Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med egenvärde λ om A v = λv resp T v = λv Exempel i A = en likformig expansion med faktor alla vektorer i R utom nollvektorn är egenvektorer till A ; ii A = en expansion längs axlarna t vektorer, t R \, är egenvektorer till A med egenvärde och vektorer, s R \, är egenvektorer till A s med egenvärde ; iii A = en rotation grader moturs inga egenvektorer, inte heller egenvärden Hur hittar man egenvektorer och egenvärden till en kvadratisk matris? Observera att A v = λv A λe v = * och * har icke-triviala lsgar m a p v deta λe = en sekularekvation Sats s 8: Talet λ är ett egenvärde till A λ är en rot till sekularekvationen
Exempel Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till matrisen A = Lsg: Betrakta sekularekv deta λe = eller λ 9λ + 4 = Det finns två lsgar: λ =, λ = 7 egenvärden till A Motsvarande egenvektorer: t Fall λ = : lös ekv * A E v = Lsgsmängden är, t R t t Samtliga egenvektorer som svarar mot λ = är = t, t R \ t s Fall λ = 7 : lös ekv * A 7E v = Lsgsmängden är, s R s s Samtliga egenvektorer som svarar mot λ = 7 är = s, s R \ s Obs vektorerna och är linjärt oberoende och de bildar en bas för R För tillämpningar är det viktigt när man för en given n n-matris kan hitta en bas för R n bestående av egenvektorer d v s när det finns n linjärt oberoende egenvektorer Men så är det inte alltid Om A är inga egenvektorer och således finns ingen bas av egenvektorer Basbyte Låt V vara ett vektorrum och v,, v n en bas för V en rotation grader moturs, finns det Betrakta en vektor x V Obs x = x v + + x n v n = v, v,, v n Beteckna G= v, v,, v n och X = Då är x = G X x x x n x x x n koordinatmatrisen för x i basen G Låt w,, w n vara en annan bas för V Obs w = G W,, w n = G W n, där W,, W n är koordinatmatriserna för vektorerna w,, w n i basen G Beteckna F= w, w,, w n och P = [W W n ] basbytesmatrisen från G till F
Notera att F = G P Analogt, det finns en matris Q basbytesmatrisen från F till G s a G = F Q Notera att P = Q ty F = G P = F Q P = F QP och QP = E y y På samma sätt har vi x = y w + + y n w n = w, w,, w n = F Y, y n där Y = y y y n koordinatmatrisen för x i basen F Sammanfatta x = F Y = G P Y = G P Y = G X Då gäller X = P Y Analogt, Y = Q X Sambandet mellan koordinatmatriserna för samma vektor i olika baser Sats i Om G och F är ON-baser för V så är P och Q ON-matriser och P = Q t ii Om G är en ON-bas för V och P en ON-matris så är F en ON-bas för V och vice versa Bevis : Notera att F t F =E, G t G =E och P t G t GP = P t P = E Analogt, med Q Visa själva Exempel Låt E= e, e vara standardbasen för R och f =, f = Visa att F= f, f också är en bas för R Finn basbytesmatriserna från E till F och från F till E samt koordinaterna av vektorn x = i basen F 4 Svar:, och x = f f Basbyten och linjära avbildningar Låt f : R n R m vara en linjär avbildning mellan R n med basen G= v,, v n och R m med basen G = v,, v m Betrakta en vektor x = GX R n, där X är koordinatmatrisen för x i basen G Obs fx = fgx = G AX, där A = [[fv ] G [fv ] G ] och [fv i ] G är koordinatmatrisen för fv i i basen G för varje i Matrisen A är avbildningsmatrisen för f m a p baserna G och G Nu betraktar vi en ny bas F= w,, w n i R n och en ny bas F = w,, w m i R m Låt F = GP och F = G P
Obs fx = ffy = F BY, här Y är koordinatmatrisen för x i basen F och B = [[fw ] F [fw n ] F ], där [fw i ] F är koordinatmatrisen för fw i i basen F för varje i Matrisen B är avbildningsmatrisen för f m a p baserna F och F Notera att F BY = G P BP X = G AX Detta medför A = P BP sambandet mellan avbildningsmatriserna i olika baser I fall n = m, G = G och F = F får vi P = P och formeln A = P BP Om BY = λy för något λ så är AX = P BP P Y = P BY = P λy = λp Y = λx På vektorform har vi fx = fgx = GAX = GλX = λgx = λx Exempel Låt T : R R vara en linjär avbildning och f =, f = är egenvektorerna för T med egenvärden λ = och λ = resp d v s T f i = λ i f i, i =, Finn avbildningsmatrisen för T i standardbasen E Lsg Låt G = E och F =f, f Notera att B = och P = Så A = P BP 6 = = = 9 Ortogonal diagonaliserbarhet Definition s 8 En kvadratisk matris A är resp ortogonalt diagonaliserbar om det finns en inverterbar resp ON-matris P och en diagonalmatris D s a A = P DP resp A = P DP t Obs två definitioner i en A = P DP AP = P D eller [A p A p n ] = [λ p λ n p ], p p n λ där p =,, p n = P s kolonner och D = p n p nn λ n Obs vektorn p är en egenvektor till A med egenvärde λ,, vektorn p n är en egenvektor till A med egenvärde λ n Sats s 8 Låt A vara en n n-matris Då gäller att A är resp ortogonalt diagonaliserbar A har n stycken resp parvis ortogonala linjärt oberoende egenvektorer Om A har n stycken olika egenvärden så har A n linjärt oberoende egenvektorer s 8 A har n stycken parvis ortogonala linjärt oberoende egenvektorer A är symmetrisk 4
s 46 Obs Om A är ortogonalt diagonaliserbar så är A diagonaliserbar Exempel Matrisen Exempel Diagonalisera ortogonalt A = är diagonaliserbar men inte ortogonalt diagonaliserbar d v s finn matriser P och D Lsg Repetera att A har två egenvärden λ = och λ = 7 och λ λ Det går att diagonalisera A Ta egenvektorer p = och p = bilda matrisen P = [p p ] = Obs A P = P 7 Är A ortogonalt diagonaliserbar? Svar: Ja Obs p p ty A är symmetrisk och λ λ Normera vektorerna: p = p p = 5 Obs p, p är en ON-bas för R, matrisen P = [p p ] är en ON-matris och A = P P 7 t Exempel Finn A, där A = och p = p p = 5 Svar: Obs A m = P DP P DP P DP = P D m P Så får man A = P 7 P t Kolla ex 77 för -matriser och 5