engebretsen
17 Modell ett exempel Systemet startar i tillstånd 0. Lägg på operatorn A = 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i) 0 Systemet byter tillstånd till 1 = 1 En mätning nu ger 0 och 1 med samma sannolikhet. ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i ). ( 1 + i 1 i ). Lars Engebretsen
18 Modell ett exempel Systemet startar i tillstånd 0. Lägg på operatorn A = 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i) 0 Systemet byter tillstånd till 1 = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i ). ( 1 + i 1 i En mätning nu ger 0 och 1 med samma sannolikhet. Antag att vi mäter och ser 1. Efteråt vet vi att systemet är i tillstånd 1. ). Lars Engebretsen
19 Modell ett exempel Systemet startar i tillstånd 0. Lägg på operatorn A = 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i) 0 Systemet byter tillstånd till 1 = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i ). ( 1 + i 1 i En mätning nu ger 0 och 1 med samma sannolikhet. Antag att vi mäter och ser 1. Efteråt vet vi att systemet är i tillstånd 1. Använd A igen; systemet hamnar i tillstånd 1 i i 1. Mät igen. ). Lars Engebretsen
20 Modell ett exempel Systemet startar i tillstånd 0. Lägg på operatorn A = 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i) 0 Systemet byter tillstånd till 1 = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i ). ( 1 + i 1 i En mätning nu ger 0 och 1 med samma sannolikhet. Antag att vi mäter och ser 1. Efteråt vet vi att systemet är i tillstånd 1. Använd A igen; systemet hamnar i tillstånd 1 i i Mätningen ger 0 och 1 med samma sannolikhet. 1. Mät igen. ). Lars Engebretsen
21 Modell ett liknande exempel Samma början: Vi startar i 0 och kör operatorn A = 1 ( ) 1 + i 1 i. 1 i 1 + i Lars Engebretsen
22 Modell ett liknande exempel Samma början: Vi startar i 0 och kör operatorn A = 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i) 0 Systemet byter tillstånd till 1 = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i ). ( 1 + i 1 i ). Lars Engebretsen
23 Modell ett liknande exempel Samma början: Vi startar i 0 och kör operatorn A = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i Systemet byter tillstånd till 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 = 1 i 1 + i) 1 ( ) 1 + i. 0 1 i Men nu kör vi A igen; Då hamnar vi i 1 ( ) ( ) 1 + i 1 i i = 1 i 1 + i 1 i ). ( 0 1). Lars Engebretsen
24 Modell ett liknande exempel Samma början: Vi startar i 0 och kör operatorn A = 1 ( 1 + i 1 i 1 i 1 + i Systemet byter tillstånd till 1 ( ( ) 1 + i 1 i 1 = 1 i 1 + i) 1 ( ) 1 + i. 0 1 i Men nu kör vi A igen; Då hamnar vi i 1 ( ) ( ) 1 + i 1 i i = 1 i 1 + i 1 i En mätning nu ger 1 med sannolikhet ett. ). ( 0 1). Lars Engebretsen
25 Modell fler bitar Vi behöver fler bitar än en. Bastillstånden blir då b för binära strängar b. Systemets tillstånd skrivs α b b där α b = 1. Vid mätning ser vi b med sannolikhet α b. Efter en mätning kollapsar systemet till det tillstånd vi såg. Lars Engebretsen
26 Feynmans motivering av kvantberäkningar Hur många bastillstånd finns det? Två bitar: 00, 01, 10, 11. Tre bitar: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. n bitar: n bastillstånd! Lars Engebretsen
27 Feynmans motivering av kvantberäkningar Hur många bastillstånd finns det? Två bitar: 00, 01, 10, 11. Tre bitar: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. n bitar: n bastillstånd! Det tar exponentiell tid att simulera ett n-bitarsystem klassiskt. Så kanske ger kvantberäkningar en exponentiell uppsnabbning? Lars Engebretsen
28 Modell operationer på två bitar Operationer definieras, som tidigare, som unitära matriser Vilken transformation definieras av ? α α α α α α α α Lars Engebretsen
29 Modell operationer på två bitar Operationer definieras, som tidigare, som unitära matriser Vilken transformation definieras av ? α α α α α α α α Om den första biten är noll ändras inte den andra biten. Om den första biten är ett negeras den andra biten. Lars Engebretsen
30 Modell sammanfattning Information lagras som en vektor i ett komplext vektorrum. Vektorrummet har n dimensioner om vi har n kvantbitar. Programmet består av unitära operationer på högst två kvantbitar åt gången. Mått på komplexitet: Antal sådana operationer. Vi får resultatet genom att mäta. Vi ser b med sannolikhet koefficienten framför b. En mätning gör att vågfunktionen kollapsar. Lars Engebretsen
31 Är modellen användbar? Vad klarar vi av att göra i kvantmodellen? Lars Engebretsen
32 Är modellen användbar? Vad klarar vi av att göra i kvantmodellen? Alla kvantberäkningar är reversibla; de kan alltså köras baklänges. Därför finns inte operationer av typen sätt x till 17. Lars Engebretsen
33 Är modellen användbar? Vad klarar vi av att göra i kvantmodellen? Alla kvantberäkningar är reversibla; de kan alltså köras baklänges. Därför finns inte operationer av typen sätt x till 17. Trots detta kan alla deterministiska beräkningar simuleras. Huvudidé: NAND-grindar är universella; det räcker alltså att simulera dem. [NAND(x 1, x ) = (x 1 x ).] NAND-grindar kan simuleras reversibelt om man behåller indata. Lars Engebretsen
34 Faktorisering Vi vill dela upp N, ett tal med n-bitar, i primfaktorer. Lars Engebretsen
35 Faktorisering Vi vill dela upp N, ett tal med n-bitar, i primfaktorer. Välj ett slumpvis x och låt r vara dess ordning mod N; x r 1 mod N. Det är känt att gcd(x r/ 1, N) ofta är en icke-trivial faktor. Lars Engebretsen
36 Faktorisering Vi vill dela upp N, ett tal med n-bitar, i primfaktorer. Välj ett slumpvis x och låt r vara dess ordning mod N; x r 1 mod N. Det är känt att gcd(x r/ 1, N) ofta är en icke-trivial faktor. Så om vi kan beräkna ordningen mod N så kan vi även faktorisera N. Shors algoritm beräknar ordningen mod N i polynomisk tid. Lars Engebretsen
37 Faktorisering Vi vill dela upp N, ett tal med n-bitar, i primfaktorer. Välj ett slumpvis x och låt r vara dess ordning mod N; x r 1 mod N. Det är känt att gcd(x r/ 1, N) ofta är en icke-trivial faktor. Så om vi kan beräkna ordningen mod N så kan vi även faktorisera N. Shors algoritm beräknar ordningen mod N i polynomisk tid, dvs antalet operationer är polynomiskt i n. Lars Engebretsen
38 Översikt av algoritmen Shors algoritm har tre faser: 1. Konvertera 0 till en likformig fördelning. Lars Engebretsen
39 Översikt av algoritmen Shors algoritm har tre faser: 1. Konvertera 0 till en likformig fördelning. Kan göras genom att köra 1 ( ) 1 1 på varje kvantbit. 1 1 Lars Engebretsen
40 Översikt av algoritmen Shors algoritm har tre faser: 1. Konvertera 0 till en likformig fördelning. Kan göras genom att köra 1 ( ) 1 1 på varje kvantbit Beräkna x a mod N givet x, a och N. Lars Engebretsen
41 Översikt av algoritmen Shors algoritm har tre faser: 1. Konvertera 0 till en likformig fördelning. Kan göras genom att köra 1 ( ) 1 1 på varje kvantbit Beräkna x a mod N givet x, a och N. Går att göra om vi behåller indata. Lars Engebretsen
42 Översikt av algoritmen Shors algoritm har tre faser: 1. Konvertera 0 till en likformig fördelning. Kan göras genom att köra 1 ( ) 1 1 på varje kvantbit Beräkna x a mod N givet x, a och N. Går att göra om vi behåller indata. m 1 3. Beräkna fouriertransformen av a: a m/ ω ac c där ω = e πi/m. Lars Engebretsen
43 Översikt av algoritmen Shors algoritm har tre faser: 1. Konvertera 0 till en likformig fördelning. Kan göras genom att köra 1 ( ) 1 1 på varje kvantbit Beräkna x a mod N givet x, a och N. Går att göra om vi behåller indata. m 1 3. Beräkna fouriertransformen av a: a m/ Antag tillsvidare att detta går att göra. ω ac c där ω = e πi/m. Lars Engebretsen
44 Mer detaljerad version av algoritmen Givet x and N vill vi beräkna ordningen av x mod N. N består av n bitar. 1. Skapa a genom att skapa m = 3n likafördelade slumpbitar. Tillstånd: m/ m 1 a=0 a, x, N Lars Engebretsen
45 Mer detaljerad version av algoritmen Givet x and N vill vi beräkna ordningen av x mod N. N består av n bitar. 1. Skapa a genom att skapa m = 3n likafördelade slumpbitar. Tillstånd: m/ m 1 a=0 a, x, N. Beräkna x a mod N. Tillstånd: m/ m 1 a=0 xa, a, x, N Lars Engebretsen
46 Mer detaljerad version av algoritmen Givet x and N vill vi beräkna ordningen av x mod N. N består av n bitar. 1. Skapa a genom att skapa m = 3n likafördelade slumpbitar. Tillstånd: m/ m 1 a=0 a, x, N. Beräkna x a mod N. Tillstånd: m/ m 1 a=0 xa, a, x, N 3. Fouriertransformera a. a m/ m 1 ωac c Lars Engebretsen
47 Mer detaljerad version av algoritmen Givet x and N vill vi beräkna ordningen av x mod N. N består av n bitar. 1. Skapa a genom att skapa m = 3n likafördelade slumpbitar. Tillstånd: m/ m 1 a=0 a, x, N. Beräkna x a mod N. Tillstånd: m/ m 1 a=0 xa, a, x, N 3. Fouriertransformera a. Tillstånd: m m 1 a=0 m 1 ωac x a, c, x, N Lars Engebretsen
48 Mer detaljerad version av algoritmen Givet x and N vill vi beräkna ordningen av x mod N. N består av n bitar. 1. Skapa a genom att skapa m = 3n likafördelade slumpbitar. Tillstånd: m/ m 1 a=0 a, x, N. Beräkna x a mod N. Tillstånd: m/ m 1 a=0 xa, a, x, N 3. Fouriertransformera a. Tillstånd: m m 1 a=0 m 1 ωac x a, c, x, N 4. Mät tillståndet och beräkna r givet observationen av c. Lars Engebretsen
49 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Lars Engebretsen
50 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Lars Engebretsen
51 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Pr[ x k, c, x, N ] = m a:x a x k ω ac Lars Engebretsen
52 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Pr[ x k, c, x, N ] = m a:x a x k ω ac = m ω (k+jr)c j Lars Engebretsen
53 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Pr[ x k, c, x, N ] = m a:x a x k ω ac = m ω kc ω jrc j Lars Engebretsen
54 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Pr[ x k, c, x, N ] = m a:x a x k ω ac = m ω kc j ω jrc Lars Engebretsen
55 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Pr[ x k, c, x, N ] = m När är denna summa stor? a:x a x k ω ac = m ( ω rc ) j j. Lars Engebretsen
56 Analys av algoritmen intuition m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 ω ac x a, c, x, N Vad är sannolikheten att se ett visst x k, c, x, N? Eftersom x k x k+r x k+r bidrar flera a till samma x k, c, x, N. Pr[ x k, c, x, N ] = m a:x a x k ω ac När är denna summa stor? Studera j (ωrc ) j. = m ( ω rc ) j j. Lars Engebretsen
57 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i 1 1 i Lars Engebretsen
58 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc 1 1 i Lars Engebretsen
59 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 i Lars Engebretsen
60 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i Lars Engebretsen
61 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i Lars Engebretsen
62 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i Lars Engebretsen
63 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i Lars Engebretsen
64 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i Lars Engebretsen
65 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i Lars Engebretsen
66 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc ω rc 1 1 ω 3rc i j (ωrc ) j = längden av summan av ovanstående vektorer. Lars Engebretsen
67 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc i ω rc ω rc 1 ω 3rc i i j (ωrc ) j = längden av summan av ovanstående vektorer. Lars Engebretsen
68 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc i ω rc ω rc 1 ω 3rc i i j (ωrc ) j = längden av summan av ovanstående vektorer. Lars Engebretsen
69 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc i ω rc ω 3rc rc 1 ω 3rc i i j (ωrc ) j = längden av summan av ovanstående vektorer. Lars Engebretsen
70 Analys av algoritmen summor av enhetsrötter När är j (ωrc ) j stort? (ω komplext tal med norm 1.) i ω rc i ω rc ω 3rc rc 1 ω 3rc i i j (ωrc ) j = längden av summan av ovanstående vektorer. Lars Engebretsen
71 Analys av algoritmen sammanfattning m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 Pr[ x k, c, x, N ] = m ω ac x a, c, x, N a:x a x k ω ac Stort om ω rc är nära 1, dvs om e πirc/m är nära 1. = m ( ω rc ) j j. Lars Engebretsen
72 Analys av algoritmen sammanfattning m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 Pr[ x k, c, x, N ] = m ω ac x a, c, x, N a:x a x k ω ac = m ( ω rc ) j j. Stort om ω rc är nära 1, dvs om e πirc/m ett heltal. är nära 1, dvs om rc/ m är nästan Lars Engebretsen
73 Analys av algoritmen sammanfattning m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 Pr[ x k, c, x, N ] = m ω ac x a, c, x, N a:x a x k ω ac = m ( ω rc ) j Stort om ω rc är nära 1, dvs om e πirc/m är nära 1, dvs om rc/ m är nästan ett heltal, dvs om c m är nära d/r för något heltal d. j. Lars Engebretsen
74 Analys av algoritmen sammanfattning m 1 Tillstånd när vi mäter: m a=0 m 1 Pr[ x k, c, x, N ] = m ω ac x a, c, x, N a:x a x k ω ac = m ( ω rc ) j Stort om ω rc är nära 1, dvs om e πirc/m är nära 1, dvs om rc/ m är nästan ett heltal, dvs om c m är nära d/r för något heltal d. Vi observerar c och vet m, så vi får en approximation till d/r. Om approximationen är bra kan vi beräkna d och r. j. Lars Engebretsen
75 Analys av algoritmen sannolikheten att se ett visst c 0.01 Figuren nedan visar Pr[c] då r = 10 och m = Med hög sannolikhet är c d m r 1 detta räcker. m+1; Lars Engebretsen
76 Fouriertransformen m 1 Vi vill implementera a m/ e πiac/m c Lars Engebretsen
77 Fouriertransformen m 1 Vi vill implementera a m/ En kvantbit: a 1 1 e πiac/m c e πiac/ c = 1 1 ( 1) ac c Lars Engebretsen
78 Fouriertransformen m 1 Vi vill implementera a m/ En kvantbit: a ( ); e πiac/m c e πiac/ c = 1 1 ( 1) ac c Lars Engebretsen
79 Fouriertransformen m 1 Vi vill implementera a m/ En kvantbit: a ( ); 1 1 ( 0 1 ) e πiac/m c e πiac/ c = 1 1 ( 1) ac c Lars Engebretsen
80 Fouriertransformen m 1 Vi vill implementera a m/ En kvantbit: a ( ); 1 1 ( 0 1 ) e πiac/m c e πiac/ c = 1 1 ( 1) ac c Detta kan göras med rotationen R = 1 ( ) Lars Engebretsen
81 Fouriertransformen av två kvantbitar verktyg Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Vi kommer att behöva rotationerna från enbitsfallet: R k roterar bit k Vi kommer också att behöva byta fas: S = i Lars Engebretsen
82 Fouriertransformen av två kvantbitar verktyg Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Vi kommer att behöva rotationerna från enbitsfallet: R k roterar bit k Vi kommer också att behöva byta fas: S = i α α α α α α α iα Lars Engebretsen
83 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Lars Engebretsen
84 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Lars Engebretsen
85 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Lars Engebretsen
86 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a ( 00 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Lars Engebretsen
87 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a ( e πiac/4 c = 1 3 i ac c. Lars Engebretsen
88 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) Lars Engebretsen
89 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 Lars Engebretsen
90 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 + i i 11 ) Lars Engebretsen
91 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 + i i 11 ) 10 1 ( 00 Lars Engebretsen
92 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 + i i 11 ) 10 1 ( ) Lars Engebretsen
93 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 + i i 11 ) 10 1 ( ) 11 1 ( 00 Lars Engebretsen
94 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 + i i 11 ) 10 1 ( ) 11 1 ( 00 i i 11 ) Lars Engebretsen
95 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( 00 + i i 11 ) 10 1 ( ) 11 1 ( 00 i i 11 ) Vi kan multiplicera med i genom att byta fas. Samla därför termer som innehåller i. Lars Engebretsen
96 Fouriertransformen av två kvantbitar intuition Vi vill implementera a 1 3 e πiac/4 c = 1 3 i ac c ( ) 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) 11 1 ( ) + i 1 ( ) Vi kan multiplicera med i genom att byta fas. Samla därför termer som innehåller i. Notera att i enbart dyker upp om bit noll är 1 i VL. Rotation av bit ett ändrar b 1 b 0 till ungefär 0b 0 ± 1b 0. Lars Engebretsen
97 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion Rotera först bit ett (R 1 ): ; ; Lars Engebretsen
98 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion Rotera först bit ett (R 1 ): ; ; Byt sedan fas (S R 1 ): ; i ; i 1 11 Lars Engebretsen
99 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion Rotera först bit ett (R 1 ): ; ; Byt sedan fas (S R 1 ): ; i ; i 1 11 Mönstermatchning vi vill egentligen ha: 00 1 ( ) + 1 ( ); 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) + 1 ( ); 11 1 ( ) i 1 ( ) Lars Engebretsen
100 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion S R 1 ger: ; i ; i 1 11 Lars Engebretsen
101 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion S R 1 ger: ; i ; i 1 11 Rotera nu bit noll (R 0 S R 1 ): 00 1 ( ) + 1 ( ); 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) 1 ( ); 11 1 ( ) i 1 ( ) Lars Engebretsen
102 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion S R 1 ger: ; i ; i 1 11 Rotera nu bit noll (R 0 S R 1 ): 00 1 ( ) + 1 ( ); 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) 1 ( ); 11 1 ( ) i 1 ( ) Mönstermatchning vi vill egentligen ha: 00 1 ( ) + 1 ( ); 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) + 1 ( ); 11 1 ( ) i 1 ( ) Lars Engebretsen
103 Fouriertransformen av två kvantbitar konstruktion S R 1 ger: ; i ; i 1 11 Rotera nu bit noll (R 0 S R 1 ): 00 1 ( ) + 1 ( ); 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) 1 ( ); 11 1 ( ) i 1 ( ) Mönstermatchning vi vill egentligen ha: 00 1 ( ) + 1 ( ); 01 1 ( ) + i 1 ( ) 10 1 ( ) + 1 ( ); 11 1 ( ) i 1 ( ) Vi är nästan klara, vi behöver bara byta ordning på bitarna i HL! Lars Engebretsen
104 Fouriertransformen generella fallet Transformen av två kvantbitar kan skrivas R 0 S R 1 (bitvändning). Detta går att generalisera. Lars Engebretsen
105 Fouriertransformen generella fallet Transformen av två kvantbitar kan skrivas R 0 S R 1 (bitvändning). Detta går att generalisera. Vi använder operationerna R k operera med 1 ( ) 1 1 på bit k och S kl operera med på bitarna k och l e πi/l k Lars Engebretsen
106 Fouriertransformen generella fallet Transformen av två kvantbitar kan skrivas R 0 S R 1 (bitvändning). Detta går att generalisera. Vi använder operationerna R k operera med 1 ( ) 1 1 på bit k och S kl operera med på bitarna k och l e πi/l k Transformen av n bitar kan då skrivas R 0 S 0,1 S 0,n 1 R 1 R n 3 S n 3,n S n 3,n 1 R n S n,n 1 R n 1. Lars Engebretsen
107 Fouriertransformen grafiskt schema a 0 R 0 c 3 a 1 R 1 S 01 c a R S 1 S 0 c 1 a 3 R 3 S 3 S 13 S 03 c 0 Antal operationer: O(n ). Lars Engebretsen
108 Avslutning Vi kan faktorisera i polynomisk tid med kvantberäkningar. Är modellen realistisk? Lars Engebretsen
109 Avslutning Vi kan faktorisera i polynomisk tid med kvantberäkningar. Är modellen realistisk? Svårt att säga... Lars Engebretsen
110 Avslutning Vi kan faktorisera i polynomisk tid med kvantberäkningar. Är modellen realistisk? Svårt att säga... Det verkar svårt att bygga datorer enligt modellen. Rekord för närvarande: 7 bitar, faktorisera 15. (Nature 414, ss , 001.) Lars Engebretsen
111 Avslutning Vi kan faktorisera i polynomisk tid med kvantberäkningar. Är modellen realistisk? Svårt att säga... Det verkar svårt att bygga datorer enligt modellen. Rekord för närvarande: 7 bitar, faktorisera 15. (Nature 414, ss , 001.) Å andra sidan har den klassiska datorn utvecklas en hel del sedan turingmaskinen introducerades kanske ska vi inte bygga kvantdatorer exakt enligt modellen? Lars Engebretsen
112 Avslutning Vi kan faktorisera i polynomisk tid med kvantberäkningar. Är modellen realistisk? Svårt att säga... Det verkar svårt att bygga datorer enligt modellen. Rekord för närvarande: 7 bitar, faktorisera 15. (Nature 414, ss , 001.) Å andra sidan har den klassiska datorn utvecklas en hel del sedan turingmaskinen introducerades kanske ska vi inte bygga kvantdatorer exakt enligt modellen? Ett modellproblem: Hur stoppar vi in indata i kvantbitarna? Kräver att bitarna tvingas till ett specifikt tillstånd. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 003-11-18 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner i polynomisk tid. Kanske
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!
KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel
Föreläsning 3: Dekomposition. Dekomposition
Föreläsning 3: Dekomposition Dekomposition Dekomposition är en generell metod för att lösa problem Metoden bygger på att man delar upp ett problem i delproblem av samma typ som ursprungsproblemet Uppdelningen
Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.
Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37
Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5
a = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Linjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
SF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med
Linjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Kvantteknologi. Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter
Kvantteknologi Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter Att ta med sig / kunna svara på Vad är skillnaden på en klassisk bit och en kvantbit? Vad är skillnaden på flera klassiska
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Givet två naturliga tal a och b, som inte båda två är 0, hur räknar man ut största gemensamma delaren av a och b?
Euklides algoritm för största gemensamma delaren Givet två naturliga tal a och b, som inte båda två är 0, hur räknar man ut största gemensamma delaren av a och b? Euklides har kommit på en metod (algoritm)
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Föreläsning 7. Felrättande koder
Föreläsning 7 Felrättande koder Antag att vi vill skicka ett meddelande som består av bokstäver a,b,c,d. Vi kan koda a,b,c,d. Antag att det finns en viss sannolikhet att en bit i ett meddelande som skickas
Signalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Övningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Determinanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
KOSMOS VÅR KVANTVÄRLD KVANTDATORER SUPERDATORER I SUPERPOSITION ERIKA ANDERSSON SÄRTRYCK UR: SVENSKA FYSIKERSAMFUNDETS ÅRSBOK 2017
SÄRTRYCK UR: KOSMOS VÅR KVANTVÄRLD SVENSKA FYSIKERSAMFUNDETS ÅRSBOK 2017 KVANTDATORER SUPERDATORER I SUPERPOSITION ERIKA ANDERSSON Artikeln publiceras under Creative Commons-licensen CC BY-NC-SA 4.0 För
Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller
April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +
Föreläsning 9: NP-fullständighet
Föreläsning 9: NP-fullständighet Olika typer av problem: 1. Beslutsproblem: A(x) =Ja. 2. Optimeringsproblem: A(x) =m Vanligen max/min. 3. Konstruktionsproblem: A(x) =En struktur. Vanligen lösningen till
Block 2: Lineära system
Exempel Från labben: Block : Lineära system Del 1 Trampolinens böjning och motsvarande matris (här 6060-matris) Matrisen är ett exempel på - gles matris (huvuddelen av elementen nollor) - bandmatris Från
Sammanfattninga av kursens block inför tentan
FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem,
Kvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp
Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.
Mer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Turingmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.
Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står skrivna: Oändligt
Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Oändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Bakgrund och motivation. Definition av algoritmer Beskrivningssätt Algoritmanalys. Algoritmer. Lars Larsson VT 2007. Lars Larsson Algoritmer 1
Algoritmer Lars Larsson VT 2007 Lars Larsson Algoritmer 1 1 2 3 4 5 Lars Larsson Algoritmer 2 Ni som går denna kurs är framtidens projektledare inom mjukvaruutveckling. Som ledare måste ni göra svåra beslut
TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra
TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska
5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Isometrier och ortogonala matriser
Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att
Andragradspolynom Några vektorrum P 2
Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom
Sökning och sortering
Sökning och sortering Programmering för språkteknologer 2 Sara Stymne 2013-09-16 Idag Sökning Analys av algoritmer komplexitet Sortering Vad är sökning? Sökning innebär att hitta ett värde i en samling
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Föreläsning 5: Dynamisk programmering
Föreläsning 5: Dynamisk programmering Vi betraktar en typ av problem vi tidigare sett: Indata: En uppsättning intervall [s i,f i ] med vikt w i. Mål: Att hitta en uppsättning icke överlappande intervall
TENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Atom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2:
Atom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 6 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 10 Oktober, 2013 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1 : Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2
5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3
1 Revision 4 2006-12-16 2. SIDFÖRTECKNING 5B1146 med Matlab Laborationsr Laborationsgrupp: Sebastian Johnson, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3 Titel Sida 1. Uppgift 1.8.1....3 2. Uppgift 1.8.2....6 3. Uppgift
M = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra
Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.
Preliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering Steg-för-steg-demonstration Hillevi Gavel Institutionen för matematik och fysik (IMa) Mälardalens högskola (MDH) 3 april 2006 Instruktioner Det här bildspelet visar hur man genomför
Linjär Algebra, Föreläsning 8
Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ
Carl Olsson Carl Olsson Linjär Algebra / 18
Linjär Algebra: Föreläsn 1 Carl Olsson 2018-03-19 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 1 / 18 Kursinformation Kurschef Carl Olsson arbetsrum: MH:435 tel: 046-2228565 epost: calle@maths.lth.se Carl Olsson
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 12 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 10 december 2015 Anton Grensjö ADK Övning 12 10 december 2015 1 / 19 Idag Idag Komplexitetsklasser Blandade uppgifter
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Obs! Preliminär version! Ö.1. (a) Vi kan lösa uppgiften genom att helt enkelt räkna ut avståndet mellan vart och ett av de ( 7 ) = 1 paren. Först noterar vi
Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Föreläsning 1. Introduktion. Vad är en algoritm?
Några exempel på algoritmer. Föreläsning 1. Introduktion Vad är en algoritm? 1. Häll 1 dl havregryn och ett kryddmått salt i 2 1 2 dl kallt vatten. Koka upp och kocka gröten ca 3minuter. Rör om då och
Tentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Norm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Examinator: Per Enqvist, tel: 790 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Amol Sasane, sasane@math.kth.se, Mikael Fallgren, werty@kth.se. Lämnas in till någon
MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Maj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Matristeori Maj 2 Denna hemtentamen skall göras och redovisas enskilt. I övrigt är alla hjälpmedel tillåtna. Lösningar till uppgifterna lämnas in i
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Komplexitetsklasser och repetition
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet, hösten 2016 Uppgifter till övning 12 Komplexitetsklasser och repetition Uppgifter på komplexitetsklasser co-np-fullständighet Ett diskret tekniskt diagnosproblem
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7
Kvantteknologi. Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter
Kvantteknologi Superpositioner, entanglement, kvantbitar och helt döda katter Varför kvantteknologi? Därför att det finns pengar EU kommissionen lanserar 2017 en satsning av 1 000 000 000 på kvantteknologi
Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet. Turingmaskinen. Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen.
Föreläsning 9: Turingmaskiner och oavgörbarhet Turingmaskinen Den maximalt förenklade modell för beräkning vi kommer använda är turingmaskinen. Data är ett oändligt långt band där nollor och ettor står
Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer
Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer Många av de NP-fullständiga problemen är från början optimeringsproblem: TSP, Graph Coloring, Vertex Cover etc. Man tror att P NP och att det alltså inte går
Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition
Föreläsning 5 Innehåll
Föreläsning 5 Innehåll Algoritmer och effektivitet Att bedöma och jämföra effektivitet för algoritmer Begreppet tidskomplexitet Datavetenskap (LTH) Föreläsning 5 VT 2019 1 / 39 Val av algoritm och datastruktur
Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!
Laboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT)
Laboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT) Den här laborationen har två syften: dels att visa hur den snabba Fouriertransformen fungerar och vad man
November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
9 Funktioner. Exempel. f(x) = x + 1 sqr(y) = y 2. x, om x < 0. abs(x) =
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 9 Funktioner I kursen i endimensionell analys definieras funktioner genom att man ger funktionen ett namn, talar
Föreläsning 8+9: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning?
Formalisering av rimlig tid Föreläsning 8+9: NP-problem En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1 är för långsam.
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (