SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna för punkterna A, B och. ( p) (b) Bestäm en parametrisering i x,,zkoordinater av kvartscirkelbågen γ i z-planet med medelpunkt i origo. ( p) (c) Bestäm en tangentvektor till kurvan γ i punkten. ( p) x A z B γ Lösningsförslag. Rmdpolära koordinater är (R, φ, θ), där R är vektorns längd, φ är vinkeln mot z-axeln, och θ vinkeln i x-planet för projektionen (longitud). (a) A: (R, φ, θ) = (4, π/, ). B : (R, φ, θ) = ( 5, π/, π/4) : (R, φ, θ) = ( 8, π/4, π/) (b) irkeln har radie 8 och vi använder polära koordinater i z-planet för att beskriva den. Eftersom x = på cirkeln blir parametriseringen (x,, z) = (, 8 cos t, 8 sin t), där t π/. (c) Derivering av parametriseringen ger att ( ẋ(π/4), ẏ(π/4), ż(π/4) ) = (, 8/, 8/ ) = (, 3, 3). Svar. (a) A: (R, φ, θ) = (4, π/, ). B : (R, φ, θ) = ( 5, π/, π/4) och : (R, φ, θ) = ( 8, π/4, π/). (b) (x,, z) = (, 8 cos t, 8 sin t), där t π/. (c) (, 3, 3) är en tangentvektor till γ i.
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5. En liten kula placeras på ovansidan av funktionstan z = 3 x + 4 i punkten (3,, 4) och börjar sedan rulla på grund av tngdkraften som verkar nedåt i negativa z-axelns riktning. (a) Åt vilket håll börjar den rulla om vi bortser från z-riktningen? (3 p) (b) Hur brant är det där kulan släpps? ( p) Lösningsförslag. (a) Låt f(x, ) = 3 x + 4 och beräkna gradienten: f = ( x, ). I punkten (x, ) = 3 (3, ) blir gradienten f(3, ) = (, ). Gradienten pekar pekar motsatt mot starkaste avtagandet så i x-planet kommer kulan att rulla i samma riktning som f(3, ) = (, ). En normaliserad riktningsvektor i x-planet blir 5 (, ). (b) Riktningsderivatan i gradientents rikning talar om hur stor lutningen maximalt är. I det här fallet är gradientens belopp + = 5. Svar. (a) Riktningen blir i x-planet 5 (, ). (b) Lutningen är 5.
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 3 3. Arean av området som innesluts av en sluten, enkel kurva kan enligt Greens formel beräknas med hjälp av en kurvintegral, x d eller dx. (a) Vilken orientering ska kurvan ha för att den första av integralerna ska ge arean med positivt tecken? (Glöm inte att motivera sva- ret.) ( p) (b) Använd någon av de två integralerna för att beräkna arean innanför kurvan som parametriseras av r(t) = (sin t, sin t), där t π. (3 p) x Lösningsförslag. (a) Enligt Greens formel P dx + Qd = D (Q x P )dxd blir x d lika med arean, förutsatt att är i positiv led. Detta beror på att med P = och Q = x blir Q x P = = och integralen av över området D innanför ger områdets area. (b) Kurvan är orienterad i positiv led, så vi använder den första integralen för att uttrcka arean. Då blir π π [ ] π x d = sin(t) cos tdt = sin t cos tdt = cos3 t = 4 3 3 vilket alltså uttrcker arean innanför kurvan. Svar. Arean är 4/3.
4 SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL B 4. Bestäm det största och minsta värdet av f(x, ) = x x + i området D som definieras av x,, (x + )( + ) 6. x Området D (4 p) Lösningsförslag. Funktionen f är kontinuerligt deriverbar och området D är kompakt. Därför antas största och minsta värde i någon av följande punkter (a) inre kritiska punkter, (b) max- och minpunkter längs randen, (c) hörnpunkterna. Vi får att (a) Gradienten är f(x, ) = (, x) som är lika med nollvektorn precis då (x, ) = (, ). Alltså är (, ) den enda kritiska punkten och där har vi f(, ) =. (b) Vi har tre delar av randen. Vi börjar med att undersöka randkurvan (x+)(+) = 6 med hjälp av Lagranges metod. Då kan vi bilda hjälpfunktionen F (x,, λ) = f(x, ) + λg(x, ) = x x + + λ((x + )( + ) 6) där g uttrcker bivillkoret. Stationära punktvillkoret på randkurvan ges av att gradienten av F är noll med avseende på alla tre variablerna: F (x,, λ) = ( + λ( + ), x + λ(x + ), (x + )( + ) 6) och vi får ekvationssstemet + λ( + ) =, x + λ(x + ) =, (x + )( + ) 6 =. Eftersom x + och + får vi som ger λ = + = x x + (x + )( ) = (x )( + ) x + x = x + x x =
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 5 När vi sätter in detta i den sista ekvationen får vi (x+) = 6, vilket ger x = ±4. Eftersom x finns bara lösningen x = = 3 i det givna området och värdet på funktionen blir där f(3, 3) = 3. Alternativt kan vi välja att parametrisera randen genom x = 4e t och = 4e t vilket ger funktionen h(t) = f(4e t, 4e t ) = 4e t (4e t )(4e t ) + 4e t = 4e t 6 + 4e t + 4e t + 4e t = 8(e t + e t ) 9. Vi letar sedan efter kritiska punkter till denna och får h (t) = 8(e t e t ) som är noll bara när t =. Därmed leds vi till x = 4 = 3 och = 4 = 3 som förut. Detta är ett minimum längs randkurvan och maximum ges vid ändpunkterna. Det återstår randpunkterna längs med axlarna. Längs x-axeln har vi f(x, ) = x och här gäller att x 5. Maximum där blir 5 och minimum. På samma sätt är det för -axeln: f(, ) = där 5 med maximum 5 och minimum. (c) Hörnpunkterna är (, ), (5, ) och (, 5) där funktionens värden är, 5 respektive 5. Våra kandidatpunkter är: den inre stationära punkten (, ), punkten (3, 3) längs med den krökta randkurvan, samt punkterna längs med de linjära randsegmenten, där extremvärdena antas i ändpunkterna (, ), (5, ), samt (, 5). Vi jämför nu värdena i dessa punkter och finner att f(, ) =, f(3, 3) = 3, f(, ) =, f(5, ) = 5 och f(, 5) = 5. Därför är minsta värde 3 och största värde 5. Svar. Minsta värde är 3 och största värde 5.
6 SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 5. Använd variabelbtet u = x +, v = x för att beräkna integralen x ( x) x + d dx Lösningsförslag. Vid variabelbtet är Jacobianen [ ] (u, v) (x, ) = det = ( ) = 3 (4 p) så att dxd = dudv. Integrationsgränserna bildar en triangel med villkoren x, 3, och x +. Hörnen i denna triangel är (, ), (, ) och (, ). För att se hur gränserna blir i de na variablerna kan vi se hur hörnpunkterna avbildas i och med att det är en linjär avbildning. Vi har att (x, ) = (, ) ger (u, v) = (, ), (x, ) = (, ) ger (u, v) = (+, ) = (, ) och (x, ) = (, ) ger (u, v) = (+, ) = (, ). Denna triangel ges av olikheterna u och u v u. v u x Integralen blir således lika med u v dv du [ v 3 u = 3 9 u FIGUR. De två områdena ] u u u du = u 3 [ u 9/ u du = 9/ ] = 9. Svar. Integralens värde är /9.
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 7 6. Vi löser en skalär ODE numeriskt med olika steglängder h där felet antas bero snällt på steglängden. Metoden ger oss approximationerna h av den exakta lösningen (). Nedan listas felet i några av dessa värden. h h (),,48979854,,6885847,5,487778,5,59979986,5,4768695 TABELL. Fel beroende på steglängd (a) Vilken noggrannhetsordning har metoden? ( p) (b) Uppskatta hur stort felet, () skulle vara. ( p) Lösningsförslag. När felet beror snällt på steglängden gäller h () ch p, där p är noggrannhetsordningen och c är någon konstant. Det betder att (a) Enligt tabellen, h () h/ () chp ch p p = p.,5 (),5/ () =,59979986,4768695 4 =. Noggrannhetsordningen är därför. (b) Eftersom p = gäller för h =,5 sambandet,5 5,5 () c,5 = c8, dvs c 8,5 5 = 9,6. Det ger uppskattningen, () c, 9,6 4 = 9,6 6. Svar. (a) Noggrannhetsordningen är. (b) Felet är, () 9,6 6.
8 SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL 7. Låt S vara den orienterade ta i rummet R 3 som ges av r(s, t) = (s, t, st) där s + t och vars normalvektor har positiv z-komponent. Låt vara den orienterade randkurvan till S och låt vektorfältet F ges av F(x,, z) = (, x, z ). Stokes sats relaterar flödet av rotationen av ett vektorfält genom en ta med kurvintegralen av fältet längs randkurvan. Formulera Stokes sats och använd den för att beräkna kurvintegralen F dr = dx + x d + z dz. Lösningsförslag. Stokes sats säger att F dr = S curl F nds (4 p) om F är ett kontinuerligt deriverbart fält och är den orienterade slutna randkurvan till en begränsad slät orienterad ta S. Beräkning av rotationen för det givna vektorfältet ger att ( curl F(x,, z) = z z x, z x z, x x ) = (,, ). Därför måste vi fortsätta att beräkna normalen gånger areaelementet och integrera enligt Stokes formel. Vi parametriserar tan S med polära koordinater, dvs x = r cos θ, = r sin θ, och z = x = r cos θ sin θ, där r och θ < π. Ytelementet med normalriktning blir då så att S nds = r r r θ drdθ = ( r sin θ, r cos θ, r)drdθ, curl F nds = π (r sin θ )r dθdr = π r dθdr = π, eftersom sin θ har medelvärde noll och den sista integralen ger arean av enhetscirkeln. Vi kan också använda den givna parametriseringen av tan och får då att flödet ges av integralen av av trippelprodukten curl F r s r t = det t t = t. s Detta ska integreras över enhetscirkeln och då t har medelvärde blir integralen π. Svar. Kurvintegralens värde är F dr = dx + x d + z dz = π.
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 9 8. Newtons metod för sstem ska användas för att lösa ekvationssstemet F(x, ) = (, ) i området > där F(x, ) = (3 sin(x), x + sin()). (a) Använd nedanstående nivåkurvor för att bestämma en bra startgissning. ( p) f(x,)=3sin(x) g(x,)=x +sin().5.5.5.5.5.5.5 x.5 x (b) Skriv ett Matlabprogram som bestämmer lösningen till sstemet med hjälp av Newtons metod för sstem. Felet i såväl x- som -led ska vara högst. (3 p) Lösningsförslag. (a) Lösningen är en punkt där nivåkurvan f(x, ) = skär nivåkurvan g(x, ) =. Från bilden ser vi att det finns två sådana punkter. Vi uppskattar dem till (x, ) (,75,,5) och (x, ) (,5,,). Eftersom ska vara positiv väljer vi den första punkten som startgissning. (b) Jakobimatrisen för sstemet blir [ ] 3 cos(x) J(x, ) = x cos() Nedanstående Matlab-funktion löser sstemet med Newtons metod med startgissning enligt deluppgift (a). % Låt X = (X(),X()) = (x,) % Definiera funktion och Jakobianmatris F = @(X) [3 sin(x())-x() -; X() + sin(x())-]; J = @(X) [3 sin(x())- X(); X()+ cos(x())]; X=[.75;.5]; % Startgissning, från deluppgift (a) d=; % Dumm while max(abs(d))>e- % Maxnorm -- största felet d = -J(X) \ F(X); X = X + d; end disp([ (x,) = ( numstr(x()), numstr(x()) ) ]); Om programmet körts fås (x, ) (,7547,,94).
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 9. För en given kurva i planet R kan vi definiera det genomsnittliga avståndet mellan två punkter på som d() = r(s) r(t) dsdt, L där L är längden av och r(t) är en båglängdsparametrisering av. (a) Beräkna d() där är linjestcket från (, ) till (, ). ( p) (b) Beräkna d() där = S = {(x, ) R x + = }, enhetscirkeln i planet. ( p) Lösningsförslag. (a) Vi båglängdsparametriserar linjestcket = x enligt x = s dvs r(s) = (s, s) vilket ger att r(s) r(t) = s t. Längden L =. d() = s t dsdt = ( t ) (t s)ds + (s t)ds dt t = ( t ) t + dt = 3. (b) Vi båglängdsparametriserar linjestcket enligt x = cos t, = sin t och får att r(s) r(t) = (cos s cos t) + (sin s sin t) = cos(s t) ( ) (s t) = ( sin = (s t) sin Vi ser att sin (s t) är en periodisk funktion och att vi integrerar över period. Således påverkar translationen med t ej integralens värde. Längden av cirkeln blir π. d() = π π (s t) 4π sin dsdt = π 4π π sin s ds = π π sin s ds = π [ cos s ] π Svar. (a) d() = /3 för linjestcket från (, ) till (, ). (b) d() = 4/π för enhetscirkeln. = π ( ( ) + ()) = 4 π