TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning av föreläsning 1 ˆ Matematiska modeller ˆ Laplacetransformen ˆ Överföringsfunktionen
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 2 / 21 Sammanfattning från föreläsning 1 (1/3) Reglerproblemet: Givet ett system S med en mätsignal y, bestäm dess styrsignal u, så att utsignalen y så nära som möjligt följer referenssignalen r, trots inverkan av störningar v och systemvariationer.
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 3 / 21 Sammanfattning från föreläsning 1 (2/3) Tre huvudstrategier för att lösa reglerproblemet: ˆ Öppen styrning ˆ Framkoppling från störsignaler ˆ Återkoppling Enklast möjliga regulator Proportionell (P) regulator
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 4 / 21 Sammanfattning från föreläsning 1 (3/3) Öppen styrning: Regulatorn använder sig ej av utsignalen y(t) Sluten styrning: Regulatorn använder sig av utsignalen y(t) Återkoppling: Ett annat namn på sluten styrning P-reglering: återkoppling med styrlagen u(t) = K ( r(t) y(t) ) Modell: en matematisk beskrivning (differentialekvation) av ett system
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 5 / 21 Enkel reglerstrategi Hur väljer vi vår regulator? P-reglering: u(t) = K ( r(t) y(t) ) Hur väljer vi K?
Modeller
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 7 / 21 Matematiska modeller ˆ En modell är en matematisk representation som approximerar verkligheten ˆ Modeller hjälper oss att förklara och göra förutsägelser om hur ett system uppför sig ˆ En modell låter oss testa en teori utan att behöva utföra ett experiment, som kan vara dyrt eller till och med förstöra systemet ˆ Modellen innehåller alltid fel (jämfört med verkligheten)
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 8 / 21 Farthållaren från förra föreläsningen Verklighet: Modell: mẏ(t) + αy(t) = K ( r(t) y(t) ) ˆ Vi utvärderade farthållaren genom att lösa differentialekvationen och relatera till önskat beteende (snabbhet, stationärt fel,... ) ˆ Reglerteknik handlar i princip om att ta fram, lösa och analysera differentialekvationer samt dess lösningar! (Vi kommer dock ta genvägar... )
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 9 / 21 Dynamiska system System med minne, dvs nuvarande tillstånd beror på vad som hänt tidigare ˆ Hastighet och läge på bil (beror på tidigare motorpådrag) ˆ Rumstemperatur (beror på tidigare uppvärmning och yttertemperatur) ˆ Konjunktur (beror på politik, investeringar etc de senaste åren) Matematiskt: Systemet beskrivs av en differentialekvation ẏ(t) = f ( y(t), u(t), w(t) ) En beskrivning (oftast approximativ) av ett system kallas modell Motsats: Statiskt system y(t) = f ( u(t), w(t) )
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 10 / 21 Lineära system u(t) = u 1 (t) y(t) = y 1 (t) u(t) = u 2 (t) y(t) = y 2 (t) Lineärt system innebär att superpositioneringsprincipen håller u(t) = k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) y(t) = k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t)
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 11 / 21 Tidsinvarianta och kausala system ˆ Ett tidsinvariant system har egenskaper som inte ändras med tiden ˆ Kausalitet innebär att ett systems utdata endast beror av dåoch nutida indata, och att impulssvaret är 0 för tidigare tidpunkter, dvs att utsignalen aldrig kan påverkas av en förändring i insignalen som ännu inte inträffat.
Laplacetransformen ett matematiskt verktyg
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 13 / 21 Laplacetransformens idé ˆ Våra matematiska modeller är lineära differentialekvationer d n y dt n + a d n 1 y 1 dt n 1 + + a d m u ny = b 0 dt n + b d m 1 u 1 dt m 1 + + b mu ˆ Derivering, integrering och lösning av differentialekvationer är viktigt ˆ Detta leder dock ofta till komplicerade räkningar i tidsdomänen Abstract idé: Ersätt tidsfunktionen y(t) med en annan funktion Y (s) (s komplext tal), så att derivation, integration och lösning av differentialekvationer blir mycket lättare för Y (s) än för y(t). Laplacetransformen gör detta möjligt genom att studera signalerna på ett alternativt sätt.
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 14 / 21 Transformtabell Tidsfunktion Laplacetransform y(t) = 1 Y (s) = 1 s y(t) = t Y (s) = 1 s 2 y(t) = e at Y (s) = 1 y(t) = sin(ω 0 t) Y (s) = s+a ω 0 s 2 +ω0 2 (Bilaga A.2 i boken innehåller en transformtabell.)
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 15 / 21 Laplacetransform: linearitet och derivata Linearitet Om L {y 1 (t)} = Y 1 (s) och L {y 2 (t)} = Y 2 (s) samt α 1 och α 2 konstanter gäller att y(t) = α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) Y (s) = α 1 Y 1 (s) + α 2 Y 2 (s) Låt Y (s) = L {y(t)} då gäller ˆ ẏ(t) = dy dt har Laplacetransformationen sy (s) y(0) ˆ ÿ(t) = d2 y har Laplacetransformationen s 2 Y (s) sy(0) ẏ(0) dt 2 I reglertekniska tillämpningar är y(0), ẏ(0) oftast noll.
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 16 / 21 Begynnelsevärden och slutvärden Om vi vet att y(t) har ett gränsvärde när t kan vi räkna ut detta gränsvärde via slutvärdessatsen: Slutvärdessatsen lim y(t) = lim sy (s) t s 0 Omvändningen är begynnelsevärdessatsen: Begynnelsevärdessatsen lim y(t) = lim sy (s) t 0 s
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 17 / 21 Från Y (s) till y(t) I våra tillämplningar är Y (s) alltid en kvot mellan polynom, med högsta gradtal i nämnaren. Vi kan då skriva Y (s) enligt Y (s) = mha partialbråksuppdelning. B(s) (s p 1 )... (s p n ) = A 1 s p 1 + + A n s p n Där B(s) är ett polynom och A 1,..., A n är konstanter (formeln modifieras något om samma faktor förekommer flera gånger i nämnaren).
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 18 / 21 Överföringsfunktion Laplacetransformen för (antag att systemet är i vila) d n y dt n + a d n 1 y 1 dt n 1 + + a d m u ny = b 0 dt n + b d m 1 u 1 dt m 1 + + b mu ges av s n Y (s) + a 1 s n 1 Y (s) + + a n Y (s) = b 0 s m U(s) + b 1 s m 1 U(s) + + b m U(s) Överföringsfunktionen, G(s) Y (s) = b 0s m + b 1 s m 1 + + b m s n + a 1 s n 1 U(s) + + a }{{ n } G(s)
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 21 Viktfunktion Invers laplacetransformation av Y (s) = G(s)U(s) ger y(t) = t 0 g(τ)u(t τ) dτ ˆ g kallas viktfunktion ˆ G(s) är laplacetransformationen av g(t)
Sammanfattning
TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 21 / 21 Några begrepp som får summera föreläsning 2 Modell: Förenklad beskrivning av verkligheten. I denna kurs, en matematisk beskrivning av de system vi studerar. Dynamiska system: System där utsignalen just nu inte enbart beror av nuvarande insignaler utan även av tidigare insignaler. Det är system med minne. Differentialekvationer: Används som modell för att beskriva vårt dynamiska system. Naturligt, eftersom de innehåller derivator av signalerna map tiden (dynamik). Laplacetransform: Mycket kraftfullt verktyg för att lösa differentialekvationer. Kan även säga mycket om systemets egenskaper i transformdomänen. Överföringsfunktion: Ett sätt att matematiskt beskriva ett system. Överföringsfunktionen förklarar sambandet mellan insignalens och utsignalens transformer.
Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se www.liu.se