Deltentamen. TMA044 Flervariabelanalys E2

Relevanta dokument
Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Prov i matematik Fristående kurs Analys MN1 distans UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Svar till tentan

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2017 Skrivtid 8:00 12:00

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

IV. Ekvationslösning och inversa funktioner

Lösningar till Matematisk analys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Lösningsförslag, v0.4

TENTAMEN HF1006 och HF1008

betecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

MVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

MVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1

Tentamen i Envariabelanalys 1

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014

TENTAMEN HF1006 och HF1008

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

b) (2p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen Uppgift 3. ( 4 poäng) a ) (2p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 26 okt 2016 Skrivtid 13:00-17:00

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Program: DATA, ELEKTRO

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda). b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). c) Rita grafen.

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Betygsgränser: För betyg. Vem som har är. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) (2p) lim. (1p) cos( x 1) lim x 1. (1p) 2. (4p) Uppgift.

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

L HOSPITALS REGEL OCH MACLAURINSERIER.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt1 2012

Transkript:

Deltentamen godäntdelen, del TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 l. 8:3-:3 Eaminator: Peter Hegarty, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ej ränedosa Tentamen på ursen består av tre delar; del och del av godäntdelen samt överbetygsdelen. Denna deltenta täcer endast den första av dessa tre delar. För godänt på tentamen som helhet rävs antingen 5 poäng på godäntdelens två delar sammanlagt, eller att båda delarna är godända var för sig. För godänt på del rävs minst poäng, för godänt på del rävs 3 poäng. Erhållen poäng på någon av delarna får ersätta poäng på motsvarande del på senare tentamen tills ursen ges nästa läsår. För betyg 4 eller 5 rävs dessutom 33 resp. 4 poäng sammanlagt på tentamens alla delar. Lösningar läggs ut på ursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen. Tentan rättas och bedöms anonymt. Resultat meddelas i samband med undervisningen senast tre vecor efter tentamenstillfället. Godäntdelen, del se uppgift :abc och på nästa blad Lyca till! Peter Hegarty

Formelblad för TMA43 och MVE85, 3/4 Trigonometri. cos + y coscosy sinsiny sin + y sincosy + cossiny coscosy cos y + cos + y Integralatalog a d a+ a + + C, a sin d cos + C cos d tan + C e d e + C + a d a arctan a + C, a a d arcsin a + C, a > + a d ln + + a + C, a sinsiny cos y cos + y sincosy sin y + sin + y tan + y tan + tany tantany d ln + C cos d sin + C sin d cot + C a a d lna + C, < a f d ln f + C f a d a + a arcsin + C, a > a + a d + a + aln + + a + C Maclaurinutveclingar e sin cos + α ln + arctan!! α! + +! + 3 3! +... + α + + 3 3! + 5 5! 7 7! +...! + 4 4! 6 6! +... αα +..., <,! + 3 3 4 +..., < 4 3 3 + 5 5 7 +..., 7 α αα...α +... Övrigt Masscentrum T,y T,z T för Ω ges av T ρ,y,z är densiteten. Ω ρ,y,zddydz Ω ρ,y,zddydz, analogt för y T,z T.

Anonym od sid.nummer Poäng TMA44 Flervariabelanalys E 4-9-7 Godäntdelen: del. Till nedanstående deluppgifter sall orta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beatas. a Låt f, y e cos y. Bestäm evationen för tangentplanet till ytan z f, y i punten, π,. Lösning: I den givna punten, y, z, π, har vi p f cos y e cos y, f y siny e cos y. Tangentplanets evation lyder z z f + f y y y. Insättning leder till evationen + z. b Bestäm f, y samt s s f, y, där f, y ey, s t och y sinst. Lösning : Notera först att 3p f ye y, f y e y, f y e y, f y f y + ye y, f yy e y. Första gången vi deriverar får vi enligt edjeregeln, f s f s + f y y s f st + f y cos st e y [ sty + cos st ]. Andra deriveringen är per definition f s f [ f st + f y cos st ] t s s s s sf + t s [cos sf y]. 3 Nu måste vi använda både produtregeln och edjeregeln. Först har vi s sf f + s f s f f + s s + f y y s f + s [ stf + cos st f y ] e y [ y + s ty + cos sst + y ]. På samma sätt får vi s [cos sf y] sinsf y + cos s fy s + f y y y s sin sf y +cos s [ f y st + f yy cos st ] e y [ sins + + ystcos s + t cos s ]. Insättning i 3 ger slutligen f s ey [ sinst + ty + cos st 4 + 4scos st 3 + y + 4s t y ]. Man an substituera s t, y sin st och sriva både f/ s och f/ s endast i termer av s och t om man änner för det, men det är inte nödvändigt. Se doc den alternativa lösningen nedan.

Lösning : Det blir lite lättare uträningar om man substituerar diret för och y och sriver f från början som en funtion av s och t enligt fs, t e s tsin st e s sin st 3. Då har vi enligt -variabels edjeregeln samt produtregeln att f s t3 [ s cos s + ssin s ] e s sin st 3. Ytterligare tillämpning av samma två regler ger såsmåningom f s t3 e s sin st 3 [ scos s s sins + scos s + sin s + t 3 s cos s + ssin s ] t 3 e s sin st 3 [ t 3 s cos s + ssins + 4scos s + s sins ]. c Betrata urvan som ges av rt t i + 3 t3 j, t. Antag att parametriseringen besriver rörelsen hos en partiel. Bestäm partielns hastighet velocity som en funtion av t. Bestäm sedan urvans längd. Lösning: Hastigheten ges av 3p r t ti + t j. Kurvans längd ges sedan av r t dt t + t dt t + t dt. Detta är en standard integral som bestäms via substitutionen u + t. Längden blir således u du. 3 Till följande uppgift sall fullständig lösning redovisas på separat srivpapper. Motivera och förlara så väl du an.. Låt f, y + y + 8 y med definitionsmängd >, y >. a Bestäm den unia ritisa punten till f och avgör huruvida den är ett loalt maimum, ett loalt minimum eller ingetdera. b Bestäm de största och minsta värdena som antas av f i det vadratisa området 3, y 3. p c Bestäm Taylorpolynomet av grad i punten,. Ange svaret på formen f + h, +.... p Lösning a: Den ritisa punten uppfyller f 8 y y 8. 4 f y 8 y y 8. 5 Från 4 och 5 härleder vi lätt att y så den unia ritisa punten är,. För att lassificera den använder vi andra derivatans test. I punten, har vi A f 6 3 y, B f y f y 8 y, C f yy 6. 6 y3 3p Således är AC B 3 4 loalt minimum. > samt A > som innebär att den ritisa punten är ett b: Punten, ligger innanför området och är därmed en andidat till ett minimum.

Vi noterar att f, + + 8 6. Näst undersöer vi randen, som består av fyra sträcor, två horisontella och två vertiala. Notera doc att f är symmetris i och y, dvs f, y fy,. Därmed räcer det att undersöa de horisontella sträcorna. Längs sträcan har vi f, y + y + 8/y : gy, säg. Vi har g y 8/y så det finns en ritis punt vid y. Vi har g + + 8/ + 4. Ändpunterna är vid y och y 3 där vi har g och g3 /3. Längs sträcan 3 har vi f3, y 3+y+8/3y : hy, säg. Vi har h y 8/3y så det finns en ritis punt vid y 8/3. Vi har g 8/3 3+ 8/3+ 8 3 3+4 3 8/3 3. Ändpunterna är vid y och y 3 där vi har h /3 och h3 6/9. Totalt har vi alltså sju andidatvärden för ma och min, nämligen 6, + 4,, 3, 3 3 + 4 3, 3, 6 9. Det är lart att är störst och man an ontrollera att 6 är minst. Obs! Det finns ett mycet enlare sätt att se att 6 är det minsta värdet. Funtionen f, y är alltid positiv inom sin definitionsmängd och går mot oändlighet då och y, men ocså då eller y. Detta medför att f måste ha ett globalt minimum inom sin definitionsmängd, som måste då antas i en ritis punt. c: Formeln lyder f + h, + f, + hf + f y + h f + hf y + f yy. 7 Vi har f, + + 8. Vi måste beräna derivatorna i, och vi har redan formlerna för dessa i 4, 5 och 6. Insättning av, ger Insättning sedan i 7 ger svaret: f f y 7, f f yy 6, f y 8. f + h, + 7h + + 8h + h +.