MATEMATISK FORMELSAMLING

Avdelningen för matematik och ämnesdidaktik (MOD) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 5

Innehåll Notation, mängdlära och logik........................ Algebra..................................... 3 3 Komplexa tal.................................. 6 4 Punkter, vektorer och plan i rummet.................... 7 5 Geometri..................................... 8 6 Trigonometri.................................. 9 7 Några standardgränsvärden......................... 8 Derivator.................................... 3 9 Integraler.................................... 5 0 Differentialekvationer............................. 7 Numeriska metoder.............................. 8 Dubbel- och trippelintegraler........................ 9 3 Vektoranalys.................................. 0 4 Sannolikhetslära................................ 5 Matematisk statistik.............................. 4 6 Fördelningstabeller............................... 8 i

Notation, mängdlära och logik Mängder och tal tomma mängden, { } Z mängden av heltal, {...,,, 0,,,...} Z + mängden av positiva heltal, {,, 3,...} Z mängden av negativa heltal, {..., 3,, } N mängden av naturliga tal, {0,,,...} {x Z : P } mängden av alla x i Z som uppfyller egenskapen P {x Z P } samma som {x Z : P } Q mängden av rationella tal, {p/q : p, q Z, q 0} R mängden av reella tal R + mängden av positiva reella tal, {x R : x > 0} R mängden av negativa reella tal, {x R : x < 0} [a, b] det slutna intervallet från a till b, {x R : a x b} (a, b) det öppna intervallet från a till b, {x R : a < x < b} ]a, b[ samma som (a, b) C mängden av komplexa tal, {a + ib : a, b R} De positiva primtalen 00, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97 Symboler från mängdlära A = B A är lika med B A B A är inte lika med B a A elementet a finns i mängden A a A elementet a finns inte i mängden A A B unionen av mängderna A och B, {x : x A eller x B} A B snittet av mängderna A och B, {x : x A och x B} A B skillnaden mellan mängderna A och B, dvs. {x A : x B} A \ B samma som A B B den komplementära mängden till B, det vill säga om B är en delmängd till den universella mängden U så är B = {x U : x B} B c samma som B A B A är en delmängd till B, x A x B A B A är en äkta delmängd till B, dvs. A B och A B A B den kartesiska produkten av mängderna A och B, dvs. mängden av alla ordnade par (a, b) sådana att a A och b B P(A) potensmängden till A, dvs. mängden av alla delmängder till A

Viktiga likheter inom mängdlära Associativa lagar: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Kommutativa lagar: A B = B A A B = B A Distributiva lagar: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De Morgans lagar: A B = A B A B = A B Logiska symboler p icke p p q p eller q p q p och q p q p implicerar/medför q p q p är ekvivalent med q Viktiga ekvivalenser inom logik Associativa lagar: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Kommutativa lagar: p q q p p q q p Distributiva lagar: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgans lagar: (p q) p q (p q) p q Logiska ekvivalenser för bevisföring Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa p q och q p Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa q p

Algebra Symboler för relationer mellan tal a = b a är lika med b a b a är inte lika med b a < b a är (strikt) mindre än b a > b a är (strikt) större än b a b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b a b heltalet a delar heltalet b Viktiga likheter för aritmetik Associativa lagar: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Kommutativa lagar: a + b = b + a, ab = ba Distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac Lagen om nolldelare: Om ab = 0 så är a = 0 eller b = 0 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Kubregler (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 Summor av kuber a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Andragradspolynom Ekvationen x + px + q = 0 har rötterna x = p p + 4 q och x = p p 4 q där x + x = p och x x = q 3

Absolutbelopp x = { x om x 0 x om x < 0 Kvadratrötter a b = ab a 0, b 0 a a = b b a 0, b > 0 a b = a b b 0 Potenser x, y, a, b, reella tal a, b > 0, och n ett positivt heltal a x a y = a x+y a x b x = (ab) x a x a = ( ) y ax y a x y = a xy a x ( a ) x b = x b a x = a x a 0 = a n = n a Logaritmer För positiva reella tal x, y, a, b, där a, b gäller log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x p = p log a x log a x = log b x log b a lg xy = lg x + lg y lg x y = lg x lg y lg x p = p lg x lg x = ln x ln 0 där a y = x y = log a x 0 y = x y = lg x e y = x y = ln x log 0 skrivs oftast lg log e skrivs oftast ln 4

Några summationsformler n r = r= n r = r= n r= n r=0 n(n + ) n(n + )(n + ) 6 r 3 = n (n + ) 4 x r = xn+, där det reella talet x x Binomialsatsen där n är ett positivt heltal, (a + b) n = ( ) n = r n r=0 ( ) n a r b n r r n!, n! = n(n ) 3 och 0! =. r!(n r)! 5

3 Komplexa tal Definition Ett komplext tal z kan skrivas z = a + ib där a och b är reella tal och i är ett tal som uppfyller i =. Talen z = a + ib och z = a ib kallas konjugerade. Belopp Beloppet z av z = a + ib är z = r = a + b Polär form z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ, där r = z och ϕ = arg(z) De Moivre z n = r n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ) = r n e inϕ Multiplikationsregler Om z = r e iϕ och z = r e iϕ så är z z = r r e i(ϕ +ϕ ) z = r e i(ϕ ϕ ) z r 6

4 Punkter, vektorer och plan i rummet Avståndet mellan punkterna (x, y, z ) och (x, y, z ) x x + y y + z z Avståndet från punkten (x, y, z ) till planet ax + by + cz = d ax + by + cz d a + b + c Normen (längden) av vektorn a = (a, a, a 3 ) a = a + a + a 3 Skalärprodukten av vektorerna a = (a, a, a 3 ) och b = (b, b, b 3 ) där α är vinkeln mellan a och b. a b = a b + a b + a 3 b 3 = a b cos α, Projektion av vektorn u på vektorn a proj a u = u a a a Cauchy Schwarz olikhet u v u v 7

5 Geometri Cirkel r cirkelns radie, A area, O omkrets A = πr O = πr Cirkelsektor r cirkelsektorns radie, ϕ cirkelsektorns vinkel, A area, L båglängd A = ϕr L = ϕr Pyramid B bottenarea, h höjd, V volym V = Bh 3 Rak cirkulär cylinder r radie, h höjd, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrh V = πr h Rak cirkulär kon r radie, h höjd, s sida, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrs V = πr h 3 Sfär r radie, S mantelarea (ytarea), V volym S = 4πr V = 4πr3 3 8

6 Trigonometri Rätvinklig triangel c b ϕ a sin ϕ = b c cos ϕ = a c tan ϕ = b a Enhetscirkeln (x P, y P ) P ϕ { xp = cos ϕ y P = sin ϕ tan ϕ = sin ϕ cos ϕ cot ϕ = cos ϕ sin ϕ 9

γ b a α c β Areasatsen för triangeln area = bc sin α Sinussatsen sin α a = sin β b = sin γ c Cosinussatsen a = b + c bc cos α Additionsreglerna sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin(ϕ ψ) = sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos(ϕ ψ) = cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ Trigonometriska ettan sin ϕ + cos ϕ = Formlerna för dubbla vinkeln sin(ϕ) = sin ϕ cos ϕ cos(ϕ) = cos ϕ sin ϕ = cos ϕ = sin ϕ Uttryck på formen a sin x + b cos x a sin x + b cos x = r sin(x + y) där r = a + b, cos y = a r och sin y = b r 0

Några exakta värden för trigonometriska funktioner Vinkel ϕ grader radianer sin ϕ cos ϕ tan ϕ 0 0 0 0 30 π/6 / 3 / 3 / 3 45 π/4 60 π/3 / / 3 / / 3 90 π/ 0 ej def. 0 π/3 35 3π/4 3 / / 3 / / 50 5π/6 / 3 / 3 / 3 80 π 0 0 0 7π/6 / 3 / 3 / 3 5 5π/4 / / 40 4π/3 3 / / 3 70 3π/ 0 ej def. 300 5π/3 3 / / 3 35 7π/4 / / 330 π/6 / 3 / 3 / 3 360 π 0 0

7 Några standardgränsvärden lim x ± x = 0 lim x 0± x = ± sin(x) lim x 0 x = lim x 0 cos(x) x ( lim + x x = e lim x x) n x e = 0 x = 0 e x lim x 0 x ln(x) lim x x = lim x 0 ln( + x) x = 0 =

8 Derivator Definition f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h = lim x a f(x) f(a) x a Derivator av några funktioner Funktion Derivata x a ax a e x e x e ax ae ax a x, a > 0 x ln(x) log a (x) sin(x) a x ln(a) x x x ln(a) cos(x) cos(x) tan(x) arctan(x) arcsin(x) sin(x) cos (x) = + tan (x) + x x 3

Produktregeln ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Kvotregeln ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) ( ) g(x) g(x) Kedjeregeln h(x) = f ( g(x) ) h (x) = f ( g(x) ) g (x) Derivata av invers funktion d dx f (x) = f ( f (x) ) Taylors formel f(x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! för något tal ξ mellan x och a. (x a) + + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+) (ξ) (x a)n+ (n + )! 4

9 Integraler Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion x a a + xa+ + c, a e x x sin(x) e x + c ln x + c cos(x) + c cos(x) cos (x) sin (x) x sin(x) + c tan(x) + c cot(x) + c arcsin(x) + c + x arctan(x) + c Partiell integration f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx Areaberäkning i polära koordinater A = β α ( f(θ) ) dθ 5

Rotationsvolymer Rotation kring x-axeln: Rotation kring y-axeln: V = π V = π b a b a ( f(x) ) dx xf(x) dx Båglängd s = s = s = b a b a β α (x (t) ) + ( y (t) ) dt x = x(t), y = y(t) + ( f (x) ) dx y = f(x) (f (θ) ) + ( f(θ) ) dθ r = f(θ), polära koordinater Rotationsytor Rotation kring x-axeln: Rotation kring y-axeln: A = π A = π b a b a f(x) + ( f (x) ) dx x + ( f (x) ) dx 6

0 Differentialekvationer Första ordningens linjära differentialekvationer Integrerande faktor till y + g(x)y = h(x) är e G(x), där G(x) = g(x) dx. Andra ordningens homogena linjära differentialekvationer Differentialekvationen y + ay + by = 0, där a och b är konstanter, har lösningar som ges av y = Ae r x + Be r x y = (Ax + B)e rx y = e αx( A cos(βx) + B sin(βx) ) om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r r ; om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r = r = r; om rötterna r = α+βi och r = α βi till karaktäristiska ekvationen inte är reella. 7

Numeriska metoder Approximering av lösning till ekvationen f(x) = 0 Newton-Raphsons metod: x n+ = x n f(x n) f (x n ) Numerisk integrering Trapetsmetoden: Mittpunktsmetoden: ( f(x0 ) T n = h + f(x ) + + f(x n ) + f(x ) n) ( ) M n = h f(m ) + + f(m n ) Approximering av lösningskurva till y = F (x, y), y(x 0 ) = y 0 { x n+ = x n + h Eulers metod: y n+ = y n + h f(x n, y n ) x n+ = x n + h Förbättring av Eulers metod: u n+ = y n + h f(x n, y n ) y n+ = y n + h f(x n, y n ) + f(x n+, u n+ ) 8

Dubbel- och trippelintegraler Dubbelintegraler över y -enkla områden För det begränsade området D givet genom a x b och f (x) y f + (x) b f+ (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx D a f (x) Variabelbyte i dubbelintegraler För en bijektiv transformation x = x(u, v) y = y(u, v) från ett område S i uv -planet till ett område D i xy -planet f(x, y) dx dy = f ( x(u, v), y(u, v) ) (x, y) (u, v) du dv där D S (x, y) (u, v) = det ( x u y u x v y v ). Polära koordinater x = r cos(θ) y = r sin(θ) dx dy = r dr dθ Cylindriska koordinater x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z dx dy dz = r dr dθ dz Sfäriska koordinater x = ρ sin(φ) cos(θ) y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) dx dy dz = ρ sin(φ) dρ dφ dθ 9

3 Vektoranalys i = ( 0 ) ( 0, j = ) i R, och i = 0 0, j = 0 0, k = 0 0 i R 3 Linjeintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k gäller f ds = b C a f ( r(t) ) dr dt (t) dt ( F dr = F (x, y, z) dx + F (x, y, z) dy + F 3 (x, y, z) dz ) C b ( ( )dx = F x(t), y(t), z(t) dt (t) + F ( )dy x(t), y(t), z(t) dt (t) C = a b a +F 3 ( x(t), y(t), z(t) )dz dt (t) F ( r(t) ) dr (t) dt dt ) dt där r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a t b, är en parametrisering av kurvan C. Ytintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k gäller f ds = S D f ( r(u, v) ) r u r v du dv S F ds = ± F ( r(u, v) ) ( r D u r ) du dv v där r(u, v), (u, v) D, är en slät parametrisering av ytan S. 0

Gradient, divergens och rotation = i x + j y + k z För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k och en funktion φ(x, y, z) grad φ = φ = φ x i + φ y j + φ z k div F = F = F x + F y + F 3 z ( F3 curl F = F = y F ) ( F i + z z F ) ( 3 F j + x x F ) k y Greens formel För ett vektorfält F(x, y) = F (x, y)i + F (x, y)j ( F (x, y) dx + F (x, y) dy ) = C D ( F x F ) da y där D är ett begränsat område i xy -planet med positivt orienterad rand C. Gauss divergenssats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k div F dv = F ˆN ds V där ytan S är randen till det begränsade området V, orienterad så att ytans enhetsnormalvektor ˆN pekar ut från ytan. S Stokes sats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k F dr = curl F ˆN ds C S där S är en orienterad yta med rand C och ˆN är enhetsnormalvektorn till ytan orienterad i enlighet med randkurvans orientering.

4 Sannolikhetslära Stokastiska variabler Varians: V (X) = E ( (X E(X)) ) = E(X ) ( E(X) ) Standardavvikelse: D(X) = V (X) Kovarians: C(X, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Korrelationskoefficient: ρ(x, Y ) = C(X, Y ) D(X)D(Y ) Diskreta fördelningar Binomialfördelning: X Bin(N, p), där 0 < p < och N N, om ( ) N p X (k) = p k ( p) N k, k = 0,,,..., N. k E(X) = Np, V (X) = Np( p) För-första-gången -fördelning: X ffg(p), där 0 < p <, om p X (k) = p( p) k, k =,, 3,.... E(X) = p, V (X) = p p Hypergeometrisk fördelning: Låt 0 < p < och N, n N vara sådana att N, n < N och Np N. X Hyp(N, n, p) om p X (k) = ( Np )( N( p) k n k ) ( N n), 0 k Np, 0 n k N( p). E(X) = np, V (X) = np( p) N n N Poissonfördelning: X Po(µ), där µ > 0, om E(X) = µ, V (X) = µ p X (k) = µk k! e µ, k = 0,,,....

Kontinuerliga fördelningar Likformig fördelning: X U(a, b), där a < b, om för a < x < b f X (x) = b a 0 annars. E(X) = a + b (b a), V (X) = En likformig fördelning kallas även för Rektangelfördelning med beteckning R(a, b). Exponentialfördelning: X Exp(λ), där λ > 0, om { λe λx för x > 0 f X (x) = 0 annars. E(X) = λ, V (X) = λ Normalfördelning: X N(µ, σ), där µ R och σ > 0, om E(X) = µ, V (X) = σ f X (x) = σ (x µ) π e σ. Centrala gränsvärdessatsen Om X, X,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde µ och standardavvikelse σ, så är X = n X j n approximativt N ( µ, σ/ n ) för stora n. j= Approximation Hyp(N, n, p) är approximativt Bin(n, p), om n/n 0,. Bin(N, p) är approximativt Po(Np), om p 0,. Bin(N, p) är approximativt N ( Np, Np( p) ), om Np( p) 0. Po(µ) är approximativt N ( µ, µ ), om µ 5. 3

5 Matematisk statistik Beskrivande statistik Ogrupperad data x = xj n s = (xj x) = ( ) x j nx = ( x j ( ) ) xj n n n n Grupperad data x = fj y j n s = fj (y j x) = ( ) fj yj nx = ( fj yj ( ) ) fj y j n n n n Korrelationskoefficient r = (xj x)(y j y) (xj x) (y j y) = n x j y j x j yj n x j ( xj ) n y j ( yj ) Maximum-likelihood-metoden Låt X vara en stokastisk variabel vars fördelning beror av en okänd parameter θ. Låt x,..., x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X,..., X n med samma fördelning som X. Det värde θ obs L(θ) = { p X (x ; θ) p X (x n ; θ) som maximerar L -funktionen f X (x ; θ) f X (x n ; θ) i det diskreta fallet i det kontinuerliga fallet kallas Maximum-Likelihood-skattningen (ML-skattningen) av θ. Minsta-kvadrat-metoden Låt x,..., x n vara observationer av de oberoende stokastiska variablerna X,..., X n med samma varians. Antag vidare att E(X j ) = m j (θ), där θ är en okänd parameter. Det värde som minimerar kvadratsumman θ obs Q(θ) = n ( xj m j (θ) ) j= kallas Minsta-Kvadrat-skattningen (MK-skattningen) av θ. 4

Vanliga stickprovsvariabler Ett stickprov: Låt X,..., X n X = n vara oberoende stokastiska variabler som är likafördelade. n j= X j, S = n n (X j X) j= Om X,..., X n N(µ, σ) så gäller X µ σ/ n N(0, ), X µ S/ n t(n ) och n S χ (n ). σ Poolad variansskattning från två stickprov: Låt X,..., X n vara likafördelade och låt Y,..., Y n vara likafördelade. Samtliga stokastiska variabler antas vara oberoende och med samma varians σ. ( n ) S n = (X j X) + (Y j Y ) n + n Om X,..., X n N(µ, σ) och Y,..., Y n N(µ, σ) så gäller j= j= X Y (µ µ ) S /n + /n t(n + n ). Konfidensintervall Låt x,..., x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X,..., X n N(µ, σ). Konfidensintervall för µ : Ett tvåsidigt konfidensintervall med konfidensgraden α är x x σ n λ α/ µ x + σ n λ α/ s t α/ (n ) µ x + s t α/ (n ) n n när σ är känd, när σ är okänd. Konfidensintervall för σ : Ett tvåsidigt konfidensintervall med konfidensgraden α är n χ α/ (n ) s σ n χ α/ (n ) s. 5

Hypotesprövning Konfidensmetoden: Förkasta H 0 : θ = θ 0 på nivån α om θ 0 ej faller inom ett lämpligt valt konfidensintervall med konfidensgraden α. χ -test: Test av fördelning. Ett försök ger något av resultaten A,..., A r med respektive sannolikheter P (A ),..., P (A r ). Man har n stycken observationer där frekvensen för händelse A j är x j. Om H 0 är sann blir H 0 : P (A ) = p,..., P (A r ) = p r Q obs = r (x j np j ) ett utfall av en approximativt χ (r ) -fördelad stokastisk variabel. j= Tumregel för god approximation: np j 5 Homogenitetstest. Ett försök ger något av resultaten A,..., A r. Man har s stycken försöksserier. Inom den i:te serien har man n i stycken observationer och frekvensen x ij för händelsen A j. H 0 : Sannolikheterna för A,..., A r Om H 0 är sann blir np j serie A A A r antal försök x x x r n x x x r n.... s x s x s x sr n s summa m m m r n är desamma i alla försöksserier. Q obs = s r (x ij n i p j,obs ), där p n i p j,obs = m j /n, j,obs i= j= ett utfall av en approximativt χ ( (r )(s ) ) -fördelad stokastisk variabel. Tumregel för god approximation: n i p j,obs 5 6

Linjär regression Låt Y,..., Y n vara oberoende stokastiska variabler sådana att Y j N(α + βx j, σ) för j =,..., n. Skattad regressionslinje: y = αobs + β obsx med koefficienter som ges av β obs = S xy S xx, α obs = y β obsx, där S xy = S xx = n n (x j x)(y j y) = x j y j nxy = j= n (x j x) = j= n x j nx = j= j= j= n x j y j n j= n x j ( n ). x j n j= n j= x j n y j, j= Fördelningar: β = n j= (x j x)(y j Y ) n j= (x j x) N (β, σ / ) Sxx ( ) α = Y β x N α, σ + x n S xx 7

6 Fördelningstabeller Normalfördelning Tabellen ger sannolikheten Φ(x) = P (X x), där X N(0, ). För negativa x -värden använd relationen Φ( x) = Φ(x). x.00.0.0.03.04.05.06.07.08.09 0.0.5000.5040.5080.50.560.599.539.579.539.5359 0..5398.5438.5478.557.5557.5596.5636.5675.574.5753 0..5793.583.587.590.5948.5987.606.6064.603.64 0.3.679.67.655.693.633.6368.6406.6443.6480.657 0.4.6554.659.668.6664.6700.6736.677.6808.6844.6879 0.5.695.6950.6985.709.7054.7088.73.757.790.74 0.6.757.79.734.7357.7389.74.7454.7486.757.7549 0.7.7580.76.764.7673.7704.7734.7764.7794.783.785 0.8.788.790.7939.7967.7995.803.805.8078.806.833 0.9.859.886.8.838.864.889.835.8340.8365.8389.0.843.8438.846.8485.8508.853.8554.8577.8599.86..8643.8665.8686.8708.879.8749.8770.8790.880.8830..8849.8869.8888.8907.895.8944.896.8980.8997.905.3.903.9049.9066.908.9099.95.93.947.96.977.4.99.907.9.936.95.965.979.99.9306.939.5.933.9345.9357.9370.938.9394.9406.948.949.944.6.945.9463.9474.9484.9495.9505.955.955.9535.9545.7.9554.9564.9573.958.959.9599.9608.966.965.9633.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.9693.9699.9706.9.973.979.976.973.9738.9744.9750.9756.976.9767.0.977.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.98.987..98.986.9830.9834.9838.984.9846.9850.9854.9857..986.9864.9868.987.9875.9878.988.9884.9887.9890.3.9893.9896.9898.990.9904.9906.9909.99.993.996.4.998.990.99.995.997.999.993.993.9934.9936.5.9938.9940.994.9943.9945.9946.9948.9949.995.995.6.9953.9955.9956.9957.9959.9960.996.996.9963.9964.7.9965.9966.9967.9968.9969.9970.997.997.9973.9974.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.9980.998.9.998.998.998.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 3.0.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.9990.9990 3..9990.999.999.999.999.999.999.999.9993.9993 3..9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998 3.5.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998 3.6.9998.9998.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999 8

Normalfördelning (forts.) Tabellen ger det λ α -värde för vilket P (X > λ α ) = α, där X N(0, ). α 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00 λ α.86.6449.9600.363.5758 3.090 α 5 0 4 0 4 5 0 5 0 5 5 0 6 0 6 λ α 3.905 3.790 3.8906 4.649 4.47 4.7534 Binomialfördelning Tabellen ger sannolikheten P (X x) för givet x, där X Bin(n, p). För p > 0.5 använd P (X x) = P (Y n x) där Y Bin(n, p). n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0 0.9050 0.8000 0.750 0.64000 0.5650 0.49000 0.450 0.36000 0.3050 0.5000 0.99750 0.99000 0.97750 0.96000 0.93750 0.9000 0.87750 0.84000 0.79750 0.75000 3 0 0.85737 0.7900 0.64 0.500 0.488 0.34300 0.7463 0.600 0.6638 0.500 0.9975 0.9700 0.9395 0.89600 0.84375 0.78400 0.785 0.64800 0.57475 0.50000 0.99987 0.99900 0.9966 0.9900 0.98438 0.97300 0.9573 0.93600 0.90887 0.87500 4 0 0.845 0.6560 0.50 0.40960 0.364 0.400 0.785 0.960 0.095 0.0650 0.98598 0.94770 0.89048 0.890 0.7388 0.6570 0.5698 0.4750 0.39098 0.350 0.9995 0.99630 0.9880 0.9780 0.949 0.9630 0.8735 0.8080 0.7585 0.68750 3 0.99999 0.99990 0.99949 0.99840 0.99609 0.9990 0.98499 0.97440 0.95899 0.93750 5 0 0.77378 0.59049 0.4437 0.3768 0.3730 0.6807 0.603 0.07776 0.05033 0.035 0.9774 0.9854 0.835 0.7378 0.638 0.58 0.484 0.33696 0.56 0.8750 0.99884 0.9944 0.97339 0.9408 0.89648 0.8369 0.76483 0.6856 0.5933 0.50000 3 0.99997 0.99954 0.99777 0.9938 0.98438 0.969 0.94598 0.996 0.86878 0.850 4.00000 0.99999 0.9999 0.99968 0.9990 0.99757 0.99475 0.98976 0.9855 0.96875 6 0 0.73509 0.5344 0.3775 0.64 0.7798 0.765 0.0754 0.04666 0.0768 0.056 0.9673 0.88574 0.77648 0.65536 0.53394 0.407 0.3908 0.338 0.6357 0.0937 0.99777 0.9845 0.9566 0.90 0.83057 0.7443 0.64709 0.5443 0.445 0.34375 3 0.9999 0.99873 0.994 0.98304 0.9640 0.9953 0.8858 0.8080 0.74474 0.6565 4.00000 0.99994 0.99960 0.99840 0.99536 0.98906 0.97768 0.95904 0.93080 0.8906 5.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99976 0.9997 0.9986 0.99590 0.9970 0.98438 7 0 0.69834 0.47830 0.3058 0.097 0.3348 0.0835 0.0490 0.0799 0.05 0.0078 0.9556 0.8503 0.7658 0.5767 0.44495 0.394 0.3380 0.5863 0.04 0.0650 0.9964 0.9743 0.963 0.8597 0.7564 0.64707 0.538 0.4990 0.3644 0.656 3 0.9998 0.9977 0.98790 0.96666 0.9944 0.87396 0.8005 0.70 0.6089 0.50000 4 0.99999 0.9998 0.99878 0.99533 0.987 0.970 0.94439 0.90374 0.84707 0.77344 5.00000 0.99999 0.99993 0.99963 0.99866 0.996 0.99099 0.986 0.9649 0.93750 6.00000.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99978 0.99936 0.99836 0.9966 0.999 9

n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 8 0 0.6634 0.43047 0.749 0.6777 0.00 0.05765 0.0386 0.0680 0.00837 0.0039 0.9476 0.830 0.6578 0.5033 0.36708 0.5530 0.693 0.0638 0.0638 0.0356 0.994 0.969 0.89479 0.7969 0.67854 0.5577 0.478 0.3539 0.03 0.4453 3 0.99963 0.99498 0.97865 0.9437 0.8868 0.80590 0.70640 0.59409 0.47696 0.3638 4 0.99998 0.99957 0.9975 0.98959 0.9770 0.9403 0.8939 0.8633 0.7396 0.6367 5.00000 0.99998 0.99976 0.99877 0.99577 0.9887 0.97468 0.9509 0.954 0.85547 6.00000.00000 0.99999 0.9999 0.9996 0.9987 0.99643 0.9948 0.9888 0.96484 7.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99993 0.99977 0.99934 0.9983 0.99609 9 0 0.6305 0.3874 0.36 0.34 0.07508 0.04035 0.007 0.0008 0.0046 0.0095 0.9879 0.77484 0.59948 0.436 0.30034 0.9600 0.09 0.07054 0.0385 0.0953 0.9964 0.94703 0.8595 0.7380 0.60068 0.4683 0.3377 0.379 0.4950 0.08984 3 0.99936 0.9967 0.96607 0.9436 0.8347 0.7966 0.60889 0.486 0.3638 0.539 4 0.99997 0.999 0.99437 0.9804 0.9507 0.909 0.888 0.73343 0.64 0.50000 5.00000 0.99994 0.99937 0.99693 0.9900 0.9747 0.9464 0.90065 0.8348 0.74609 6.00000.00000 0.99995 0.99969 0.99866 0.9957 0.9888 0.97497 0.9503 0.906 7.00000.00000.00000 0.99998 0.99989 0.99957 0.99860 0.9960 0.9909 0.98047 8.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99974 0.9994 0.99805 0 0 0.59874 0.34868 0.9687 0.0737 0.0563 0.085 0.0346 0.00605 0.0053 0.00098 0.9386 0.7360 0.54430 0.3758 0.4403 0.493 0.08595 0.04636 0.036 0.0074 0.98850 0.998 0.800 0.67780 0.5559 0.3878 0.66 0.679 0.09956 0.05469 3 0.99897 0.9870 0.95003 0.8793 0.77588 0.6496 0.5383 0.388 0.6604 0.788 4 0.99994 0.99837 0.9903 0.967 0.987 0.84973 0.7550 0.6330 0.50440 0.37695 5.00000 0.99985 0.9986 0.99363 0.9807 0.9565 0.90507 0.83376 0.73844 0.6305 6.00000 0.99999 0.99987 0.9994 0.99649 0.9894 0.97398 0.9454 0.8980 0.88 7.00000.00000 0.99999 0.9999 0.99958 0.9984 0.9958 0.9877 0.976 0.9453 8.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99986 0.99946 0.9983 0.99550 0.9896 9.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99997 0.99990 0.99966 0.9990 0 0.56880 0.338 0.6734 0.08590 0.044 0.0977 0.00875 0.00363 0.0039 0.00049 0.898 0.69736 0.499 0.3 0.970 0.99 0.06058 0.0303 0.0393 0.00586 0.98476 0.9044 0.7788 0.6740 0.4550 0.374 0.003 0.89 0.065 0.037 3 0.99845 0.9847 0.93056 0.83886 0.7330 0.56956 0.4555 0.968 0.9 0.38 4 0.99989 0.9975 0.984 0.94959 0.88537 0.78970 0.6683 0.5377 0.3974 0.744 5 0.99999 0.99970 0.99734 0.98835 0.96567 0.978 0.853 0.75350 0.633 0.50000 6.00000 0.99998 0.99968 0.99803 0.9944 0.97838 0.94986 0.90065 0.860 0.7559 7.00000.00000 0.99997 0.99976 0.9988 0.9957 0.98776 0.9707 0.93904 0.8867 8.00000.00000.00000 0.99998 0.99987 0.9994 0.99796 0.99408 0.9850 0.9679 9.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99995 0.99979 0.9997 0.99779 0.9944 0.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99996 0.99985 0.9995 30

n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0 0.54036 0.843 0.44 0.0687 0.0368 0.0384 0.00569 0.008 0.00077 0.0004 0.8864 0.65900 0.44346 0.7488 0.5838 0.08503 0.0444 0.0959 0.0089 0.0037 0.98043 0.8893 0.7358 0.55835 0.39068 0.58 0.59 0.08344 0.044 0.099 3 0.99776 0.97436 0.90779 0.79457 0.64878 0.495 0.34665 0.534 0.3447 0.07300 4 0.9998 0.99567 0.97608 0.9744 0.8436 0.7366 0.58335 0.4388 0.30443 0.9385 5 0.99999 0.99946 0.99536 0.98059 0.94560 0.885 0.7876 0.665 0.5693 0.387 6.00000 0.99995 0.99933 0.9960 0.98575 0.9640 0.9537 0.8479 0.7393 0.679 7.00000.00000 0.99993 0.9994 0.997 0.9905 0.97449 0.9469 0.8886 0.8065 8.00000.00000 0.99999 0.99994 0.9996 0.9983 0.99439 0.98473 0.96443 0.9700 9.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.99979 0.9995 0.9979 0.99 0.9807 0.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99968 0.9989 0.99683.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99993 0.99976 3 0 0.5334 0.549 0.09 0.05498 0.0376 0.00969 0.00370 0.003 0.0004 0.000 0.86458 0.634 0.3988 0.3365 0.67 0.06367 0.0958 0.063 0.00490 0.007 0.97549 0.866 0.6996 0.5065 0.3360 0.048 0.39 0.05790 0.069 0.03 3 0.99690 0.96584 0.8800 0.7473 0.5845 0.406 0.787 0.6858 0.099 0.0464 4 0.9997 0.99354 0.96584 0.90087 0.79396 0.6543 0.50050 0.35304 0.795 0.334 5 0.99998 0.99908 0.9947 0.96996 0.9979 0.83460 0.7589 0.57440 0.468 0.9053 6.00000 0.99990 0.99873 0.99300 0.9757 0.9376 0.87053 0.776 0.64374 0.50000 7.00000 0.99999 0.99984 0.99875 0.99435 0.9878 0.95380 0.9033 0.83 0.70947 8.00000.00000 0.99998 0.99983 0.9990 0.99597 0.98743 0.9679 0.9305 0.86658 9.00000.00000.00000 0.99998 0.99987 0.99935 0.99749 0.99 0.97966 0.95386 0.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99993 0.99965 0.99868 0.99586 0.98877.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99986 0.99948 0.9989.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99997 0.99988 3

t -fördelning Tabellen ger det t α (f) -värde för vilket P ( X > t α (f) ) = α, där X t(f). f α 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00 0.0005 3.078 6.34.706 3.8 63.657 38.309 636.69.886.90 4.303 6.965 9.95.37 3.599 3.638.353 3.8 4.54 5.84 0.5.94 4.533.3.776 3.747 4.604 7.73 8.60 5.476.05.57 3.365 4.03 5.893 6.869 6.440.943.447 3.43 3.707 5.08 5.959 7.45.895.365.998 3.499 4.785 5.408 8.397.860.306.896 3.355 4.50 5.04 9.383.833.6.8 3.50 4.97 4.78 0.37.8.8.764 3.69 4.44 4.587.363.796.0.78 3.06 4.05 4.437.356.78.79.68 3.055 3.930 4.38 3.350.77.60.650 3.0 3.85 4. 4.345.76.45.64.977 3.787 4.40 5.34.753.3.60.947 3.733 4.073 6.337.746.0.583.9 3.686 4.05 7.333.740.0.567.898 3.646 3.965 8.330.734.0.55.878 3.60 3.9 9.38.79.093.539.86 3.579 3.883 0.35.75.086.58.845 3.55 3.850.33.7.080.58.83 3.57 3.89.3.77.074.508.89 3.505 3.79 3.39.74.069.500.807 3.485 3.768 4.38.7.064.49.797 3.467 3.745 5.36.708.060.485.787 3.450 3.75 6.35.706.056.479.779 3.435 3.707 7.34.703.05.473.77 3.4 3.690 8.33.70.048.467.763 3.408 3.674 9.3.699.045.46.756 3.396 3.659 30.30.697.04.457.750 3.385 3.646 40.303.684.0.43.704 3.307 3.55 60.96.67.000.390.660 3.3 3.460 0.89.658.980.358.67 3.60 3.373.8.645.960.36.576 3.090 3.9 3

χ -fördelning Tabellen ger det χ α(f) -värde för vilket P ( X > χ α(f) ) = α, där X χ (f) f α.9995.999.995.99.975.95.05.05.0.005.00.0005 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3.84 5.0 6.63 7.88 0.8. 0. 0. 0.0 0.0 0.05 0. 5.99 7.38 9. 0.6 3.8 5. 3 0.0 0.0 0.07 0. 0. 0.35 7.8 9.35.3.8 6.3 7.7 4 0.06 0.09 0. 0.3 0.48 0.7 9.49. 3.3 4.9 8.5 0. 5 0.6 0. 0.4 0.55 0.83.5..8 5. 6.8 0.5. 6 0.3 0.38 0.68 0.87.4.64.6 4.4 6.8 8.6.5 4. 7 0.48 0.6 0.99.4.69.7 4. 6. 8.5 0.3 4.3 6. 8 0.7 0.86.34.65.8.73 5.5 7.5 0.. 6. 7.9 9 0.97.5.73.09.7 3.33 6.9 9..7 3.6 7.9 9.7 0.6.48.6.56 3.5 3.94 8.3 0.5 3. 5. 9.6 3.4.59.83.6 3.05 3.8 4.57 9.7.9 4.7 6.8 3.3 33..93. 3.07 3.57 4.4 5.3. 3.3 6. 8.3 3.9 34.8 3.3.6 3.57 4. 5.0 5.89.4 4.7 7.7 9.8 34.5 36.5 4.7 3.04 4.07 4.66 5.63 6.57 3.7 6. 9. 3.3 36. 38. 5 3. 3.48 4.6 5.3 6.6 7.6 5. 7.5 30.6 3.8 37.7 39.7 6 3.54 3.94 5.4 5.8 6.9 7.96 6.3 8.8 3. 34.3 39. 4.3 7 3.98 4.4 5.7 6.4 7.56 8.67 7.6 30. 33.4 35.7 40.8 4.9 8 4.44 4.9 6.6 7.0 8.3 9.39 8.9 3.5 34.8 37. 4.3 44.4 9 4.9 5.4 6.84 7.63 8.9 0. 30. 3.8 36. 38.6 43.8 46. 0 5.4 5.9 7.43 8.6 9.59 0.8 3.4 34. 37.6 40. 45.3 47.5 5.9 6.45 8.03 8.9 0.3.6 3.7 35.5 38.9 4.4 46.8 49. 6.4 6.98 8.64 9.54..3 33.9 36.8 40.3 4.8 48.3 50.5 3 6.9 7.53 9.6 0..7 3. 35. 38. 4.6 44. 49.7 5. 4 7.45 8.08 9.89 0.9.4 3.8 36.4 39.4 43. 45.6 5. 53.5 5 7.99 8.65 0.5.5 3. 4.6 37.6 40.6 44.3 46.9 5.6 55. 6 8.54 9... 3.8 5.4 38.9 4.9 45.6 48.3 54. 56.4 7 9.09 9.8.8.9 4.6 6. 40. 43. 47. 49.6 55.5 57.9 8 9.66 0.4.5 3.6 5.3 6.9 4.3 44.5 48.3 5. 56.9 59.3 9 0.. 3. 4.3 6. 7.7 4.6 45.7 49.6 5.3 58.3 60.7 30 0.8.6 3.8 5. 6.8 8.5 43.8 47. 50.9 53.7 59.7 6. 40 6.9 7.9 0.7. 4.4 6.5 55.8 59.3 63.7 66.8 73.4 76. 50 3.5 4.7 8. 9.7 3.4 34.8 67.5 7.4 76. 79.5 86.7 89.6 60 30.3 3.7 35.5 37.5 40.5 43. 79. 83.3 88.4 9. 99.6 03 70 37.5 39. 43.3 45.4 48.8 5.7 90.5 95. 00 04 6 80 44.8 46.5 5. 53.5 57. 60.4 0 07 6 5 8 90 5.3 54. 59. 6.8 65.6 69. 3 8 4 8 37 4 00 59.9 6.9 67.3 70. 74. 77.9 4 30 36 40 49 53 33